chuyên đề toán lũy thừa toán lớp 6

Sáng kiến kinh nghiệm
III. Nội dung:
1, Cơ sở lý thuyết:
Các công thức cơ bản về luỹ thừa: ( với n, m

N ; x, y

R; x,y

0 )
1, x
n
= x.xx ( n thừa số x)
2, x
n
. x
m
= x
n + m

3, x
n
: x
m
= x
n - m
(n >m )
4, (x
n
)
m

= x
n . m

5, (x . y)
n
= x
n
. y
n

6, (x : y)
n
= x
n
: y
n
* Qui ớc: x
o
=1 ; x
1
= x
2. Nội dung cụ thể của đề tài:
A. Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Số 1: Viết kết quả dới dạng một luỹ thừa
a, 4
20
. 8
10
d, (0,125)

3
. 512
b, 4
13
. 5
26
e, 9
20
: (0,375)
40
c, 27
15
: 9
10
Giải:
a, 4
20
. 8
10
= (2
2
)
20
. (2
3
)
10
= 2
40
. 2

30
= 2
70

b, 4
13
. 5
26
= 4
13
. (5
2
)
13
= (4 . 25)
13
= 100
13

c, 27
15
: 9
10
= (3
3
)
15
: (3
2
)

10
= 3
45
: 3
20
= 3
25
d, (0,125)
3
. 512 = (0,5
3
)
3
. 2
9
= (0,5)
9
. 2
9
= (0,5 . 2)
9
= 1
9
= 1
e, 9
20
: (0,375)
40
= (3
2

)
20
: (0,375)
40
= 3
40
: (0,375)
40
= (3 : 0,375)
40
= 8
40
* Phơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản về lũy thừa
Số 2: Tính giá trị của biểu thức:
A =
4
23
108
54.72
B =
411
1212
2.3
3.313.3 +
C =
104.2
65.213.2
8
1010
+

D =
114
1010
48
48
+
+
Giải:
A =
4
23
108
54.72
=
432
23323
)3.2(
)3.2.()3.2(
=
128
6269
3.2
3.2.3.2
=
128
1211
3.2
3.2
= 2
3

= 8

B =
411
1212
2.3
3.313.3 +
=
411
12
2.3
)313(3 +
=
411
412
2.3
2.3
= 3
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
C =
104.2
65.213.2
8
1010
+
=
13.2.2
)6513(2
38

10
+
=
13.2
78.2
11
10
=
13.2
13.3.2
11
11
= 3
D =
114
1010
48
48
+
+
=
2212
2030
22
22
+
+
=
)21(2
)12(2

1012
1020
+
+
= 2
8
= 256
* Phơng pháp giải:
- Biểu thức A ta biến đổi các luỹ thừa trong biểu thức về tích các luỹ thừa
của số nguyên tố rồi rút gọn.
- Biểu thức B, C ta sử dụng tính chất ab

ac = a (b

c), đa tử và mẫu về
dạng tích rồi rút gọn.
- Biểu thức D, ta kết hợp hai phơng pháp trên.
Dạng 2: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa
Số 3: Tìm x N biết:
a, 2
x
.4 = 128 b,
8
1
2
1
12
=

x
c, (2x 3)
3
= 343 d, (2x 3)
2
= 9
e, (x 3)
6
= (x 3)
7
g, x
100
= x
Giải: a, 2
x
. 2
2
= 2
6
b,
312
2
1
2
1

=






x
=> 2
x
= 2
6
: 2
2
=> 2x 1 = 3
=> 2
x
= 2
4
=> 2x = 4
=> x = 4 => x = 2
c, (2x - 3)
3
= 7
3

d, (2x 3)
2
= 9
=> 2x 3 = 7 => (2x 3)
2
= ( 3)
2
=> 2x = 10 =>



=
=
332
332
x
x

=> x = 5 =>



=
=
02
62
x
x
=>

=
=
0
3
x
x
e, (x 3)
6
= (x 3)
7
TH 1: Nếu x 3 = 0 => x = 3 (vì 0
6
= 0
7
= 0)
TH 2: Nếu x 3 0, chia 2 vế cho (x 3) ta đợc
1
)3(
)3(
6
7
=


x
x

hay x 3 = 1 => x = 4

g, C1: x
100
= x => x = 0 hoặc x = 1 (vì 0
100
= 0 và 1
100
= 1)
C2: x
100
= x => x
100
x = 0 => x( x
99
1) = 0 =>



