6 đề thi thử đại học môn toán có lời giải

đề số 1
Đề thi thử đại học Năm 2009
môn :toán
Thời gian làm bài 180 phút
Đề gồm: 01 trang
Câu I
Cho hàm số y = x
4
+ mx
2
+ m
1) Với m = -2. Khảo sát hàm số.
2) Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh một tam giác có
diện tích bằng
1
4 2
.
Câu II
Giải các phơng trình sau:
1)
23572 =+ xxx

2)
3 sin
( ) 2
2 1 cos
x
tg x
x

+ =

+
Câu III
1) Tính tích phân:
dx
x
x
I
e
e

+
=
/1
2
1
ln
2) Tìm số hạng âm của dãy số sau :
2
3
2
1
4
4
71
+
+
+
+
=
n

n
n
n
n
P
A
P
A
x
Câu IV
1) Trong hệ toạ độ Oxy, cho 2 đờng tròn:
(C
1
): x
2
+y
2
= 16 và (C
2
): x
2
+y
2
- 2x - 2y 22 = 0.
Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B và nếu M
thuộc đờng thẳng AB thì khoảng cách từ M tới tâm của (C

1
) nhỏ hơn khoảng
cách từ M tới tâm của (C
2
).
2) Trong hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng (d) và măt phẳng (P) có phơng trình:
(P): 2x+y-2z+1=0
(d):
1
1
1
3
2
1
=


=
zyx
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua giao điểm của (d) và (P) ,
nằm trong mặt phảng (P) và vuông góc với (d).
b) Viết phơng trình mặt cầu bán kính R=1 có tâm nằm trên đờng thẳng (d) và
tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu V
Chứng minh rằng nếu
0 1y x
thì
1
4
x y y x

. Đẳng thức xẩy ra khi nào?
đề số 2
Đề thi thử đại học Năm 2009
môn :toán
Thời gian làm bài 180 phút
Đề gồm: 01 trang
Câu 1: Cho hàm số:
y =
( )
mx
mxmx

+ 412
2
1)Vi m = -1. Khảo sát hàm số.
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cách nhau 1 khoảng bằng 4.
Câu 2:
1) Giải hệ phơng trình:





=+
=
7
)(19
22
33
yxyx

yxyx
2) Giải phơng trình:
xx 2coscos5
+
0sin2
=
x
Câu 3:
1) Tính tích phân
I =

+
+
2
2
1
1
)
1
1( dxe
x
x
x
x
2) Trong khai triển của
n
abba

+

3
6
1
6
1

, xác định số hạng mà luỹ thừa của a và b
giống nhau biết
40172
2
22
2
4
2
2
2
0
2
2 =+++++
n
n
n
nnnn

CCCCC
.
Câu 4:
1) Trong hệ toạ độ Oxy. Cho

ABC có AB: 2x-y-1=0
AC:2x+y-3=0. Trực tâm H(1;
2
1
). Tìm toạ độ trọng tâm

ABC.
2) Trong hệ toạ độ Oxyz. Cho 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình
(d
1
):
0
1
1
1
1
1
=

+
=

zyx
(d
2
):
{
02
023
=+
=++
zyx
zyx
a) Tính góc và khoảng cách giữa (d
1
)và (d
2
)
b) Viết phơng trình hình chiếu của (d
2
) xuống mặt phẳng (P): x+y+z-1=0
Câu 5: Cho x,y>0. Chứng minh rằng:
)(2)(
1

yxyx ++

với
]1;0(

đề số 3
Đề thi thử đại học Năm 2009

môn :toán
Thời gian làm bài 180 phút
Đề gồm: 01 trang
Câu 1
Cho hàm số y = x
3
-3x
2
+ 4
1) Khảo sát hàm số
2) Tìm giá trị của k để phơng trình :
kxx lg)2(1
2
=+

có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2
1) Giải phơng trình :
0214).12sin2
3sin1
(
2
=++

xxx
Cosx
x
2) Cho hàm số
x
xey

2
=
. Giải bất phơng trình
2" xy
.
Câu 3
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.
y
2
= 8x ; y=-x-2 ; y=0
2) Tính tổng
2008
2008
3
2008
2
2008
1
2008
2009
2008
4
3
3
2
2
1
CCCCS ++++=
Câu 4
1) Trong hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): 2x+y+1=0 và A(-1;1).

