Chuyên đề ôn thi hình học không gian 2015

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

1

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A. LÝ THUYẾT

I. HÌNH HỌC PHNG
1/ Cc h thc lưng trong tam gic vuông

Cho
ABC
vuông ti A, AH l đưng cao, AM l đưng trung tuyn. Ta c:









2/ Cc h thc lưng trong tam gic thưng

a) Đnh l hm s cosin

b) Đnh l hm s sin







c) Công thc tnh din tch ca tam gic










A
C
B
R
2
sin sin sin
a b c
R
A B C

(R l bn knh đưng trn ngoi tip ABC)
b
c
a
A
B
C
b
c
a
p
– na chu vi
r
– bn knh đưng trn ni
tip

1 1 1
. . .
2 2 2
ABC a b c
S a h b h c h


1 1 1
sin sin sin
2 2 2
ABC
S ab C bc A ac B


,.
4
ABC ABC
abc
S S p r
R


,
2
ABC
a b c
S p p a p b p c p

A
B
C
b
c
a



2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 2 2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
a c b
b a c ac B B
ac
a b c
c a b ab C C
ab

A
B
C
H
M


2 2 2
BC AB AC Pitago


AH BC AB AC



22
. , .AB BH BC AC CH CB



2
2 2 2
1 1 1
,.AH HB HC
AH AB AC


2
BC
AM

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

2


d) Công thc tnh đ di đưng trung tuyn ca tam gic


2 2 2
2
24
AB AC BC

AM
.

2 2 2
2
24
BA BC AC
BN
.


2 2 2
2
24
CA CB AB
CK
.
3/ Đnh l Talet









4/ Din tch ca đa gic

a/ Din tch tam gic vuông

 Din tch tam gic vuông bng ½ tch 2 cnh
gc vuông.







b/ Din tch tam gic đu
 Din tch tam gic đu:

. 3
4
S

 Chiu cao tam gic đu:

. 3
2
h




c/ Din tch hnh vuông v hnh ch nht

 Din tch hnh vuông bng cnh bnh phương.

 Đưng cho hnh vuông bng cnh nhân
2
.
 Din tch hnh ch nht bng di nhân rng.


A
B
C
N
K
M


2
2
//
AMN
ABC
AM AN MN
MN BC k
AB AC BC
S
AM
k
S AB


(T din tch bng t bnh phương đng dng)
A

B
C
N
M

A
C
B
1
.
2
ABC
S AB AC

A
B
C
a

h

2
3
4
3
2
ABC
a
S
a

h

A
B
C
D
a

O
2
2
HV
Sa
AC BD a

(cnh)
2

đu
(cnh)
đu
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

3


d/ Din tch hnh thang

 Din tch hnh thang:
S

Hnh Thang
1
2
.(đy ln + đy b) x chiu cao



e/ Din tch t gic c hai đưng cho
vuông gc

 Din tch t gic c hai đưng cho vuông
gc nhau bng ½ tch hai đưng cho.
 Hnh thoi c hai đưng cho vuông gc nhau
ti trung đim ca mi đưng.



Lưu : Trong tnh ton din tch, ta c th chia đa gic thnh nhng hnh đơn gin
d tnh din tch, sau đ cng cc din tch đưc chia ny, ta đưc din tch
đa gic.


II. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Quan H Song Song
a/ Chng minh đưng thng
// ()d mp
vi
()d

 Chng minh:

// 'dd
v
' ( )d

 Chng minh:
()d
v
// ()

b/ Chng minh
// ()mp mp

 Chng minh
()mp
cha hai đưng thng ct nhau song song vi
mp
.
 Chng minh
()mp
v
mp
cng song song vi 1 mt phng hoc cng vuông gc vi 1 đưng
thng.
c/ Chng minh hai đưng thng song song: p dng mt trong cc đnh l sau
 Hai
( ),mp
c đim chung S v ln lưt cha 2 đưng thng song song
,ab
th
// // () Sx a b

.

//
//
()
()
a mp
ba
a mp
.

