các chuyên đề luyện thi đại học môn toán

I. PHẦN HÀM SỐ
1. TIẾP TUYẾN
Bài 1: Cho hàm số
3 2
y = x + 3x 3 2x+ +
có đồ thị (C) và M, N là hai điểm thay đổi trên
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N song song với nhau. Viết phương trình đường
thẳng MN biết MN tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng
8
3
.
Bài 2: Cho hàm số
23
23
+−= xxy
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
đường thẳng
2)2( −−= xmy
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;-2), B, D sao cho tích
các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hàm số
4 2
5 4y x x= − +
có đồ thị (C). Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C)
của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
2 7 4y x x x= − − −
có đồ thị (C). Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C)
của hàm số mà qua đó chỉ có thể kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bài 5: Cho hàm số y =

1
x
x −
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C),
biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Bài 6: Cho (C
1
):
3 2
4y x x= −
và (C
2
):
2
8 4y x x= − +
. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) tiếp
xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung với (C
1
), (C
2
) tại tiếp điểm của chúng.
Bài 7: Cho hàm số y =
1
1
x
x

+
−
có đồ thị (C). Tìm để đường thẳng d:
2y x m= +
cắt (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Bài 8: Cho hàm số y =
1−x
x
có đồ thị là (C). Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao
cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Bài 9: Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C) và M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của
(C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường
tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
nhỏ nhất.
D2005 Cho Gọi M là điểm thuộc
3 2
1 1
( ):
3 2 3
m

m
C y x x= − +
có hoành độ bằng 1. Tìm m
để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng 5x – y = 0
D2007 Cho
( )
2
:
1
x
C y
x
=
+
. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy
tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
B2008 Cho
( )
3 2
: 4 6 1C y x x= − +
. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua M(-1;-9)
A2009 Cho
( )
2
:
2 3
x

C y
x
+
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến cắt
2 trục Ox; Oy tại 2 điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB cân tại O.
D2010 Cho (C):
4 2
6y x x= − − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x= −
CĐ2010 Cho (C):
3 2
3 1y x x= + −
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ bằng
1−
A2011 Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=

−
có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y
= x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số
góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.
CĐ2011 Cho hàm số y =
3 2
1
x 2x 3x 1
3
− + − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thi (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
2. ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ
Bài 1: Cho hàm số:
3 2
y x 3x mx 1= − + +
(1) . Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu
và đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu cắt đường tròn (C):
2 2
( 1) ( 3) 8x y− + + =

theo một dây cung có độ dài bằng 4

Bài 2: Cho hàm số y = x
4
– 8m
2
x
2
+ 1 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực
trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 64.
Bài 3: Cho hàm số
3 2 2
2 1
( 1) ( 4 3)
3 2
y x m x m m x= + + + + + +
. Với giá trị nào của m hàm số có
cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2 1 2
. 2( )x x x x− +
.
Bài 4: Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 – m
2
)x + m

3
– m
2
(C
m
) . Tìm m để (C
m
) có hai
cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt dường tròn (T): x
2
+ y
2
= 25 một dây
cung có độ dài bằng 6.
Bài 5: Cho đường cong (C
m
): y = x
4
– 2mx
2
+ 2m + m
4
. Tìm m để (C
m
) có 3 cực trị và
các điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác đều .
Bài 6: Cho hàm số y = x
3
+ 2(m-1)x
2

+ (m
2
– 4m + 1)x – 2(m
2
+ 1) có đồ thị (C
m
). Tìm
m để (C
m
) đạt cực trị x
1
, x
2
sao cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x
3
+ 9mx
2
+ 12m
2
x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

đồng thời
2
CD CT
x x=
.
Bài 8: Cho hàm số y =
3 4
2 1
x
x
−
−
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng với
nhau qua điểm I(1; 1)
Bài 9: Cho hàm số y =
3
1
x
3
-
2
1
mx
2
+ (m
2
– 3)x. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
có cực đại, cực tiểu đồng thời x
CĐ
, x

CT
là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có cạnh huyền bằng
2
5
.
Bài 10: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ thị là (C
m
); ( m là tham số). Xác định m
để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến
của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài 11: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x 1
= − + + + +
có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
)
có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2.

