Chuyên đề số phức ôn thi tốt nghiệp, đh

MATHVN.COM – www.mathvn.com

Năm học: 2009 – 2010

www.mathvn.com

-1-


MATHVN.COM – www.mathvn.com

A. SỐ PHỨC . CỘNG, TRỪ, NHÂ N, CHIA SỐ PHỨC .
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và
số i thỏa mãn i 2 = -1 .
Kí hiệu z = a + bi
· i: đơn vị ảo,
· a: phần thực,
· b: phần ảo.
y
Chú ý:
M
b
o
z = a + 0i = a được gọi là số thự c (a Ỵ ¡ Ì £ )
o
z = 0 + bi = bi được gọi là số ả o
a x
o
0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo
O

Biểu diễ n hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z =
a + bi
2. Hai số phức bằ n g nhau. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i với
a, b, a ', b 'Ỵ ¡

ìa = a '
z = z' Û í
ỵb = b '

3. Cộn g và tr ừ số phức. Cho hai số phức

và

z = a + bi

z ' = a '+ b 'i

với

a, b, a ', b 'Ỵ ¡

z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i
z - z ' = ( a - a ') + ( b - b ' ) i

o
Số đối của z = a + bi laø –z = – a – bi (a, b Ỵ ¡ )
4. Nhâ n hai số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i với
z.z ' = ( aa '- bb ') + ( ab '+ a 'b ) i
5. Số phức liê n hợp của số phức z = a + bi là z = a - bi
o

z = z ; z + z ' = z + z ' ; z. z ' = z. z '
o
z là số thực Û z = z ; z là số ảo Û z = - z
6. Môđ un của số phức z = a + bi
uuuu
r
o
z = a 2 + b2 = zz = OM
o
z ³ 0 "z Ỵ C , z = 0 Û z = 0
o
z.z ' = z z ' , z + z ' £ z + z ' "z, z ' Ỵ £
7. Chia hai số phức.
o
Số phức nghịch đảo của z (z ¹ 0) :

www.mathvn.com

-2-

z -1 =

1
z

2

z

a, b, a ', b 'Ỵ ¡

MATHVN.COM – www.mathvn.com

o

Thương của z’ chia cho z (z ¹ 0) :

o

Với z ¹ 0 , z ' = w Û z ' = wz. ,

z'
z' z z' z
= z ' z -1 = 2 =
z
zz
z

ổ z' ử z'
ỗ ữ= ,
èzø z

z

z'
z'
=
z
z

II. CÁ C DẠNG TOÁN
Bài toá n 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a. z = i + (2 - 4i)(3 + 2i) ; b. z = (-1 + i)3 - (2i)3 ;
c. z = 2 + (1 + i )
1- i

Giaûi.
a. z = i + (2 - 4i)(3 + 2i) = i + 14 - 8i = 14 - 7i
Phần thực a = 14; Phần ảo b = -7 ; môđun
b. z = (-1 + i)3 - (2i)3 = 2 + 2i - (-8i) = 2 + 10i
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun
c.

z=

z =7 5

z = 2 26

( )

2
+ 1+ i = 1+ i +1- i = 2
1- i

Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun

z =2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
l. (3 + 2 i ) [(2 - i ) a. (4 – i) + (2 + 3i) h. (1 + 2i) - (1 - i)
(3 + 2i) - (2 - i)
3 -i
2 -i
– (5 + i)
m.
4 - 5i
2
1+ i
i
b. (2 + i)3 – (3 – i)3 i. ( 3 - 2i ) + 2 + i
n. 3 - i - 2 - i
1
1+ i
1+ i
i
c.
j. ( 1- 2 i ) +
2 - 3i
2+i
o. 3 + 2i + 1 + i
3 - 2i
d. (2 - 3i)
1 - i 3 - 2i
k.
i
3 - 4i
p.

e. (1 + i)2 – (1 – i)2
(1 - 4 i )( 2 + 3 i )
f. ( 3 + i ) - ( 3 - i )
2

3

3

2

3

(5 - 2 i)]
.