2. Quan H Vuông Góc
a/ Chng minh đưng thng
d mp

 Chng minh
d
vuông gc vi hai đưng thng ct nhau cha trong
()mp
.
A
B
H
C
D
.
2
AD BC AH
S

A
B
D
C
.
1
.
2
H Thoi
S AC BD

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

4
 Chng minh:
// '
'
dd
d mp
d mp

 Chng minh:
//
d mp
mp mp
d mp

 Hai mt phng ct nhau cng vuông gc vi mt phng th 3 th giao tuyn ca chng vuông gc vi
mt phng th 3:
P

P d P
d

b/ Chng minh đưng thng
'dd

 Chng minh
d
v
'd
.
 S dng đnh l ba đưng vuông gc.
 Chng t gc gia
d
v
'd
bng
0
90
.
c/ Chng minh
mp mp

 Chng minh
d
mp mp
d
(chng minh mp cha 1 đưng thng vuông gc vi
mp kia)
 Chng t gc gia hai mt phng bng

0
90
.


3/ Gc V Khoảng Cch.

a/ Gc gia hai đưng thng

 L gc to bi hai đưng thng ct nhau ln lưt v cng phương
vi hai đưng thng đ:

//
//
'
( , ) ( ', ')
'
aa
a b a b
bb


b/ Gc gia đưng thng
d
v mt phng
mp

 L gc to bi đưng thng đ v hnh chiu ca n trên mt phng.
, ( , ')d d d

(vi
'd
l hnh chiu vuông gc ca
d
lên
()mp
).







d

'd



a

b

'a

'b

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

5
c/ Gc gia hai
mp
v
mp

 L gc c đnh nm trên giao tuyn
u
,
2 cnh ca hai gc ln lưt nm trên
2 mt phng v cng vuông gc vi giao tuyn.
( ); ( , )ab


d/ Khoảng cch t mt đim đn mt đưng thng:


 L đ di đon vuông gc v t đim đ đn đưng thng
,d M MH


e/ Khoảng cch gia hai đưng thng song song:

 L khong cch t mt đim trên đưng thng (mt phng)
ny đn đưng thng (mt phng) kia.


f/ Khoảng cch gia mt đưng thng v mt mt phng song song

 L khong cch t mt đim trên đưng thng đn mt phng.

g/ Khoảng cch gia hai đưng thng cho nhau

 L đ di đon vuông gc chung ca 2 đưng thng đ.
 L khong cch MH t mt đim M trên
d
đn
mp

cha
'd
v song song vi
d
.
 L khong cch gia hai mt phng song song
,

ln lưt cha
d
v
'd
.




a

b

u

M
d

'd

M
M


H

M
d

'd

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

6

S

A

B

C

H

O

A

B

C

D

S

O

H

4/ Hinh Chp Đu
a/ Đnh ngha.

Mt hnh chp đưc gi l hnh chp đu nu c đy l mt đa gic đu v c chân đưng cao

trng vi tâm ca đa gic đy.

Nhn xt:

 Hnh chp đu c cc mt bên l nhng tam gic cân bng nhau. Cc mt bên to vi đy cc
gc bng nhau.
 Cc cnh bên ca hnh chp đu to vi mt đy cc gc bng nhau.

b/ Hai hnh chp đu thưng gp

* Hnh chp tam gic đu: Cho hnh chp tam gic đu
.S ABC
. Khi đ:

 Đy
ABC
l tam gic đu.
 Cc mt bên l cc tam gic cân ti
S
.
 Chiu cao:
SO
.
 Gc gia cnh bên v mt đy:
SAO SBO SCO
.
 Gc gia mt bên v mt đy:
SHO
.
 Tnh cht:

2 1 3
,,
3 3 2
AB
AO AH OH AH AH
.
 Lưu : Hnh chp tam gic đu khc vi t din đu.
+ T din đu c cc mt l cc tam gic đu.
+ T din đu l hnh chp tam gic đu c cnh bên bng cnh đy.


* Hnh chp t gic đu: Cho hnh chp tam gic đu
.S ABCD
.

 Đy
ABCD
l hnh vuông.
 Cc mt bên l cc tam gic cân ti
S
.
 Chiu cao:
SO
.
 Gc gia cnh bên v mt đy:
SAO SBO SCO SDO
.
 Gc gia mt bên v mt đy:
SHO

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

7
A

B

5/ Xc Đnh Đưng Cao Hnh Chp

a/ Hnh chp c mt cnh bên vuông gc vi
đy:
Chiu cao ca hnh chp l đ di cnh bên
vuông gc vi đy.

