đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính toán lớp 9

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9
NĂM HỌC: 2010 – 2011
ĐỀ 2
Câu 1(3 điểm)
a. Tìm số dư trong phép chia
2,2
198,45,27,12
2345
−
−+−+−
x
xxxxx

b. Tính 2,5% của
7 5 2
85 83 : 2
30 18 3
0,04
 
−
 ÷
 
câu2(5 điểm)
a.Tính giá trị biểu thức: A =
2
3 3
1 : 1
1

1
a
a
a
 
 
+ − +
 ÷
 ÷
+
 
−
 
với a =
3
2 3
+
(Chính xác đến 0,01).
b. Cho biểu thức B = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x . Chứng minh rằng
biểu thức B không phụ thuộc vào x.

câu 3 (3 điểm)
Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân là 1,2%.
a. Viết công thức tính dân số sau n năm.
b. Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm.
c. Dân số nước đó sau n năm (n
∈
Z
+
) sẽ vượt 100 triệu. Tìm số n bé nhất
câu 4 (4 điểm)
Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1).
Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó:
a. Là bình phương của một số tự nhiên.
b. Là lập phương của một số tự nhiên.
Câu 5 (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm. AM, AD
thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam giác.
a. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. (Chính xác đến 0,0001)
b. Tính diện tích tam giác ADM. (Chính xác đến 0,0001)
1
PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ 2

Bài1
:
a. Tìm số dư trong phép chia

2,2
198,45,27,12
2345
−
−+−+−
x
xxxxx

b. Tính 2,5% của
7 5 2
85 83 : 2
30 18 3
0,04
 
−
 ÷
 
3,0đ
Ta có P
(x)
= Q
(x)
(x-a) + r, với P
(x)
, Q
(x)
là các đa thức, r là số dư. Cho x = a
ta được
r = P
(x)

, Do đó bài toán tìm số dư trong phép chia đa thức cho đơn thức trở
thành bài toán tìm P
(a)
của biểu thức P
(x)
.
0,25
đ
Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 0,5đ
4 2,5 3 4,8 0,5đ

2 9 1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
0,25
đ
ấn: 85 7 30 83 5 18 0,75
đ
2 2 3 0,04 2,5 100

Kq: 0,458333333.
0,75
đ
Bài
2:
a.Tính giá trị biểu thức: A =
2
3 3
1 : 1
1
1

a
a
a
 
 
+ − +
 ÷
 ÷
+
 
−
 
với a =
3
2 3
+
(Chính xác đến 0,01).
b. Cho biểu thức B = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x . Chứng
minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x.
5,0đ

Ta có: A =
a
a
a
a
a
a
a
−=
+
−
=
−
−+
+
−+
1
1
1
1
13
:
1
13
2
2
22
1đ
2
SHIF

T
STO
^
-
x
ALPH
^
+
^
-
=
a
b/c
-
:
x
=
A
A
^
ALPH
A
ALPH
A
+
ALPH
A
-
a
b/c

a
b/c
a
b/c
=
a
b/c
a
b/c
=
:
=
:
Với a =
3
2 3
+
⇒
A =
)32(2
32
2
32
3
1 −=
+
=
+
−
1đ

ấn:
2 2 3
0,5đ
1 2
Kq: 0,73.
0,5đ
B = 3(sin
4
x + cos
4
x)(sin
2
x + cos
2
x)(sin
2
x - cos
2
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) +
6sin
4
x
= 3sin
6
x + 3 cos
4

x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2
x - 3cos
6
x + 4cos
6
x - 8sin
6
x + 6sin
4
x
0,5đ
= 3 cos
4
x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2
x + cos
6
x - 5sin
6
x + 6sin
4

x
= 3 cos
4
x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2
x + cos
6
x + 6sin
4
x(1 - sin
2
x) + sin
6
x
0,5đ
= 3 cos
4
x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2
x + cos
6
x + 6sin

4
x.cos
2
x + sin
6
x
= 3 cos
4
x.sin
2
x + 3 sin
4
x. cos
2
x + cos
6
x + sin
6
x
0,5đ
= 3 cos
2
x.sin
2
x(cos
2
x + sin
2
x) + (cos
2

x + sin
2
x)
3
- 3 sin
2
x. cos
2
x(sin
2
x +
cos
2
x) = 1
Vậy B = 1 không phụ thuộc vào x.
0,5đ
Bài
3:
Bài 3: Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình
quân là 1,2%.
a. Viết công thức tính dân số sau n năm.
b. Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm.
c. Dân số nước đó sau n năm (n
∈
Z
+
) sẽ vượt 100 triệu. Tìm số n bé
nhất.
3đ
Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%.