B2002 Cho
4 2 2
9 10y mx ( m )x= + − +
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
B2007 Cho
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x ( m )x m= − + + − − −
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ.
CĐ2009 Cho
( ) ( )
3 2
2 1 2 2y x m x m x= − − + − +
. Tìm m sao cho hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương.
B2011 Cho hàm số
4 2
2 1y x ( m )x m= − + +
(1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC=
, O là gốc tọa
độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
B2012 Cho
3 2 2
3 3y x mx m= − +
(1). Tìm m để đồ thị (1) có 2 cực trị A, B sao cho tam giác
OAB có diện tích là 48.
A2012 Cho
4 2 2

2 1y x ( m )x m= − + +
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của
một tam giác vuông.
A2013 Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
3 3 1 (1)y x x mx= − + + −
nghịch biến trên khoảng
( )
0;+∞
B2013 Tìm m để đồ thị hàm số
( )
3 2
2 3 1 6 (1)y x m x mx= − + +
có 2 cực trị A, B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2
3. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hàm số y =
1
1
x
x
+
−
. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
1
x
m
x
+

=
−
.
B2009 Khảo sát hàm số
4 2
2 4y x x= −
. Tìm m để phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6
nghiệm phân biệt .
4. SỰ TƯƠNG GIAO
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
+ 2mx
2
+ 3(m – 1)x + 2 (1) . Cho điểm M(3; 1) và đường
thẳng ∆: y = - x + 2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số (1) tại ba
điểm A(0; 2), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 2
6
.
Bài 2: Cho hàm số y = - x
3
+ 3x – 2. Đường thẳng d đi qua M(0; -2) và có hệ số góc k.
Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, B. Chứng minh khi đó M là trung điểm
của AB.
Bài 3: Cho hàm số y =
2
2 1
x

x
− +
+
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d
m
: y = m(x – 5) +
10 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B và nhận M(5; 10) làm trung điểm của đoạn
AB.
Bài 4: Cho họ (C
m
): y = x
3
– 2mx
2
+ (2m
2
– 1)x – m(m
2
– 1). Tìm m để (C
m
) cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 5: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2 và đường tròn (C
a
): x
2

+ y
2
– 2ax – 4ay + 5a
2
– 4 = 0.
Tìm a để các điểm cực đại, cực tiểu của (C) nằm về hai phía đối với (C
a
).
Bài 6: Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
+
=
−
. Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k.
Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và
3 10MN =
.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 1
= − −
có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua
( )
M 0; 1
−
và

có hệ số góc k. Tìm k để dường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt
Bài 8: Cho hàm số y = x
3
+ mx + 2 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại
một điểm duy nhất.
D2006 Cho
3
3 2y x x= − +
có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số
góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
D2009 Cho
3 2
3 4y x x= − +
(1). CMR mọi đường thẳng đi qua I(1; 2) với hệ số góc k ( k
> 3) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
AB.
B2009 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
y x m= - +
cắt đồ thị hàm số
2
1x
y
x
-
=
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
4AB =
D2009 Cho
( )
( )

4 2
: 3 2 3
m
C y x m x m= − + +
. Tìm m sao cho đường thẳng
1y = −
cắt
( )
m
C

tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
D2009 VIIb Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
2y x m= - +
cắt đồ thị hàm
số
2
1x x
y
x
+ -
=
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB
thuộc trục tung.
A2010 Cho hàm số
( )
3 2
2 1 (1)y x x m x m= − + − +
. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3
; ;x x x
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
B2010 Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng
2y x m= − +
cắt đồ
thị (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
D2011 Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C). Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt

đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành
bằng nhau.
D2013 Cho
( )
3 2
2 3 1 1 (1)y x mx m x= − + − +
. Tìm m để đường thẳng y = - x + 1 cắt đồ thị
hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt.
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Bài 1:
1 2
1 2x
1 3x 1
≥
−
+ +
Bài 2:
2 3
2x 4 5 x 1+ = +

Bài 3:
( )
2
x 1 2 x 1
+ ≥ −
Bài 4:
( )
2 2
x 3x x 4x 3 0− − + ≥

Bài 5:
2 2
x x 4x 5 2x 3x
− + + ≥
Bài 6:
5 1
5 x 2x 5
2x
2 x
+ ≤ + +

Bài 7:
5 1
5 x 2x 5
2x
2 x
+ ≤ + +
Bài 8:
3 3
x 34 x 3 1
+ − − =
D2002
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x
− − − ≥
D2005
2 2 2 1 1 4x x x
+ + + − + =
D2006
2

2 1 3 1 0x x x
− + − + =
A2004
2
2( 16)
7
3
3 3
x
x
x
x x
−
−
+ − >
− −
A2005
5 1 1 2 4x x x
− − − > −
A2009
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x
− + − − =
CĐ2009
1 2 2 5 1x x x+ + - +£