V d: Hnh chp
.S ABC
c cnh bên
SA ABC
th chiu cao l
SA
.

b/ Hnh chp c mt mt bên vuông gc vi mt
đy:
Chiu cao ca hnh chp l chiu cao ca tam
gic cha trong mt bên vuông gc vi đy.
V d: Hnh chp

.S ABCD
c mt bên
SAB

vuông gc vi mt đy
ABCD
th
chiu cao ca hnh chp l chiu cao
ca
SAB
.

c/ Hnh chp c hai mt bên vuông gc vi đy:
Chiu cao ca hnh chp l giao tuyn ca hai
mt bên cng vuông gc vi đy.
V d: Hnh chp
.S ABCD
c hai mt bên
SAB
v
SAD
cng vuông gc vi
mt đy
ABCD
th chiu cao l
SA
.

d/ Hnh chp đu:
Chiu cao ca hnh chp l đon thng ni đnh

v tâm ca đy.
V d: Hnh chp t gic đu
.S ABCD
c
tâm mt phng đy l giao đim ca
hai đưng cho hnh vuông
ABCD
th
c đưng cao l
SO
.

6/ Th Tch Khối Đa Din




1/ Th tch khối chp:
1
.
3
V B h


:B
Din tch mt đy.

:h
Chiu cao ca khi chp.

2/ Th tch khối lăng tr:
.V B h


:B
Din tch mt đy.

:h
Chiu cao ca khi chp.

Lưu : Lăng tr đng c chiu cao cng l
cnh bên.






C
D
S
O
C
A

B
B’
A’
C’
A
B
C
A’
B’
C’
a
b
c
a
a
a
S
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

8
3/ Th tch hnh hp ch nht:
V a b c


Th tch khối lp phương:
3
Va

4/ T số th tch:
. ' ' '
.
' ' '

S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC


5/ Hnh chp ct A’B’C’.ABC
''
3
h
V B B BB

Vi
, ',B B h
l din tch hai đy v chiu
cao.




B. BÀI TẬP MẪU

Th d 1. Cho hình chóp
.S ABC
c đy là tam gic vuông tại
0
, 30 ,B BAC SA AC a
và
SA
vuông góc
với
mp ABC
.Tính th tích khi chp
.S ABC
và khoảng cch
Bi giải tham khảo
Tnh th tch khi chp
.S ABC
.
* Ta c:

.
1
. . 1
3
S ABC ABC
V S SA

* Trong đ:
2SA a

* Tm

ABC
S
?
Trong
ABC
vuông ti
B
, ta c:
0
0
0
0
.sin 30
sin 30
2
3
cos 30
.cos 30
2
a
BC
BC AC
AC
AB
a
AB AC
AC


2

1 1 3 3
. . . 3
2 2 2 2 8
ABC
a a a
S AB BC

* Thay
2 , 3
vo
23
.
1 3 3
1.
3 8 24
S ABC
aa
Va
(đvtt)
4

S
A
C
B
30
0
a
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

9
Tnh khong cch t
A
đn
mp SBC
.
* Ta c:

.
.
3.
1
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
V d A SBC S d A SBC
S

* Tm
SBC
?
Ta c:
BC AB
BC mp SAB BC SB SBC
BC SA
vuông ti
B

.
22
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2
SBC
aa
S BC BS AC AB SA AB a a


2
1 7 7
6
2 2 2 8
a a a

* Th
4 , 6
vo
5
3
2
3 8 21
,3
24 7
7
aa
d A SBC
a

.

Th d 2. Cho hình chóp
.S ABCD
c đy
ABCD
là hnh chữ nhật c
,2AB a BC a
.
Hai
mp SAB
và
mp SAD
cng vuông gc với mt phng đy, cạnh
SC
hợp với đy
một gc
0
60
. Tính th tích khi chp
.S ABCD
theo
a
.