3

2

2

g. (2 + i)3 – (3 – i)3
2. Tính
a. 3
1 + 2i
b. 1 + i
1- i
m

c.

i m

www.mathvn.com

h.

n. (2 + 3i)2
o. (2 – 3i)3
p. 4 + 2i

a+i b
i a

i. (2 – i)4

j.

1

q.

1
3
i
2 2

-3-

1+ i
2 + i + (1 + i)(4 - 3i)
3 + 2i


MATHVN.COM – www.mathvn.com

d. a + i
e.

k. 4 - 3i + 5 + 4i

a

a-i a
3+i
(1 - 2i )(1 + i )

3 + 6i
(1 + i ) (2i )3
-2+i
2

l.

m.
f. 2i(3 + i)(2 + 4i)
g. 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)

Bài toá n 2. Tính

Giải.

r.
s.

(3 – 2i)(2 – 3i)

t.

(3 - 4i)(1 + 2i)
+ 4 - 3i
1 - 2i
3-i
+ (5 – i)2
i
2 + 2i 1 + 2i
+
1 - 2i 2 - 2i

(1 + i)2012
1006

(1 + i) 2012 = é (1 + i) 2 ù
ë
û

= (2i)1006 = 21006.i1006 = 21006.(i 2 )503 = 21006.(-1)503 = -21006

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính.

a. 1 + i + i2 + i3 + ... + i 2009
b. (1- i)100
Bài toá n 3. Tìm các số thực x và y biết
Giải.

c. (1 + i)2008 + (1 - i)2008
2x + yi - 3 + 2i = x - yi + 2 + 4i

ì2x - 3 = x + 2
ìx = 4
2x + yi - 3 + 2i = x - yi + 2 + 4i Û (2x - 3) + (y + 2)i = (x + 2) + (4 - y)i Û í
Ûí
ỵy + 2 = 4 - y
ỵy = 1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm các số thực x và y bieát:
a.(2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i c.(3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y
b.
(2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y) i – 5) i
d.
(2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) –
(y – 4) i
Bài toá n 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho
số phức z thỏa mãn:
a. z + i = z - 2 - 3i ;
b. z + 3 £ 1
Giải. Đặt z = x + yi , khi đó:
a. z + i = z - 2 - 3i Û x + yi + i =

x + yi - 2 - 3i Û x + (y + 1)i = x - 2 + (y - 3)i

Û x 2 + (y + 1)2 = (x - 2) 2 + (y - 3) 2 Û x + 2y - 3 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x + 2y - 3 = 0
b. z + 3 £ 1 Û x + yi + 3 £ 1 Û x + 3 + yi £ 1 Û (x + 3)2 + y 2 £ 1 Û (x + 3)2 + y 2 £ 1
www.mathvn.com

-4-


MATHVN.COM – www.mathvn.com

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn (x + 3)2 + y2 £ 1 tâm
I(-3;0) và bán kính bằng 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z
thỏa mãn:
a. z + z + 3 = 4
g. 2 + z = i - z
o. z - i = 1
b. 2|z – i| =

z - z + 2i

c. z = z - 3 + 4i
d.

z -i
=1

z +i

e. z - 1 + i = 2
a. z + 2 z = 2 – 4i
b. z 2 - z = 0
f. z 2 + z = 0

z +i

h. z = 1
i. z = z - 3 + 4i

p. 1< z £ 2
q. 2i - 2 z = 2 z - 1

j. z - (2 _ i) = 10 vaø z.z ' = 25
k. z £ 1
l. z =1 và phần ảo của z =1
m.
z - (3 - 4i ) = 2

r. phần thực của z

thuộc đọan [0;1],
phần ảo của z
thuộc đoạn [-1;2]
c. z + 2 z = 2 - 4i
d. z 2 + z 2 = 0

4

n. ổ z + i ử = 1
ỗ
ữ
ố z -iứ

B. PHệễNG TRÌNH BẬC NHẤT , BẬ C HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ
PHỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .
1. Căn bậc hai của số phức
o
z = 0 có một căn bậc hai là 0
o
z = a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là ± a
o
z = a là số thực âm có 2 căn bậc hai là ± a .i
o

z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho
ìx 2 - y2 = a
w2 = z Û í
ỵ2xy = b

