Bài tập+lời giải - Lũy thừa, mũ, logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (246.59 KB, 20 trang )
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
( )
( )
( )
1
2 2
3
4 3 3 4
1
2 2 1
3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
−
−
−
−
+ + +
= + + +
+ + −
( đáp số : D=1 )
b.
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
B
a a a a
− −
− −
− − +
= +
− −
Giải
a/
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2 2 3 3
3
3
4 3 3 4
1
2
2 2 1
3
1
: 3
2
y x y x y x y
x y x y
x x y xy y
D x y x y xy
x xy y x x y x y x y
x y
−
−
−
− + +
+ −
+ + +
= + + + = + =
+ + − − +
+
( ) ( )
1
3 1
3
: 1x y x y
−
−
= + + =
b/
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1
2 2
2 3 3
4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
2 3
a a
a a a a a a a
B a
a a
a a
a a a a a
a a
− −
− −
+ + −
− − + − − +
= + = + = =
− −
− −
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
0;
n n n n
n n n n
a b a b
A ab a b
a b a b
− − − −
− − − −
+ −
= − ≠ ≠ ±
− +
b.
( )
1 1 1 1
1 -1
1 1 1 1
1
ax
4
a x a x
B xa
a x a x
− − − −
−
− − − −
− +
= − +
÷
+ −
Giải
a.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4
n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
a b b a
a b a b a b b a a b
A
a b a b b a
b a a b a b b a
a b a b
a b a b
− − − −
− − − −
+ − −
+ − + −
= − = − = =
− + −
− + + −
÷ ÷
b/
( )
( )
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 -1
1 1 1 1
2
1 1 1 1
ax
4 4 ax 4 ax 2 ax
x a
a x a x x a x a x a x a
B xa
a x a x x a x a
− − − −
−
− − − −
+
− + − − + +
= − + = + = =
÷ ÷
÷
+ − + −
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
. 1 2 :
a b
a a b
b a
− + −
÷
÷
÷
b.
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
−
−
− −
−
− +
Giải
Trang 1
( )
( )
( )
2
2
2
1 1
2
2 2
2
1 1
. 1 2 : 1 : .
b a
a b a
a a b a b
b a b b b
a b
−
− + − = − − = =
÷ ÷
÷
÷ ÷
−
.
b/
( )
( )
( )
( )
1 1
1 9 1 3
2 2
4 2
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
2
4 4 2 2 4 2
1 1
1 1 2
1 1
a a b b
a a b b
a a
a a b b a a b b
−
−
− −
− −
− −
− = − = + + = +
− + − −
Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau :
a.
( )
2 2
3 3 3
3 3
a b a b ab
+ + −
÷
b.
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
a b
b a
+ + +
÷
÷
÷
Giải
a/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
a b a b ab a b a a b b a b a b
+ + − = + − + = + = +
÷
b/
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
1 1
3 3
3 3
3 3
1 1 2 2 2 1 1
1 1
3 3 3 3 3 3
3 3
: 2
2
a b a b a b a b
a b a b
a b
b a
a b a b a b
a b
+ +
÷ ÷
+ + + = = =
÷
÷
÷
+ + +
+
÷
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
3
2
1 1
3
2
4 4
3
3
:
a b a
A a b
b a
a b
= + +
÷ ÷
÷
÷ ÷
b.
2
2
2
4
4
4
2
a
B
a
a
a
+
=
−
+
÷
Giải
a/
3
3 1
2
1 1 1 1 1 1
2 2
3
2
2 2
4 4 4 4 4 4
3 1
2 3 3
1 1
3
3
3
2 2
4 4
1 1
: : :
a b a a b a a a b
A a b a b a b
a b b ab
b a
a b
b a
ab a b
+
÷
= + + = + + = + + =
÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷
÷ ÷
÷
÷
+
÷
( )
2 2
2 2
2 2
2
2 : 0
2
4 4
2 : 0
4 4
4
2
4
a
a
a a
B
a
a
a a
a
a
a
a
↔ ≥
+ +
= = = =
− ↔ <
− +
+
÷
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
1
2 2
2
2 2
1 1
2 5 2
2 2
x x x x
A x
x x x x
−
+ + − +
= + − −
÷
+ −
. Với
3,92x =
b.
5
3
3
5
2
2 2
10
5
2 27
3 32 2 .3
2 3
y
B y
y
−
+
÷
= + −
÷
+
÷
. Với y = 1,2
Giải
Trang 2
a/
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
2 2
2 2 3
2 2 2
2 2
2 2
4 2 5 2
1 1 4 10
2 5 2 5 2 8 2
2 2
4 5 2
x x
x x x x x
A x x x
x x x x
x x x
−
−
− −
+ + − + − +
= + − − = − = = −
÷
+ −
− −
Với x=
( )
2 2 2
3,92 3,92 4 0,08 2 4 0,16x x x⇒ = ⇔ − = ⇔ − =
5
3
3
1
1
5
5
2
3
3
1
1
5
2
2 2 2
10
5
2
1
1
5
5
2
2 3.
2 27
3 32 2 .3 3.2 2 3
2 3
2 3
y
y
B y y
y
y
− −
÷
+
÷
÷
÷+
÷
= + − = + − =
÷
÷
+
÷
÷
+
÷
5
5
1 2 1 2
1 1
2 2 2
5 5 5 52 2
2 2 .3 3 3.2 2 3y y y y y
−
= − + + − = =
÷ ÷
. Với y=1,2 suy ra
2
1,44y =
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
a.
4 1
1
2
3 3
3
3
2 2
3
3 3
8
. 1 2
2 4
a a b b
A a
a
a ab b
−
−
= − −
÷
÷
+ +
ĐS: A=0
b.