Bi giải tham khảo


( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
.
Hnh chiu ca
SC
lên
mp ABCD
l
AC
.
0
, 60SC ABCD SCA
.
S
A
D
B
C
60
0
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

10
 M:

.
1
.1

3
S ABCD ACBD
V SAS
.




 Tm
?SA

Trong
SAC
vuông ti
A
:
tan .tan
SA
SCA SA AC SCA
AC

2 2 0 2 2
.tan 60 (2 ) . 3 15 2AB BC a a a
.
 Ta li c:

2
. .2 2 3
ABCD
S AB BC a a a

.
 Thay
2 , 3
vo
3
2
1 2 15
1 15 2
33
ABCD
a
V a a
(đvtt).

Th d 3. Hình chóp
.S ABC
có
2BC a
, đy
ABC
là tam gic vuông tại
,C SAB
là tam giác
vuông cân tại
S
và nằm trong mt phng vuông gc với mt đy. Gọi
I
là trung đim
cạnh
AB

.
a/ Chng minh rằng, đường thng
SI mp ABC
.
b/ Biết
mp SAC
hợp với
mp ABC
một gc
0
60
. Tính th tích khi chp
.S ABC
.
Bi giải tham khảo
a/ CM:
SI mp ABC

 Do
SAB
vuông cân ti c
SI
l trung tuyn
SI
cng
đng thi l đưng cao
SI AB
.
 Ta c:
( ) ( )

( ) ( )
()
SAB ABC
AB SAB ABC SI mp ABC
AB SI SAB

(đpcm)
b/ Tnh th tch khi chp
.S ABC


 Gi
K
l trung đim ca đon
AC
.
SK
va l trung tuyn va l đưng cao trong
SAC SK AC
.
 Trong
ABC
vuông ti
C
c
KI
l đưng trung bnh.
//KI BC
KI AC
BC AC

.
S
A
B
C
I
K
60
0
2a
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

11
 Mt khc:
0
( ) ( ) { }
( ) ; 60
()
mp ABC mp SAC AC
KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC
.
 M:

.
1
.1
3
S ABC ABC
V S SI

 Tm
?SI

Trong
SKI
vuông ti
I
, ta c:

0
1
tan .tan . .tan 60 3 2
2
SI
SKI SI IK SKI BC a
IK
.
 Tm
ABC
S
?
2
2 2 2
1 1 1
. . . . . . 2
2 2 2
ABC
S BC AC BC AB BC BC SI BC

2
2
2
1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2
a a a a
.
Th
2 , 3
vo
3
2
.
1 2 6
1 .2 2. 3
33
S ABC
a
V a a

Th d 4. Cho hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
c đy
ABC
là tam gic đu cạnh bằng
a
. Hình
chiếu vuông gc của

'A
xung
mp ABC
là trung đim của
AB
. Mt
bên
''AA C C
tạo với đy một gc bằng
45
. Tính th tích của khi lăng trụ này.

Bi giải tham khảo
 Gi
,,H M I
ln lưt l trung đim ca cc đon
thng
,,AB AC AM
.


. ' ' '
. . ' 1
ABC A B C ABC
V B h S A H

 Do
ABC
đu nên:

22
. 3 3
2
44
ABC
BC a
S
.
 Tm
'AH
?
Do
IH
l đưng trung bnh trong đu
AMB
,
đng thi
BM
l trung tuyn nên cng l đưng
cao.
Do đ:
// IH MB
IH AC
MB AC
v
'
''
AC A H
AC A HI AC A I
AC IH

A’
B’
C’
A
B
C
M
I
H
a

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

12
M:
0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC IH ABC ACC A ABC A IH
AC A I ACC A
.
Trong
'A HI
vuông ti
H
, ta c:
o

0
' 1 3
tan45 ' .tan45 3
24
A H a
A H IH IH MB
HI
.
 Thay
2 , 3
vo
23
. ' ' '
3 3 3
1.
4 4 16
ABC A B C
a a a
V
.
Th d 5. Cho hnh lăng trụ đng
. ' ' 'ABC A B C
c đy
ABC
là tam giác vuông
tại
0
, , 60A AC a ACB
. Đường chéo

'BC
của mt bên
''BC C C
tạo với mt
phng
''mp AA C C
một gc
0
30
. Tính th tích của khi lăng trụ theo
a
.