Sau 1 năm tổng số dân sẽ là: a + a.m = a(1 + m)
0,25
đ
Sau 2 năm tổng số dân sẽ là: a(1 + m) + a(1 + m).m = a.(1 + m)
2
. 0,25
đ
Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)
2
+ a.(1 + m)
2
.m = a.(1 + m)
3
. 0,25
đ
Vậy sau n năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)
n
. 0,25
đ
b. áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có:
80.000.000 1 0,012 20
Kq: 101 554 749. người.
1đ
c. Ta có: a.(1 + m)
n
= 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm được số dân 100 350 542 người.
Với n = 18 ta tìm được số dân 99 160 615 người
0,5đ
Vậy số n (n

∈
Z
+
) nhỏ nhất để dân số vượt quá 100 triệu dân là: n = 19.
0,5đ
3
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
x
(
-
)
=
(
+
)
^
=
x
Bài 4
Bài 4: Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số
1).

Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó:
a. Là bình phương của một số tự nhiên.
b. Là lập phương của một số tự nhiên.
4đ
Số a = 1.2.3…17 chứa các luỹ thừa của 2:
2 x 2
2
x 2 x 2
3
x 2 x 2
2
x 2 x 2
4
= 2
15
.
Vì trong tích a = 1.2.3…17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 3
2
x 3 x 3 = 3
6
(vì a chứa các số: 3, 6,
9, 12, 15).
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 5
3
(vì a chứa các số: 5, 10, 15).
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 7: 7 x 7 = 7

2
(vì a chứa các số: 7, 14).
0,5đ
a. ước số lớn nhất của a là bình phương của một số tự nhiên là:
2
14
x 3
6
x 5
2
x 7
2
= (2
7
x 3
3
x 5 x 7)
2
= 120960
2
= 14 631 321 600.
(Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960
2
vẫn cho điểm tối đa)
1,0đ
b. ước số lớn nhất của a là lập phương của một số tự nhiên là:
2
15
x 3
6

x 5
3
= (2
5
x 3
2
x 5)
3
= 1440
3
= 2 985 984 000.
Kq: a. 4 631 321 600; b. 2 985 984 000.

1,0đ
Bài 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b =
23,5cm. AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam
giác.
a. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. (Chính xác đến 0,0001)
b. Tính diện tích tam giác ADM. (Chính xác đến 0,0001)
5đ

a
b
D
M
C
B
A

0,25
đ
a. Ta có: BC
2
= AB
2
+ AC
2
= a
2
+ b
2
. (Theo Pitago)
Theo tính chất đường phân giác ta có:
ACAB
AB
CDBD
BD
AC
AB
CD
BD
+
=
+
⇒=
0,25
đ
4
⇔

ba
a
BC
BD
+
=

⇒
BD =
ba
baa
ba
BCa
+
+
=
+
22
.

0,5đ
Và CD = BC - BD =
ba
bab
ba
baa
ba
+
+
=

+
+
−+
2222
22

0,25
đ
Tính BD:
14,25 14,25 23,5
0,25
đ
14,25 23,5
1 4 Kq: 10,3744
cm.
0,25
đ
Tính CD:
23,5 14,25 23,5
0,25
đ
14,25 23,5
1 4 Kq: 17,1086
cm.
0,25
đ
Gọi x là diện tích tam giác ADM, S là diện tích tamgiác AMC (và cũng là
diện tích tam giác AMB), ta có:
b
a

AC
AB
CD
BD
S
S
ACD
ABD
===
0,25
đ
S
ABD
= S
ABM
- S
ADM
= S - x; S
ACD
= S + x ; Vậy
b
a
xS
xS
=
+
−
0,5đ
Mà S =
2

1
S
ABC
=
4
.ba

b
axabxab
b
a
x
ab
x
ab
=






+−
⇔=
+
−
⇒
4
4
:

4
4
4
4
0,5đ
⇒

b
a
xab
xab
=
+
−
4
4

bxaxbaabaxbabxab 4444
2222
+=−⇔+=−⇔
0,5đ
)(4
)(
)()(4
ba
abab
xababbax
+
−
=⇔−=+⇔