=
=
01
0
99
x
x
=>



=
=

=
=
1
0
1
0
99
x
x
x
x
* Phơng pháp giải:
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
- ở câu a, b ta biến đổi 2 vế của đẳng thức về luỹ thừa cùng cơ số, đẳng
thức xảy ra khi số mũ ở 2 vế bằng nhau.
- ở câu c, d ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa cùng số mũ, đẳng thức xảy ra khi cơ số
ở 2 vế bằng nhau.
- ở câu e, g ta sử dụng công thức 0
n
= 0 và 1
n
= 1 (n

N
*

) hoặc đa về dạng
tích(câu g).
Số 4: Cho A= 3 + 3
2
+ 3
3
++ 3
2008
Tìm x biết 2A + 3 = 3
x
Giải : Ta có 3A = 3( 3 + 3
2
+ 3
3
++ 3
2008
) = 3
2
+ 3
3
++ 3
2008
+3
2009
A = 3 + 3
2
+ 3
3
++ 3
2008

3A A = 3
2009
- 3
2A = 3
2009
- 3
=> 2A + 3 = 3
2009
- 3 + 3 => 2A + 3 = 3
2009
Mặt khác: 2A + 3 = 3
x

Suy ra: 3
2009
= 3
x
hay x = 2009
* Phơng pháp giải: Tổng quát
A = n + n
2
+ n
3
++ n
k
nA A = n
k+1
- n => A =
1
n

1k


+
n
n
( n, k

N; n >1, k

1)
Cao hơn ta có dạng toán đối với 2 ẩn x,y sau:
Số 5: Tìm x, y biết: a, ( x- 3)
2
+ (y+2)
2
= 0
b, (x-12 + y)
200
+ ( x- 4 y)
200
= 0
c, 2x + 2
x+3
= 136
Giải: a, (x-3)
2
0 x
(y+2)
2

0 y
Để (x- 3)
2
+ (y+2)
2
= 0





=+
=
0)2(
03)-(x
2
2
y




=
=
2
3x

y
b, Tơng tự câu a ta tìm đợc

=
=
4
8 x
y
c, Vì 136 = 2.4 + 2
7
Nên 2x + 2
x+3
= 2.4 + 2
7
=>



=
=
+ 73
22
4.22
x
x
=>



=+
=

73
4x

x
=> x= 4
* Phơng pháp giải:
- Câu a, b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên đẳng thức xảy ra khi các
hạng tử đều bằng 0
- Câu c ta biến đổi vế phải về dạng tổng thích hợp với vế trái, đẳng thức xảy ra
khi ta đồng nhất các hạng tử thích hợp của 2 vế.

Bài toán trên là cơ sở để phát triễn bài toán

cao và khó hơn sau:
Số 6*: Tìm x, y biết: a, 2
x+1
. 3
y
= 12
x

b, 10
x
: 5
y
= 20
y

c, 8. 2
3x

. 7
y
= 56
2x
. 5
x-1

Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
Giải
a, 2
x+1
. 3
y
= 12
x
2
x+1
. 3
y
= (2
3
.3)
x
2
x+1
. 3
y
= 2
2x