Viết phơng trình đờng tròn có tâm nằm trên trục tung và tiếp xúc với (d) tại
A.
2) Trong hệ toạ độ Oxyz,
Cho 4 điểm A(4;4;4) ; B(6;-6;6) ; C(-2;10;-2) ; S(-2;-2;6)
a) Chứng minh rằng OBAC là hình thoi.
b) Gọi M là trung điểm của SO, mặt phẳng (MAB) cắt SC tại N.
Tính thể tích của khối chóp S.ABMN.
Câu 5:
Cho

ABC thoả mãn : CotgA+CotgB=2CotgC .
Tìm giá trị lớn nhất của góc C.
đề số 4
Đề thi thử đại học Năm 2009
môn :toán
Thời gian làm bài 180 phút
Đề gồm: 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hm s y = x
3
3mx
2
+ (m
2
+ 2m 3)x + 3m + 1
1/ Tỡm m th hm s cú cỏc im cc i v cc tiu nm v cựng mt phớa
i vi trc tung.
2/ Kho sỏt hm s khi m = 1
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phơng trình :
2 2

x x 5 x 1 x 5
4 12.2 8 0

+ =

2) Giải hệ phơng trình :
3 2
3 2
x 1 2(x x y)
y 1 2(y y x)

+ = +


+ = +



Câu 3 (2,0 điểm )
1) Tính tích phân
e
ln x
I dx
2
(1 x)
1
=

+

2) Trong khai triển của nhị thức
4
1
2
n
x
x

+


có 3 hệ số đầu tiên tạo thành một
cấp số cộng.Tìm tất cả các số hạng của khai triển đó chứa x với số mũ nguyên
Câu 4 (3,0 điểm)
1)Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C):
4
22
=+ yx
. Tỡm cỏc im trờn ng thng
(D):y=2 sao cho t mi im ú, ta v c n (C) 2 tip tuyn hp vi nhau 1 gúc 45
0
2) Cho 2 mt phng (P):x+y-5=0 v (Q):y+z+3=0 v im A(1;1;0).
Tỡm phng trỡnh ng thng (D) vuụng gúc vi giao tuyn ca (P) v (Q),
ct (P) v (Q) ti M,N sao cho A l trung im M,N
3) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cnh bng a.
SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SA=a.
Tớnh khong cỏch gia ng thng AC v SD
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm :
2

4 2x mx m
= +
================** Hết **=================
đề số 5
Đề thi thử đại học Năm 2009
môn :toán
Thời gian làm bài 180 phút
Đề gồm: 01 trang
Cõu I (2 i m) : Cho hm s :
1
22
2
+
++
=
x
xx
y
( C)
1. Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s .
2. Tỡm trờn th ( C) i m A sao cho ti p tuy n c a ( C) t i A vuụng gúc v i ng th ng n i A
v i tõm i x ng c a th .
Câu 2 ( 2 i m)đ ể :
1. Gi i ph ng trình: sinả ươ
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =

2
3
2. Tìm m đ h sau có nghi m: ể ệ ệ





=+
=−+−
myx
yx
3
414
Câu III ( 2 i mđ ể ):
Trong không gian v i h tr c to đ vuông góc Oxyz cho hai đ ng th ng ớ ệ ụ ạ ộ ườ ẳ
d
1:



=++
=−−
023
0232
zx
yx

và d
2

:



=++
=+−
012
0932
zy
yx
1.
Ch ng minh r ng dứ ằ
1
; d
2
song song. Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a dế ươ ặ ẳ ứ
1
và d
2
2.
Tính kho ng cách gi a dả ữ
1
và d
2
Câu IV ( 2 i mđ ể ):
1. Tính tích phân: I =
dx
x
x
∫