0,5đ
ấn: 14,25 23,5 23,5 14,25 0,25
đ
5
x
(
-
)
:
x
MOD
E
x
(
x
2
+
x
2
)
:
(
+
=
MOD
E
MOD
E
MOD
E

MOD
E
x
(
x
2
+
x
2
)
:
MOD
E
(
+
=
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
4 14,25 23,5
1 4
Kq: 20,5139.
0,25

Bài1

:
a. Tìm số d trong phép chia
2,2
198,45,27,12
2345

++
x
xxxxx

b. Tính 2,5% của
7 5 2
85 83 : 2
30 18 3
0,04


ữ

3,0đ
Ta có P
(x)
= Q
(x)
(x-a) + r, với P
(x)
, Q
(x)
là các đa thức, r là số d. Cho x = a ta
đợc

r = P
(x)
, Do đó bài toán tìm số d trong phép chia đa thức cho đơn thức trở
thành bài toán tìm P
(a)
của biểu thức P
(x)
.
0,25
đ
Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7
0,5đ
4 2,5 3 4,8
0,5đ

2 9 1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
0,25
đ
ấn: 85 7 30 83 5 18
0,75
đ
2 2 3 0,04 2,5 100

Kq: 0,458333333.
0,75
đ
Bài
2:
a.Tính giá trị biểu thức: A =

2
3 3
1 : 1
1
1
a
a
a


+ +
ữ
ữ
+



với a =
3
2 3
+
(Chính xác đến 0,01).
b. Cho biểu thức B = 3(sin
8
x cos
8
x) + 4(cos
6
x 2sin
6

x) + 6sin
4
x .
Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x.
5,0đ
Ta có: A =
a
a
a
a
a
a
a
=
+

=

+
+
+
1
1
1
1
13
:
1
13
2

2
22
1đ
6
SHIF
T
STO
^
-
x
ALPH
^
+
^
-
=
a
b/c
-
:
x
=
A
A
^
ALPH
A
ALPH
A
+

ALPH
A
-
a
b/c
a
b/c
a
b/c
=
a
b/c
a
b/c
=
:
=
:
+
=
(
(
)
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD

E
MOD
E
x
Với a =
3
2 3
+

A =
)32(2
32
2
32
3
1 =
+
=
+

1đ
ấn:
2 2 3
0,5đ
1 2
Kq: 0,73.
0,5đ
B = 3(sin
4
x + cos

4
x)(sin
2
x + cos
2
x)(sin
2
x - cos
2
x) + 4(cos
6
x 2sin
6
x) +
6sin
4
x
= 3sin
6
x + 3 cos
4
x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2
x - 3cos
6
x + 4cos

6
x - 8sin
6
x + 6sin
4
x
0,5đ
= 3 cos
4
x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2
x + cos
6
x - 5sin
6
x + 6sin
4
x
= 3 cos
4
x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2

x + cos
6
x + 6sin
4
x(1 - sin
2
x) + sin
6
x
0,5đ
= 3 cos
4
x.sin
2
x - 3 sin
4
x. cos
2
x + cos
6
x + 6sin
4
x.cos
2
x + sin
6
x
= 3 cos
4
x.sin

2
x + 3 sin
4
x. cos
2
x + cos
6
x + sin
6
x
0,5đ
= 3 cos
2
x.sin
2
x(cos
2
x + sin
2
x) + (cos
2
x + sin
2
x)
3
- 3 sin
2
x. cos
2
x(sin

2
x +
cos
2
x) = 1
Vậy B = 1 không phụ thuộc vào x.
0,5đ
Bài
3:
Bài 3: Dân số một nớc là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình
quân là 1,2%.
a. Viết công thức tính dân số sau n năm.
b. Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm.
c. Dân số nớc đó sau n năm (n

Z
+
) sẽ vợt 100 triệu. Tìm số n bé nhất.
3đ
Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%.
Sau 1 năm tổng số dân sẽ là: a + a.m = a(1 + m)
0,25
đ
Sau 2 năm tổng số dân sẽ là: a(1 + m) + a(1 + m).m = a.(1 + m)
2
.
0,25
đ
Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)
2