(a, b, x, y Ỵ ¡

)

2. Phương tr ình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C laø số thực cho trước,
A ¹ 0 ).
Tính D = B2 - 4AC

o

D > 0:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

z1 , 2 =

o

D < 0:

Phương trình có hai nghiệm phân bieät

z1 , 2 =

www.mathvn.com

-5-

-B ± D
2A

-B ± i D
2A


MATHVN.COM – www.mathvn.com

o

D = 0:

Phương trình có 1 nghiệm kép là

z1 = z 2 = -

B
2A

3. Phương tr ình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước,
A ¹ 0 ).
Tính D = B2 - 4AC
-B ± d
o
D ¹ 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , 2 =
,
2A

( d là 1 căn bậc hai của
o

D = 0:

D)

Phương trình có 1 nghiệm kép là

z1 = z 2 = -

B
2A

II. CÁ C DẠNG TOÁN.
Bài toá n 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a. -4 ;
b. 3 - 4i (NC)
Giải.
a. Hai căn bậc hai của -4 là ± -4 .i = ±2i
b. Gọi

w = x + yi

là căn bậc hai của

3 - 4i ,

ta có:

éìx = 2
ì é x 2 = -1 (loạ i)
ìéx = 2
êí
ì x - y = 3 ì x - 3x - 4 = 0
ïê 2
ï
ì x 2 - y2 = 3 ï
ï
ïëx = 4
ï ê x = -2

ỵ y = -1
ë
Ûí
Ûí
Ûí
Ûí
Ûê
í
2
2
ê ì x = -2
2
ỵ2xy = -4
ïy = ïy = ï
2
ï
êí
y=ỵ
x
ỵ
x
y=ï
ï
ỵ
x
êỵy = 1
ỵ
x
ë
2

2

4

2

Vậy 3 - 4i có hai căn bậc hai là 2 - i và -2 + i
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
8;3; -9 ; -11 ; -I; -2i; 2i; 4i
2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC)
-5 + 12i ; 8 + 6i ; 33 - 56i ; -3 + 4i ; 3+4i; 5 – 12i
Bài toá n 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. (3 - 2i)z + 4 + 5i = 7 - 3i ;
b. z + 2 - 3i = 5 - 2i
4 - 3i

Giaûi.
a. (3 - 2i)z + 4 + 5i = 7 - 3i Û (3 - 2i)z = 3 - 8i Û z = 3 - 8i = 25 - 18 i
b.

3 - 2i 13 13
z
z
+ 2 - 3i = 5 - 2i Û
= 3 + i Û z = (3 + i)(4 - 3i) = 15 - 5i
4 - 3i
4 - 3i

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
3 + 5i
a. 2 + i z = - 1 + 3i
h.
= 2 - 4i
1- i

2+i

www.mathvn.com

z

-6-


MATHVN.COM – www.mathvn.com

b. 2iz + 1 – i = 0

c. (1 – i )z + 2 – i = 2z + i
d. ( iz –1 )( z + 3i )( z – 2 + 3i) =
0
e. ( 2 i) z – 4 = 0

z
+ (2 - 3i ) = 5 - 2 i
4 - 3i

i.

j. (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i)
k. (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i
l. (3 + 4i)z + (1 3i)=2 + 5i.
1
ổ 1 ử
zỗ3 - iữ = 3 + i
2
è 2 ø
n. [(2 - i) z + 3 + i](iz + 1 ) = 0
2i

m.

f. ( 4 - 5i ) z = 2 + i
g. ( 3 - 2i )2 ( z + i ) = 3i
s. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
t. (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
Bài toá n 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a. 7z 2 + 3z + 2 = 0 ;
b. -3x 2 + 2x - 1 = 0
Giaûi.
a. 7z 2 + 3z + 2 = 0
D = b 2 - 4ac = -47 < 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
z1 =
z2 =

b.