A2010.
( )
2
1

1 2 1
x x
x x
−
≥
− − +
B2010
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =

B2011.
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x
+ − − + − = −
B2012
2
1 4 1 3x x x x
+ + − + ≥
CĐ2011. Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm
( )
6 x 2 (4 x)(2x 2) m 4 4 x 2x 2+ + − − = + − + −
(
x R∈
).
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 :
3 3
2 2 3
x y 1
x y 2xy y 2


+ =


+ + =


Bài 2 :
3 3 2
2 2
y x y x
y x x y

− = −


+ = −



Bài 3 :
2
3 2
x xy 2
x 2xy 2y x

+ =


+ − =



Bài 4 :
( ) ( ) ( )
2 2
x 1 y 1 x y 2 6
x y 2x 2y 3 0
 − − + − =


+ − − − =



Bài 5 :
x 5 y 2 7
x 2 y 5 7

+ + − =


− + + =


Bài 6 :
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y

y x y x y

+ + + =

+ = + +

Bài 7 : Tìm m để hệ phương trình :
( )
2 2
mx 2m 1 y 3 0
x y 2x 2y 0
 + − + =


+ − + =


có nghiệm duy nhất.
Bài 8 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
x y 1
x x y y 1 3m

+ =


+ = −


Bài 9 :
3 3

2 2 3
x y 1
x y 2xy y 2

+ =


+ + =


B2009
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =



+ + =



D2009
( )
( )
2
2
1 3 0

5
1 0
x x y
x y
x
 + + − =


+ − + =


A2010
( )
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =



+ + − =


CD2010
2 2

2 2 3 2
2 2
x y x y
x xy y

+ = − −


− − =


A2011
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y

− + − + =


+ + = +



D2008
2 2
2
2 1 2 2

xy x y x y
x y y x x y

+ + = −


− − = −


B2003
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y

+
=




+

=



B2008
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

+ + = +


+ = +


A2006
3
1 1 4
x y xy
x y

+ − =


+ + + =




A2008
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

+ + + + = −




+ + + = −


D2011 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
3 2
2
2 ( 2)
( , )
1 2
x y x xy m
x y

x x y m

− + + =

∈

+ − = −


¡
IV. MŨ, LOGARIT
Bài 1:
( ) ( )
2 3
3 2
log x 1 log x 1
>
+ +

Bài 2:
( ) ( ) ( )
8
4 8
2
1 1
log x 3 log x 1 3log 4x
2 4
+ + − =
Bài 3:
( ) ( )

x x 1 2
3 1 3
3
log 2 1 .log 2 2 2log 2 0.
+
+ + + =

Bài 4:
( ) ( )
x x
3x
20 14 2 20 14 2 4
+ + − =
Bài 5:
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16
+ + + + + =

Bài 6:
( )
( )
2
3x 1 3x 1
2
y 4 2x 1
2x y 1 2x y 1
2log 2x 1 1 log
6x 5x 1

2 2 1 0
+ +
− −

+ + +
+ − =

+ +


+ − =


Bài 7:
( )
2
9 3 3
2log x log x.log 2x 1 1
= + −
Bài 8:
2 2
1 2 2 1 2 2
2
2
log (5 2 ) log (5 2 ).log (5 2 ) log (2 5) log (2 1).log (5 2 )
x
x x x x x x
+
− + − − = − + + −
B2002

x
x 3
log (log (9 72)) 1 (x )− ≤ ∈¡

D2003
2 2
2
2 2 3
x x x x
− + −
− =
D2006
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =

D2007
x x
2 2
x
1
log (4 15.2 27) 2log 0 (x )
4.2 3
 
+ + + = ∈
 ÷
−

 
¡
D2008
2
1
2
x 3x 2
log 0 (x )
x
− +
≥ ∈¡

B2006
x x 2
5 2 5
log (4 144) 4log 5 1 log (2 1) (x )
−
+ − < + + ∈¡
A2009
( )
( )
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
− +


+ = +



=


B2010
( )
2
2
log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
 − =


+ =


D2010
3 3
2 2 2 2
4 4
4 2 4 2
x x x
x x x
+ + + +

+ −
+ = +

D2010 VIIb
( )
2
2
2
4 2 0
2log 2 log 0
x x y
x y

− + + =


− + =


D2011
2
2 1
2
log (8 x ) log ( 1 x 1 x) 2 0− + + + − − =

A2008
2 2
2x 1 x 1
log (2x x 1) log (2x 1) 4
− +

+ − + − =
CĐ2011
2 2
x x x 2x 3 1 x 2x 3
4 3.2 4 0
+ − − + − −
− − >

B2008
2
0,7 6
x x
log (log ) 0 (x )
x 4
 
+
< ∈
 ÷
+
 
¡
A2006
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =

A2007
3 1
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2− + + ≤

V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1:
2 2
cos 3 sin 2 1 sinx x x
− = +