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
8 2
6
2 4 2
b a a b a b
B
a b a a b b
− − − − −
− −
÷
= +
÷
÷
− + +
Giải
a/
( )
1
4 1 1
1
2 2
3
3 3 3
3 3
3
2 2 2 1 1 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3 3 3
8
8
. 1 2 .
2 4 2 4 2
a a b
a a b b a
A a a
a
a ab b a a b b a b
−
−
−
= − − = −
÷
÷
+ + + + −
( ) ( )
2 2
2 2
3 3
3 3
2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
8 8
0
8
2 4 2 4 8
a a b a a b
a a
a b
a a b a b a b a b b
− −
= − = − =
−
+ + − − −
b/
1 1 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 1 2 1 1
2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2
8 2 8
6 6
2 4 2 2
4 2
a b a b
b a a b a b b a a b
B
a b a a b b b a
b a b a
− − − − −
−
÷
÷
− − −
÷ ÷
= + = + =
÷ ÷
÷
− + + −
÷
+ +
÷
÷
2
2 1 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3
2 2
3 3
3 3
1 1
3 3
4 2 2
8 8 6
6 6 8
2
b a b a a b
b a b a ab
a b ab
b a
b a
÷
+ + − −
÷
÷− −
= = =
÷
÷
−
÷
−
÷ ÷
÷
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
Trang 3
a.
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
−
÷ ÷
( đáp số : A= 15/2 )
b.
( ) ( )
1
1
2
4 3
0,25
1
0,5 625 2 19. 3
4
B
−
− −
= − − + −
÷
Giải
a/
1
1
5 1
3 7 1 1
1
2
5 1
3 7 1 1
2
2 2
3 3
2 4 4 4
2
3 32 4 4 2
4 2
3 5 2 .5 2 3 3 5 15
A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
2 2 2
−
÷
= = =
÷ ÷
÷
÷
÷
b/
( ) ( )
( )
( )
1 3
1 4 2.
1
2 2
4 3
0,25 4
4
3
1 1 3 1 8 19
0,5 625 2 19. 3 5 19 16 5 10
4 2 2 27 27
3
B
− − −
−
− −
= − − + − = − − + = − − − =
÷ ÷ ÷
−
Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau :
a.
1 1
1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
−
− −
= − −
÷
+ +
b.
3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
B ab
a b
− +
÷
÷ ÷
÷
= −
÷
−
÷
÷
Giải
a/
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
3 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 4 4 4 4 4
2 4 4 2 4 4 4 4
1
: : .
a b a b a b a b a b a a b
A a b a b
a a b a b a b
a a b a a b a b
− − − − − − +
= − − = − − = =
÷ ÷
+ + +
+ + −
÷ ÷ ÷
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
b a b b
a
a a b
−
÷
= =
÷
÷
−
b/
( )
( )
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
a b a b a b a b a b a b a b
B ab a b
a b a b
a b
− + − − − − −
÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷
= − = = = −
÷ ÷
− −
÷ ÷
−
÷
÷ ÷
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau :
( )
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
ax
x a x a
C
x a
x a
− −
= +
−
−
(đáp số C=1)
. b. Chứng minh :
(
)
3
3 3 3 32 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
Giải
Trang 4
a/
( )
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
3 3 1 1 1 1
1 1
1
2 2 2 2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
ax
x a x x a a
x a x a x a
C x a
x a
x a x a
x a x a
− + +
÷ ÷
− − −
= + = +
−
− −
− +
÷ ÷
2
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
x a
x a
+
÷
= =
+
÷
b. Chứng minh :
(
)
3
3 3 3 32 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
(
)
(
)
3 3 3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2
2 2 3 3a a b b a b a b a a b b a b a a b a b b⇔ + + + + + + = + + +
3 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 8 4 4 8 8 4 6 6 4 8
2 2 2a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b⇔ + + = + ⇔ + + = + +
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
3 3
847 847
6 6
27 27
+ + −
( đáp số : =3 )
b. Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
8
48
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
3 2
= − + +
+
Giải
a/ Đặt y=
3
3 3
3
3
847 847 847 847 847
6 6 12 3 6 6 12 3 36
27 27 27 27 27
y y y
÷
+ + − ⇒ = + + + = + − =
÷ ÷
÷ ÷
÷
( )
( )
3 2
3
125
12 3 12 5 5 12 0 3 3 4 0 3
27
y y y y y y y y+ = + ⇔ − − = ⇔ − + + = ⇒ =
b/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8
4 4 48 8
4 4 4
1 3 2 3 2 3 2 3 2 ; 3 2 3 2 3 2VP⇔ = + − + + ⇔ − + +
( ) ( )
3 2 3 2 3 2 1 VT⇔ − + = − = =
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5
3
. 2 2 2a A =
. b.
( )
11
16
: 0B a a a a a a= >
c.
( )
2
4
3
0C x x x= >
d.
( )
5
3
0
b a
D ab
a b
= >
Giải
1 1
1 1 1
5 5
3 1 3
1 3 1
3 3 5
5
3
2 5 102 2 2
. 2 2 2 2 .2 .2 2 .2 2 .2 2 2a A
= = = = = =
÷ ÷ ÷
Trang 5
b/
1
1 1
2
1
151 1
2 2
11 11 11 7 11
3 3 1
2
162 2
1
1
16 16 6 8 16
2 4 4
11
16
: . : . : :
a
B a a a a a a a a a a a a a a a
a
+
+
= = = = = =
÷
÷ ÷
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Bài 1. Đơn giản các biểu thức :
a.
