hệ thống bài tập khảo sát hàm số ôn thi đại học

Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Các bài toán về hàm số
Phần 1: Các bài toán về đạo hàm
Bài toán về định nghĩa đạo hàm:
Chuyên đề 1: Hàm số bậc 3: y=a.x
3
+b.x
2
+c.x+d (a

0)
Bài 1.
Cho hàm số:
13)1()2(
23
+++= mxmxmxy
1/. Với giá trị bào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thoả mãn:
2
21
= xx
(ĐS:m=1; m=-8)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1.
Bài 2.
Cho hàm số:
1)1(
3

+++= xkxy
(C
k
)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với k=-3.
2/. Biện luận số nghiệm phơng trình
mxx = 3
3
theo m.
3/. Tìm k để (C
k
) tiếp xúc với đờng thẳng y=x+1. (ĐS:k=-2;k=1/4)
Bài 3.
Cho hàm số:
mxxmxy +++= 4)4(
23
1/. Tìm những điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị m.
2/. Với m=0.
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b/. Tìm k để (C) cắt y=kx tại 3 điểm phân biệt
Bài 4.
Cho hàm số:
53)2(
23
+++= mxxxmy
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0.
2/. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5.
Cho hàm số:
3)56()12(

23
++= xmxmxy
1/. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định với mọi m.
2/. Xác định m để hàm số tiếp xúc với 0x.
3/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=2.
4/. Biện luận nghiệm của phơng trình:
( )
axx =







2
11
3
1
theo a.
Bài 6.
Cho hàm số:
mxmxxy 4)1(3
23
++++=
1/. Với giá trị nào của m hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (-1,1).
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=-1.
Bài 7.
Cho hàm số:
23

23
+= xxy
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số và chỉ rõ giao điểm của đồ thị với 2 trục 0x, 0y.
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn. Chứng minh rằng
điểm uốn là tâm đối xứng.
3/. Biện luận số nghiệm phơng trình:
03
23
=+ mxx
theo m.
1
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 8.
Cho hàm số:
xaaxx
a
y )23(
3
1
23
++

=
1/. Tìm điểu kiện của a để:
a/. Hàm số luôn đồng biến.
b/. Đồ thị hàm số cắt 0x tại ba điểm phân biệt.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
2
3

=a
Bài 9.
Cho hàm số:
5)3()(
23
++++== mmxxmxxfy
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0 (C).
2/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và y=x+2.
3/. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
4/. Với giá trị nào của m đồ thị hàm số đã cho có cặp điểm đối xứng nhau qua
0(0,0).
Bài 10.
Cho hàm số:
23
3xxy =
(C).
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm A(-1,2).
Bài 11.
Cho hàm số:
23
23
+= xxy
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1,-2).
3/. Tìm a để phơng trình
03
23
= axx
có 3 nghiệm phân biệt trong đó 2

nghiệm lớn hơn 1.
Bài 12.
Cho hàm số:
2)1(3
23
++= xmmxxy
1/. Chứng minh rằng hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m.
2/. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2. Khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm đợc.
3/. Biện luận số nghiệm phơng trình:
1
22
2

=
x
k
xx
theo k.
Bài 13.
Cho hàm số:
13
23
++= xxy
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2/. Đờng thẳng đi qua A(-3,1) có hệ số góc k. Xác định k để đờng thẳng cắt đò
thị đã cho tại 3 điểm phân biệt.
3/. Biện luận số nghiệm phơng trình:
.1131
23
axx =++

Bài 14.
1/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C):
393
23
++= xxxy
2/. Chứng minh rằng trong mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tiếp tuyến đi qua
điểm uốn có hệ số góc là nhỏ nhất.
Bài 15.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
2
5
6
2
9
23
++= xxxy
2/. Tính giới hạn sau:








gx
x
x
cot
2sin

2
lim
0
2
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 16.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
xxxy 96
23
+=
(C)
2/. Xác định m để đờng thẳng y=mx cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B.
CMR khi m thay đổi trung điểm I của AB nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 17.
Cho hàm số:
23
3
+= xxy
(C)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(-1,1)
3/. Biện luận nghiệm phơng trình:
mxx = )3(
2
theo m.
Bài 18.
Cho hàm số:
2)12(
3