Bi giải tham khảo

 Ta có:
()
AB AC
AB ACC A
AB AA
. Do đ
AC
l hnh chiu
vuông gc ca
BC
lên
()ACC A
.
T đ, gc gia
BC

và
()ACC A
là
0
30BC A
.
 Trong tam giác vuông
ABC
:
0
.tan60 3AB AC a
.
 Trong tam giác vuông
'ABC
:
0
.cot30 3. 3 3AC AB a a
.
 Trong tam giác vuông
'ACC
:
2 2 2 2
' ' (3 ) 2 2CC AC AC a a a
.
 Vy, th tch lăng tr l:
3
11
. . . ' . 3. .2 2 6
22
V B h AB AC CC a a a a

(đvdt).

Th d 6. Cho hnh chp đu
.S ABCD
c cạnh đy
2a
, gc giữa mt bên và mt đy bằng
0
60
.
Tính th tích của hnh chp
.S ABCD
.

Bi giải tham khảo

Tnh th tch khi chp
.S ABCD

 Gi
O
l tâm ca mt đy th
SO mp ABCD

nên
SO
l đưng cao ca hnh chp v gi
M
là
trung đim đon

CD
.
B’
A
C
B’
A’
C’
a
60
0
30
o
S
A
B
C
D
O
2a
M
60
0
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

13
 Ta c:
0
()
( ) 60

( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD

(góc gia mt
()SCD
v mt đy)
 Ta c:

.
1
.1
3
S ABCD ABCD
V S SO

 Tm
?SO

Trong
SMO
vuông ti
O
, ta c:
tan
SO
SMO
OM

0
.tan . tan 60 3 2
2
BC
SO OM SMO a
.
 Mt khc:

2
22
2 4 3
ABCD
S BC a a
.
 Th
2 , 3
vo
3
2
1 4 3
1 .4 . 3
33
ABCD
a
V a a
(đvtt).
C. BÀI TẬP
Bài 1. (Trch đ thi tuyn sinh Cao đng khối A,B,D – 2011)
Cho hnh chp

.S ABC
c đy
ABC
l tam gic vuông cân ti
,,B AB a SA ABC
,
gc gia
mp SBC
v
mp ABC
bng
0
30
. Gi
M
l trung đim ca cnh
SC
. Tnh th
tch khi chp
.S ABM
theo
a
.
HD: Cm :
BC SAB
, K
// MN BC
,

1

3
S ABM M SAB SAB
V V S MN

ĐS:
3

3
2
36
S ABM M SAB
a
VV


Bài 2. (Trch đ thi tuyn sinh Đi hc khối A – 2007)

Cho hnh chp
.S ABCD
đy l hnh vuông
ABCD
cnh
a
, mt bên
SAD
l tam gic đu
v nm trong mt phng vuông gc vi đy
ABCD

. Gi
,,M N P
ln lưt l trung đim
ca
,,SB BC CD
. Tnh th tch khi t din
CMNP
.
HD: Gi
H
l trung đim
ca
AD
th
SH AD

SH ABCD

// MK SH K HB

MK ABCD

1

3
CMNP CNP
V S MK
23
1 3 . 3

3 8 4 96
a a a


S
H
A
D
C
B
M
N
P
K
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

14






hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

15

Bài 3. (Trch đ thi tuyn sinh Đi hc khối B –
2006)
Cho hnh chp

.S ABCD
c đy
ABCD
l hnh ch nht
vi
, 2,AB a AD a SA a
v
SA
vuông gc vi
mt phng đy. Gi
,MN
ln lưt l trung đim
ca
,AD SC
v
I
l giao đim ca
BM
v
AC
. Tnh th
tch khi t din
ANIB
.

HD: Gi
O
l tâm ca ca đy
ABCD
.