2 1
2
1
.a
a
−
÷
b.
2 4
4
. :a a a
π π
c.
( )
3
3
a
d.
3
2. 1,3 3 2
. :a a a
Giải
a.
( )
2 1
2 1
2 2 1 2 1 2
1
.a a a a a a
a
−
−
− −
= = =
÷
. b/
1
1
2
2 4
4
2
. :
a
a a a a a a
a
π π π
π
= = =
c/
( )
3
3 3. 3 3
a a a= =
d/
2. 1,3
3
2. 1,3 3 2 1,3
2
.
. :
a a
a a a a
a
= =
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
( )
2 2 2 3
2
2 3
1
a b
a b
−
+
−
b.
( ) ( )
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1a a a a
a a
− + +
−
(đáp số :
3
1a +
)
c.
5 7
2 5 3 7 2 7
3 3 3 3
a b
a a b b
−
+ +
(đáp số :
5 7
3 3
a b−
) d.
( )
1
2
4a b ab
π
π π
π
+ −
÷
(đáp số :
a b
π π
−
Giải
a/
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 3
2 3
2 3 2 3
2
1 1
a b a b
a b a b a b a
a b
a b
a b a b
− +
− + + −
+ = + = =
−
−
− −
b/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
3
4 3 3
3 3 3 2 3
1 1 1 1
1
1 1
a a a a a a a a a
a
a a
a a a a
− + + − + + +
= = +
−
− + +
c/
5 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3
5 7
5 7
3 3
2 5 3 7 2 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3 3 3
a b a a b b
a b
a b
a a b b a a b b
− + +
÷ ÷
÷ ÷
−
= = −
+ + + +
d/
( ) ( )
1
2 2
2 2
4 2 4a b ab a b a b a b a b a b
π
π π π π π π π π π π π π
π
+ − = + + − = − = −
÷
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
• Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số ,
sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
• Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy
thừa dạng bất đẳng thức .
Trang 6
Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
3 5
30 20∨
b.
3
4
5 7∨
c.
3
17 28∨
d.
5
4
13 23∨
e.
3 2
1 1
3 3
∨
÷ ÷
f.
5 7
4 4∨
Giải
a/
3 5
30 20∨
. Ta có
15 155 5
3
3 5
15 153 3
5
30 30 243.10
30 20
20 20 8.10
= =
⇒ >
= =
b/
3
4
5 7∨
. Ta có :
3
12
4 12
3
4
4
12
3
12
5 5 125
7 5
7 7 2401
= =
⇒ >
= =
c/
3
17 28∨
. Ta có :
6 3
6
3
6 2
3 6
17 17 4913
17 28
28 28 784
= =
⇒ >
= =
d/
5
4
13 23∨
. Ta có :
20 5
20
4
5
4
20 4
5 20
13 13 371.293
13 23
23 23 279.841
= =
⇒ >
= =
e/
3 2
1 1
3 3
∨
÷ ÷
. Vì
3 2
1 1
3 2
3 3
> ⇒ <
÷ ÷
f/
5 7 5 7
4 4 ; 7 5 4 4∨ > ⇒ <
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
1,7 0,8
2 2∨
b.
1,7 0,8
1 1
2 2
∨
÷ ÷
c.
1,2 2
3 3
2 2
∨
÷ ÷
÷ ÷
d.
5
2
5
1
7
−
∨
÷
e.
2,5
12
1
2
2
−
∨
÷
f.
5 1
6 3
0,7 0,7∨
Giải
a/
1,7 0,8 1,7 0,8
2 2 ; :1,7 0,8 2 2vi∨ > ⇒ >
. b/
1,7 0,8 1,7 0,8
1,7 0,8
1 1 1 1
; :
1
2 2 2 2
0 1
2
do
>
∨ ⇒ <
÷ ÷ ÷ ÷
< <
c/
1,2 2 1,2 2
1,2 2
3 3 3 3
; :
3
2 2 2 2
0 1
2
do
<
∨ ⇒ >
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
< <
d/
5 5
0
2 2
5
0
5 5 5
2
1; : 1
7 7 7
5
0 1
7
do
− −
− <
∨ ⇒ > =
÷ ÷ ÷
< <
;
Trang 7
e/
( )
( )
( )
2
2,5
2,5 6,25
12 12
12 6,251
2 ; : 2 2 2
2
2 1
do
− −
− −
− < −
∨ ⇒ < =
÷
>
f/
2
2
5 5 4 1
5 1 5 1
6 36 36 3
6 3 6 3
0,7 0,7 ; : 0,7 0,7
0 0,7 1
do
= > =
÷
÷ ÷
÷
∨ ⇒ <
< <
Bài 3. Chứng minh :
20
30
2 3 2+ >
Giải
Ta có :
20 20
20
30
30
30
2 1 1
2 3 2
3 1 1
> =
⇒ + >
> =
Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
a.
3
x x
y
− +
=
b.
( )
2
sin
0,5
x
y =
Giải
a/
3
x x
y
− +
=
.
Đặt
( )
2
1 1 1
0 0 ' 2 1 0 axy=y
2 2 4
t x y x x t t t y t t m
= ≥ ⇒ = − + = − + ≥ ↔ = − + = → = ⇔ =
÷
Do vậy :
1
4 4
4
3 3 3 3
x x
y GTLNy
− +
= ≤ = ↔ =
b/
( )
2
sin
0,5
x
y =
. Vì :
2 2
2 sin 1 sin
1 1
0 sin 1 0 0,5 0,5 0,5
2 2
x x
x y GTLNy≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ = ≤ ↔ =
Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “
a.
2 2
x x
y = +
b.
1 3
2 2
x x
y
− −
= +
c.
