ôn thi đại học cực hay

(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số
3
3 (1)y x x
= −

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1)+ 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một
điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao
cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Câu 2 (2 điểm):
a. Giải phương trình:
2 1 1 1
5.3 7.3 1 6.3 9 0
x x x x
− − +
− + − + =
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
3
3 3
2
2
( 2 5)
log ( 1) log ( 1) log 4
log ( 2 5) log 2 5
x x
x x
x x m
− +
+ − − >




− + − =


Câu 3 (2 điểm):
a. Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
3 2
9 27( 1)
9 27( 1)
9 27( 1)
x z z
y x x
z y y

= − −

= − −


= − −


b. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a +b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
a b c
T

a b c
= + +
− − −
Câu 4 (2 điểm):
a. Tìm hệ số của x
2
trong khai triển thành đa thức của biểu thức
2 6
( 1)P x x
= + −
.
b. Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d : x - 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai
điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC.
Câu 5(2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng
2a
.
a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
b. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho
3
a
AK =
. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
SỞ GD& ĐT THÁI NGUYÊN
Trường THPT Lương Ngọc Quyến
ĐỀ THI GIAO LƯU VĂN HOÁ MÔN TOÁN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI GIAO LƯU- MÔN TOÁN
Câu Nội dung Điể
m
Câu 1 2,0

a) 1.0
b) 1.0
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3
3 (1)y x x
= −
………………………………………………………
f(x)=x^3-3 x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
1.0
b) pt hoành độ giao điểm:
( )
2
( 1) 2 0x x x m
+ − − − =
luôn có 1 nghiệm x =-1
=> M(-1;2) cố định.
0.25
Đk để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt:
9

4
0
m
m

> −



≠

0.25
Tiếp tuyến tại N, P vuông góc 
'( ). '( ) 1
N P
y x y x = −
0.25
Đs:
3 2 2
( / )
3
m t m
− ±
=
0.25
Câu 2 2.0
a) 1.0
b)1.0
a) TXĐ:
1

1 6.3 9 0,
x x
x R
+
− + ≥ ∀ ∈
Đặt 3 0
x
t = > đc pt :
2
5 7 3 3 1 0t t t
− + − =
(2)
0.5
+) Nếu
1
3
t
≥
thì (2)
2
3
1 ( )
3
5 2 3 0 log
3
5
(t/m)
5
t l
t t x

t
= −


⇔ + − = ⇔ ⇒ =

=

0.25
+) Nếu
1
0
3
t
< <
thì (2)
2
3
3 ( )
5 16 3 0 log 5
1
(t/m)
5
t l
t t x
t
=


⇔ − + = ⇔ ⇒ = −


=

0.25
b)
2
3
3 3
2
2
( 2 5)
log ( 1) log ( 1) log 4 (3)
log ( 2 5) log 2 5 (4)
x x
x x
x x m
− +
+ − − >



− + − =



TXĐ: x>1, giải (3) đc: 1 <x <3
0.25
Đặt
).52(log
2

2
+−=
xxt
Từ Bảng biến thiên của
)3;1(,52
2
∈+−=
xxxy
suy
ra
)3;2(
∈
t
;
(4)
2
5t t m
⇔ − =
,
0.25
xét hàm, lập BBT được
25
; 6
4
m
 
∈ − −
 ÷
 
0.5

Câu 3 2.0
a)1.0
b)1.0
a)
3 2
3 2
3 2
9 27( 1) (1)
9 27( 1) (2)
9 27( 1) (3)
x z z
y x x
z y y

= − −

= − −


= − −

Cộng (1), (2), (3) được:
3 3 3
( 3) ( 3) ( 3) 0 (4)x y z− + − + − =
0.25
+) Nếu x>3 thì từ (2) có:
3
9 ( 3) 27 27 3y x x y= − + > ⇒ >
từ (3) lại có:
3

9 ( 3) 27 27 3z y y z= − + > ⇒ >
=> (4) không thoả mãn
0.25
+) Tương tự, nếu x<3 thì 0 < z <3 => 0 < y <3 => (4) không thoả mãn 0.25
=> x=3 thay vào (2) => y=3 thay vào (3) => z=3
Vậy: x =y = z =3 0.25
b)
( )
1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b c
T
a b c
a b c
a b c
− − − − − −
= + +
− − −
 
= + + − − + − + −
 ÷
− − −
 

0.25
Theo BĐT Bunhiacôpxki
1 1 1 9

;
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 6
a b c a b c
a b c
 
+ + ≥
 ÷
− − − − + − + −
 
< − + − + − <
0.25
( )
9 9 6
1 1 1 6
2
1 1 1 6
T a b c
a b c
⇒ ≥ − − + − + − ≥ − =
− + − + −
0.25
Dấu “=” xảy ra khi a= b = c = 1/3. Vậy GTNN của T =
6 / 2
0.25
Câu 4 2.0
a) 1.0
b) 1.0
a)

2 6
0 6 1 2 5 2 6 5 10 6 12
6 6 6 6 6
( 1)
.( 1) . ( 1) ... . ( 1) ... . ( 1) .
k k k
P x x
C x C x x C x x C x x C x
−
= + −
= − + − + + − + + − +
0.25
Nên trong đa thức P, x
2
chỉ xuất hiện khi khai triển:
0 6
6
.( 1)C x −
và
1 2 5
6
. ( 1)C x x −

0.25
Hệ số của x
2
trong khai triển
0 6
6
.( 1)C x −

là:
0 2
6 6
.C C
Hệ số của x
2
trong khai triển
1 2 5
6
. ( 1)C x x −
là:
1 0
6 5
.C C−
0.25
Vậy: hệ số của x
2
trong khai triển P là:
0 2
6 6
.C C
1 0
6 5
.C C−
=9
0.25
b) Tam giác ABC vuông tại B => pt AB: y = -2x+2,
2 6
=> ;
5 5

B AC d B
 
= ∩
 ÷
 
0.25
2
;
2
x
C d C x
+
 
∈ ⇒
 ÷
 
0.25
AB = 2BC =>
( )
0;1
4 7
;
5 5
C
C


 

 ÷


 

0.5
Câu 5
a) 1.0
b) 1.0
a)
k
H
C
D
B
A
S
I
L
M
N
3
.
5 3 3
5
2 2 3
S ABCD
a a a
AC a AH SH V= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
1.0
b) I là trung điểm AD,
( ) ( ;( ))HL SI HL SAD HL d H SAD⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

/ / / /( ), ( )
( ; ) ( ;( )) ( ;( ))
MN AD MN SAD SK SAD
d MN SK d MN SAD d H SAD HL
⇒ ⊂
⇒ = = =
0.5
Tam giác SHI vuông tại H và có HI là đường cao
=>
21 21
( ; )
7 7
a a
HL d MN SK= ⇒ =
0.5
(Nếu hs làm đúng nhưng không theo cách giải trong đáp án gv vẫn cho điểm tối đa)