 Trong
SAC
, ta c
NO
l đưng trung bnh nên:
// NO SA
NO ABCD
SA ABCD


.
1

3
ANIB N AIB AIB
V V S NO

 Tm
?
AIB
S

Do
I
l trng tâm
ABD
nên
2 2 2 2
2
2 2 2

2 2 3
.
3 3 2 3 3 3 3
2 2 2 6
. . .
3 3 3 2 3
AC AC AD DC AD AB a
AI AO
AD a
BI BM AB AM AB



22
2 2 2 2
36
33
aa
AB a AI BI AIB
vuông ti I
23
.
1 2 2

3 6 2 36
N AIB
a a a
V

Bài 4. (Trch đ thi tuyn sinh Đi hc khối B – 2009)

Cho lăng tr tam gic
. ' ' 'ABC A B C
c
'BB a
, gc gia đưng thng
'BB
v
mp ABC
bng
0
60
, tam gic
ABC
vuông ti
C
v gc
0
60BAC
. Hnh chiu
vuông gc ca đim
'B
lên
mp ABC
trng vi trng tâm ca
ABC
. Tnh th tch
ca khi t din
'A ABC
theo
a

.
HD:
Gi
,MN
l trung đim ca
,AB AC
. Khi đ,
G
l trng tâm ca
ABC
.
Do hnh chiu đim
'B
lên
mp ABC
l
G
nên
'B G ABC

0
; ' 60BB ABC B BG
.
Ta c:

'
11
. . ' . . . ' 1
36
A ABC ABC

V S B G AC BC B G
.
A
B
C
D
M
I
S
A
D
C
B
M
N
I
O
A’
B’
C’
A
B
C
G
N
M
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

16

Tm
'BG
?
Trong
'B BG
vuông ti
G
v c
0
' 60B BG
nên n l na tam gic đu cnh l
'BB a


3
; ' 2
22
a
a
BG B G
.
 Tm
,AB BC
?
Đt
2AB x
. Trong
ABC
vuông ti

C
c
0
60BAC
nên n
cng l na tam gic đu vi đưng cao l
BC
.
,3
2
AB
AC x BC x

Do
G
l trng tâm
ABC
33
24
a
BN BG
.
Trong
BNC
vuông ti
C
:
2 2 2
BN NC BC

2 2 2
22
3
9 9 3
2 13
33
16 4 52
33
2 13
2 13
a
AC
a x a a
x x x
a
BC

 Th
2 , 3
vo
3
'
1 3 3 3 3 9
1 . . .
6 2 108
2 13 2 13
A ABC
a a a a
V

Bài 5: Cho khi chp S.ABC c đy l tam gic vuông  A, AB =a, AC =2a. Đnh S cch đu
A,B,C, mt bên (SAB) hp vi mt đy (ABC) gc 60
0
. Tnh th tch khi chp S.ABC.
HD:







Bài 6: Cho khi lăng tr ABC.A’B’C’ c đy l tam gic đu cnh bng a, cnh bên bng
3a
và
hnh chiu ( vuông gc ) ca A’ lên (ABC) trng vi trung đim ca BC . Tnh th tch khi lăng
tr ,t đ suy ra th tch ca khi chp A’. ABC
HD:
60
0
B

A

C

N

M

G

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

17


Bài 7: Cho hnh lăng tr đng ABC.A’B’C’ c đy l mt tam gic vuông ti A, AC = b,
0
60ACB 
. Đưng cho BC’ ca mt bên BB’C’C to vi mt phng ( AA’C’C) mt gc 30
0
.
a) Chng minh tam gic
'ABC
vuông ti A
b) Tnh đ di đon AC’
c) Tnh th tch ca khi lăng tr ABC.A’B’C’ t đ suy ra th tch ca khi chp C’.ABC
HD:

Bài 8: (Trch đ thi tuyn sinh Đi hc khối A – 2006)

Cho hnh lp phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
c cnh bng 1. Gi
,MN
ln lưt l trung đim
ca
AB
v
CD
. Tnh khong cch gia hai đưng thng
'AC
v
MN
.
HD: PP ta đ ĐS:
2
,'
4
d MN AC

Bi 9. Cho hnh chp
.S ABC
c đy
ABC
l tam gic vuông ti
,B SA mp ABC
. Bit rng:
,AB a

2AC a
, gc gia hai mt phng
SBC
v
ABC
bng
0
60
. Tnh th tch khi
chp
.S ABC
theo
a
.
ĐS:
3
2
a
V
.
Bi 10. Cho hnh chp
.S ABC
c đy
ABC
l tam gic vuông cân ti
,B SA ABC
. Cho
2AC a
,

3SB a
. Tnh th tch ca khi chp
.S ABC
.
ĐS:
3
2
3
a
V