2 2
sin os
5 5
x c x
y = +
e.
2
1
x
x
y e
+
=
Giải
a/
2
2 2 2 0
2 2
x x
x x
GTNNy
y x x x
−
−
=
= + ≥ ⇔ → = − ↔ =
⇔ =
b/
1 3
1 3 1 3 2
2 2
2 2 2 2 2 2 4 min 4 2
1 3
x x
x x x x
y y x
x x
− −
− − − + −
=
= + ≥ = = ⇔ = ⇔ ⇔ =
↔ − = −
c/
2 2
2 2 2 2
sin os
sin os sin os
2 2
5 5
5 5 2 5 2 min 2 os2x=0 x=
4 2
sin os
x c x
x c x x c x
y y c k
x c x
π π
+
=
= + ≥ = ⇔ = ⇔ ↔ → +
=
e/
{
2
1
1 2
2
1
x
x
x x
y e e e e x
+
= ≥ = = ⇔ =
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
Trang 8
a.
1
4
4
y x y x= ∨ =
b.
5 5
y x y x
−
= ∨ =
c.
1
2
2
y x y x= ∨ =
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2 2
2
x x
y
−
−
=
. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2 2 1
2 2 1 2 2 1
1 1
2 2 2 2 2
2 2
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
− − − −
>
> >
> ⇒ ⇔ ⇔
< < − > −
÷ ÷
( ) ( )
1 1 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2
x x x x
x x
y x y x
− −
>
− −
⇒ > ⇔
>
. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R .
Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a.
3
x
y
π
=
÷
b.
2
x
y
e
=
÷
c.
3
3 2
x
y
=
÷
+
d.
1
3
3 2
x
x
y
−
=
÷
−
Giải
a/
3
x
y
π
=
÷
. Do
1
3 3
x
y
π π
> ⇒ =
÷
. Là một hàm số đồng biến
b/
2
x
y
e
=
÷
. Do
2 2
0 1
x
y
e e
< < ⇒ =
÷
Là một hàm số nghịch biến
c/
3
3 2
x
y
=
÷
+
. Do
( )
3 3
3 3 2 1
3 2 3 2
x
y
= − < ⇒ =
÷
+ +
là một hàm số nghịch biến
d/
( )
1 1 3 2
3
3
3 2
3 3 2
x
x
x
x
y
−
+
÷
= = =
÷
÷
÷
÷
−
−
là một hàm số đồng biến (
3 2 3+ >
)
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a.
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
b.
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
+
=
÷
+
c.
2
3
log
1
x
y
x
−
=
+
f.
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
+
=
÷
+
d.
2
1 2
2
1
log log 6
1
x
y x x
x
−
= − − −
+
e.
( )
2
2
1
lg 3 4
6
y x x
x x
= − + + +
− −
g.
1
log
2 3
x
y
x
−
=
−
Giải
Trang 9
a/
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
. Điều kiện :
1
2
1
1
log 0
1 2
1
1 0 0 1
1
1
1 1
1
1
1 1 1 1
0
0
1
1
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x x
x
x
−
−
≥
− −
≤
− ≤ ≤ → ≥ −
+
+
⇔ ⇔ ⇔
+ +
−
−
< − ∨ > < − ∨ >
>
>
+
+
Vậy D=
( )
1;+∞
b/
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
+
=
÷
+
. Điều kiện :
2
2
1 5
2
3
2 2
5
2
2
1
2
log log 0
0
3
3
1
1
1 5 14
3
0 log 1 0
3 3
1
0 5
3
1
3
0 5
3
x
x x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x
+
− −
≥
÷
≥
+
+
+
≥
+ − −
+
≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤
+ +
+
< ≤
> −
+
+
< ≤
+
( ) ( )
3 1 2
3; 2 2;7
3 2 7
x x
x
x x
− < < − ∨ >
⇔ ⇒ ∈ − − ∪
−∞ < < − ∨ − < <
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
81 25 .49
−
+
÷
b.
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
c.
7 7
3
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5
−
−
+
÷
d.
6 9
log 5 log 36
1 lg2
36 10 3
−
+ −
Giải
a/
( )
3
9
3
9
125 7 5 7
1 1
1 1
log 4
2log 2
4 log 4
log 8 log 2 2log 2
4 2
4 2
81 25 .49 3 5 7
−
−
÷
+ = +
÷
=
5
3 7
1
2 .3log 2
1 log 4 log 4
3
3
3 5 7 4 4 19
4
−
+ = + =
÷
÷
b/
( )
2 5
4
2 5
4
1
log 3 3log 5
2 1 log 5
log 3 6log 5
1 log 5
6
2
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+
+
+
+
+ = + = + =
c/
( )
7 7
5
7 7 5
1
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
−
−
− −
+ = + = + = +
÷
÷
4,5=22,5
d/
6 9 6
log 5 log 36 log 25
1 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30
−
+ − = + = + =
II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9 9 9
log 15 log 18 log 10A = + −
b.
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +
c.
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = −
d.
( )
1 3 2
4
log log 4.log 3D =
Giải
Trang 10
a/
3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A = + − = = = =
b/
2 4
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
= − + = = = − = −
÷
c/
36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C = − = + = =
d/
( ) ( ) ( )
1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D = = − = − = − = −
Bài 2. Hãy tính
a.
2 2
log 2sin log os
12 12
A c
π π
= +
÷
b.
( ) ( )
3
3 3 3 3
4 4
log 7 3 log 49 21 9B = − + + +
c.
