Luy thua - Mu - Logarit

GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
BÀI 1: LŨY THỪA
I. Lý thuyết.
1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với mọi
*
;a R n N∈ ∈
ta có:
+)
. ....
n
a a a a=
+) Với
0a
≠
:
0
1
; 1
n
n
a a
a
−
= =
+) Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Với mọi
*
; ; ,a b R m n Z∈ ∈
ta có:
( )

( )
.
. ; ; . ; ;
n
m n
n
m
m n m n m n m m m m n
n n
a a a
a a a a ab a b a a
b
a b
+ −
 
= = = = =
 ÷
 
Nếu
0 a b
< <
thì
0
n n
a b n< ∀ >
;
0
n n
a b n> ∀ <
Nếu

1a
>
và
m n>
thì
m n
a a>
(mũ càng lớn thì càng lớn).
Nếu
0 1a
< <
và
m n>
thì
m n
a a<
(mũ càng lớn thì càng nhỏ).
VD1: Tính giá trị của biểu thức sau:
( )
10 9
4
3 2 1
1 1
.27 0,2 .25 128 .
3 2
A
− −
−
− − −
   

= + +
 ÷  ÷
   
VD2: Rút gọn biểu thức:
( )
3
1 1 2
2
2 2 2
.
1
1
a a
B
a a
a
−
− − −
 
 
= −
 
−
+
 
 

( )
0; 1a a≠ ≠ ±
VD3: Hãy so sánh các cặp số sau đây:

a/
3
5
4
 
 ÷
 
và
3
6
5
 
 ÷
 
b/
2
8
9
−
 
 ÷
 
và
2
7
8
−
 
 ÷
 

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Với a là số thực dương và
; , ; 2
m
r m Z n N n
n
= ∈ ∈ ≥
ta định nghĩa:
m
n
r m
n
a a a= =
3. Lũy thừa với số mũ vô tỉ.
Với a là số thực dương và
α
là số vô tỉ, dãy số
( )
:
n n
r r
α
→
thì
lim
n
r
n
a a
α

→+∞
=
4. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Cho a, b là các số nguyên dương;
;
α β
là các số thực tùy ý. Khi đó:
+)
.a a a
α β α β
+
=
a
a
a
α
α β
β
−
=
+)
( )
.
a a
β
α α β
=
( )
. .a b a a
α

α β
=
a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
+) Nếu
1a
>
thì
a a
α β
α β
> ⇔ >
+) Nếu
0 1a
< <
thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
+) Nếu
0
α

>
thì
0a b a b
α α
> ⇔ > >
+) Nếu
0
α
<
thì
0a b a b
α α
> ⇔ < <
VD1: Rút gọn biểu thức:
a/
( )
( )
7 1 2 7
2 2
2 2
.
0
a a
A a
a
+ −
+
−
= >
b/

( )
( )
3 1
3 1
5 3 4 5
0
.
a
B a
a a
+
−
− −
= >
VD2: Rút gọn biểu thức:
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 1
GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
a/
( )
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
, 0;
x y x y
A y x x y x y
x y x y
− −

 
 
+ −
 ÷
= − − > ≠
 ÷
 ÷
 ÷
  ÷
− +
 
ĐS:
4
B
x y
=
+
b/
( )
( )
( )
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
2
, 0,
( )
x y x y x y
y

B x y x y
x y
x y x y
+ − +
= + > ≠
+
− +
ĐS:
1A =
II. Các dạng bài tập.
Bài toán1: Tính giá trị của biểu thức.
VD1: Thực hiện phép tính.
a/
6 2
5
32 27+
b/
4
3
3
6
27 9
9.3 3
c/
( ) ( )
3 3
3 3 3
9 6 4 3 2+ + −
d/
4

0,75
3
1 1
16 8
− −
   
+
 ÷  ÷
   
VD2: Thực hiện phép tính.
a/
9 6
7 5
7 5
8 : 64 3 . 81−
b/
( )
5
4
2
3
5
4
5 0,2
−
−
−
 