−
+
1
0
3
1
2. Bi t n là s t p con khác r ng c a t p A có 4 ph n t ; và bi t:ế ố ậ ỗ ủ ậ ầ ử ế
(x + 1)
n
(x – 2) = a
0
x
n+1

+ a
1
x
n
+ a
2
x
n-1
+ …+a
n
x + a
n+1
.
Hãy tính a
9
Câu V ( 2 i mđ ể ):

1. Trong m t ph ng to đ Oxy, cho ba đi m A(10;5); B(15;-5), D(-20;0) là ba đ nh c a m t hình ặ ẳ ạ ộ ể ỉ ủ ộ
thang cân ABCD. Tìm to đ đi m C bi t hai đáy là AB và CD.ạ ộ ể ế
2.Gi i h : ả ệ





>++−
<−
0953
3
1
0loglog
23
2
2
2
2
xxx
xx
……………… h t ………………ế
H và tên thí sinh:…………………………… ọ
3. S báo danh:…………………………………. ố
®Ò sè 6
§Ò thi thö ®¹i häc N¨m 2009
m«n :to¸n
Thêi gian lµm bµi 180 phót
§Ò gåm: 01 trang
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số

2
2
1
x
y
x
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2. Tìm
0;
2
π
α
 
∈
 ÷
 
sao cho điểm
( )
1 sin ;9M
α
+
nằm trên đồ thị (C). Chứng minh rằng, tiếp
tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua điểm
M.
Câu 2. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2
cotg 8cos 3sin 2x x x= +

2. Giải phương trình:
( )
2 2
2 1 3 1 2 2 5 2 8 5x x x x x x− + + = + + − −
Câu 3. (3 điểm)
1. Cho hai điểm A(1; 2), M(– 1; 1) và hai đường thẳng:
(d
1
): x – y + 1 = 0 và ( d
2
): 2x + y – 3 = 0.
Tìm điểm B thuộc đường thẳng d
1
, điểm C thuộc đường thẳng d
2
sao cho ∆ABC vuông tại A và
M là trung điểm của BC.
2. Cho hai đường thẳng:
1
2 2
: 2 5
2
x t
y t
z t
= +


∆ = − +



= −

và
2
2 3 5 5 0
:
3 5 0
x y z
y z
− + − =

∆

− + =

a. Chứng minh rằng
1 2
,∆ ∆
là hai đường thẳng chéo nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng
1 2
,∆ ∆
và vuông góc với
mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + y – 2z + 9 = 0.
Câu 4. (2 điểm)
1. Tính tích phân
3
4 2
2

0
3 27 1
9
x x x
I dx
x
+ + +
=
+
∫
.
2. Chứng minh rằng:
1 2 3
2 4 6 2 2 .
n n
n n n n
C C C nC n+ + + + =
(n là số nguyên dương,
k
n
C
là tổ hợp
chập k của n phần tử)
Câu 5. (1 điểm) Cho x, y z là các số dương và
3
2
x y z+ + ≤
. Chứng minh rằng:
1 1 1 7
2 2 2 2

x y x
x y y z z x
+ + + + + ≥
+ + +
.
*********Hết*********
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1
1. Học sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Điểm
( )
1 sin ;9M
α
+
nằm trên đồ thị (C) nên:
( )
2
2
sin 2
2 1 sin
9 2sin 5sin 2 0
1
1 sin 1
sin
2
α
α
α α
α
α

=

+

= ⇔ − + = ⇔

+ −
=

Do
0;
2
π
α
 
∈
 ÷
 
nên
1
sin
2 6
π
α α
= ⇒ =
Khi đó, điểm M có tọa độ:
3
;9
2
M

 
 ÷
 
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là:
3 3
9 '
2 2
y y x
  
− = −
 ÷ ÷
  
hay
6 18y x= − +
(d)
Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại: A(1; 12)
Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm (x; y) hệ phương trình:
( )
6 18 2
2;6
2 2 6
y x x
B
y x y
= − + =
 