-b + i D
2a

=

-3 + 47.i
3
47
=- +
i
14
14 14

=

-3 - 47.i
3
47
=- i
14
14 14

-b - i D
2a

-3x 2 + 2x - 1 = 0
D ' = b '2 - ac = -2 < 0

Phương trình có 2 nghiệm phân bieät:
x1 =
x2 =

- b '+ i D '
a
-b '- i D '
a

=

-1 + 2.i 1
2
= i
-3
3 3

=

-1 - 2.i 1
2
= +
i
-3
3 3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. x 2 - 3.x + 1 = 0
h. z3 + 1 = 0

b. 3 2 .x 2 - 2 3.x + 2 = 0
i. z4 + 4 = 0
j. 5z2 – 7z + 11 = 0
c. 3x 2 - x + 2 = 0
k. z2 - 2 3 z + 7 = 0
d. 3x2 + x + 2 = 0
l. z3 – 8 = 0
e. x 2 + x + 1 = 0
m. z2 + z +7 = 0
f. z4–8 = 0
n. z2 – z + 1 = 0
g. x3 – 1 = 0
www.mathvn.com

-7-

o. z2 + 2z + 5 = 0
p. 8z2 – 4z + 1 = 0
q. x2 + 7 = 0
r. x2 – 3x + 3 = 0
s. x2 –5x +7=0
t. x2 –4x + 11 = 0
u. z2 – 3z + 11 = 0


MATHVN.COM – www.mathvn.com

2. Giải phương trình sau trên trường số phức
a. z4 – 5z2 – 6 = 0
g. z4 + z3 +

b. z4 +7z2 – 8 = 0
5
4
4

2

4

2

c. z – 8z – 9 = 0

d. z + 6z + 25 = 0
e. z4 + 4z – 77 = 0

f. 8z4 + 8z3 = z + 1

1 2
z
2

+z+1=0

h. z + z + z3 + z2 + z + 1 =0
i.

4 z - 3 - 7i
= z - 2i
z-i

j.

1
1
1
z3 + z 2 + z - = 0
2
2
2

Bài toá n 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a. x 2 - (3 + 4i)x + 5i - 1 = 0 ;
b. z 2 - 2iz + 2i - 1 = 0
Giaûi.
a. x 2 - (3 + 4i)x + 5i - 1 = 0
D = b 2 - 4ac = -3 + 4i = (1 + 2i)2 ¹ 0

Gọi d là một căn bậc hai của D , ta có d = 1 + 2i
Do D ¹ 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
- b + d 3 + 4i + 1 + 2i
=
= 2 + 3i
2a
2
- b - d 3 + 4i - (1 + 2i)
x2 =
=
= 1+ i
2a

2
x1 =

b.

z 2 - 2iz + 2i - 1 = 0

D ' = b '2 - ac = -2i = (1 - i) 2 ¹ 0

Gọi d ' là một căn bậc hai của D ' , ta có d ' = 1 - i
Do D ' ¹ 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
- b '+ d ' i + 1 - i
=
=1
a
1
- b '- d ' i - (1 - i)
z2 =
=
= -1 + 2i
a
1
z1 =

BAØI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC)
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0
j. z 2 - 80 z + 4099 - 100i = 0
k. ( z + 3 - i )2 - 6 ( z + 3 - i ) + 13 = 0
b. (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0

c. x 2 + (1 + i ) x - 2 - i = 0
l. z 2 - ( cos j + i sin j ) z + i cos j sin j = 0.
d. 2z2 – iz + 1 = 0
m. z 4 - 8 (1 - i ) z 2 + 63 - 16i = 0
e. z2 + (-2 + i)z – 2i = 0
n. z 4 - 24 (1 - i ) z 2 + 308 - 144i = 0
2
f. z + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
o. ( 1 – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0
2
g. z + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0
p. ( 1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
h. x 2 - ( 2 + 8i ) x + 14i - 23 = 0
www.mathvn.com

-8-


MATHVN.COM – www.mathvn.com

i.