. 3
x




=
=+
xy
x21x




=
=
1
1 x
y
x= y =1
b, 10
x
: 5
y
= 20
y
10
x
= 20
y

. 5
y
10
x
= 100
y
10
x
= 10
2y
x = 2y
c, 8. 2
3x
. 7
y
= 56
2x
. 5
x-1
2
3
. 2
3x
.7
y
= (2
3
.7)
2x
. 5

x-1
2
3x+3
. 7
y
= 2
6x
. 7
2x
. 5
x-1





=
=






=
=
=+
2
1
01

2
633
y
x
x
xy
xx
* Phơng pháp giải:
Ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa của các số nguyên tố, đẳng thức xảy ra khi
số mũ của luỹ thừa cùng cơ số ở 2 vế bằng nhau (câu a, b). Đồng thời triệt
tiêu các số mũ của luỹ thừa không cùng cơ số(câu c)
Dạng 3: So sánh luỹ thừa
Dạng 3.1: Đa về hai luỹ thừa cùng cơ số
Số 7: So sánh: a, 4
50
và 8
30
b,
17
9
1






và
12
27

1






Giải: a, 4
50
= (2
2
)
50
= 2
100
8
30
= (2
3
)
30
= 2
90
Vì số mũ 100 > 90 và cơ số 2( 2 >1) => 2
100
> 2
90
b,
17
9

1






=
34
17
2
3
1
3
1






=

12
27
1






=
36
12
3
3
1
3
1

=














Vì số mũ 34 < 36 và cơ số là
3
1
( 0 <
3
1
< 1) nên
3634
3
1
3
1

>






=>
17
9
1






>
12
27
1

*Phơng pháp giải: Tổng quát. Với m, n

N
*
và m > n , a

0
Ta có: - Nếu a > 1 thì a
m
> a
n
( câu a)
- Nếu a =1; a= 0 thì a
m
= a
n

- Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
(câu b)
Đối với cơ số là số âm ta có bài toán sau
Số 8: So sánh:
a, (-27)
27
và (-243)
13
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải

Sáng kiến kinh nghiệm
b,
25
8
1







và
13
128
1








Giải:
a, (-27)
27
= (-3
3
)

27
= (-3)
81
(-243)
13
= (-3
5
)
13
= (-3)
65
Vì số mũ 81 > 65 ( là số lẻ) và cơ số 3 (3 < 0) nên (-3)
81
< (-3)
65

=>(-27)
27
<(-243)
13

b,
25
8
1

=
75
25
3
2
1
2
1







=

13
128
1







=
91
13
7
2
1
2
1







=

Vì số mũ 75 < 91 và cơ số là
2
1
( -1 <
2
1
< 0 ) nên
75
2
1

<
91
2
1







=>
25
8
1







<
13
128
1

*Phơng pháp giải: Tổng quát
Với m, n

N
*
và m > n trong đó m, n là số lẻ, a < 0
Ta có: - Nếu a < -1 thì a
m
< a
n
(câu a)
- Nếu a = -1 thì a
m
= a
n

- Nếu -1 < a < 0 thì a
m
> a
n
(câu b)
L u ý: Với trờng hợp m, n là số chẵn ta đa về dạng bài 7
Dạng 3.2: Đa về 2 luỹ thừa cùng số mũ
Số 9: So sánh:
a, 32

30
và 9
75
b,
10
25
16






và
40
7
3






Giải:
a, 32
30
= (2
5
)
30

= 2
150
9
75
= (3
2
)
75
= 3
150
Vì 2 < 3 nên 2
150
< 3
150
=> 32
30
< 9
40
b,
10
25
16






=
20

10
2
5
4
5
4






=
















40

7
3






=
20
20
2
49
9
7
3






=

Vì
49
9
5
4
>
nên
2020
49
9
5
4






>

=>
10
25
16






>
40
7
3






*Phơng pháp giải: Tổng quát
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
Với m

N
*
và a , b

R. Ta có:
- Nếu a < b thì a
m
< b
m

- Nếu a = b thì a
m
= b
m

- Nếu a > b thì a
m
> b
m

Trong nhiều trờng hợp việc đa 2 luỹ thừa về cùng cơ số hay đa
về cùng số mũ một cách trực tiếp để so sánh chúng đều là việc
không thể. Từ đó ta có các dạng so sánh cao hơn.
Dạng 3.3: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh
Số 10: So sánh:
a, 63
7
và 16
12
b*, 17
14
và 31
11

Giải:
a, Vì 63
7
< 64
7
< 64
8

và 16
12
= (4
2
)
12
= 4
24
= 64
8
. Vậy 63
7
< 16
12
b, Ta có: 17
14
> 16
14
= (2
4
)
14