1
23
++= mxmmxxy
(Cm).
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) với m=2.
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua
)
3
4
,
9
4
(A
.
3/. Với giá trị nào của m hàm số (Cm) nghịch biến trên khoảng (-2,0).
Bài 19.
Cho hàm số:
23
23
+= xxy
(C)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2/. Qua M(1,0) có bao nhiêu tiếp tuyến với (C).
3/. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp
tuyến qua A(1,0).
Bài 20.
Cho hàm số:
mmxmmxxy 3)1(33
3223
+++=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0.
2/. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và cực đại, cực
tiểu nằm trên 2 đờng thẳng cố định.
Bài 21.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
593
23
++= xxxy
(C)
2/. Trong tất cả các tiếp tuyến của (C) hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 22.
Cho hàm số:
))((
2
mmxxmxy ++=
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=-2.
2/. Xác định m để hàm số tiếp xúc với trục hoành. Xác định toạ độ tiếp điểm.
Bài 23.
Cho hàm số:
mxxxxfy ++== 93)(
23
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=6.
2/ Xác định m để phơng trình
0)( =xf
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 24.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C):
23
3xxy =
2/. Đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ có hệ số góc k. Xác định k để (d) cắt (C)

tại 3 điểm phân biệt.
Bài 25.
Cho hàm số:
mtgaxmmxxy +++= )1(2
23
(Cm)
và họ Parabol:
mmxy += 2
2
(Pm)
1/. Khảo sát và vẽ (Cm) với m=-1,
4

=a
2/. Xác định a để (Cm) và (Pm) luôn đi qua một điểm cố định A.
3/. Với giá trị của a tìm đợc xác định m để 2 đờng cong tiếp xúc với nhau tại
3
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 26.
Cho hàm số:
2223
4)14(2 mxmmxy ++=
(Cm).
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1.
2/. Xác định m để hàm số tiếp xúc với 0x.
Bài 27.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
13
23

++= xxy
(C)
2/. Tìm toạ độ giao điểm của (C) với (d): y=2x+5.
Bài 28.
Cho hàm số:
axxxfy ==
3
)(
1/. Khảo sát và vẽ (G) với a=3. Viết phơng trình Parabol đi qua
)0,3();0,3( BA
và tiếp xúc với (G).
2/. Với giá trị nào của x thì
xt
:
)()( tfxf =
Bài 29.
Cho hàm số: y=x
3
-3x.
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của M=-sin3x-3sin
3
x.
Bài 30.
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y=3x-4x
3
Từ đó vẽ đồ thị hàm số: y=|x|.(3-4x
2
)
b/. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1,3)

Bài 31.
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y=x
3
-3x
2
-6.
b/. Khi a thay đổi biến luận số nghiệm phơng trình sau theo a: | x
3
-3x
2
-6|=a
Bài 32.
Cho hàm số: y=(m+2)x
3
+3x
2
+mx-5.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=0.
2/. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
3/. CMR với mọi giá trị của m đồ thị luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 33.
Cho hàm số: y= x
3
-3mx
2
+(m
2
+2m-3)+4
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) với m=1.
2/. Viết phơng trình Parabol đi qua cực đại, cực tiểu của (C) và tiếp xúc với đ-

ờng thẳng y=-2x+2.
3/. Xác định giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của 0y.
Bài 34.
Cho hàm số: y=x
3
+ax+2 (Ca)
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị với a=-3.
b/. Tìm a để đồ thị (Ca) cắt 0x tai đúng một điểm.
Bài 35.
Cho hàm số:
3
2
3
1
23
++= mxmxxy
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0.
b/. Tìm những điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị của m.
c/. Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 3 điểm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn:
4
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
x
1

2
+ x
2
2
+x
3
2
>15.
Bài 36.
Cho hàm số y= mx
3
+3mx
2
+4
1/. Tìm m để đồ thị hàm số nhận M(-1,2) làm điểm uốn.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=-1.
3/. Tìm m đề phơng trình mx
3
+3mx
2
+4=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 37.
Cho hàm số: y=x
3
-mx
2
+(2m+1)x-m-2.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0.
2/. Xác định điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m.
3/. Tìm m để đồ thị hàm số cắt 0x tại 3 điểm phân biệt.