+ a.(1 + m)
2
.m = a.(1 + m)
3
.
0,25

Vậy sau n năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)
n
.
0,25
đ
b. áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có:
80.000.000 1 0,012 20
Kq: 101 554 749. ngời.
1đ
c. Ta có: a.(1 + m)
n
= 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm đợc số dân 100 350 542 ngời.
Với n = 18 ta tìm đợc số dân 99 160 615 ngời
0,5đ
Vậy số n (n

Z
+
) nhỏ nhất để dân số vợt quá 100 triệu dân là: n = 19.
0,5đ
7
MOD

E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
x
(
-
)
=
(
+
)
^
=
x
Bài 4
Bài 4: Cho số a = 1.2.3 17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số
1).
Hãy tìm ớc số lớn nhất của a, biết ớc số đó:
a. Là bình phơng của một số tự nhiên.
b. Là lập phơng của một số tự nhiên.
4đ
Số a = 1.2.3 17 chứa các luỹ thừa của 2:
2 x 2
2

x 2 x 2
3
x 2 x 2
2
x 2 x 2
4
= 2
15
.
Vì trong tích a = 1.2.3 17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 3
2
x 3 x 3 = 3
6
(vì a chứa các số: 3, 6,
9, 12, 15).
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 5
3
(vì a chứa các số: 5, 10, 15).
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 7: 7 x 7 = 7
2
(vì a chứa các số: 7, 14).
0,5đ
a. ớc số lớn nhất của a là bình phơng của một số tự nhiên là:
2
14
x 3

6
x 5
2
x 7
2
= (2
7
x 3
3
x 5 x 7)
2
= 120960
2
= 14 631 321 600.
(Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960
2
vẫn cho điểm tối đa)
1,0đ
b. ớc số lớn nhất của a là lập phơng của một số tự nhiên là:
2
15
x 3
6
x 5
3
= (2
5
x 3
2
x 5)

3
= 1440
3
= 2 985 984 000.
Kq: a. 4 631 321 600; b. 2 985 984 000.

1,0đ
Bài 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b =
23,5cm. AM, AD thứ tự là các đờng trung tuyến và phân giác của tam giác.
a. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. (Chính xác đến 0,0001)
b. Tính diện tích tam giác ADM. (Chính xác đến 0,0001)
5đ

a
b
D
M
C
B
A

0,25
đ
a. Ta có: BC
2
= AB
2
+ AC
2

= a
2
+ b
2
. (Theo Pitago)
Theo tính chất đờng phân giác ta có:
ACAB
AB
CDBD
BD
AC
AB
CD
BD
+
=
+
=
0,25
đ

ba
a
BC
BD
+
=


BD =

ba
baa
ba
BCa
+
+
=
+
22
.

0,5đ
8
Vµ CD = BC - BD =
ba
bab
ba
baa
ba
+
+
=
+
+
−+
2222
22

0,25
®

TÝnh BD:
14,25 14,25 23,5
0,25
®
14,25 23,5
1 4 Kq: 10,3744
cm.
0,25
®
TÝnh CD:
23,5 14,25 23,5
0,25
®
14,25 23,5
1 4 Kq: 17,1086
cm.
0,25
®
Gäi x lµ diÖn tÝch tam gi¸c ADM, S lµ diÖn tÝch tamgi¸c AMC (vµ còng lµ
diÖn tÝch tam gi¸c AMB), ta cã:
b
a
AC
AB
CD
BD
S
S
ACD
ABD

===
0,25
®
S
ABD
= S
ABM
- S
ADM
= S - x; S
ACD
= S + x ; VËy
b
a
xS
xS
=
+
−
0,5®
Mµ S =
2
1
S
ABC
=
4
.ba

b

axabxab
b
a
x
ab
x
ab
=






+−
⇔=
+
−
⇒
4
4
:
4
4
4
4
0,5®
⇒

b

a
xab
xab
=
+
−
4
4

bxaxbaabaxbabxab 4444
2222
+=−⇔+=−⇔
0,5®
)(4
)(
)()(4
ba
abab
xababbax
+
−
=⇔−=+⇔
0,5®
Ên: 14,25 23,5 23,5 14,25
0,25
®
4 14,25 23,5
1 4
Kq: 20,5139.
0,25

®
9
x
(
-
)
:
+
=
x
(
(
)
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
x
MOD
E
x
(
x
2

+
x
2
)
:
(
+
=
MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
x
(
x
2
+
x
2
)
:
MOD
E
(
+
=

MOD
E
MOD
E
MOD
E
MOD
E
10