Ứng dụng của bất đẳng thức Cosi trong giải toán vật lý

Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
MC LC
Trang
A. T VN
I. Thc trng ca vn 2
II. Nhim v v phng phỏp nghiờn cu 2
II.1.Nhim v 3
II.2.Phng phỏp 3
III. Phm vi ca ti 3
B. NI DUNG
I.Nhng kin thc toỏn hc b tr 4
I.1.Bt ng thc Cụ-si 4
I.2.Tớnh cht o hm ca hm s 4
II.Nhng trng hp vn dng c th 4
II.1 Bi toỏn cc tr trong in mt chiu 4
II.2.Bi toỏn cc tr trong in xoay chiu 6
II.3.Bi tp liờn quan v giỏ tr cụng sut cc i khi R thay i 8
IV.Bi tp ngh 11
C.KT LUN 12

ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
1
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
A. T VN
I. Thc trng ca vn :
Trong nhng nm tr li õy B GD T quyt nh chuyn t hỡnh thc thi t
lun sang thi trc nghim khỏch quan ó em li s i mi mnh m trong vic dy
v hc ca giỏo viờn v hc sinh.
Tuy nhiờn, qua thi gian thc t ging dy trng trng THPT rỳt ra c mt
s vn sau:
1. Vic dy hc v ỏnh giỏ thi c theo hỡnh thc trc nghim khỏch quan ũi hi

giỏo viờn cng nh hc sinh phi cú s thay i v cỏch dy v hc. Dy hc theo
phng phỏp trc nghim khỏch quan ũi hi giỏo viờn khụng nhng phi u t theo
chiu sõu m cũn phi u t kin thc theo chiu rng, ngi dy phi nm c
tng quan chng trỡnh ca mụn hc. iu ny gõy rt nhiu khú khn cho giỏo viờn
trong quỏ trỡnh ging dy, c bit l i ng giỏo viờn tr va mi ra trng.
2.Vic ng dng ca toỏn hc cho m mụn vt lý m khụng lm lu m ý ngha vt lý
l mt trong nhng cụng vic khú khn khụng nhng cho hc sinh m cũn c giỏo
viờn chỳng ta
3. Khi chỳng ta chuyn sang hỡnh thc dy hc v ỏnh giỏ thi c theo phng phỏp
trc nghim khỏch quan thỡ i hi giỏo viờn phi m rng kin thc kin thc theo
chiu rng ỏp ng cho vn thi theo hỡnh thc trc nghim. Vỡ vy vn u
t cho vic gii bi toỏn theo phng phỏp t lun b m nht. iu ny nh hng
khỏ ln n cht lng, mc hiu sõu kin thc v ý ngha Vt lý ca hc sinh.
gúp phn ci thin thc trng trờn , tụi quyt nh thc hin ti ng dng
ca bt ng thc Cosi trong gii toỏn vt lý. Trong vt lý THPT cú nhiu bi toỏn
c gii theo phng phỏp tớnh giỏ tr cc i, cc tiu cỏc i lng Vt lý. Mi
loi bi toỏn u cú mt s cỏch gii nht nh. Song, chn cỏch gii phự hp l
iu ry khú khn cho hc sinh v mt s giỏo viờn , Bi l: Cha cú ti liu no vit
v vn ny cú tớnh h thng.
Qua thi gian cụng tỏc v ging dy trng, tụi ó tng hp, ỏp dng phng phỏp
v ó t c mt s hiu qu nht nh.
Hy vng ti ny s gúp phn vo gii quyt nhng khú khn trờn.
Vi thi gian cụng tỏc cha nhiu, trỡnh cũn hn ch m ti thỡ quỏ rng nờn
trong ti khụng th trỏnh c nhng sai sút v cha phỏt huy ht u im, tỏc
dng ca phng phỏp. Rt mong c s gúp ý chõn thnh t quý ng nghip
ti c hon thin v thit thc hn.
Tụi xin chõn thnh cm n!
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
2
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011

II. Nhim v v phng phỏp nghiờn cu

II.1.Nhim v
ti nờu ra phng phỏp gii cỏc dng bi tp liờn quan n cc tr trong phn in
mt chiu v in xoay chiu, t ú giỳp hc sinh hỡnh thnh phng phỏp lun cn
bn gii quyt cỏc vn khi gp phi, ng thi t ú cng giỳp cho cỏc em cú
th phõn bit c, ỏp dng c cỏc iu kin c th trong tng bi tp.
Bờn cnh ú, trờn c s nhng kt qu ó nghiờn cu, cỏc kin thc c phõn
loi trong tng trng hp vn dng giỳp hc sinh ghi nh v ỏp dng mt cỏch
nhanh chúng.