q. z2 + 18z + 1681 = 0

z 2 - ( 5 - 14i ) z - 2 (12 + 5i ) = 0

2. Giải các hệ phương trình :
a.
b.

ì z1 + z 2 = 4 + i
í 2
2
ỵ z1 + z 2 = 5 - 2i
ì z1 .z 2 = -5 - 5.i
í 2
2
ỵ z1 + z 2 = -5 + 2.i

c. ì z1
í

2

ì z - 2i = z

2
+ z2 = 5 + 2i

e. ï
í

ỵ z1 + z2 = 4 - i
2
2
d. ìu + v + 4uv = 0
í
ỵu + v = 2i

ï z - i = z -1

ỵ

C. DẠNG LƯNG GIÁ C CỦ A SỐ PHỨ C . (NC)
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .
1. Dạn g lượn g giác của số phức.
z = r(cos j + i sin j) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b
Ỵ ¡ , z ¹ 0)

o
o

r = a 2 + b2
j

là môđun của z

là một acgumen của z thỏa

a
ì
ïcos j = r
ï
í
ïsin j = b
ï
ỵ
r

2. Nhâ n chia số phức dưới dạn g lượn g giác. Nếu z =
r(cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') thì :

z.z ' = r.r '[cos(j + j ') + i sin(j + j ')]
o
o

z r
= [cos(j - j ') + i sin(j - j ')]
z' r'

3. Côn g thức Moa-vr ơ : n Ỵ N * thì [r(cos j + i sin j)]n = r n (cos nj + i sin nj)
Nhân xét : (cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj
4. Căn bậc hai củ a số phức dưới dạ n g lượ n g giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cos j + i sin j ) (r > 0) laø
r (cos

j
j
+ i sin )
2
2

vaø

- r (cos

j
j
j
j
+ i sin ) = r [cos( + p ) + i sin( + p )]
2

2
2
2

II. CÁ C DẠNG TOÁN.
Bài toá n 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a. z = 2 - 2i ;
b. z = -1 - 3.i
Giải.
a. z = 2 - 2i
o
Mô đun r = a 2 + b2 = 2 2

www.mathvn.com

-9-


MATHVN.COM – www.mathvn.com

Gọi

o

j

Dạng lượng giác
b.

là một acgumen của z ta coự

1
ỡ
ùcos j = 2
p
ù
ịj=ớ
4
ùsin j = - 1
ù
2
ợ

ộ ổ pử
ổ p ửự
z = 2 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ
ố 4 ứỷ
ở ố 4ứ

z = -1 - 3.i

Mô đun

o

Gọi

o

j

Dạng lượng giác

r = a 2 + b2 = 2

là một acgumen của z ta có

1
ì
ïcos j = - 2
2p
ù
ịj=ớ
3
ùsin j = - 3
ù
ợ
2

ộ ổ 2p ử
ổ 2p ử ự
z = 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ
ố 3 ứỷ
ở ố 3 ø

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
f. (1 - i. 3 )(1 + i)
a. - 2 + 2 3.i
d. cos p - i. sin p

4
4
b. 4 – 4i
g. 1 - i 3
e. - sin p - i. cos p
1+ i
c. 1 – 3.i
8
8
2. Thực hiện phép tính
c. 3(cos20o + isin20o)(cos25o +
a. 5 (cos p + i. sin p ).3(cos p + i. sin p )
6
6
4
4
isin25o)
0
0
2 (cos 45 + i. sin 45 )
b.
2p
2p
2 (cos
+ i. sin )
3 (cos15 0 + i. sin 15 0 )
3
3
d.
2(cos

3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a. 1 - i 3
d. 1 - i 3
1+ i
b. 1 + i
e. 2.i.( 3 - i)
c. (1 - i 3 )(1 + i)
Bài toá n 2. Tính:
a.

(1 - i)

Giải.
a. (1 - i)10 (

10

3 +i

(
)

3 +i

);
6

b.

(

p
p
+ i. sin )
2
2

f.

1
2 + 2i

g. z =

sin j + i. cos j

(1 + i)10
3 +i

)

9

6

10

é æ
é ỉ 5p ư

ỉ pư
ỉ p ư ứ
ỉ 5p ư ù
(1 - i) = ờ 2 ỗ cos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ữ ỳ = 25 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ú = 32 ( 0 - i ) = -32i
è 4ø
è 4 ø øû
è 2 øû
ë è 2 ø
ë è
10

www.mathvn.com

-10-


MATHVN.COM – www.mathvn.com

(

3 +i

Þ (1 - i)10

b.