Bài 2:
3 3 2
cos 4sin 3cos .sin sin 0x x x x x
− − + =
Bài 3:
sin 2 2 tan 3x x
+ =
3
sin .sin 2 sin 3 6cosx x x x
+ =

Bài 4:
cos 2 1
2
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
Bài 5
sin 3 cos3 2 cos 0x x x
+ + =

Bài 6
3
sin 4sin cos 0x x x
− + =
Bài 7
2 2
tan .sin 2 sin 3(cos 2 sin cos )x x x x x x
− = +

Bài 8
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x
− + − =
Bài 9
(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x
− + = −

Bài 10
cos cos 2 cos 3 cos 4 0x x x x
+ + + =
Bài 11
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x
+ = +

Bài 12
3 3 3
sin cos3 cos sin3 sin 4x x x x x
+ =
Bài 13

3 3 2
4sin 3cos 3sin sin cos 0x x x x x
+ − − =

Bài 14
2
(2sin 1)(3cos 4 2sin 4) 4cos 3x x x x
+ + − + =

Bài 15
6 6 8 8
sin cos 2(sin cos )x x x x
+ = +

Bài 16
1
cos .cos2 .cos 4 .cos8
16
x x x x
=

Bài 17
3
8cos cos3
3
x x
π
 
+ =
 ÷

 

Bài 18
2
(2sin 1)(2sin 2 1) 3 4cosx x x
− + = −

Bài 19
cos2 cos8 cos6 1x x x
− + =

Bài 20
sin 4 4sin 4 cos cos 4 1x x x x
− + − =

Bài 21
3sin 2 cos 2 3tanx x x
+ = +

Bài 22
3
2cos cos 2 sin 0x x x
+ + =

Bài 23
2(tan sin ) 3(cot cos ) 5 0x x x x
− + − + =

Bài 24
4cos 2cos2 cos 4 1x x x

− − =

Bài 25
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
x x x
x x x
+ +
=
+ +

Bài 26
sin .sin 4 2cos 3 cos .sin 4
6
x x x x x
π
 
= − −
 ÷
 

Bài 27
2 2
1 sin sin cos sin 2 os
2 2 4 2
x x x
x x c
π
 

+ − = −
 ÷
 

Bài 28
2cos 2 sin 2 2(sin cos )x x x x
− = +

Bài 29
1
cos cos 2 cos3
2
x x x
− + =

Bài 30
3
sin 2 sin
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 

Bài 31
1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x
+ + + + =

Bài 32
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6x x x x x x
+ + + + + =

Bài 33
1 sin 3 sin cos 2x x x
+ = +

Bài 34
4 4
7
sin cos cot .cot
8 3 6
x x x x
π π
   
+ = + −
 ÷  ÷
   

Bài 35
2 3
cos 2 2(sin cos ) 3sin 2 3 0x x x x
+ + − − =

Bài 36
4(sin 3 cos 2 ) 5(sin 1)x x x
− = −

Bài 37
3
sin 4sin cos 0x x x
− + =

Bài 38
3
cos10 1 cos8 6cos3 .cos cos 8cos .cos 3x x x x x x x
+ + + = +
Bài 39
4 4
1
sin cos
4 4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 

Bài 40
3 3
2
cos .cos3 sin .sin3
4
x x x x
+ =
Bài 41
3 3 3 3

(sin sin 2 sin 3 ) sin sin 2 sin 3x x x x x x
+ + = + +

Bài 42
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= +
Bài 43
3
9
2 sin 2cos
4 2
x x
π π
   
+ = −
 ÷  ÷
   

Bài 44 cos2x + cos5x – sin3x – cos8x = sin10x
Bài 45
2 2
cot tan
16(1 cos4 )
cos2
x x
x

x
−
= +

Bài 46 sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x
Bài 47 cosx(1 – tanx)(sinx + cosx) = sinx
Bài 48
2
2
(1 cos2 )
sin 2cos2
2sin2
x
x x
x
+
+ =
Bài 49 2sin3x(1 – 4sin
2
x) = 1
Bài 50
2
cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
− + =
B2002
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x

− = −

B2003
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
B2004
2
5sin 2 3(1 sin ) tanx x x
− = −