Bài 38.
Cho hàm số: y=-x
3
+3x
2
-2.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ đợc đụng một tiếp tuyến đến đồ thị
hàm số.
Bài 39.
Cho hàm số: y=f(x)=x
3
-3(m+1)x
2
+2(m
2
+7mx+2)x-2m(m+2)
1/. Tìm m để f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt.
2/. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
cực đại, cực tiểu.
3/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=6.
Bài 40.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=-x
3
+3x
2
-4.
2/. Với mỗi giá trị của a xác định toạ độ cực đại, cực tiểu của hàm số: y=-
x
3

+ax
2
-4. (Ca)
3/. Tìm a để y=m với -4<m<0 cắt đồ thị (Ca) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 41.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=x
3
-3x.
2/. Tìm trên đờng thẳng y=2 những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị
hàm số.
3/. Biện luận số nghiệm phơng trình:
mxx =++ 232
3
tuỳ theo giá trị của m.
Bài 42.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=f(x)= x
3
-3x
2
+2
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đờng thẳng:
(d) 5y-3x+4=0.
3/. Tính diện tích giới hạn bởi y=f(x); y=0; x=0; x=2
Bài 43.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y= x
3
-3x+1
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(-2/3;3)
3/. Tìm m để phơng trình: x
3

-3x+6-2
m
=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 44.
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y=-x
3
+3x+2 (C)
2/. Tìm điểm A trên 0x sao cho từ A kẻ đợc đúng 3 tiếp tuyến đến (C).
Bài 45.
Cho hàm số: y=(m+1)x
3
-(2m+1)x-m+1 (Cm)
1/. CMR (Cm) đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.
2/. Tìm m để (Cm) có tiếp tuyến song song với đờng thẳng đi qua 3 điểm cố
định.
5
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 46.
Cho hàm số: y=x
3
-3mx
2
+3(m
2
-1)x+1-m
2
.
1/. Khảo sát với m=2
2/. Tìm m để (Cm) chứa 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

Bài 47.
Cho hàm số: y=x
3
-3mx+3m-2
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1
2/. CMR tiếp tuyến tại điểm uốn đi qua một điểm cố định.
Chuyên đề 2: Hàm số bậc 4 y=ax
4
+bx
2
+c
Bài 1.
Cho hàm số: y= x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1
2/. Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt 0x tại 4 điểm phân biệt
Bài 2.
Cho hàm số: y=x
4
-2(m+1)x
2
+2m+1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=-2
2/. Xác định m để đồ thị hàm số cắt 0x tại 4 điểm lập thành CSC
Bài 3.

Cho hàm số: y=(2-x
2
)
2
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A(0;4)
Bài 4.
Cho hàm số: y=x
4
-2mx
2
+2m+4m
2
1/. Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT và 3 điểm đó lập thành tam giác
đều
2/. Khảo sát với m=1
Bài 5.
Cho hàm số: y=f(x)=x
4
+mx
2
-m-5
1/. Tìm những điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m.
2/ Với m=-2
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b/. Viết pttt tại x=2
Bài 6.
Cho hàm số: y=f(x) =x
4
+2mx

2
+m
1/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=-1
2/. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho f(x)>0 với mọi x
Với các giá trị m tìm đợc ở trên, CMR:
F(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)+f
(3)
(x)+f
(x)
(x)>0 với mọi x. (ĐHBK 98-99)
Bài 7.
Cho hàm số y=x
4
+mx
2
-(m+1)
1/. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y=2(x-1) tại điểm có hoàng
độ x=1.
2/. Khảo sát với m tìm đợc.
3/. CMR đồ thị hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định.
4/. Tuỳ theo k biện luận số nghiệm của phơng trình: 4x
2
(1-x
2
)=1-k.
Bài 8.
Cho hàm số: y= -x
4
+2mx
2

-2m+1
a/. Khảo sát với m=1
b/. CMR đồ thị hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định.
6
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
c/. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định vuông góc với nhau.
Bài 9.
Cho hàm số: y=m
2
x
4
-2x
2
+m
a/. Khảo sát với m=1
b/. Khảo sát với m=0. Tìm m để m
2
x
4
-2x
2
+m0 với mọi m.
Bài 10.
Cho hàm số: y=-x
4
+2(m+1)x
2
-2m-1
1/. Tìm m để đồ thị hàm số cắt 0x tại 4 điểm lập thành CSC.