10 10
log tan 4 log cot 4+
d. D
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x= = − +
Giải
a/
2 2 2 2 2
1
log 2sin log os log 2sin . os log sin log 1
12 12 12 12 6 2
A c c
π π π π π
= + = = = = −
÷ ÷
b/
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4
log 7 3 log 49 21 9 log 7 3 49 21 9 log 7 3 1B
= − + + + = − + + = − =
c/ C=
( )
10 10
log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 4 log1 0+ = = =
d/
4 5
3 2 4
4 4 4 4 4 4 4 4
2
1 1 6.3 3
log log 216 2log 10 4log 3 log 6 log 10 log 3 log
3 3 10 50
x x= − + = − + = ⇒ =
Bài 3. Hãy tính :
a.
( )
2 3 4 2011
1 1 1 1
2011!
log log log log
A x
x x x x
= + + + + =
b. Chứng minh :
•
( )
ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
•
( )
2
1
1 1 1
log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
Giải
a/
2 3 4 2011
1 1 1 1
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
log log log log
x x x x
A
x x x x
= + + + + = + + + =
log 2011!
x
=
. Nếu x=2011! Thì A=
( )
2011!
log 2011! 1=
b/ Chứng minh :
( )
ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
Vế trái :
( )
ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
a a
bx b x
bx VP dpcm
x
+
= = = ⇒
+
Chứng minh :
( )
2
1
1 1 1
log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
Trang 11
VT=
( )
( )
2
1
log log log 1 2 3 log
2log
k
x x x x
a
k k
a a a k a VP
x
+
+ + = + + + + = =
Bài 4. Tính :
a.
3
5
log
a
A a a a=
b.
2
3
5
log
a
B a a a a=
c.
5 3
3 2
1
4
log
a
a a a
a a
d.
0 0 0 0
log tan1 log tan 2 log tan3 log tan89+ + + +
e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A =
Giải
a/
1 1
3
3
5
2 5
1 1 37
log log 3
2 5 10
a a
A a a a a
+ +
= = = + + =
÷
b/
1
3
1
1 1
1 2
3
2
3
2 5
5
3
27 3
log log 1 1
10
10
a a
B a a a a a
+ + +
÷
÷
= = = + = +
÷
÷
÷
c/
3 2
1
5 3
3 2
5 3
1
1 1
4
2 4
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
a a
a
+ +
+
÷
= − = − − = −
÷
÷
÷
d/
0 0 0 0 0 0 0 0 0
log tan1 log tan 2 log tan3 log tan89 log tan1 tan89 .tan 2 .tan 87 tan 45 0
+ + + + = =
( vì :
0 0 0 0 0 0
tan89 cot1 tan1 tan89 tan1 cot1 1= ⇒ = =
; Tương tự suy ra kết quả
e/
3 4 5 15 16 16 15 5 4 3 16
1
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
A = = = = −
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b+ = > > > ± ≠
, thì :
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
b. Nếu 0<N
1≠
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo
thứ tự đó ) là :
( )
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−
c. Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
( )
2log .log
log 0 , , , , , 1
log log
a c
b
a c
x z
y x y z a b c
x z
= < ≠
+
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn :
2 2
7a b ab+ =
. Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b+ +
=
Giải
a/ Từ giả thiết :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 log log
a a
a c b c b c b c b c b= − = − + ⇒ = − + +
1 1
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
a a
− + + −
− +
⇔ = + ⇔ = +
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac=
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
Trang 12
1 1 1 1
2log log log
log log log log
N N N
b a c b
b a c
N N N N
⇔ = + ⇔ − = −
log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
− − −
⇔ = ⇔ =
−
. ( đpcm )
c/ Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng thì
log log 2log
x z y
a c b+ =
2log .log
1 1 2
log
log log log log log
a c
b
a c b a c
x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+
d/ Nếu :
( )
2
2
2 2
7 9
3
a b
a b ab a b ab ab
+
+ = ⇒ + = ⇔ =
÷
. Lấy lê be 2 vế ta có :
ln ln
2ln ln ln ln
3 3 2
a b a b a b
a b
+ + +
= + ⇔ =
÷ ÷
III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 1. Tính
a.
6
log 16A =
. Biết :
12
log 27 x=
b.
125
log 30B =
. Biết :
log3 ;log 2a b= =
c.
3
log 135C =
. Biết:
2 2
log 5 ;log 3a b= =
d.
6
log 35D =
. Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = =
e. Tính :
49
log 32
. Biết :
2
log 14 a=
Giải
a/
6
log 16A =
. Từ :
3
12 3 3
3 3
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
x x
x x
x x x
− −
= ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ =
+
(*)
Do đó :
4
3 3
6
3 3
log 2 4log 2
log 16
log 6 1 log 2
A = = =
+
. Thay từ (*) vào ta có : A=
( )
( )
2 3 .2
12 4
3 3
x x
x
x x x
−
−
=
+ +
c/ Từ :
3
2
3 3 3
2
log 5 3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
b b
+
= = = + = + = + =
d/ Ta có :
27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b= = ⇒ = = = → =
(*)
Suy ra :
( )
2 3 2
2 2 2
6
2 2 2
3 1
log 3.log 5 log 7
log 5.7 log 5 log 7 .3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
b a
b a b
D
b b
+
+
+ +
= = = = = =
+ + + +
e/ Ta có :
2 2 2
log 14 1 log 7 log 7 1a a a= ⇔ + = ⇒ = −
Vậy :
( )
5
2
49
2
2 2
log 2 5 5
log 32
log 7 2log 7 2 1a
= = =
−
Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a.
( ) ( )
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a= + + − −
b.
( )
( )
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x
+
= + +
c.