B2005
1 sinx cos sin 2 os2 0x x c x
+ + + + =
B2006
cot sin (1 tan x tan ) 4
2
x
x x
− + =

B2007
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x
+ − =
B2008
3

sinx cos sin 2 3 os3 2( os4 sin )x x c x c x x
+ + = +
B2012
2(cos 3sinx)cos cos 3sinx 1x x x
+ = − +
A2012
3sin2x+cos2 2cos 1x x
= −

A2003
2
os2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
c x
x x x
x
− = + −
+
A2005
3 2
cos 3 cos2 os 0x x c x
− =

A2006
( )
6 6
2 os sin sin cos
0
2 2sin

c x x x x
x
+ −
=
−
A2007
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 os sinx 1 sin 2x x c x x
+ + + = +

A2008
1 1 7
4sin
3
sinx 4
sin
2
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 

A2009
( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −

B2009
( )
3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos 4 sinx x x x x x
+ + = +

D2009.
3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0x x x x− − =

CĐ2009
( )
2
1 2sin cos 1 sin cosx x x x+ = + +

A2010
( )
1 sin os2 .sin
1

4
cos
1 tan
2
x c x x
x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+

B2010
( )
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x
+ + − =

D2010
sin 2 cos2 3sin os 1 0x x x c x− + − − =

CĐ2010
( )
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2
x x
x x+ − =

A2011
2
1 sin 2 cos2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+

B2011
sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x
+ = + +
D2011
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
=
+

CĐ2011
2
cos4 12sin 1 0x x
+ − =
D2003
2 2 2
sin tan os 0

2 4 2
x x
x c
π
 
− − =
 ÷
 

D2004
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinxx x x x− + = −
D2005
4 4
3
os sin os sin 3 0
4 4 2
c x x c x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   

D2006
os3 os2 cos 1 0c x c x x+ − − =
D2007
2
sin os 3 osx 2
2 2

x x
c c
 
+ + =
 ÷
 

D2008
( )
2sin 1 os2 sin 2 1 2cosx c x x x+ + = +
A2013
1 t anx 2 2 sin
4
x
π
 
+ = +
 ÷
 

B2013
2
2sin5 2cos 1x x+ =
D2013
sin3 os2 sinx 0x c x+ − =
VI. TÍCH PHÂN
Bài 1:
2
2
1

4 x
I dx
x
−
=
∫
Bài 2:
4
2
6
tan x
I dx
cos x 1 cos x
π
π
=
+
∫

Bài 3:
( )
1
2
0
I x ln 1 x dx
= +
∫
Bài 4:
(
)

2
e
3
2
1
ln xdx
x 1 2ln x 1
+ +
∫

Bài 5:
( )
2
3
dx
I
sin x cos x sin x
π
π
=
−
∫
Bài 6:
4
0
sin x cos x
I dx
3 sin 2x
π
+

=
+
∫

Bài 7:
3
0
4cos2x
I dx
cos x cos3x
π
=
+
∫
Bài 8:
2
4
sin x cos x
I dx
1 sin 2x
π
π
−
=
+
∫

Bài 9:
0
sin x cos x 1

I dx
sin x 2cos x 3
π
− +
=
+ +
∫
Bài 10:
2
x
0
1 sin x
I e dx
1 cos x
π
+
 
=
 ÷
+
 
∫

Bài 11:
( )
4
2 3x
4
dx
I

cos x 1 e
π
−
π
−
=
+
∫
A2003
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫

B2003
p
-
+
ò
4
2
0
1 2sin
1 sin2
x
dx
x

D2003
2
2
0
x xdx−
∫
A2004
2
1
1 1
xdx
x+ −
∫
B2004
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫

D2003
( )
3
2
2
ln x x dx−
∫

A2005
2
0
sin 2 sinx
1 3cos
x
dx
x
π
+
+
∫

B2005
2
0
sin 2 osx
1 cos
xc
dx
x
π
+
∫
D2005
( )
2
sinx
0
cos cose x xdx

π
+
∫
A2006
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
x x
π
+
∫
B2006
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫

D2006
( )
1
2

0
2
x
x e dx−
∫
D2007
3 2
1
ln
e
x xdx
∫

B2008
( )
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sinx cos
x dx
x x
π
π
 
−
 ÷
 
+ + +
∫

D2008
2
3
1
ln x
dx
x
∫
A2009
( )
2
3 2
0
os 1 osc x c xdx
π
−
∫
B2009
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+
+
ò