(

(

)

6

6

é ỉ
p
p ứ
= ê 2 ỗ cos + i sin ữ ỳ = 32. ( cos p + i sin p ) = 26 ( -1 + 0i ) = -26
6
6 øû
ë è

3+i

)

5

= -32i. ( -64 ) = 2048i

(1 + i)10
3 +i

)

9

10

é ỉ
p
p ứ
5p
5p ử
ổ
(1 + i) = ờ 2 ỗ cos + i sin ữ ỳ = 25. ỗ cos + i sin ÷ = 32 ( i ) = 32i
4
4 øû
2
2 ø
è
ë ố
10

(
ị

(

(1 + i)10
3 +i

)

9

9

ộ ổ
p
p ửự
3p
3p ử
ổ
= ờ 2 ỗ cos + i sin ữ ỳ = 29 ỗ cos + i sin ÷ = -512i
6
6 øû
2
2 ø
è
ë è
1
=16

3 +i

)

9

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính :
a. [ 2 (cos 30 0 + i sin 30 0 )]7
b. ( 3 - i) 6

c. ổ 1 + i ử
ỗ
ữ

ố1- i ứ

33

ổ
ử
d. ỗ 1 + i 3 ữ
ỗ2
2 ữ
ố
ứ

12

e. ổ i + 1 ử
ỗ
ữ

1+ i ử
ữ
ố - 3 +i ứ

2010

h. ổ
ỗ

ố i ứ
21

ổ
ử
f. ỗ 5 + 3i 3 ữ
ỗ 1 - 2i 3 ữ
ố
ứ
g. ổ cos p - i sin p ö i5 (1 + 3i)7
ỗ
ữ
3
3ứ
ố

i. (1 + i )25

50
j. (1 + i ) 49

(

3+i

)

k. (cos12o + isin12o)5

Bài toá n 3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a.
Giải.
a. -1 - i

z = -1 - i 3 ;

b.

z=

1- i 3
1+ i

3

Dạng lượng giác:

é ỉ 2p ử
ổ 2p ử ự
z = 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ
ố 3 ứỷ
ở è 3 ø

Hai căn bậc hai của z là
ỉ1
é ỉ pử
3 ử 1
3
2
6
ổ p ửự
w1 = 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ = 2 ç ç 2 2 i ÷ = 2 - 2 i = 2 - 2 i và
÷

è 3 øû
ë è 3ø
è
ø
ỉ1
é ỉ pư
3 ư
1
3
2
6
ỉ p ứ
w 2 = - 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ = - 2 ỗ ỗ 2 2 iữ = - 2 + 2 i = - 2 + 2 i
÷
è 3 øû
ë è 3ø
è
ø

b.

z=

1- i 3
1+ i

Dạng lượng giác

www.mathvn.com

é ổ 7p ử
ổ 7p ử ự
z = 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ
ố 12 ø û
ë è 12 ø

-11-

280


MATHVN.COM – www.mathvn.com

é ỉ 7p ư
ỉ 7p ứ
w1 = 4 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ÷ ú và
è 24 ø û
ë è 24 ø
é ỉ 7p ư
é ỉ 17 p ư
ỉ 7p ư ù
ỉ 17p ử ự
w 2 = - 4 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ = 4 2 ờcos ỗ
ữ + i sin ỗ
ữỳ
ố 24 ứ ỷ
ố 24 ø û
ë è 24 ø
ë è 24 ø

Hai caên bậc hai của z là

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
2004
ỉ i ư
a. –1 + 4 3.i
f. ỗ ữ
ố1+ i ứ
b. 4 + 6 5.i
g. - 11 + 4 3i
c. –1 – 2 6 .i
h. 2 (1 - i )
d. 1+ 4 3 i

e. (

3

- i)6

www.mathvn.com

2

-12-

i.
j.

p
p
- i sin
4
4
p
p
cos - i sin
3
3
cos

k.

4 + 6 5i

l.

-1 - 2 6i