( )
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p= + + −
Giải
a/
( ) ( ) ( )
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a
b
+
= + + − − = − − =
÷
Trang 13
2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log
1
1 1 1 1 1
log log log 1 log log 1 log
a a a a a
a a a a a a
b a b b b
b ab b b b b
+ + +
− − = − − = −
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
+ +
log 1
1
1 log
log log
a
b
a a
b
a
b b
+
= − = =
b/
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x
x
B x x x x x x x x
+
= + + = + + + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3log log 8 log 9 log 3log 1x x x x x+ + + = + +
c/
( )
( )
2
2
log 1
log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a
a
a p a ap a a a
a a
p
p
C p a p p p p p
p p
+
= + + − = − =
÷
+
( )
( )
2
3
log 1
log
log log
log 1 log
a
a
a a
a a
p
p
p p
p p
+
= =
÷
+
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2
a a
b c= = −
:
a.
3 2
x a b c=
b.
4
3
3
a b
x
c
=
c.
2 2
4
4
3
a bc
x
ab c
=
Giải
a/ Ta có :
( )
3 2 3
1
log log 3 2log log 3 2.3 1 8 2
2
a a a a
x a b c b c= = + + = + − = =
b/Ta có :
( )
4
3
3
1 1 2 28
log log 4 log 3log 4 2 6 10
3 3 3 3
a a a a
a b
x c c
c
= = + − = + − + = − =
÷
÷
c/ Ta có :
2 2
4
4
3
1 1 1 3 1 161
log log 2 log 2log 4log log 2 4 12 1
4 3 2 4 3 12
a a a a a a
a bc
x b c b c
ab c
= = + + − − − = + − − − + =
÷
÷
Bài 4. Chứng minh
a.
( ) ( )
1
log 3 log 2 log log
2
a b a b− − = +
với :
2 2
3 0; 9 10a b a b ab> > + =
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
•
2 2
log log
a a
b c
c b
=
;
log .log .log 1
a b c
b c a =
• Trong ba số :
2 2 2
log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết :
( )
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab> > + = ⇔ − + = ⇔ − =
Ta lấy log 2 vế :
( ) ( ) ( )
1
2log 3 2log 2 log log log 3 log 2 log log
2
a b a b a b a b− = + + ⇔ − − = +
b/ Chứng minh :
2 2
log log
a a
b c
c b
=
.
* Thật vậy :
1 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
−
= = − ⇒ = − =
÷ ÷
*
log .log .log 1 log .log log 1
a b c a b a
b c a b a a= ⇔ = =
Trang 14
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
2 2 2
log log log log .log log 1
a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
= =
÷
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
• Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
• Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn
một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
• Ví dụ 1: so sánh hai số :
3 4
1
log 4 log
3
∨
. Ta có :
3 3 4 4 3 4
1 1
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
3 3
> = < = ⇒ >
• Ví dụ 2. So sánh :
6 6
log 1,1 log 0,99
3 7∨
. Ta có :
6 6 6 6 6 6
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1; 7 7 1 3 7> = < = ⇒ >
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a.
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
b.
5 3
3 4
3 2
log log
4 5
∨
c.
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
d.
3 2
log 2 log 3∨
e.
2 3
log 3 log 11∨
f.
2 1
2
2log 5 log 9
2 8
+
∨
g.
2 4
5
log 3 log
11
4 18
+
∨
h.
3 1
9
8
log 2 log
9
9 5
+
∨
k.
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
∨
÷
Giải
a/
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
. Ta có :
0,4 0,4
0,2 0,4
0,2 0,2
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2
0,3 1 log 0,3 log 1 0
> → < =
⇒ >
< → > =
b/
5 3
3 4
3 2
log log
4 5
∨
. Ta có :
5 5
3 3
3 5
4 3
3 3
4 4
5 3 3
1 0 1 log log 1 0
3 4 4
2 3
log log
3 2 2
5 4
0 1,0 1 log log 1 0
4 5 5
> → < < ↔ < =
⇒ >
< < < < ↔ > =
c/
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
. Ta có :
5 5
5
5
log 3 log 1
0
5 5
1
log
5 5
log 1
0
2
5 5
log 3 log 1 2 2 2 1
1
log 3 log
1
2
log log 1 3 3 3 1
2
> ⇒ > = =
⇒ >
< ⇒ < = =
d/
3 2
log 2 log 3∨
. Ta có :
3 3 3 3
2 3
2 2 2 2
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2
log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
< < ⇒ < <
⇒ >
< < → < <
e/
2 3
log 3 log 11∨
. Ta có :
2
3 2
3 3
1 log 3 2
log 11 log 3
log 11 log 9 2
< <
⇒ >
> =
f/
2 1
2
2log 5 log 9
2 8
+
∨
. Ta có :
2 1
2
2
25
2log 5 log 9
log
9
2 1 2 2 2
2
25 25
2log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2
9 9
+
+ = − = ⇒ = =
Trang 15
Nhưng :
2 1
2
2
2log 5 log 9
2
25 25 625 648
8 2 8
9 9 81 81
+
= = < = ⇒ <
g/
2 4
5
log 3 log
11
4 18
+
∨
. Ta có :
2
2 2
2 4 2 2
9 11
5
5 1 5
log
log 9 log
log 3 log 2log 3 log
5
11
11 2 11
9 11 81.11
4 2 2 2
5
5
−
+ −
= = = = =
Nhưng :
2 4
5
log 3 log
11
81.11 891 90
18 4 18
5 5 5
+
= > = ⇒ >
h/
3 1
9
8
log 2 log
9
9 5
+
∨
. Ta có :
3 1
3
3 3
3 9
9
8
2.3
8
8
log 2 log
log
log 2 log
2log 2 log
9
8
9
9
6 36 40
9 3 3 3 5
8 8
8
+
−
−
÷
= = = = = < =
k/
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
∨
÷
.