II.2.Phng phỏp
-Vn dng nhng kin thc toỏn hc tỡm cc tr, nh:
+Bt ng thc Cụ-si.
+Tớnh cht ca cỏc hm s lng giỏc.
+Tớnh cht o hm ca hm s.
-Khỏi quỏt húa, phõn loi cỏc trng hp cú th gii quyt cỏc bi tp trong
tng iu kin c th.
III.3 Phm vi ca ti
ti nghiờn cu mt vn tng i khú, cp n cỏc dng bi tp nõng cao
thng gp trong thi HSG, TSH, C v ch yu dnh cho hc sinh khỏ gii.
Vi phm vi mt sỏng kin kinh nghim trng THPT chỳng tụi ch cp n
mt s vn nh ca mụn vt lý.
- ng dng ca bt ng thc cosi trong gii toỏn vt lý.
-Mt s vn cn lu ý khi gii bi tp v phn in.

ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
3
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
B. NI DUNG

I. C S Lí THUYT:
Khi gii cỏc bi tp Vt lý, tớnh giỏ tr cc i hoc cc tiu ca cỏc i lng Vt
lý, ta thng mt s cụng thc, kin thc ca toỏn hc. Do ú, gii c cỏc bi
tp ú cn nm vng mt s kin thc sau õy:
1. Bt ng thc Cụ si:
2a b ab+
( a, b dng).
3
3a b c abc+ +
( a, b, c dng).
- Du bng xy ra khi cỏc s bng nhau.
- Khi tớch hai s khụng i, tng nh nht khi hai s bng nhau.
- Khi tng hai s khụng i, tớch hai s ln nht khi hai s bng nhau.
II. BI TP NG DNG C TH:
1: p dng bt ng thc Cụsi trong bi tp in mt chiu:
Bi toỏn 1:
Cho mch in nh hỡnh v:
Cho bit:
12V

=
, r = 4

, R l mt bin tr.Tỡm giỏ tr
ca R cụng sut mch ngoi t giỏ tr cc i.
BI GII
-Dũng in trong mch:
I
R r

=
+
- Cụng sut: P = I
2
.R =
2
2
.
( )
R
R r

+

2
2 2
2
R
P
R rR r

=
+ +
=
2 2
2
2
( )
2
r

r
R
R r
R
R

=
+
+ +
.
t
( )
r
y R
R
= +
2
2
P
y

=
Nhn xột: P
ma x

y
min
Theo bt ng thc Cụsi: Tớch hai s khụng i, tng nh nht khi hai s bng
nhau => y
min

r
R
R
=

R = r = 4
( )
thỡ
2 2 2
max
12
9( )
2 4 4.4
P W
r r r r

= = = =
+ +
Bi toỏn 2:
Mt ngun in cú sut in ng

= 6 V, in tr trong r = 2

, mch ngoi cú
in tr R.
a. Tớnh R cụng sut tiờu th mch ngoi l 4W.
b. Vi giỏ tr no ca R thỡ cụng sut tiờu th mch ngoi ln nht. Tớnh giỏ tr ú.
Hng dn:

a. Cụng sut tiờu th mch ngoi: P = R.I
2
= R.
( )

+
2
2
R r
khi P = 4W thỡ
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
4
E,
r
R
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
4 = R.
( )
2
2
6
2R

+
R = 1

v R = 4

.b. Ta cú: : P = R.I
2

= R.