= 2
56

và 31
11
< 32
11
= (2
5
)
11
= 2
55

Vì 2
56
> 2
55
nên 17
14
> 31
55
*Phơng pháp giải: Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c
( b gọi là thành phần trung gian)
- Câu a ta sử dụng 64
8
làm luỹ thừa trung gian để so sánh.
- Câu b ta sử dụng 16
14
và 32

11
làm luỹ thừa trung gian để so sánh.
Đối với những bài toán không thể sử dụng đợc các phơng pháp
trên ta còn có phơng pháp cao và khó hơn sau:
Dạng 3.4: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân
Số 11*: So sánh: 10
31
và 2
100
Giải
Ta có 10
31
= 2
31
. 5
31

2
100
= 2
31
. 2
69
Vậy để so sánh 10
31
và 2
100
ta chỉ cần so sánh 5
31
và 2

69
5
31
= 5
3
. 5
28
= 5
3
. (5
4
)
7
= 125 . 625
7
2
69
= 2
6
. 2
63
= 2
6
. (2
9
)
7
= 64 . 512
7

Ta so sánh các cặp thừa số tơng ứng với nhau
Vì



>
>
77
512625
64125
=> 125 . 625
7
> 64 . 512
7

=> 5
31
> 2
69
hay 10
31
> 2
100
*Phơng pháp giải: Với a, b, c, d

N
*
.
Nếu

>
>
dc
ba
=> a. c > b. d
T. hợp luỹ thừa có mặt trong các biểu thức ta có dạng so sánh sau
Dạng 4: So sánh các biểu thức có chứa luỹ thừa
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
Số 12: So sánh 2 biểu thức A và B trong từng trờng hợp:
a, A =
110
110
16
15
+
+
và B =
110
110
17
16
+
+
b, C =
12
32
2007

2008


và D =
12
32
2006
2007


Giải:
a, Ta có A =
110
110
16
15
+
+
=> 10A = 10 .








+
+
110

110

16
15
=
110
1010
16
16
+
+

=
110
9
1
110
9110
1616
16
+
+=
+
++

B =
110
110
17
16

+
+
=> 10B = 10 .








+
+
110
110

17
16
=
110
1010
17
17
+
+
=
110
9
1
110

9110
1717
17
+
+=
+
++

Vì 10
16
+ 1 < 10
17
+ 1 nên
110
9
110
9
1716
+
>
+

=>
110
9
1
110
9
1
1716

+
+>
+
+
=> 10A > 10B hay A > B
b, Ta có C =
12
32
2007
2008


=>
2
1
C =
2
1
.
22
122
22
32
12
32
2008
2008
2008
2008
2007

2008


=


=










=
22
1
1
2008


D =
12
32
2006
2007

=>
2
1
D =
2
1
.
22
122
22
32
12
32
2007
2007
2007
2007
2006
2007


=


=

=
22
1
1
2007


Vì 2
2008
2 > 2
2007
2 nên
22
1
22
1
20072008

<

=>
22
1
1

2008


>
22
1
1
2007



=>
2
1
C >
2
1
D hay C > D
*Phơng pháp giải:
- ở câu a, biểu thức A và B có chứa luỹ thừa cơ số 10 -> ta so sánh 10A và10B
- ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh
2
1
C và
2
1
D
L u ý: Đối với từng trờng hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của
luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so
sánh từng phần tơng ứng.

Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
Với a, n, m, K

N
*
. Ta có:
- Nếu m > n thì K -
m
a
> K -
n
a
và K +
m
a
< K +
n
a

- Nếu m < n thì K -
m
a
< K -
n
a
và K +
m
a
> K +

n
a

(còn gọi là phơng pháp so sánh phần bù)
Số 13: So sánh M =
43
8
7
8
3
+
và N =
43
8
3
8
7
+
Giải
Ta có:
43
8
7
8
3
+
=
443
8
4