Ta có :
6
6
6
6 6 6
1
log 2 log 5
1
2
log
log 2 log 5 log 10
3
10
3
1 1 1
6 6 6 18
6 10 1000
−
− − −
= = = = = <
÷
Bài 2. Hãy so sánh :
a.
2 5
log 10 log 30∨
b.
3 7
log 5 log 4∨
c.
3
1
2ln 8 lne
e
∨ −
Giải
a/
2 5
log 10 log 30∨
. Ta có :
2 2
2 5
5 5
log 10 log 8 3
log 10 log 30
log 30 log 36 3
> =
⇒ >
< =
b/
3 7
log 5 log 4∨
. Ta có :
3 3
3 7
7 7
log 5 log 3 1
log 5 log 4
log 4 log 7 1
> =
⇒ >
< =
c/
3
1
2ln 8 lne
e
∨ −
. Ta có :
3
3
2ln 2.3 6
1
8 ln 2ln
1
8 ln 8 1 9
e
e
e
e
= =
⇒ − >
− = + =
Bài 3. Hãy chứng minh :
a.
1 3
2
1
log 3 log 2
2
+ < −
b.
5 5
log 7 log 4
4 7=
c.
3 7
log 7 log 3 2+ >
d.
2 2
log 5 log 3
3 5=
e.
1
log3 log19 log 2
2
+ ∨ −
f.
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
Giải
a/
1 3
2
1
log 3 log 2
2
+ < −
. Ta có :
( )
1 3
2
3
3
1 1 1
log 3 log 2 *
1
1
2
log
log
2
2
= ⇒ + ≥
Nhưng :
3 3 3
3 3
1 1 1 1 1
log 0 log 2 log 2
1 1
2 2 2
log log
2 2
< ⇒ − − > ⇔ + < −
b/
5 5
log 7 log 4
4 7=
. Ta có :
( )
5
5 7 5 7 5
log 7
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7= = =
. Vậy 2 số này bằng nhau
Trang 16
c/
3 7
log 7 log 3 2+ >
. Ta có :
3 3 7 3
3
1
log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
> ⇒ + = + >
d/
2 2
log 5 log 3
3 5=
. Ta có :
( )
2
5 2 52 2
log 5
log 3 log 5.log 3log 5 log 3
3 5 5 5= = =
e/
1
log3 log19 log 2
2
+ ∨ −
. Ta có :
1
log3 log 10 log3 log3 10 log 900
2
19 361
log19 log 2 log log
2 4
+ = + = =
− = =
361 1
log 900 log log3 log19 log 2
4 2
⇒ > ⇔ + > −
f/
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
. Ta có :
5 7 5 7 log5 log 7
5. 7 log log 5. 7
2 2 2
+ + +
≥ ⇒ ≥ =
Bài 4. Hãy so sánh :
a.
3 3
6 5
log log
5 6
∨
b.
1 1
3 3
log 9 log 17∨
c.
1 1
2 2
log loge
π
∨
d.
2 2
5 3
log log
2 2
∨
Giải
a/Ta có :
3 3
3 3
3 3
6 5
log log 0
6 5
5 5
log log
5 6
5 6
log log 0
6 6
> =
⇒ >
< =
. Hoặc :
3 3
6 5
6 5
log log
5 6
5 6
3 1
>
⇒ >
>
b/
1 1
3 3
log 9 log 17∨
. Ta có :
1 1
3 3
1
0 1
log 9 log 17
3
9 17
< <
⇒ >
<
c/
1 1
2 2
log loge
π
∨
. Ta có :
1 1
2 2
1
0 1
log log
2
e
e
π
π
< <
⇒ >
<
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
( )
2
2 2
x
y x x e= − +
b.
( )
2
sinx-cosx
x
y e=
c.
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
d.
( )
2
ln 1y x= +
e.
ln x
y
x
=
f.
( )
1 ln lny x x= +
Giải
a/
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 ' 2 2 2 2
x x x x
y x x e y x e x x e x e= − + ⇒ = − + − + =
b/
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
sinx-cosx ' cosx+sinx 2 sinx-cosx 3sin osx
x x x x
y e y e e x c e= ⇒ = + = −
c/
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
4
'
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
e e e e e e e e
e e
y y
e e
e e e e
− − − −
−
−
− −
+ + − − −
−
= ⇒ = =
+
+ +
Trang 17
d/
( )
2
2
2
ln 1 '
1
x
y x y
x
= + ⇒ =
+
e/
2 2
ln 1 1 1 ln
' . ln
x x
y y x x
x x x x
−
= ⇒ = − =
÷
f/
( )
ln 1 ln 1 2ln
1 ln ln '
x x x
y x x y
x x x
+ +
= + ⇒ = + =
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
(
)
2 2
ln 1y x x= +
b.
( )
2
2
log 1x x− +
c.
3 2
lny x=
d.
2
4
log
4
x
y
x
−
=
÷
+
e.
2
3
9
log
5
x
y
x
−
=
÷
+
f.