=
ữ
ữ
+


ữ
+
ữ

2
2
2
R r
r
R
R
P = P
Max
thỡ
Theo BT Cụ-si thỡ :
r
R
R

+
ữ

2.
r
nh nht.
Du = xy ra khi
2 .
N
r
R R r
R
= = =
Vy khi ú

+ =
ữ

2
4.
r
R r
R
Khi ú: P = P
Max
=

2
4.r
=

2
6
4,5
4.2
=
W.
Bi toỏn 3:
Cho mch in cú s nh hỡnh v:
Bit,

= 15V, r = 1

,, R
1
= 2

, R l bin tr.
Tỡm R cụng sut tiờu th trờn R l cc i.
Tớnh giỏ tr cc i khi ú.
Hng dn:
Ta cú: P
R
=
2
U
R
Mt khỏc: U
R
= I.R
N

=

=
+ +
+
+
1
1
1
1
.
30
.
.
3 2
R R
R
R R
R R R
r
R R
.
Vy: P
R
=
( )
2
2 2
900
900

3 2 .
2
3
R
R R
R
R
=

+
+
ữ

Theo BT Cụ-si, ta cú :
2
3 2 6R
R

+
ữ

, du ô = ằ xy ra khi :
2
3 R
R

=
ữ

ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
5
E,r
R
1
R
R
E , r
A
Hỡnh 1.b
Hỡnh 1.a
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
hay R =
2
3

.
Vy : P
RMax
=
( )
2
900
37,5W.
2 6
=
2: p dng bt ng thc Cụsi trong bi tp in xoay chiu:
Bi toỏn 4:
Cho mch in nh hỡnh v:
Cho bit:

200 2 cos100 ( ).
AB
u t V

=

1
( )L H

=
,
4
10
( ).
2
C F


=
R thay i.
a. Tỡm R cụng sut trờn R cc i khi r = 0.
b. Tỡm R cụng sut trờn R cc i khi r = 50
( )
BI GII
a. + Cm khỏng
100( )
L
Z L

= =

.
+ Dung khỏng:
1
200( ).
C
Z
C

= =
+ Tng tr:
2 2
( )
L C
Z R Z Z= +
.
+ Cụng sut : P = I
2
.R =
2 2
2 2 2
. .
( )
L C
U U
R R
Z R Z Z
=
+

2

2
( )
L C
U
P
Z Z
R
R
=

+
t
2
( )
L C
Z Z
y R
R

= +

2
U
P
y
=
+ Nhn xột: Theo bt ng thc cụsi y
min

100( )
L C
R Z Z= =
, lỳc ú
2 2 2
max
200
200(W)
2 2.100 200
L C
U U
P
Z Z
= = = =

.
Vy P
ma x
= 200(W) khi R = 100
( )
b. + Tng tr
2 2
( ) ( )
L C
Z R r Z Z= + +
+ Cụng sut
2 2
2
2 2 2
. . .

( ) ( )
L C
U U
P I R R R
Z R r Z Z
= = =
+ +

2
2 2 2
.
2 ( )
L C
U
P R
R Rr r Z Z
=
+ + +
=
2
2 2
( )
2
L C
U
r Z Z
R r
R
+
+ +

t
2 2
( )
2
L C
r Z Z
y R r
R
+
= + +

2
U
P
y
=
.
+Nhn xột: P
max

min
y
.
Theo bt ng thc Cụsi
2 2
min
( )
L C
r Z Z
y R

R
+
=

2 2
( )
L C
R r Z Z = +
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
6
CL,r
R
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
2
max
2 2
2 2
2 2
( )
( ) 2
( )
L C
L C
C C
U
P
r Z Z
r Z Z r

r Z Z
=
+
+ + +
+
2
max
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
( ) . ( )
( ) 2
( ) . ( )
L C L C
L C
L C L C
U
P
r Z Z r Z Z
r Z Z r
r Z Z r Z Z
=
+ +
+ + +
+ +
2
max
2 2
2. ( ) 2
L C

U
P
r Z Z r
=
+ +

2
max
2 2
200
124( )
2.( 50 (100 200) 50)
P W = =
+ +
Vy P
max
= 124(W) thỡ
2 2
( ) 100( )
L C
R r Z Z= + =
.
*M rng: Khi tớnh P ca mch:
+ Nu
L C
Z Z r >
thỡ P
max
khi
L C

R Z Z r=
.
+Nu
L C
Z Z r
thỡ P
max
khi R = 0.
Bi toỏn 5:
Cho mch in RLC, R cú th thay i c,in ỏp hai u mch l:
4
20
1,4
150 2 os(100 t)V; L= ;
2
u c H C F