D2009
3
1
1
x
dx
e -
ò
CĐ2009
( )
1
2
0
x x
e x e dx
-
+
ò

A2010
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx

e
+ +
+
∫
B2010
( )
2
1
ln
2 ln
e
x
dx
x x+
∫

D2010
1
3
2 ln
e
x xdx
x
 
−
 ÷
 
∫
CĐ2010
1

0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫

A2011 I =
4
0
sin ( 1)cos
sin cos
x x x x
dx
x x x
π
+ +
+
∫
B2011
3
2
0
1 sin
cos
x x
I dx

x
π
+
=
∫

D2011
4
0
4x 1
I dx
2x 1 2
−
=
+ +
∫
CĐ2011
2
1
2x 1
I dx
x(x 1)
+
=
+
∫
A2012 I =
( )
3
2

1
1 ln 1x
dx
x
+ +
∫
B2012 I =
1
3
4 2
0
3 2
x
dx
x x+ +
∫

D2012 I =
( )
4
0
1 sin 2x x dx
π
+
∫
A2013 I =
2
2
2
1

1
ln
x
xdx
x
−
∫

B2013 I =
1
2
0
2x x dx−
∫
D2013 I =
( )
2
1
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫

VII. SỐ PH ỨC

I) Dạng đặt z = a + bi
( )
;a b Î ¡
B2009 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
2 10z i− + =
và
. 25z z =

D2010 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
2z =
và
2
z
là số thuần ảo
CĐ2010 Cho s.phức z thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i− + + = − +
. Tìm phần thực
và phần ảo của z
A2011 Tìm tất cả các số phức z, biết z
2
=
2
z z+
.
D2011 Tìm số phức z, biết :
(2 3 ) 1 9z i z i− + = −
A2011 Tính môđun của số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + (

z
+1)(1 – i) = 2 – 2i.
CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i)
2
z +
z
= 4i - 20. Tính môđun của z.
II) Dạng tính trực tiếp
CĐ2009 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
2
1 2 8 1 2i i z i i z+ − = + + +
. Tìm phần
thực và phần ảo của z
A2010 Tìm phần ảo của số phức z biết
( ) ( )
2
2 1 2z i i= + −
A2010 Cho số phức z thỏa mãn
( )
3
1 3
1
i
z
i
−
=
−
tìm môđun của số phức

z iz+
B2011 Tìm số phức z, biết:
5 3
1 0
i
z
z
+
− − =
.
B2011 Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
i
z
i
 
+
=
 ÷
 ÷
+
 
.
III) Dạng giải phương trình
CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn
( )
2
2 1 2 0z i z i- + + =

. Tìm phần thực và phần ảo của
1
z
.
D2009 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn điều kiện
( )
3 4 2z i− − =

B2010 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn điều kiện
( )
1z i i z− = +

A2009 Gọi z
1
và z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình: z
2
+2z+10 = 0. Tính giá trị của
biểu thức: A = z
1

2
+ z
2

2
CĐ2009 Giải phương trình sau trên tập số phức
4 3 7
2

z i
z i
z i
− −
= −
−
CĐ2010 Giải phương trình sau trên tập số phức
( )
2
1 6 3 0z i z i− + + + =
VIII. TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I) Phương trình đường thẳng
A2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là
giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm
( )
M 1; 5
thuộc đường thẳng AB và trung
điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng AB.
D2009 Cho
ABC∆
có
( )
2;0M
là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường
cao đi qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
1 2
: 7 2 3 0; : 6 4 0d x y d x y− − = − − =
. Viết
phương trình đ thẳng AC.

B2010 Cho
ABC∆
vuông tại A có đỉnh
( )
4;1C −
, phân giác trong góc A có phương trình
là
: 5 0d x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC biết
S 24
ABC∆
=
và điểm A có
hoành độ dương.
D2010 Cho điểm
( )
0; 2A
và
∆
là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên
∆
. Viết phương trình của
∆
, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
D2011 Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x

+ 4y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại điểm M và N sao cho tam giác
AMN vuông cân tại A.
CĐ2011 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3=0. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; -4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng
45
o
.
CĐ2011 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các
cạnh là AB: x + 3y - 7 = 0, BC : 4x + 5y - 7 = 0, CA : 3x + 2y - 7 = 0. Viết phương
trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
II) Phương trình đường tròn
A2010 Cho các đường thẳng
1 2
: 3 0; : 3 0d x y d x y+ = − =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp
xúc với
1
d
tại A, cắt
2
d
tại 2 điểm B, C sao cho
ABC∆
vuông tại B. Viết phương trình
đường tròn (T) biết
3
S
2
ABC∆
=

và điểm A có hoành độ dương.
B2010 Cho điểm
( )
2; 3A
và elip
( )
2 2
: 1
3 2
x y
E + =
. Gọi
1 2
;F F
là các tiêu điểm của (E),
(
1
F
có hoành độ âm), M là giao điểm có tung độ dương của
1
AF
với (E); N là điểm đối
xứng của
2
F
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
2
ANF∆
.
III) Tìm điểm thỏa điều kiện cho trước