 
+

 ÷
 ÷
 
 
VD3: Thực hiện phép tính.
a/
3 2 1 2 4 2
4 .2 .2
+ − − −
b/
3 5
2 5 1 5
6
2 .3
+
+ +
c/
( )
1 2 2 2 1 2 2
25 5 .5
+ − −
−
d/
( )
2 4
1
2
3 3
3
0,001 2 .64 8

−
−
−
− −
e/
( )
1
2
3
2
3
3
27 2 3
8
−
−
 
− − + +
 ÷
 
f/
( )
1
4
0,25
3
0,5 625 8
−
− − −
VD4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a/
( ) ( )
(
)
( )
2
4 3
2
3 5
4
7
2 . 2 . 2
2
M =
b/
3 27 1 3
24 : 2 .3N
−
=
Bài toán2: Chứng minh đẳng thức.
VD1:Chứng minh các đẳng thức sau:
a/
4
6 20 1 5+ = +
b/
(
)
6 3 3
9 4 5 2 5 5 2 2+ + + − =
c/

3
4 2 3
1 3
10 6 3
+
= +
+
d/
3
9 5 3 3 1
9 5 3 3 1
− −
=
+ +
VD2: Chứng minh rằng:
a/
3 3
5 2 5 2 1+ − − =
b/
3 3
5 2 7 5 2 7 2+ − − =
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 2
GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
c/
4 2 3 4 2 3 2+ − − =
d/
3 3
9 80 9 80 3+ + − =
VD3: Cho
4 10 2 5a = + +

;
4 10 2 5b = − +
. Tính
a b+
ĐS:
1 5a b+ = +
VD3: Chứng minh rằng:
( ) ( )
4 4
4 4
1
a b a b
a b
a b
+ +
=
−
−
VD4: Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng?
a)
4 2 2
9 3x y x y=
b)
+ = − −
2
(5 2 ) 5 2a a
c)
6 9 2 3
3
27 3a b a b=

.
VD5: Có thể viết
− = − = −
1/3
3
( 27) 27 3
được không?
Bài toán3: Rút gọn biểu thức.
VD1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/
2 1
2
1
.A a
a
−
 
=
 ÷
 
b/
2 4
4
. :B x x x
π π
=
c/
2
1 1
2 2

1 2 :
b b
C a b
a a
 
 
= − + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
d/
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
D
a a b b
−
−
− −
= −
− +
e/
( ) ( )
( )
1
2 3 4 3 3

1
2 3 3 3 3
1a a a
E
a a a
−
−
− −
=
+ +
f/
2 2
2
1 ( )
( ) 2
a
a
b
F
a b ab
−
 
−
 
 
=
− +
VD2: Đơn giản các biểu thức sau:
a/
5

3
3
12
:A a a a a a=
b/
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3 3
;( 0; 1; )
2
2 3
a a a a
Q a a a
a a a a
− −
− −
 
− − +
 
= + > ≠ ≠
 
− −
 
VD3: Tính giá trị các biểu thức sau:
1
5 1
3 7 1 1
2

3 32 4 4 2
3 .5 : 2 : 16: (5 .2 .3A
−
 
   
 
=
 
   
 
   
 
2
3 3
3
3
2 2
2
2
3
B= :
( )
a b a a b
a a b b
a ab
−
+ −
−
−
; vơ

́
i
6
5
a =
va
̀

3
5
b =
3
2
3 1
2 1
32 2
C ( ) ( )a b ab a
−
− −
− −
 
=
 
 
; vơ
́
i
2
2
a =

va
̀

3
1
2
b =
VD4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/.
1
2 2
2
1 1 1 1 3
2 2 2 2 2
1 2
0
a a a
a
a a a a a
− −
− −
− −
− + + =
− +
b/.
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + + = +
VD5: Trục căn thức ở mẫu:
a/
1

3 2 2 3−
b/
1
2 3 5+ +
c/
3
3
1
3 2−
d/
3
1
2 3−
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 3
GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài toán4: So sánh các biểu thức.
PP: +) Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ.
+) Đưa về cùng số mũ và so sánh cơ số.
+) So sánh với cùng một số trung gian.
VD1: So sánh
a/
3
1
3
−
 