= =
. Tỡm R :
a. Mch tiờu th cụng sut P = 90W v vit biu thc ca cng hiu dng trong
mch khi ú.
b. Cụng sut ta nhit trờn mch cc i P
max
v tớnh giỏ tr P
max
* Hng dn gii
Ta cú:
a. Cụng sut ca mch tiờu th chớnh l cụng sut ta nhit trờn in tr R:

Vi
lch pha ca u va i tha món
Biu thc cng dũng in l
Vi
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
7
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
lch pha ca u va i tha món
Biu thc cng dũng in l
b. vi
p dng bt ng thc Cauchy ta cú:
Du bng xy ra khi
Khi ú cụng sut cc i ca mch
Vy khi thỡ
* Nhn xột : Trong mch in RLC m cun dõy cú thờm in tr hot ng r thỡ ta
cú th tỡm cụng sut mch cc i v cụng sut ta nhit trờn R cc i
Cụng sut ta nhit P trờn ton mch cc i:
Vi :
p dng bt ng thc Cauchy ta cú:
Du bng xy ra khi
Khi ú cụng sut cc i ca mch
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
8
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
Vy mch in xoay chiu RLC cú R thay i v cun dõy khụng thun cm t cụng
sut ta nhit trờn ton mch t giỏ tr cc i khi
Cụng sut ta nhit trờn in tr R, (PR) cc i:
Vi:
p dng bt ng thc Cauchy ta cú:

Du bng xy ra khi
Khi ú cụng sut cc i ca mch
Vy mch in xoay chiu RLC cú R thay i v cun dõy khụng thun cm t cụng
sut ta nhit trờn R cc i khi:
Bi toỏn 5:
Cho mch in xoay chiu gm cun dõy cú r = 50,
4
10
l H

=
v t in cú in
dung
4
10
C F


=
v in tr thun R thay i c. Tt c c mc ni tip vi nhau,
ri t vo hai u on mch cú hiu in th xoay chiu .
100 2 os(100 )u c t V

=
Tỡm
R :
a. H s cụng sut ca mch l
3
2
b. Cụng sut ta nhit trờn ton mch t cc i. Tớnh giỏ tr cc i ú.

c. Cụng sut ta nhit trờn in tr R cc i. Tớnh giỏ tr cc i ca cụng sut ú.
* Hng dn gii
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
9
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
Ta cú
a. H s cụng sut ca mch l
Thay s ta c
Gii phng trỡnh trờn ta c cỏc nghim R cn tỡm
b. Cụng sut tiờu th trờn on mch t giỏ tr cc i khi
Khi ú cụng sut cc i ca mch
c. Ta cú cụng suõt ta nhit trờn R l:
Vi:
p dng bt ng thc Cauchy ta cú:
Du bng xy ra khi
Khi ú cụng sut cc i ca mch:
IV.Bi tp ngh
Bi tp 1.Cho on mch nh hỡnh v:
r = 10; L =
)(
10
1
H

; C bin thiờn. Hiu in th hai u mch l:
u = 100
2
cos100

t(V).

ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
10
r, L
B
C
A
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
a. Tỡm C cụng sut tiờu th ca on mch cc i.
b.nh giỏ tr nh nht ca cụng sut on mch trong iu kin ng vi mt
giỏ tr ca cụng sut on mch cú hai giỏ tr khỏc nhau ca C.
ỏp s: a.C = 10
-3
/(F); b. P = 500W
Bi tp 2. Cho on mch xoay chiu nh hỡnh v:
R = 80; L =
)(
6,0
H

; C bin thiờn.
Hiu in th hai u mch l: u = 240
2
cos100

t(V). Khi C thay i, hóy tớnh giỏ
tr cc i mi vụn k v giỏ tr in dung C ng vi cỏc s ch cc i ny.
ỏp s: U
1max
= 240V; C = C
1

= 53àF
U
2max
= 180V; C = C
2
= 53àF
U
3max
= 300V; C = C
3
19àF
Bi tp 3. Cho on mch xoay chiu:
in tr thun R = 100; C =

4
10

(F); cun dõy thun cm, cú L bin thiờn. Hiu
in th hai u mch l: u = 200cos100

t(V).
a.Tớnh L h s cụng sut ca on mch cc i. Tớnh cụng sut ca mch
khi ú.
b.Tớnh L in ỏp hiu dng trờn L t cc i.
ỏp s: a. L = 1/