8
3
8
3
++
=
443
8
4
8
3
8
3
+






+

43
8
3
8
7
+
=
433

8
3
8
4
8
3
++
=
343
8
4
8
3
8
3
+






+
Vì
34
8
4
8
4
<

=>
443
8
4
8
3
8
3
+






+
<
343
8
4
8
3
8
3
+

+
=> M < N
Dạng 5: Tìm số các chữ số của một luỹ thừa
Số 14: Tìm các chữ số của các số n và m trong các trờng hợp sau:
a, n = 8
3
. 15
5
b, m = 4
16
. 5
25
Giải: a, Ta có n = 8
3
. 15
5
= (2
3
)
3
.(3.5)
5
= 2
9
. 3
5
. 5
5

= 2
4
. 3
5
. (2.5)
5
= 16.243 .10
5
= 3888. 10
5
Số 3888. 10
5
gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy n có 9 chữ số.
b, Ta có : m = 4
16
. 5
25
= (2
2
)
16
. 5
25

= 2
32
.5
25
= 2

7
.(2
25
.5
25
) = 128.10
25

Số 128.10
25
gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.
Vậy m có 28 chữ số.
*Phơng pháp giải:
Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó
lập luận tìm số chữ số của số đó.
Dạng 6: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa
Dạng 6.1: Tìm một chữ số tận cùng
Số15: Tìm các chữ số tận cùng của các số sau
a, 34
2008
b, 7
35
Giải: a, 34
2008
= (34)
1004. 2
= (34
2
)
1004

= (6)
1004
= (6)
Vậy 34
2008
có tận cùng là 6
b, 7
35
= (7)
4.8 + 3
= (7
4
)
8
.7
3
= (1)
8
. 243 = (3)
Vậy 7
35
có tận cùng là 3
* Nhận xét: Tìm một chữ số tận cùng của một luỹ thừa
- Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) thì tận
cùng vẫn là chính số đó.
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
- Các số có tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa 4n (n

N*) có tận cùng là

6.
- Các số có tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa 4n (n

N*) có tận cùng là
1.
Dạng 6.2: Tìm hai chữ số tận cùng
Số16: Tìm hai chữ số tận cùng của
a, 2
100
b, 7
2007


Giải
a, Ta thấy 2
10
= 1024
Bình phơng của số có tận cùng là 24 thì tận cùng là 76
Số có tận cùng là 76 nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 76.
Do đó: 2
100
= (2
10
)
10
= 1024
10
= ( 1024
2
)

5
= (76)
5
=(76)
Vậy 2
100
có hai chữ số tận cùng là 76
b, Vì 7
4
= 2401
Số có tận cùng là 01 khi nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 01
Do đó: 7
2007
= (7
4
)
501
. 7
3
= ( 2401)
501
. 343 = (01) . 43 = (43)
Vậy 7
2007
có hai chữ số tận cùng là 43
* Nhận xét:
- Các số có tận cùng là 01; 25; 76 dù nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng
có tận cùng là chính nó
- Các số 3
20

(hay 81
5
) ; 7
4
; 51
2
; 99
2
có tận cùng bằng 01
- Các số 2
20
; 6
5
; 18
4
; 24
2
; 68
4
; 74
2
có tận cùng là 76
- Số 26
n
(n >1) có tận cùng là 76.
Dạng 6.3: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Số 17: Tìm ba chữ số tận cùng của 5
2005
Giải: Vì 5
4

= 625
Số có tận cùng là 625 dù nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) vẫn có tận cùng là 625
Do đó : 5
2005
= (5
4
)
501
. 5 = (625)
501
. 5 = (625) .5 = (125)
Vậy 5
2005
có ba chữ số tận cùng là 125
* Nhận xét:
- Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0)
cũng có tận cùng là chính nó.
- Các số có tận cùng là 0625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng có tận
cùng là 0625.
Dạng 7:
Luỹ thừa trong toán chứng minh chia hết
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
Dạng 7.1: Vận dụng chữ số tận cùng của luỹ thừa
Số 18*: Chứng minh : a, 7777
197
3333
163
chia hết cho 10
b,

