chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi xác định vị trí tính chất cân bằng của hệ vật bằng phương pháp năng lượng

Chuyờn ờ bụi dng HSG
Xác định vị trí tính chất cân bằng của hệ vật bằng phơng
pháp năng lợng
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Lực thế - Thế năng:
Nếu công của lực
F
dọc theo quĩ đạo chỉ phụ thuộc vào vị trí hai đầu, không
phụ thuộc vào dạng của đờng đi thì
F
gọi là Lực thế.
* Hàm vô hớng của thế năng U(x,y,z)
+ Thì
F
= - grad U
. Chiếu lên 3 trục x, y, z.
Fx =
dz
du
Fz
dy
du
Fy
dx
du
== ,,
- Trong trờng hợp
F
chỉ phụ thuộc vào một toạ độ ta có: F =
dx
du

- Thế năng của vật U =

Ui
ứng với các Lực thế
F
=

Fi
.
2. Điều kiện cân bằng của chất điểm:
F = 0 ->
0=
dx
du
.
Vậy khi
0== 'U
dx
du
thì chất điểm cân bằng với x = x
0
.
* Nếu
0
2
2
x
dx
ud

> 0 vị trí cân bằng bền.
* Nếu
0
2
2
x
dx
ud






< 0 vị trí cân bằng không bền
* Nếu
0
2
2
x
dx
ud

= 0 trờng hợp khá phức tạp
* Nếu
x
dx
ud







2
2
= 0 cân bằng phiếm định
+ Ta có thể giải quyết bằng cách vẽ hàm thế năng U(x) để xác định xem.
+ x
0
là điểm ứng với U(x) cực đại là vị trí cân bằng không bền.


Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

1
Chuyờn ờ bụi dng HSG
+ x

0
là điểm ứng với U(x) cực tiểu là vị trí cân bằng bền.
Một số thí dụ

Bài 1: Một con lật đật có thân là một hình cầu bán kính R nửa dới đặc nửa trên
rổng khối tâm G của con lật đật cách tâm O một khoảng OG = 0,4R, OG vuông góc
đờng kính của AB. Tìm vị trí cân bằng của con lật đật và chứng minh rằng cân
bằng ấy là bền.
- Xét con lật đật khi AB nghiêng một góc

với phơng ngang.
- Chọn góc thế năng tại C
- Thế năng của vật: U = mgR (1 - 0,4cos

)
* Vị trí cân bằng:
dx
du
= mgR . 0,4 sin

= 0
Khi

= 0
Vậy với

= 0 thì vật cân bằng.
* Xét tính chất cân bằng:
0
2

=








d
Ud
= 0,4 mgR cos

> 0
Đây là vị trí cân bằng bền.
Bài 2: Thanh OA quay xung quanh trục OZ thẳng đứng với vận tốc góc

không
đổi, góc AOZ =

, một chất điểm m có thể chuyển động không ma sát trên OA tìm
vị trí cân bằng l = OM
0
của m cân bằng là bền hay không bền.
Nhận xét: Phản lực
N
không sinh công nên không gắn với thế năng.
- Chọn gốc thế năng trọng lực tại O Up = mgl cos

.

Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

2
A
B
O
G
x
x
A
B
O

x
C
G
P
Chuyờn ờ bụi dng HSG
- Thế năng của lực li tâm:
U
ll
=

==
2
2
2
2

r
m
drrmdU
lt


.

2
222

sinlm
U
lt
=
Thế năng của vật:
U = Up + U
lt
= mglcos

-
2
222

sinlm
Vị trí cân bằng:
0
22
==

sincos lmmg
dl
du
=> l =


22
sin
cosg
Tính chất cân bằng:
0
22
2
2
<=

sinm
dl
Ud
đây là vị trí cân bằng không bền.
Bài 3: Hai vật khối lợng m
1
, m
2
nối với nhau bằng dây không dãn, không khối lợng
và có thể trợt không ma sát lên 2 mặt của một cái nêm cố định có góc nghiêng
21

,
.

a) Tìm điều kiện cân bằng của hệ
b) Xác định tính chất cân bằng.
Giải:
- Gọi chiều dài của dây là l.
Chiều dài dây nối m
1
với ròng rọc là x.
- Chọn gốc thế năng ở đỉnh nêm.
- Thế năng của hai vật.
U = - m
1
gx.sin
1

- m
2
g (l - x) sin
2

.
a) Để hệ cân bằng:
0=
dx
dU
=> - m
1
gsin
1

+ m

2
gsin
2

= 0.


Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

3
N
A
q

Z


r
0
1

2

m
1
m
2
Chuyờn ờ bụi dng HSG
=> m
1

sin
1

= m
2
sin
2

.
b) Tính chất của cân bằng:
0
2
2
=
dx
ud
với mọi vị trí của x. Vậy đây là cân bằng phiếm định.
Bài 4: Một khung sắt hình tam giác vuông góc tại A có góc B = 30
0
đợc đặt thẳng
đứng cạnh huyền nằm ngang. Hai viên bi nối với nhau bằng một thanh cứng không
lợng không đáng kể.
Có thể trợt không ma sát trên hai cạnh góc vuông viên bi ở cạnh AB khối lợng m
1
,
cạnh AC có khối lợng m
2
.
a) Khi hệ thống cân bằng tính góc

= góc AIJ.
b) Xác định tính chất cân bằng.
Giải:

a) Chọn gốc thế năng tại A, đặt IJ = l
- Thế năng của hệ:
U = - m
1
glsin30
0
. cos

- m
2
gl.cos30
0
.sin

.
= - gl(m
1
sin30
0
.cos

+ m
2
cos30
0
sin

).

d
du
= - gl (-m
1
sin30
0
.sin

+ m
2
cos30
0
.cos

)
Khi hệ cân bằng:

d
du
= 0 => m
1
sin30
0
.sin

= m
2

cos30
0
cos

=> tg

=
1
2
0
2
2
3
30
m
m
g
m
m
=cot.
b) Xác định tính chất cân bằng:
2
2

d
ud
= - lg (- m
1
sin30
0

cos

- m
2
cos30
0
sin

)
= lg (m
1
.sin30cos

+ m
2
cos30
0
sin

)
Vì

<
2

nên sin

> 0, cos

> 0=>

2
2

d
ud
> 0 đó là vị trí cân bằng bền.
Bài 5 : Một ống mỏng quay quanh trục thẳng đứng bên trong ống có một quả
cầu khối lợng m đợc móc vào một lò xo, đầu kia cũng lò xo gắn cố định vào trục
quay. Chiều dài tự do của lò xo là l
0
và hệ số đàn hồi của lò xo là K. Tìm vị trí cân
bằng của quả cầu so với ống phụ thuộc vào vận tốc góc

.


Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

4
A
m
2
m
1
J
I
C
B

C

Chuyờn ờ bụi dng HSG
Vẽ đồ thị và biện luận kết quả thu đợc cho vận tốc góc
m
K
=
0

.
Giải:

Tại thời điểm t chiều dài của lò xo là l.
- Thế năng của lực đàn hồi U
d
=
2
K
(l - l
0
)
2
- Thế năng của lực li tâm
Ult = -
2
1
m
2

l
2
- Thế năng của hệ: U =

2
1
K (l - l
0
)
2
-
2
1
m
22
l

.

dl
du
= K (l - l
0
) - m
l
2

.
Khi vật cân bằng
dl
du
= 0. => K (l - l
0
) - m

l
2

= 0 => l =
2
0

mK
Kl

l =






=

=

m
K
l
m
K
l
m
K
2

0
22
0
0
2
0
2
0




.
Tính chất của cân bằng:
( )
22
0
2
2
2

== mmK
dl
ud
Với
0

<
: Cân bằng bền
Vì l > l

0
> 0 =>

>
0
* Đồ thì hàm l (

) nh hình vẽ.
Với
0

<
: Cân bằng bền

0

>
: Cân bằng không bền

0

=
l =

Tuy nhiên:
+ Khi
0

>
, l < 0 không có ý nghĩa thực tế. Ngoài ra l giảm khi

tăng không phù
hợp nên trờng hợp này không xảy ra.
+ Hàm gián doạn tại điểm
0

=
=
m
K
là tần số dao động riêng của hệ.


Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

5

0

l
l
0

Chuyờn ờ bụi dng HSG
Khi
0


có cộng hởng l ->

.
Vậy hệ cân bằng bền khi
0

<
.
B. Xác định vị trí tính chất cân bằng bằng phơng pháp động
lực học
1. Xác định vị trí cân bằng: Khi vật cân bằng.

F
=
0
;

= 0M
Từ điều kiện này ta xác định đợc vị trí cân bằng của vật:

= xFx 0


= yFy 0


= zFz 0
2. Tính chất cân bằng: xét theo một phơng.
0
0
>

x
dx
dF
F và x cùng chiều -> cân bằng không bền.
0
0
<






x
dx
dF
Cân bằng bền
0=






x

dx
dF
Cân bằng phiếm định
0
0
=






x
dx
dF
Trờng hợp này khá phức tạp kết hợp với đồ thị để xác định đợc tính chất
của cân bằng.
Một số thí dụ

Bài 1: Thanh cứng AB quay đều quanh trục thẳng đứng AC với vận tốc góc

.
Góc giữa AB và AC là

. Không đổi (0 <

< 90
0
) là x
0

có độ cứng K. Khối lợng
không đáng kể, độ dài khi không biến dạng là l
0
, đợc lồng vào thanh AB. Một đầu
là x
0
gắn vào A, đầu kia gắn với hòn bi khối lợng m. Bi có thể trợt trên thanh AB
nhờ một lổ xuyên tâm (hình vẽ) ma sát giữa bi và thanh AB không đáng kể.
Xác định vị trí cân bằng của hòn bi, vị trí đó ứng với cân bằng bền hay không bền.
Giải:

- Khi vật cân bằng.


Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

6
Chuyờn ờ bụi dng HSG
0
=+++=
dh
FPqNF
Theo ox:
F
x
= - K (l -l
0
) - mgcos

+ m

2

.lsin
2

= 0
=>


22
0
sin
cos
mK
mgKl
l


=
.
Bài toán có nghiệm khi l > 0
Khi tử số và mẫu số cùng dấu
Khi tử số và mẫu số khác dấu không tồn tại vị trí cân bằng trừ điểm A.
- Tính chất cân bằng.
Khi vật lệnh vị trí cân bằng dx = dl.
)sin( Km
dl
dFx
=

22
+ m
K>

22
sin
dFx cùng dấu với dl
Kl
0
< mgcos

đây là vị trí cân bằng không bền.
+ m
K>

22
sin
dFx trái dấu với dl
Kl
0
> mgcos

đây là vị trí cân bằng bền
Cách 2: Chọn gốc thế năng trọng lực tại A.
U = Up + U
lt
+ U
dh
= mg (x + l
0

)cos

-
( )
22
2
0
2
2
1
2
Kxxl
m
++


sin
Vị trí cân bằng:
( )
0
2
0
2
0
=++= Kxxlmmgl
dx
du

sincos
=> x =

22
2
0
2
sin
cossin
mK
mgml


Chiều dài lò xo: l = l
0
+ x =


sin
cos
2
0
mK
mgKl


- Bài toán có nghiệm khi l > 0 nghĩa là tử số và mẫu số cùng dấu.
- Khi tử số và mẫu số khác dấu thì không có cân bằng trừ vị trí A.
* Tính chất cân bằng:
2
2

dx
ud
= -m
2

sin
2

+ K.


Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

7
B

N
A
C
P
fq
x
Chuyờn ờ bụi dng HSG
K > m
2

sin
2

Kl

0
> mgcos

Có cân bằng bền
K < m
2

sin
2

Kl
0
< mgcos

Cân bằng không bền.
Bài 2: Trong một chuyện khoa học viễn tởng của RA.Heikim có mô tả một cây trụ
cứng đồng chất tiết diện đều nằm lơ lửng trong không trung theo phơng thẳng đứng
chân cột nằm sát mặt đất, ngay trên một điểm cố định trên xích đạo hỏi nếu có cây
cột đó thì nó phải dài bao nhiêu. Xác định tính chất cân bằng.
Giải:

Hợp lực F = fq - F
G
fq =
[ ]
22
2
2
2
RLRfdrrf

LR
R
+=

+
)(.


fG = GSM
)(
.
LRR
LGM
LRR
GMf
r
dr
LR
R
+
=






+
=

+
11
2
Vật cân bằng khi F = 0
=>
[ ]
)(
.
)(
LRR
LGM
LR
+
=+
2
2
2

Giải ra ta đợc:
L =






++
2
2
8

3
2
1

R
GM
RR
Thay số vào:
srad
T
/.,
.
5
10277
360024
22

===


R = 6400.10
3
m
2
2
819 smg
R
GM
/,==
Ta có L = 1,5.10

8
m
* Tính chất cân bằng xét theo L.
F =
[ ] [ ]
)()(
)(
LRR
GML
LRL
LRR
GML
RLR
+
+=
+
+
2
2
22
2
2
22



Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

8
x

dl
r
0
R
Chuyờn ờ bụi dng HSG
2
2
)(
)(
LR
R
R
GM
LR
dL
dF
+
+=

0>
dL
dF
cân bằng không bền => L >
.R
GM

3
2

0<

dL
dF
cân bằng bền => L <
.R
GM

3
2

Bài toán này có thể giải bằng phơng pháp năng lợng.
Bài 3: Một hạt cờm đợc xâu vào một vòng kim loại bán kinh R. Vòng này quay
xunh quanh một đờng kính thẳng đứng với vận tốc góc không đổi

chứng tỏ sự
tồn tại một vị trí cân bằng tơng đối của hạt cờm ứng với một góc đo khác không với
đờng thẳng đứng bỏ qua ma sát.
Giải:

- Mô men động lợng : Lox = mR
2
dt
d

- Mô men lực M = -mgRsin

+ m
2

R
2

sin

cos

.
Ta có:
M
dt
dLox
=
=>
















=

cossinsin
2
0
g
R
Trong đó
R
g
=
2
0

Các vị trí cân bằng: thoả mãn
''

= 0 (at = 0)
sin

= 0 khi

1
= 0;

2
=

cos

=
0
2
0
2
0





>













;cos.arc
Tính chất cân bằng: f(
( ) ( ) ( )

++








+=




00
2
0
0
cossinsin)
R
g
Ta có:
0
2

2
=
=




d
dt
dt
d
.
* Trờng hợp
0
0
<






=


d
df
lực tiếp tuyến tác dụng lên hạt là một lực kéo về khi đó cân
bằng là bền.

Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

9
P
fq
N
x

Chuyờn ờ bụi dng HSG
















=

=
0
2
0
0
0
2






coscos
R
g
d
df
* Với
0

<
+
1

= 0 vị trí cân bằng bền
+

=
2
vị trí cân bằng không bền
* Với
0

>
:
2
0
3








=



arccos
vị trí cân bằng bền.
C. Nhận xét: từ điều kiện cân bằng của vật đó là

= 0F
và

= 0M

Khi vật dới tác dụng của lực thế để xác định.
+ Vị trí cân bằng ta có thể vận dụng:
F = 0; hoặc
0== M
dt
dL
hoặc -
0=
dx
du
+ Khi xét tính chất cân bằng ta xét
0=
dx
dF
;
0
2
2
=
dx
ud
Đồng Hới, ngày 3 tháng 19 năm 2011
Nguyễn Phợng Hoàng



Nguyờn Phng Hoang Trng THPT chuyờn QB

10