 ÷
 
và
2

1
3
−
 
 ÷
 
b/
5
3
−
và
7
3
−
c/
( )
7
4
3 1−
và
( )
2
2
3 1−
d/
2
3
2
−
 

 ÷
 ÷
 
và
2
1
2
−
 
 ÷
 
VD2: So sánh
a/
1 2
1
4
− +
 
 ÷
 
và
2 3
8
−
b/
( )
3 2
3 2
−
−

và
2 1
1
3 2
−
 
 ÷
+
 
PP: Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ
VD3: So sánh.
a/
3
3
và
4
4
b/
3 2
và
2 3
c/
3
2 3
và
3
3 2
PP: Đưa về cùng căn thức cùng bậc và so sánh biểu thức trong căn.
VD4: So sánh.
a/

3
3 30+
và
3
63
b/
3
7 15+
và
3
28 10+
PP: So sánh trung gian.
VD5: So sánh:
a/
11
31
và
14
17
b/
10000
2
và
3000
10
VD6: Tìm x thỏa mãn từng điều kiện sau:
a/
2 8
x
≤

b/
3 1
3 1
x−
≥
c/
2 2 1
1 1
3 3
x x+ −
   
<
 ÷  ÷
   
d/
1
2 .3 3 36 6
x x+
>

BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
I. Lý thuyết.
1. Khái niệm về hàm số lũy thừa.
Hàm số
;y x R
α
α
= ∈
được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định:

+) Nếu
α
nguyên dương thì TXĐ là R.
+) Nếu
α
nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ là
{ }
\ 0R
+) Với
α
không nguyên thì TXĐ là
( )
0;+∞
VD: Tìm TXĐ của hàm số
a/
( )
2
2
4y x
−
= −
b/
( )
1
3
1 2y x= −
c/
( )
1
2

2
5
1y x x
−
= + −
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa.
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 4
GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
( )
1
' .x x
α α
α
−
=
( )
1
' . . 'u u u
α α
α
−
=
4. Khảo sát hàm số lũy thừa.
( )
0y x
α
α
= >
( )
0y x

α
α
= <
Tập khảo sát:
( )
0;+∞
Sự biến thiên:
1
' . 0 0y x x
α
α
−
= > ∀ >
nên hàm số đồng
biến trên
( )
0;+∞
.
Giới hạn đặc biệt:
0
lim 0; lim
x
x
x x
α α
+
→+∞
→
= = +∞
Tiệm cận: không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:
x
0

+∞
'y
+
y

+∞
0
Tập khảo sát:
( )
0;+∞
Sự biến thiên:
1
' . 0 0y x x
α
α
−
= < ∀ >
nên hàm số
nghịch biến trên
( )
0;+∞
Giới hạn đặc biệt:
0
lim ; lim 0
x
x

x x
α α
+
→+∞
→
= +∞ =
Tiệm cận:
0x
=
là tiệm cận đứng,
0y =
là tiệm cận
ngang.
Bảng biến thiên:
x
0

+∞
'y
-
y
+∞

0

5. Đồ thị.
Nhận xét : Đồ thị hàm số lũy thừa
y x
α
=

luôn đi qua điểm
( )
1;1
Chú ý: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lũy thừa với số mũ
cụ thể phải xét trên tập xác định của hàm số đó.
II. Các dạng bài tập.
Bài toán1: Tìm TX Đ của hàm số.
VD1: Tìm TX Đ của các hàm số sau:
a/
( )
3
2
2y x x
−
= + +
b/
3
2
3 4y x x= − −
c/
2
4 3 1y x x= − −
d/
( )
1
2
3
2 5 2y x x= − +
e/
( ) ( )

3 2
2 3 2y x x
−
= − + −
f/
( )
1
3
5
8y x
−
= −
VD2: Tìm TX Đ của các hàm số sau:
a/
( )
2
3
3y x x= −
b/
( )
1
2
3
6y x x
−
= + −
c/
( )
1 2y x x
π

−
= + + −
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 5
1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
1
α
>
0 1
α
< <
0
α
<
1
α
=
0
α
=