5
1 2
24n
+
+
là một số tự nhiên (nN)
Giải: a,Vì một số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 10 nên ta cần chứng tỏ hiệu
7777
197
3333
163
có tận cùng bằng 0 .
Ta có: 7777
197
= (7777)
196+1
= (7777
4
)
49
. 7 = (1)
49
. 7 = (7)
3333
163
= (3333)
160+3
= ( 3333
4
)

40
. 3
3
= (1)
40
. 27 = (7)
Do đó 7777
197
3333
163
có tận cùng là 7 7 = 0 nên chia hết cho 10
b, Để c/m
5
1 2
24n
+
+
là một số tự nhiên, ta cần c/m tử chia hết cho mẫu
( tức là 2
4n+2
+ 1

5 ; nN)
Ta có: 2
4n+2
+ 1 = (2
4
)
n
.2

2
+ 1 = (6)
n
. 4 + 1 = (5) (nN)
Vậy 2
4n+2
+ 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
hay
5
1 2
24n
+
+
là một số tự nhiên (nN)
*Phơng pháp giải: - Sử dụng cách tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa .
- Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5; 10;
Dạng 7.2: Sử dụng tính chia hết của một tích
Số19: Chứng minh rằng:
a, 7
6
+ 7
5
7
4
chia hết cho 11
b*, 24
54
. 54
24
. 2

10
chia hết cho 72
63
Giải: a, Ta có: 7
6
+ 7
5
7
4
= 7
4
(7
2
+ 7 1) = 7
4
(49 + 7 1)
= 7
4
. 55 = 7
4
. 5. 11

11
b, Ta có 72
63
= (8.9)
63
= (2
3
. 3

2
)
63
= 2
3.63
. 3
3.63
= 2
189
. 3
126
24
54
= (3.8)
54
= (3. 2
3
)
54
= 3
54
. 2
3. 54
= 3
54
. 2
162
54
24
= (2.27)

24
= (2.3
3
)
24
= 2
24
. 3
3.24
= 2
24
. 3
72
Do đó: 24
54
. 54
24
. 2
10
= 3
54
. 2
162
. 2
24
. 3
72
. 2
10

= 2
162 + 24 + 10
. 3
54 + 72
= 2
196
. 3
126

= 2
7
. (2
3
)
63
. (3
2
)
63
= 2
7
. (8.9)
63
= 2
7
. 72
63


72

63
Vậy 24
54
. 54
24
. 2
10

72
63


Số 20: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
a, 3
n +2
2
n+2
+ 3
n
2
n


10
b, 3
n+3
+ 3
n+1
+ 2
n+3

+ 2
n+2

6
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
Giải:


a, 3
n+2
2
n+2
+ 3
n
2
n
= 3
n
(3
2
+ 1) 2
n
(2
2
+ 1) = 3
n
. 10 2
n
. 5

= 3
n
. 10 2
n-1
. 2 . 5 = 3
n
. 10 2
n-1
. 10
= (3
n
2
n-1
) . 10

10
Vậy 3
n+2
2
n+2
+ 3
n
2
n
chia hết cho 10
b, 3
n + 3
+ 3
n + 1
+ 2

n + 3
+ 2
n + 2
= 3
n + 1
(3
2
+ 1) + 2
n + 2
(2 + 1)
= 3
n
. 3 . 10 + 2
n + 1
. 2 . 3
= 3
n
. 5 . 6 + 2
n +
. 6 = (3
n
. 5 + 2
n + 1
) . 6

6
Vậy 3
n+3
+ 3
n+1

+ 2
n+3
+ 2
n+2

6
Số 21*: Chứng minh rằng:
A = 75 . (4
2007
+ 4
2006
+ + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Giải: Ta có: A = 75 . (4
2007
+ 4
2006
+ + 4
2
+ 4 + 1) + 25
= 25.3 (4
2007
+ 4
2006
+ 4
2
+ 4 + 1) + 25
= 25 (4-1) (4
2007

+ 4
2006
+ 4
2
+ 4 + 1) + 25
= 25. (4
2008
+ 4
2007
+ + 4
2
+ 4 4
2007
4
2006
-- 4
2
4 1) +
25
= 25 (4
2008
1) + 25 = 25 (4
2008
1 + 1)
= 25.4
2008
= 25.4.4
2007
= 100.4
2007