A2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
(C) :
2 2
4 4 6 0 x y x y+ + + + =
và đường thẳng ∆ : x + my – 2m + 3 = 0 với m là
tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A và B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất.
B2009 Cho đường tròn
( ) ( )
2
2
4
: 2
5
C x y− + =
và hai đường thẳng:
1 2
: 0; : 7 0d x y d x y− = − =
. Xác định tâm K và bán kính đường tròn
( )
1
C
biết
( )
1
C
tiếp
xúc với các đường thẳng
1 2
;d d

và tâm K thuộc đường tròn (C ).
B2009 Cho
ABC∆
cân tại A có đỉnh
( )
1;4A −
và các đỉnh B, C thuộc
: 4 0d x y− − =
. Xác
định tọa độ các điểm B, C biết
ABC
∆
có diện tích bằng 18.
D2009 Cho đường tròn
( )
2
2
1 1x y− + =
. I là tâm của (C) xác định điểm M thuộc (C) sao
cho
·
0
O 30IM =
CĐ2009 Cho
ABC∆
có
( )
1; 2C − −
. Đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao đi kẻ từ B
lần lượt có phương trình là

1 2
: 5 9 0; : 3 5 0d x y d x y+ − = + − =
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B.
CĐ2009 Cho các đường thẳng
1 2
: 2 3 0; : 1 0d x y d x y− − = + + =
. Tìm điểm M thuộc
1
d

sao cho
( )
2
1
;
2
d M d =
A2010 Cho
ABC∆
cân tại
( )
6;6A
. Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB, AC có
phương trình là
: 4 0d x y+ − =
.Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng điểm
( )
1; 3E −
nằm trên
đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

D2010 Cho
ABC∆
có đỉnh
( )
3; 7A −
, trực tâm
( )
3; 1H −
, tâm đường tròn ngoại tiếp
( )
2;0I −
. Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương.
A2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn
(C): x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp
tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác
MAIB có diện tích bằng 10.
A2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :
2 2
1
4 1
x y
+ =
. Tìm tọa độ các điểm A và
B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn
nhất.
37. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2

= 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng
∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
B2011 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ :
– – 4 0x y =
và d : 2x
– y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường
thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
B2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B
1
;1
2
 
 ÷
 
. Đường tròn
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E,
F. Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết
A có tung độ dương.
D2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
( )
B 4; 1-
, trọng tâm
G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
IX. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I) HÌNH CHÓP
A2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =
AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung

điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
CĐ 2009 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
2SA a=
.
Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của SA; SB và CD. Chứng minh MN vuông góc với
SP và tính thể tích khối tứ diện AMNP.
A2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; M; N lần lượt là trung
điểm của AB và AD;
H CN DM= I
và SH vuông góc với (ABCD) và
3SH a=
. Tính
thể tích khối chóp
.S CDNM
và khoảng cách giữa DM và SC.
D2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA a=
; hình
chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH =
. CM là đường
cao của tam giác SAC. CMR: M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện
SMBC.
CĐ2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, và (SAB) vuông góc với
đáy, SA = SB. Góc giữa SC và (ABC) bằng
0
45

. Tính
.S ABCD
V
A2011 Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a;
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S. BCNM và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
D2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC
= 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
2 3a
và
·
SBC
=
30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
theo a.
CĐ2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
.
Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
II) LĂNG TRỤ
B 2009 Cho lăng trụ
.ABC A B C
′ ′ ′

có
BB a
′
=
và góc giữa
BB
′
và (ABC) bằng
0
60
. Tam
giác ABC vuông tại C và
·
0
60BAC =
. Hình chiếu vuông góc của
B
′
lên (ABC) trùng với
trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện
.A ABC
′
.
D 2009 Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
′ ′ ′
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA 2a
′
=

,
3A C a
′
=
. M là trung điểm của
A C
′ ′
và
I AM A C
′
= I
. Tính thể tích khối chóp
.I ABC
và khoảng cách từ A đến (IBC).
B2010 Cho lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′ ′ ′
có
AB a=
và góc giữa
( )
A BC
′
và (ABC)
bằng
0
60
. G là trọng tâm của tam giác
A BC
′

. Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
B2011 Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD
=
3a
. Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt phẳng (A
1
BD) theo a.
X. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) và đường thẳng

( )
x 1 y z
d :
2 2 1
−
= =
. Tìm hình chiếu vuông góc A', B' của A, của B lên (d) và viết phương
trình đường thẳng đi qua A', B'.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
( )
: x 2y z 5 0α + − + =
và đường
thẳng
x 3 y 1 z 3
d :
2 1 1
+ + −
= =
. Viết phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của d trên
( )
mp α
.
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4). Viết
phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ) và tính bán kính
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1 ; 1 ; 1) và
N(2 ; -1 ; 5) và viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm
ấy.
Bài 5: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ đi qua M(-4 ; -5 ; 3) và cắt hai đường
thẳng:

( )
1
x 1 3t
d : y 3 2t
z 2 t
= − +


= − −


= −

và
( )
2
x 2 2t
d : y 1 3t
z 1 5t
= +


= − +


= −

Bài 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0; 1; 2), B(-1; 1; 0) và mặt phẳng
(P): x – y + z = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông
cân tại B.

Bài 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):
x 1 2t
y 2 t
z 4 t
= +


= +


= −

và
điểm M(0; 2; 3). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và khỏang cách từ M đến (P)
bằng 1.
Bài 8:Cho hai đường thẳng (d
1
):
x 3 7t
y 1 2t
z 1 3t
= −


= +


= +

và (d

2
):
x 7 t '
y 3 2t '
z 9 t '
= +


= +


= −

Lập phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d
1
) qua (d
2
).
Bài 9:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-
1).
Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm độ dài đường cao của tam
giác ABC kẻ từ đỉnh A.
Bài 10:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu

2 2 2
( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z+ + − + − − =
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ
(1;6;2)v
r

, vuông góc với
mặt phẳng
( ) : 4 11 0x y z
α
+ + − =
và tiếp xúc với (S).
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và
đường thẳng d có phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +


= − ∈


= +

. Tìm trên d những điểm M sao cho tổng
khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất.
A2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đường thẳng
∆
1
:

x 1 y z 9
1 1 6
+ +
= =
; ∆
2
:
x 1 y 3 z 1
2 1 2
− − +
= =
−
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường
thẳng ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆
2
và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) bằng nhau.
B2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 5 = 0 và 2 điểm
( )
3;0;1A −
,
( )
1; 1;3B −
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết pt đt mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
B2009 Cho tứ diện ABCD với
( ) ( ) ( ) ( )
1;2;1 ; 2;1;3 ; 2; 1;1 ; 0;3;1A B C D

− −
.
Viết ptmp(P) đi qua A, B sao cho
( )
( )
( )
( )
; ;d C P d D P=
D2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – y + z – 20 = 0 và 3 điểm
( )
2;1;0A
,
( )
1;2;2B
,
( )
1;1;0C
. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng
CD song song với (P).
D2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0 và đường thẳng ∆ :
2 2
1 1 1
x y z+ −
= =
−
. Viết pt đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d vuông góc và cắt
∆
.
CĐ2009 Cho tam giác ABC với
( ) ( )

1;1;0 ; 0;2;1A B
và trọng tâm
( )
0;2; 1G −
. Viết pt
đường thẳng d đi qua C và vuông góc với (ABC).
CĐ2009 Cho các mp
( )
1
: 2 3 4 0P x y z+ + + =
và
( )
2
: 3 2 1 0P x y z+ − + =
. Viết ptmp(P) đi qua
( )
1;1;1A
và vuông góc với
( ) ( )
1 2
;P P
.
A2010 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – 2y + z = 0 và đường thẳng ∆ :
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−
. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là
điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P) biết

6MC =
.
A2010 Cho điểm
( )
0;0; 2A −
và
2 2 3
:
2 3 2
x y z+ − +
∆ = =
. Tính
( )
;d A ∆
. Viết pt mặt cầu tâm
A cắt
∆
tại 2 điểm B, C sao cho BC = 8.
B2010 Cho 3 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0; , 0A B b C c b c >
và mp
( )
: 1 0P y z− + =
. Xác định
b, c biết (ABC) vuông góc với (P) và
( )
( )
1
;

3
d O ABC =
B2010 Cho
1
:
2 1 2
x y z−
∆ = =
. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho
( )
;d M OM∆ =
.