⇔ ⇒
 
= + =
 

Ta thấy:
3
2 2
9
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+

= =



+

= =


Suy ra, A, B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm)
Câu 2
1. Điều kiện: sinx ≠ 0.
Phương trình đã cho:
2 2 2 2 2
cotg 8cos 3sin 2 1 cotg 9cos 6sin cos sinx x x x x x x x= + ⇔ + = + +

( )
2
2
1
3cos sin
sin
x x
x
⇔ = +
( )
1
3cos sin
sin
1
3cos sin
sin
x x
x
x x
x

= +

⇔


= − +


2

2
3sin cos sin 1 0
3sin cos sin 1 0
x x x
x x x

+ − =
⇔

+ + =


( )
2
cos 3sin cos 0
2 tan 3tan 1 0
x x x
x x

− =
⇔

+ + =


cos 0
1
tan
3
1

tan
2
tan 1
x
x
x
x
=



=

⇔

= −



= −

2
1 1
, , tan , tan
3 2
4
x k
x k
k Z
x k

x k
π
π
α π
α β
β π
π
π

= +


= +

⇔ ∈ = = −

= +


= − +


2. Điều kiện:
1
3
x ≥ −
.
Với điều kiên đó, phương trình đã cho tương đương với:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2
2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 2 0x x x x x x x x x
 
 
+ + − + + + + + + − + + + + =
 
 
( )
2 2
1 3 1 2 1 2 0x x x x
   
⇔ + − + + + − + =
   
( )
1 3 1 0
2 1 2 0
x x
x x

+ − + =

⇔

+ − + =


( )
1 3 1
1
2 1 2

x x
x
x x

+ = +

⇔ ⇔ =

+ = +


là nghiệm của phương trình.
Câu 3
1. B thuộc đường thẳng d
1
nên B(b; b+1); C thuộc đường thẳng d
2
nên C(c; - 2c + 3).
Do vậy:
( )
1; 1AB b b− −
uuur
và
( )
1; 1AB b b− −
uuur
∆ABC vuông tại A khi
( ) ( ) ( ) ( )
. 0 1 1 1 2 1 0AB AC b c b c= ⇔ − − + − − + =
uuur uuur

( ) ( )
1
1 0
0
b
b c
c
=

⇔ − − = ⇔

=

*Với b = 1 thì B(1; 2) ≡ A(1; 2) (loại)
*Với c = 0 thì C(0; 3), M là trung điểm BC nên:
( )
1
2 2
2; 1
2 1
B M C
B M C
x x x
B d
y y y
= − = −

⇒ − − ∈

= − = −


Vậy, hai điểm cần tìm là: B(- 2; - 1), C(0; 3).
2. ∆
1
đi qua điểm M
1
(2; - 2; 0) và có véc tơ chỉ phương
( )
1
2;5; 2u = −
ur
∆
2
đi qua điểm M
2
(- 5; - 5; 0) và có véc tơ chỉ phương
( )
2
2;3;1u =
uur
Ta có:
( ) ( )
1 2 1 2
5 2 2 2 2 5
; . . 7 . 3 .0 59 0
3 1 1 2 2 3
u u M M
− −
 