Vậy A là số chia hết cho 100
*Phơng pháp giải:
- Phân tích thàng tích, đồng thời sử dụng các công thức cơ bản về luỹ thừa
- Sử dụng tính chất chia hết của một tích.
Dạng 8:
Luỹ thừa trong bất đẳng thức
Số 22: Tìm số nguyên dơng n biết:
a, 64 < 2
n
< 256
b, 243 > 3
n
9
Giải: a, 64 < 2
n
< 256 => 2
6
< 2
n
< 2
8
=> 6 < n < 8 , n nguyên dơng
Vậy n = 7
b, 243 > 3
n
9 => 3
5
> 3
n
3

2
=> 5 > n 2 , n nguyên dơng
Vậy n = 4; 3; 2
Số 23: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho : n
200
< 6
300
Giải: Ta có: n
200
= (n
2
)
100
6
300
= (6
3
)
100
= 216
100
Để n
200
< 6
300
(n
2
)
100
< 216

100
n
2
< 216 và n Z (*)
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm
Số nguyên lớn nhất thoã mãn (*) là n = 14
Nâng cao bài 21 lên ta có dạng toán khó hơn sau
Số 24*

: Tìm các số nguyên n thoã mãn:
3
64
< n
48
< 5
72
Giải: Ta giải từng bất đẳng thức 3
64
< n
48
và n
48
< 5
72
Ta có : n
48
> 3
64
(n

3
)
16
> (3
4
)
16
(n
3
)
16
> 81
16
n
3
> 81
Vì n Z nên n > 4 (1)
Mặt khác n
48
< 5
72
(n
2
)
24
< (5
3
)
24
(n

2
)
24
< 125
24
n
2
< 125
và n Z => -11 n 11 (2)
Từ (1) và (2) => 4 < n 11. Vậy n { 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
* Từ bài toán trên có thể thay đổi câu hỏi để đợc các bài toán sau:
Số1: Tìm tổng các số nguyên n thoã mãn: 3
64
< n
48
< 5
72
( giải tơng tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là 5+6+7+8+9+10+11=56)
Số2: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho 3
64
< n
48
< 5
72
( số 5; 6; 7; 8; 9;)
Số3: Tìm tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho 3
64
< n
48
< 5

72
( số 10; 11)
*Phơng pháp giải:
- Đa các luỹ thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ rồi lập luận tìm n (số 20;21)
- Có thể tách thành từng bất đẳng thức nhỏ rồi giải (số 22)
B- Bài tập áp dụng:
Số 1(Dạng 1): Tính giá trị của biểu thức:
A =
65
47
189.12
54.126
Số 2( Dạng 2): Tìm x biết:
a, (2x + 3)
4
= 2401
b, 3
2x
. 27 = 2187
Số 3*(Dạng 2): Tìm x, y biết: 2
x
. 3
y+2
= 12
2y
Số 4(Dạng 3): So sánh:
a, 54
4
và 21
12

b*, 2
59
và 10
17
Số 5(Dạng 4): So sánh giá trị của biểu thức A và B biết:
A =
4023
323
2001
2000
+
+
và B
4023
323
2002
2001
+
+
Số 6( Dạng 5): Tìm số các chữ số của số p = 2
2008
. 25
1003
. 6
3
Số 7*(Dạng 6): Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Sáng kiến kinh nghiệm

12004

2008
2007
+
Số 8(Dạng 7): Chứng minh rằng:
a, 10
100
+ 10
99
+ 10
98


222
b, 81
7
27
9
9
13


45
Số 9(Dạng 7): Chứng minh rằng
2007
2005
2003
2003


10

Số 10(Dạng 7): Cho A = 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
2008
a, Chứng minh rằng A

5
b, Chứng minh rằng A

84
Số 11(Dạng 8): Tìm n Z biết:
a, 32 < 2
n
512
b*, 3
18
< n
12
20
8
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải