PP MỚI GIẢI MỘT LỚP BÀI TẬP KHÓ VÊ GIỚI HẠN hàm số TRONG CT THPT

TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ
BẰNG VIỆC SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
II.Tác giả: Phạm Thị Minh Ngọc
Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học
Đơn vị : Trường THPT Nho Quan A
Địa chỉ : Xã Quỳnh Lưu, huyện Nho Quan, tỉnh Ninh Bình.
III. Nội dung sáng kiến, kinh nghiệm
1.Đặt vấn đề
Đạo hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích thể hiện ở rất nhiều ứng
dụng trong việc giải toán THPT. Đạo hàm được giảng dạy ở cuối lớp 11, ngay
sau chương giới hạn, rồi xuyên suốt chương trình lớp 12 và ôn thi đại học, cao
đẳng. Đó là lý do tôi chọn đề tài này. Bên cạnh các phương pháp tìm giới hạn
hàm số thông thường, tôi muốn giới thiệu một phương pháp nữa: tìm giới hạn
hàm số bằng định nghĩa đạo hàm .
Việc giải bài toán giới hạn hàm số bằng nhiều cách giúp rèn luyện tư duy
khoa học, tính logic và hệ thống cũng như tăng cường kỹ năng thực hành của cả
giáo viên và học sinh.
2. Giải quyết vấn đề
*Cơ sở lý luận của vấn đề
1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên
khoảng
( ; )a b
và
0
( ; )x a b∈
. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của
0
0
0

( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
thì
giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số
( )y f x=
tại
0
( ; )x a b
∈
, kí hiệu là
'
0
( )f x
.
Tức là
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x

f x
x x
→
−
=
−
.
2. Đạo hàm của hàm số dạng
( ) ( )
n
y f x u x= =
là

' '
' ' '
1 1
( ) ( )
( ) ( ( ))
( ( )) ( ( ))
n
n n
n n
u x u x
y f x u x
n u x n u x
− −
= = = =
*Cơ sở thực tế của vấn đề
Lứa tuổi học sinh THPT là lứa tuổi thích tìm tòi khám phá.Học sinh khá
giỏi thích tìm nhiều lời giải cho một bài toán, học sinh trung bình thích có quy

tắc giải chung cho một lớp bài toán để dễ nhớ, dễ sử dụng. Đề tài này nhằm đáp
ứng một phần nhu cầu trên. Nếu việc phải nhớ các biểu thức liên hợp, việc nhân,
chia,cộng, trừ chúng,thêm bớt các biểu thức phù hợp, công thức nhị thức
Newton,…là nặng nề thì học sinh chỉ phải dùng định nghĩa đạo hàm.
*Nội dung
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
1)
0
1 1
lim
x
x
x
→
+ −
2)
3
0
1 1
lim
x
x
x
→
+ −
3)
4
0
1 1
lim

x
x
x
→
+ −
4)
0
1 1
lim
n
x
x
x
→
+ −
5)
0
1 1
lim
n
x
ax
x
→
+ −
Giải
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
1
Ta nhận thấy các câu trên đều có thể dùng biểu thức liên hợp để trục căn
thức, sau đó phân tích thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính.

Tuy nhiên, với đa số học sinh thì việc tìm liên hợp của các câu số 3,4,5 không
đơn giản. Ở đây, cần chỉ cho học sinh thấy sự tương tự trong các câu trên của
dạng biểu thức cần tính giới hạn, đó là dạng
0
( ) 1
lim
x
f x
x
→
−
. Phân tích kỹ hơn ta thấy
1 (0)f=
và mẫu thức chính là hiệu
0
x x−
với
0
0x =
.
Như vậy các câu trên đều là việc tính giới hạn dạng
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x

f x
x x
→
−
=
−
, nói cách khác ta tìm hàm số
( )y f x=
và tính đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
.
Ta có lời giải như sau : Xét hàm số
( ) 1
n
y f x ax= = +
có

'
' ' '
1 1
(1 )
( ) ( 1 )
(1 ) (1 )
n
n n
n n
ax a
y f x ax
n ax n ax

− −
+
= = + = =
+ +
Từ đó,
'
(0)
a
f
n
=
.Vậy kết quả các câu trên lần lượt là:
1 1 1 1
; ; ; ;
2 3 4
a
n n
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
1)
3
0
8 2 1
lim
x
x x
x
→
− − +
2)
2

1
3 2 4 2
lim
1
x
x x x
x
→
− − − −
−
3)
3
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
→
− − −
−
4)
2
3
1
7 5
lim
1
x

x x
x
→
+ − −
−
5)
2
3
4
0
1 1 2
lim
x
x x
x
→
+ − −
Giải
Ta nhận thấy các câu 1,3,4,5 đều chứa hai loại căn thức khác nhau, do đó
ta phải thêm bớt số hạng hợp lý để tách thành tổng hai giới hạn, mà mỗi giới hạn
chỉ còn một loại căn thức từ đó tính tiếp bằng cách dùng biểu thức liên hợp hoặc
sử dụng đạo hàm như bài 1. Tuy nhiên, việc thực hiện theo cách trên là khá dài
và có khả năng nhầm lẫn là khá cao. Ở đây ta cũng đi tìm dạng tổng quát của
biểu thức trên đều có thể đưa về dạng
0
0
( ) ( )
lim
n
m

x x
f x g x
x x
→
−
−
. Nhìn kỹ hơn chút nữa,
do
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x= ⇒ − =
. Vậy ta có thể đặt
( ) ( ) ( )
n m
h x f x g x
= −
thì
0
( ) 0h x =
và giới hạn trên trở thành
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
h x h x
h x
x x

→
−
=
−
Chẳng hạn câu 1, xét hàm số
3
( ) 8 2 1h x x x= − − +
thì
(0) 0h =
và
' '
'
2 2
3 3
(8 ) ( 1) 1 1
( ) 2
2 1 1
3 (8 ) 3 (8 )
x x
h x
x x
x x
− + −
= − = −
+ +
− −
Từ đó
'
1 13
(0) 1

12 12
h
− −
= − =
.Suy ra
3
0
8 2 1
13
lim
12
x
x x
x
→
− − +
−
=
Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả còn lại là :
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
2
Câu Hàm số
( )y h x=
0
( )h x
Đạo hàm
'
0
( )h x
Kết quả

2
2
3 2 4 2x x x− − − −
(1) 0h =
2
8 1
3
2 4 2
x
x x
−
−
− −
1
2
−
3
3
2 1 3 2x x− − −
(1) 0h =
2
3
2 3
2 3 2
3 (2 1)
x
x
−
−
−

5
9
−
4
2
3
7 5x x+ − −
(1) 0h =
2 2
3
2 1
2 5
3 ( 7)
x
x
x
+
−
+
5
12
5
2
3
4
1 1 2x x+ − −
(0) 0h =
2 2 3
3
4

2 2
3 (1 ) 4 (1 2 )
x
x x
+
+ −
1
2
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
1)
3
3
0
3 1 1
lim
1 1
x
x
x
→
+ −
− +
2)
2
3
4
1
1 26 1 80
lim
3 2

x
x x
x
→
+ − +
+ −
3)
3 4
3
4
0
27 1 81 1
lim
1 1
x
x x
x
→
− + +
− −
4)
2
3
2 2
5
5
4
4 2
lim
6 3 18 9

x
x x
x x
→
+ − +
+ − +
Giải
Ta biến đổi làm xuất hiện dạng
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
.
Do cả tử và mẫu cùng chứa căn thức nên ta chia cả tử và mẫu cho
0
x x−
và xuất hiện dạng
0
0

'
0 0
'
0
0
0
( ) ( )
( )
lim
( ) ( )
( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x
→
−
−
=
−
−
. Từ đây ta có được kết quả như sau:
1)
3
3
3 3
0 0
3 1 1

3 1 1
lim lim
1 1 1 1
x x
x
x
x
A
x x
x
→ →
+ −
+ −
= =
− + − +
Mà
' ' '
3
2
3
1
( ) ( 1 3 )
(1 3 )
y f x x
x
= = + =
+
,
'
(0) 1f⇒ =

và
2
' ' 3 '
3
3
( ) ( 1 )
2 1
x
y g x x
x
= = + =
+
'
3
(0)
2
g⇒ =
Từ đó
2
3
A=
2)
2
3
4
2
3
4
1 1
1 26 1 80

1 26 1 80
1
lim lim
3 2 3 2
1
x x
x x
x x
x
B
x x
x
→ →
+ − +
+ − +
−
= =
+ − + −
−
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
3
Trong đó
' ' 2 '
3
4
2 2 3
3
4
52 20
( ) ( 1 26 1 80 )

3 (1 26 ) (1 80 )
x
y f x x x
x x
= = + − + = −
+ +
'
52 20 32
(1)
27 27 27
f⇒ = − =
' ' '
1
( ) ( 3 )
2 3
y g x x
x
= = + =
+
'
1
(1)
4
g⇒ =
Từ đó
32 1 128
:
27 4 27
B = =
3)

3 4
3
4
3 4
3
4
0
0
27 1 81 1
27 1 81 1
1
lim lim
1 1 1 1
1
x
x
x x
x x
x
C
x x
x
→
→
− + +
− + +
−
= =
− − − −
−

Trong đó
2 3
' ' 3 4 '
3
4
3 2 4 3
3
4
27 81
( ) ( 27 1 81 1)
(27 1) (81 1)
x x
y f x x x
x x
= = − − + = −
− +
'
(0) 0 0 0f⇒ = − =
' ' '
1
( ) ( 1 )
2 1
y g x x
x
−
= = − =
−
'
1
(0)

2
g
−
⇒ =
Từ đó
1
0: 0
2
C
−
= =
4)
2
3
2
3
2 2 2 2
5 5
5 5
4 4
4 2
4 2
5
lim lim
6 3 18 9 6 3 18 9
5
x x
x x
x x
x

D
x x x x
x
→ →
+ − +
+ − +
−
= =
+ − + + − +
−
Trong đó
' ' 2 '
3
2 2
3
1 2
( ) ( 4 2 )
2 4
3 (2 )
x
y f x x x
x
x
= = + − + = −
+
+
'
1 10 11
(5)
6 27 54

f
−
⇒ = − =
' ' 2 2 '
5
4
2 3 2 4
5
4
3 18
( ) ( 6 3 18 9 )
2 (6 3 ) 5 (18 9 )
x x
y g x x x
x x
= = + − + = −
+ +
'
5 2 1
(5)
18 9 18
g⇒ = − =
Từ đó
11 1 11
:
54 18 3
D
− −
= =
Từ các giới hạn trên có thể khái quát dẫn đến các kết quả sau:

1. Cho
0
lim ( ) 0
x
f x
→
=
thì
1
0
. ( )
lim 0
( ) .
n
n
n
x
a f x b b
a
b
f x n b
−
→
+ −
= >víi
2. Cho
0
lim ( ) 0
x
f x

→
=
và
0
lim ( ) 0
x
g x b
→
= ≠
thì
1
0
. ( ) ( ) ( )
lim
( ) .
n
n
n
x
a f x g x g x
a
f x n b
−
→
+ −
=
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
4
1)

0
sin 3
lim
x
x
x
→
2)
0
1 os2
lim
x
c x
x
→
−
3)
0
3
1 2 1 sinx
lim
3 8 2
x
x
x x
→
− + −
+ − −
4)
2

3
0
2 1 2 1
lim
sinx
x
x x
→
+ − +
Giải
Đây là các giới hạn liên quan đến hàm số lượng giác, để tìm giới hạn
chúng ta có thể dùng kết quả
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
. Tuy nhiên trên quan điểm đạo hàm
chúng ta thấy bản chất vẫn là giới hạn dạng
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x

f x f x
f x
x x
→
−
=
−
với
( )y f x=
là một hàm số lượng giác nào đó.
1) Xét
( ) sin3y f x x= =
thì
(0) 0f =
và
'
( ) 3 os3y f x c x= =
Do đó
0 0
sin 3 sin3 sin 0
lim lim 3 os0 3
0
x x
x x
c
x x
→ →
−
= = =
−

2) Xét
( ) os2y f x c x= =
thì
(0) 1f =
và
'
( ) 2sin 2y f x x= =−

Do đó
0
1 os2
lim 2sin 0 0
x
c x
x
→
−
= =
3)
0 0
3 3
1 2 1 sin
1 2 1 sin
lim lim
3 8 2 3 8 2
x x
x x
x x
x
x x x x

x
→ →
− + −
− + −
=
+ − − + − −
Trong đó
' ' '
1
( ) ( 2 1 sin ) cos (0) 2
2 1
f x x x x f
x
= + + = + ⇒ =
+

' ' '
3
2
3
1 3
( ) ( 3 8 ) 1 (0)
4
(3 8)
g x x x g
x
−
= + − = − ⇒ =
+
Từ đó

0
3
1 2 1 sinx
lim
3 8 2
x
x
x x
→
− + −
+ − −
=
8
3
4)
0
2
3
2
3
0
2 1 2 1
2 1 2 1
lim lim
sin
sin
x x x
x x
x x
x

x
x
x
→ →
+ − +
+ − +
=
=
'
'
(0) 2
(0) 3
f
g
=
Trong đó
' ' 2 ' '
3
2 2
3
2 2 2
( ) ( 2 1 2 1) (0)
3
3 (2 1) 2 1
x
y f x x x f
x x
= = + − + = − ⇒ =
+ +

' ' '
( ) os (0) 1y g x c x g= = ⇒ =
Bài 5 Tìm các giới hạn sau:
1)
3
0
1 1 3 1
lim
x
x x
x
→
+ + −
2)
3
4
0
1 1 3 1 4 1
lim
x
x x x
x
→
+ + + −
3)
3
4
0
1 1 1 1
lim

x
ax bx cx
x
→
+ + + −
4)
3 5
4
0
1 1 1 1 1
lim
x
ax bx cx dx
x
→
+ + + + −
Giải
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
5
Nhận thấy rằng, nếu tính đạo hàm ngay thì kết quả sẽ khá phức tạp do
phải sử dụng đạo hàm của một tích, ta biến đổi biểu thức để chỉ phải tính đạo
hàm của một tổng các biểu thức bằng cách thêm bớt số hạng. Chẳng hạn lấy câu
1 làm ví dụ
1)
3 3 3 3
0 0
1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1
lim lim
x x
x x x x x x

A
x x
→ →
+ + − + + − + + + −
= =
=
3 3
0
( 1 1) 1 3 1 3 1
lim( )
x
x x x
x x
→
+ − + + −
+
=
3
3
0 0 0
( 1 1) 1 3 1 1 3
lim( lim 1 3 lim ) 1
2 2
x x x
x x
x
x x
→ → →
+ − + −
+ + = + =

Từ các câu trên ta có kết quả tổng quát là:
3
2 3
3
2
0
1 1 1 1
lim
2 3
n
n
n
x
a x a x a x
a a
a
x n
→
+ + + −
= + + +
Bài 6
1)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x

x x
→
− − − −
− +
2)
2
3
2
1
7 5
lim
1
x
x x
x
→
+ − −
−
3)
3
2
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
→
− − −

−
4)
2
3
4
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
→
+ − −
+
Giải
Các giới hạn này tính được dựa vào việc phân tích mẫu thức thành nhân
tử, sau đó dùng định nghĩa đạo hàm để tiếp tục tìm giới hạn.
1)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
→
− − − −

− +
=
2 2
1 1
3 2 4 2 3 2 4 2
1
lim lim .
( 1)( 2) 1 2
x x
x x x x x x
x x x x
→ →
− − − − − − − −
=
− − − −
Từ đó kết quả là
1 1
.( 1)
2 2
−
− =
2)
2
3
2
1
7 5
lim
1
x

x x
x
→
+ − −
−
=
2 2
3 3
1 1
7 5 7 5
1
lim lim .
( 1)( 1) 1 1
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − − + − −
=
− + − +
Từ đó kết quả là
5 1 5
.
12 2 24
=
3)
3
2
1
2 1 3 2

lim
1
x
x x
x
→
− − −
−
=
3 3
1 1
2 1 3 2 2 1 3 2
1
lim lim .
( 1)( 1) 1 1
x x
x x x x
x x x x
→ →
− − − − − −
=
− + − +
Từ đó kết quả là
5 1 5
.
9 2 18
− −
=
4)
2

3
4
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
→
+ − −
+
=
2 2
3 3
4 4
0 0
1 1 2 1 1 2
1
lim lim .
( 1) 1
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − − + − −
=
+ +
Từ đó kết quả là
1 1

.1
2 2
=
Bài tập đề nghị :Tìm các giới hạn sau:
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
6
1.
2
2
0
1 1
lim
x
x
x
→
+ −
2.
2
3
2
0
1 2 1
lim
x
x
x
→
+ −
3.

0
1 sin 1
lim
x
x
x
→
+ −
4.
2
3
2
0
1 2sin 1
lim
x
x
x
→
+ −
5.
0
4 tan 2
lim
x
x
x
→
+ −
6.

2
3
2
0
1 2 tan 1
lim
x
x
x
→
+ −
7.
2
0
(sinx 1 cos )
lim 0
x
a b x a
khi a
x
→
+ + − −
>
8.
0
2sin 1 os
lim 0
sin
n n
n

x
a x c x a
khi a
x
→
+ + − −
>
9.
2 2
1
1 1
lim
1
x
x x x x
x
→
+ − − + −
−
10
.
2 2
3
2
1
2 3 4 2 4
lim
x
x x x x
x x

→
+ − + + −
−
11.
2
4
3
0
sin 1 2sin 1
lim
1 1
x
x x
x
→
− + +
− −
12.
2
3
5
4
3sin 4 5 2cos os
lim
12 sin 4cos 30 2cos
x
x x c x
x x x
π
→

+ − − +
+ − − −
13.
3
2 2
2
0
1 1 2 1
lim
x
x x
x
→
+ + −
14.
3
2 34
0
1 1 2 1 3 1
lim
x
x x x
x
→
+ + + −
15
4 4
2
0
1 os sin

lim
1 1
x
c x x
x
→
− +
+ −
16
4 2
2
0
1 os 3tan
lim
sin cos 1
x
c x x
x x
→
− +
+ −
3. Kết thúc vấn đề
Trên đây là một cách tìm giới hạn trong khuôn khổ chương trình THPT,
mà cụ thể là phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn. Ngoài
phương pháp mà tôi chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn một số phương pháp giải
khác mà bản thân tôi, do năng lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa
nhiều nên đề tài của tôi không thể không còn những sơ suất. Chính vì vậy, tôi rất
mong có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Ninh Bình, tháng 5 năm 2009
Tác giả

Phạm Minh Ngọc
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
7