1
log
2
x
y
x
−
=
÷
÷
Giải
a/
(
)
(
)
( )
(
)
( )
2 3
2 2 2 2
2 2
ln 1 ' 2 .ln 1 2 .ln 1
2 1 2 1
x x x
y x x y x x x x
x x
= + ⇒ = + + = + +
+ +
b/
( )
( )
2
2
2
2 1
log 1 '
1 ln 2
x
y x x y
x x
−
= − + ⇒ =
− +
c/
( ) ( )
2 1
3 2
3 3
3
2 1 2
ln ' ln ' ln
3
3 ln
y x y x x
x
x x
−
= ⇒ = = =
d/
( )
( )
2
2
2
4 1 16 4 16
log ' :
4 ln 2 4
4 ln 2
4
x x
y y
x x
x
x
− −
= ⇒ = =
÷
÷
÷
+ +
−
+
e/
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
3
2
2
2 5 9
9 1 9 10 9
log ' :
5 ln3 5
5 9 ln3
5
x x x
x x x x
y y
x x
x x
x
+ − +
− − + +
= ⇒ = =
÷
+ +
+ −
+
f/
( ) ( )
( )
1 1
1 1 1
log ' :
ln10
2 16 2
8 ln10 1
x x
x x
y y
x x x x
x x
+ +
− −
= ⇒ = =
÷
÷
−
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
a.
( ) ( )
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
b.
( )
0
ln 3 1
lim
sin 2
x
x
x
→
+
c.
( )
0
ln 4 1
lim
x
x
x
→
+
d.
5 3 3
0
lim
2
x
x
e e
x
+
→
−
e.
0
1
lim
1 1
x
x
e
x
→
−
+ −
f.
( )
3
0
ln 1
lim
2
x
x
x
→
+
Giải
a/
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 2 1
lim lim lim 3 2 1
3 2
3 2
x x x
x x x x
x
x x
→ → →
+ − + + +
= − = − =
b/
( )
( )
0 0
ln 3 1
3
ln 3 1
3
3
lim lim
sin 2
sin 2 2
2
2
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
→ →
+
+
= =
, c/
( ) ( )
0 0
ln 4 1 ln 4 1
lim lim4 4
4
x x
x x
x x
→ →
+ +
= =
d/
( )
( )
5
5 3 3 3
3
0
0
1
5
lim lim 5
2 2. 5 2
x
x
x
x
e
e e e
e
x x
+
→
→
−
−
= =
, e/
( )
0 0
1 1
lim lim 1 1 1.2 2
1 1
x x
x x
e e
x
x
x
→ →
− −
= + + = =
+ −
Trang 18
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
a.
( )
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
→
+
b.
2 3
0
lim
5
x x
x
e e
x
→
−
c.
3
0
1
lim
x
x
e
x
→
−
d.
1
lim
x
x
xe x
→+∞
−
÷
e.
0
sin 3
lim
x
x
x
→
f.
2
0
1 os5
lim
x
c x
x
→
−
Giải
a/
( )
( )
0 0
ln 2 1
2
ln 2 1
2
lim lim 2
tan
tan
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
→ →
+
+
= =
b/
( )
2 3 2 3
0 0 0
1 1 2 3 1
lim lim lim3
5
5 5 3 5 5 5
.2
2
x x x x
x x x
e e e e
x x
x
→ → →
− − −
= − = − = −
c/
3 3
0 0
1 1
lim lim3 3
3
x x
x x
e e
x x
→ →
− −
= =
d/
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1
1
x
x x
x x x
e
xe x x e
x
→+∞ →+∞ →+∞
÷
−
− = − = =
÷
÷ ÷
÷
e/
0 0
sin 3 sin3
lim lim3 3
3
x x
x x
x x
→ →
= =
f/
2
2
2
0 0
5
2sin
1 os5 25
2
lim lim
2
4 5
25 2
x x
x
c x
x
x
→ →
−
= =
÷
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a.
2
0
osx os3
lim
sin
x
c c x
x
→
−
b.
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
−
÷
c.
( )
3
lim 2 sin
x
x
x
→+∞
+
d.
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
π
π
→
÷
−
÷
÷
−
÷
÷
Giải
a/
( )
2
2 2 2
0 0 0
2sin 2 sin
osx os3 4cos .sin
lim lim lim 4
sin sin sin
x x x
x x
c c x x x
x x x
→ → →
− −
−
= = =
b/
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
−
÷
.
Đặt :
1 1 1 1 ost
t anx= tan cot
2 2 osx 2 sin sint
cos
2
c
t x x t t t
c t
t
π π π
π
−
= − ⇒ = ⇔ − − − = − =
÷
−
÷
2
2sin
2
tan
t
2
2sin os
2 2
t
t
t
c
= =
. Khi
0
2
tan
1 2
2
; 0 lim t anx lim
2 os
2
t
x
t
x t
t
c x t
π
π
→
→
→ → ⇒ − = = ∞
÷
c/
( )
3
lim 2 sin
x
x
x
→+∞
+
. Đặt :
( )
( ) ( )
0
; 0
1 3
lim 2 sin lim 6 3 3
3 1
2 2 3 6 3
x t
x t
t x t
x t t
x x
x t
→+∞ →
→ +∞ →
= ⇒ ⇒ + = + =
+ = + = +
÷
Trang 19
d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
π
π
→
÷
−
÷
÷
−
÷
÷
. Đặt :
( )
; ; 0
4 4
2 2cos
2 1 ost+sint
2 2cos
4
4
sin sint
sin
4
x t x t
x t
t
c
x
t
x
π π
π
π
π
= + → →
− = ⇒
− +
÷
−
−
= =
−
÷
Do đó :
( )
2
t t t
2sin 2sin os sin os
2 1 ost+sint
2 2 2 2 2
2 2 2 tan 2
t t
sint 2
2sin os os
2 2 2
t t
c c
c
t
t
c c
+ +
−
= = = +
Vậy :
4
2 2cos
lim lim 2 tan 2 2
2
sin
4
t o
x
x t
x
π
π
→
→
÷
−
÷
= + =
÷
÷
−
÷
÷
Trang 20