= − + − + = − ≠

 
ur uur uuuuuur
Vậy:
1 2
,∆ ∆
là hai đường thẳng chéo nhau.
3. Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến
( )
2;1; 2n = −
r
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆
1
và vuông góc với mặt phẳng (P), (R) là mặt phẳng chứa ∆
2
và
vuông góc với mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (Q) khi đó đi qua M
1
và có véc tơ pháp tuyến là
1
;u n
 
 
ur r
, phương trình mặt phẳng (Q)
là:
( ) ( ) ( )
5 2 2 2 2 5
. 2 . 3 . 0 0
1 2 2 2 2 1

x x z
− −
− + + + − =
− −
2 0x z
⇔ + − =
Mặt phẳng (R) khi đó đi qua M
2
và có véc tơ pháp tuyến là
2
;u n
 
 
uur r
, phương trình mặt phẳng (R)
là:
( ) ( ) ( )
3 1 1 2 2 3
. 5 . 5 . 0 0
1 2 2 2 2 1
x x z+ + + + − =
− −
7 6 4 5 0x y z⇔ − + − − =
Do
1 2
,∆ ∆
là hai đường thẳng chéo nhau nên hai mặt phẳng (Q) và (R) không song song hoặc
trùng nhau, hay mp(Q) và mp(R) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng ∆, và rõ ràng đường
thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng
1 2

,∆ ∆
và vuông góc với mặt phẳng (P). Phương trình đường
thẳng ∆ cần lập là:
2 0
7 6 4 5 0
x z
x y z
+ − =


− + − − =

Câu 4.
1. Ta có
3 3 3 3
4 2
2
2 2 2
0 0 0 0
3 27 1
3
9 9 9
x x x xdx dx
I dx x dx
x x x
+ + +
= = + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
*

3
3
2 3
0
0
3 27x dx x= =
∫
*
( )
( )
2
3 3
3
2
2 2
0
0 0
9
1 1 1
ln 9 ln 2
9 2 9 2 2
d x
xdx
x
x x
+
= = + =
+ +
∫ ∫
* Xét:

3
2
0
9
dx
x +
∫

Đặt
3tan , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
Khi x = 0 thì t = 0
Khi x = 3 thì
4
t
π
=
( )
2
2
3
3 1 tan
cos
dx dt t dt

t
= = +
Do đó:
( )
2
3
4 4
4
2 2
0
0 0 0
3 1 tan
1 1
9 9 tan 9 3 3 12
t dt
dx
dt t
x t
π π
π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Vậy:
1
27 ln 2
2 12
I

π
= + +
2. Ta có, theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:
( )
0 1 2 2 3 3
1
n
n n
n n n n n
x C C x C x C x C x+ = + + + + +
Đạo hàm theo biến x hai vế ta được:
( )
1
1 2 3 2 1
1 2 3
n
n n
n n n n
n x C C x C x nC x
−
−
+ = + + + +
Thay x = 1, ta lại có:
( )
1
1 2 3 2 1
1 1 2 .1 3 .1 .1
n
n n
n n n n

n C C C nC
−
−
+ = + + + +
( )
1 1 2 3
2.2 2 2 3
n n
n n n n
n C C C nC
−
⇔ = + + + +
1 2 3
2 . 2 4 6 2
n n
n n n n
n C C C nC⇔ = + + + +
(điều phải chứng minh)
Câu 5
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được:
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2 9
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
 
 
+ + + + + + + ≥
 ÷

 
+ + +
 
( ) ( ) ( )
1 1 1 9 3
2 2 2 2 2 2x y y z z x x y y z z x x y z
⇒ + + ≥ =
+ + + + + + + + + +
Vậy:
( )
1 1 1 3
2 2 2
x y z x y z
x y y z z x x y z
+ + + + + ≥ + + +
+ + + + +
Đặt t = x + y + z, xét hàm số:
( )
3
f t t
t
= +
với
3
0
2
t< ≤
Có
( )
2

2 2
3 3 3
' 1 0, 0;
2
t
f t t
t t
−
 
= − = < ∀ ∈


 
Do đó, khi
3
0
2
t< ≤
thì
( )
3 3 3 7
3
2 2 2
2
f t f
 
≥ = + =
 ÷
 
Hay:

1 1 1 7
2 2 2 2
x y z
x y y z z x
+ + + + + ≥
+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2 2 2
1
3
2
2
x y y z z x
x y z
x y z
+ = + = +


⇔ = = =

+ + =


Hết