(H); P
max
= 200W
b. L = 2/

(H)
Bi tp 4.
Mt mch in xoay chiu AB gm biờn
tr R v cun cm thun cú L =0,09/

(H) ghộp ni tip nh hỡnh v. Hiu in th
hai u mch AB l: u = 5
2
cos100

t(V). Tớnh R cụng sut ca
on mch cc i. Tớnh cụng sut cc i ú.
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
11
L
B
C
A
R
V
1
V
2
V
3
L
R
B
C

A
L
R
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
ỏp ỏn: R = 9,0; P
max
1,4W
Bi tp 5.
Mt mch in xoay chiu nh hỡnh v:
Cun dõy cú t cm L = 0,5/

(H) v in tr ni r = 10
3

; T in cú C =

4
10

(F). in ỏp hai u mch: u
AB
= 100
2
cos100

t(V).
a.Tớnh cụng sut tiờu th ca mch.
b. in ỏp hai u cun dõy cc i, phi mc thờm mt t C

o
vo mch,
nờu cỏch ghộp v giỏ tr C
o
.
c. cụng sut on mch cc i, phi mc vo on mch ban u mt in
tr R. Nờu cỏch mc v tỡm giỏ tr R.
ỏp s: a.P = 62W
b.C
o
= C; ghộp C
o
//C.
c.R = 10(
35
), ghộp ni tip.
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
12
r, L
B
C
A
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
C. KT LUN
Xut phỏt t kinh nghim ca bn thõn, t thc t nhiu nm ging dy, bn thõn tụi
ỳc rỳt thnh kinh nghim mong em li cho cỏc em hc sinh mt cỏi nhỡn tng quỏt
hn v bi toỏn cc tr trong in mt chiu v xoay chiu v mt s lu ý khi lm
tp phn ny. Vic gii bi tp loi ny ũi hi hc sinh khụng nhng cú kin thc
vng vng v nm c bn cht vt lý m cũn phi cú kin thc c bn v toỏn hc
ti thiu nh tụi ó cp: Tớnh cht ca phõn thc i s; Tớnh cht ca cỏc hm s

lng giỏc ; Bt ng thc Cụ-si
Chỳng tụi ó phõn loi cỏc trng hp thng gp v iu kin vn dng hc sinh
cú th tham kho v qua ú cú th nhanh chúng kim tra, i chiu khi lm cỏc bi
tp trc nghim.
Cỏc bi tp ỏp dng trong ti ny cú th cú nhiu cỏch gii tuy nhiờn vi
mi bi tp, hc sinh phi phõn tớch k bi t ú chn phng phỏp gii phự
hp nht.
Bờn cnh ú, chỳng tụi a ra nhng bi tp ngh nhm giỳp cỏc em hc
sinh la chn cỏch gii phự hp rốn luyn k nng v phng phỏp lm bi.
Do thi gian cú hn nờn ti ny cha c ỏp dng rng rói v chc chn
khụng trỏnh ht nhng thiu sút. Vỡ vy rt mong c s gúp ý ca quý thy cụ giỏo
v cỏc bn ng nghip ti c hon thin hn v c ỏp dng thc hin
trong nhng nm hc ti.
Xin chõn thnh cm n!
Ba Đồn 01/5/2011
Ba Đồn 01/5/2011
Ng
Ng
ời viết : Nguyễn Thành Sơn
ời viết : Nguyễn Thành Sơn
ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
13
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
TI LIU THAM KHO
TI LIU THAM KHO
1. Bựi Quang Hõn Gii toỏn Vt lý 12 NXB Giỏo dc, 2004
2. Nguyn Th Khụi, V Thanh Khit Sỏch giỏo khoa Vt lý 12 NXB Giỏo dc,
2008.
3. V Thanh Khit, Nguyn Th Khụi Bi tp Vt lý 12 Nõng cao NXB Giỏo dc,
2008.

ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
14
Sáng kiến kinh nghiệm vật lý năm 2010-2011
ý kiến nhận xét, đánh giá của tổ chuyên môn.







ý kiến nhận xét, đánh giá của ban giám hiệu







Xếp loại sáng kiến kinh nghiệm







ứng dụng của bất đẳng thức côsi trong giải toán vật lý
15