2/. Với m=0. Tìm tất cả các điểm mà từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm
số.
Bài 11.
Cho hàm số: y=
4
2
5
3
2 2
x
x +
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2/. Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M có x
M
=a. Chứng minh rằng hoành độ của
tiếp điểm thoả mãn phơng trình: (x-a)
2
(x
2
+2ax+3a
2
-6)=0.
3/. Tìm a để d cắt (C) tại hai điềm P,Q khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của
PQ. (
7 5
4 2
9
2 2
y x x= + +
)

Bài 12.
Cho hàm số: y=x
4
+ax
2
+b
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với
3
, 1
10
a b= =
2/. Giả sử đồ thị đã cho cắt trục 0x tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số
cộng. CMR: 9a
2
-100b=0
Bài 13.
Cho: x
4
+px
3
+q0 xR.
CMR: 256q27p
4

Bài 14.
Cho hàm số: x
4
-4x
3
+8x=k

1/. Giải phơng trình với k=5
2/. Tìm k để phơng trình có nghiệm.
Bài 15.
Cho hàm số: y=x
4
-ax
3
-(2a-1)x
2
+ax+1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với a=0 (C)
2/. Tìm A0y sao cho từ A kẻ đợc đúng 3 tiếp tuyến đến (C)
3/. Tìm a để y=0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Bài 16.
1/. CMR x
4
+px+q0 xR 256q
3
27p
4
2/. CMR nếu p,q thoả mãn phần 1 thì qx
4
+px
3
+10 xR
Bài 17.
Cho hàm số: y=x
4
+4x
3

+mx
2
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=4. CMR hàm số có trục đối xứng
2/. Tìm m để hàm số có trục đối xứng
3/. Xác định m để: x
4
+4x
3
+mx
2
0 x1
7
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 18.
Cho hàm số: y=x
4
+2x
2
+2ax+a
2
+a+1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với a=0
2/. Xét các giá trị của a để phơng trình y=0 có nghiệm. Với mỗi giá trị của a,
xác định a để x nhỏ nhất.
Bài 19.
Cho hàm số: y=x
4
+(m+3)mx
3

+2(m+1)x
2
.
1/. Xác định m để hàm số có trục đối xứng.
2/. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại. CMR x
CĐ
0
Bài 20.
Cho hàm số y= x
4
+8ax
3
+3(1+2a)x
2
-4
1/. Khảo sát với a=0
2/. Tìm a để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 21.
Cho hàm số:
4 3 2
2 2 12 1y x x x x= +
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2/. CMR hàm số có trục đối xứng. Tìm giao điểm của hàm số với trục hoành.
Chuyên đề 2: Hàm số
+
=
+
' '
ax b
y

a x b
Bài 1.
Cho hàm số:
1
2
x
y
x
+
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên đồ thị hàm số nhữnh điểm M sao cho tổng khoảng cách đến 2 hệ
trục nhỏ nhất.
Bài 2.
Cho hàm số:
2x 1
y
x 1

=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2/.
M (C)
:
M
x m=
. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. Gọi I
là giao điểm 2 tiệm cận. CMR: M là trung điểm AB và diện tích tam giác IAB

không đổi.
Bài 3.
Cho hàm số:
3x 1
y
x 3

=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2/. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên
[ ]
0; 2
Bài 4.
Cho hàm số:
2x 1
y
x 3
+
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên đồ thị những điểm M sao cho tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là
nhỏ nhất.
3/. Tìm trên đồ thị những cặp điểm đối xứng qua điểm P(2; 3/2)
8
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 5.
Cho hàm số:

mx 2
y
x m 3

=
+
1/. Tìm m để hàm số nghịch biến trên TXĐ.
2/. Tìm điểm cố định đồ thị đi qua với mọi m.\
3/. Khảo sát với m=4
Bài 6.
1/. Khảo sát và vẽ
2x 1
y
x 1
+
=
+
2/. Tìm t để phơng trình
2 sin x 1
t
sin x 1
+
=
+
có đúng 2 nghiệm
[ ]
x 0;

Bài 7.
Cho hàm số
mx m 1
y
x m 1
+
=
+
1/. Với m=2.
a/. Khảo sát và vẽ đồ thị
b/. Tìm trên đồ thị những điểm mà tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
2/. CMR với mọi
m 1
đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đờng thẳng cố định.
Bài 8.
Cho hàm số
x 1
y
x 1
+
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị.
2/. CMR tiếp tuyễn của đồ thị hàm số đều lập với 2 tiệm cận một tam giác có
diện tích không đổi.
3/. Tìm tất cả các điểm mà tiếp tuyến tại đó lập với 2 tiệm cận một tam giác có
chu vi nhỏ nhất.
4/. CMR: (d): 2x-y=m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh
khác nhau của đồ thị hàm số. Tim m để AB ngắn nhất

Bài 9.
Cho
3x 4
y
x 1
+
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2/. Tìm a để (d): y=ax+3 không cắt (C).
3/. Tìm a để (d): y=ax+3 cắt (C) tại hai điểm thuộc vào hai nhánh khác nhau của
(C).
Bài 10.
Cho
3x 5
y
x 3
+
=
+
.
1/. Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với
đờng thẳng x+y-1=0
Bài 11.
Cho hàm số:
(m 1)x m
y
x m
+ +

=
+
1/. Với m=1
9
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
a/. Khảo sát và vẽ (H)
b/. Tìm trên (H) những điểm mà tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
2/. CMR với mọi
m 0
đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đờng thẳng duy nhất.
Bài 12.
Cho hàm số:
x
y
1 x
=
+
1/. Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm của hàm số tại x=0
2/. Lập BBT và vẽ đồ thị hàm số
3/. Tìm a lớn nhất để với mọi x đều có:
2
1
ax x
1 x
+
+
Chuyên đề 2: Hàm số
+ +
=

+
2
' '
ax bx C
y
a x b
Bài 1.
Cho hàm số:
2
x 3x m
y
x 2
+
=

1/. Xác định m để hàm số có cực trị. Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu.
2/. Khảo sát và vẽ với m=3.
Tìm tiếp tuyến của đồ thị đi qua A(1;0)
Bài 2.
Cho hàm số:
2
x 3x 3
y
x 2
+ +
=
+
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Vẽ các đồ thị:
a/.

2
x 3x 3
y
x 2
+ +
=
+
b/.
2
x 3 x 3
y
x 2
+ +
=
+
Bài 3.
Cho hàm số :
2
x x 2
y
x 1
+ +
=

(C)
1/. Khảo sát và vẽ (C).
2/. Tìm trên (C) cặp điểm đối xứng nhau qua
5
I 0;
2

ữ

Bài 4.
Cho hàm số:
2
x 2mx m 2
y
x m
+ +
=

(Cm)
1/. Với giá trị nào của m hàm số đồng biến với mọi x>1.
2/. Khảo sát với m=1.
10
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
3/. Tùy thuộc vào a biện luận số nghiệm phơng trình
2
x 2 | x | 3
a
| x | 1
+
=

Bài 5.
Cho hàm số:
2 2
mx (m 1)x m m

y
x m
+ + +
=

1/. Khảo sát với m=1
2
x 1
y
| x | 1
+
=

2/. Tìm x
0
để
m 0
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x
0
song song với đờng
thẳng cố định. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến đó.
Bài 6.
Cho hàm số:
2
x mx 2m 4
y
x 2
+ +
=
+

1/. Tìm điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m.
2/. Xác định m để hàm số có CĐ, CT. Tìm quỹ tích CĐ.
3/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=-1
Bài 7.
Cho hàm số:
2
x x 1
y
x 1

=
+
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm m để đờng thẳng (d
m
) y=mx-1 cắt đồ thị tại điểm phân biệt nằm về cùng
một nhánh của đồ thị.
3/. Gọi M, N là hai giao điểm của đồ thị hàm số với (d
m
). Tìm tập hợp trung
điểm I của MN.
Bài 8.
Cho hàm số
1
y x
x
= +
(C) và (d):
y ax b= +
1/. Tìm điều kiện của a, b để (d) và (C) tiếp xúc với (C).

2/. Giả sử (d) tiếp xúc với (C) tại I. M, N là giao của (d) với Ox và y=x.
CMR:
a/. I là trung điểm MN.
b/. Tam giác OMN có diện tích không đổi.
Bài 9.
Cho hàm số:
2
x mx 1
y
x 1
+
=

(Cm).
1/. Xét (dm):
y mx 2= +
Tìm m để (dm) cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt.
2/. Gọi
( )
m

là tiệm cận xiên của (Cm). Tìm m để
( )
m

tạo với 2 trục của hệ
trục một tam giác có diện tích bằng 8 đơn vị.
Bài 10.
Cho hàm số:
( )

2 3 2
4(m 1)x 4mx m m 2
y
2x m
+ +
=

(Cm)
1/. Khảo sát và vẽ với m=1
2/. CMR (Cm) có tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.
11
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 11.
Cho hàm số:
2
2x (1 m)x 1 m
y
x m
+ + +
=

1/. Khảo sát với =1
2/. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định
3/. Xác định m để hàm số đồng biến trên (1;2)
Bài 12.
Cho hàm số:
2 3 2
(m 1)x 2mx (m m 2)
y

x m
+
=

1/. Khảo sát với m = 1
2/. CMR tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.
3/. Tìm m để đồ thị hàm số có tâm đối xứng nằm trên (P):
2
y x 1= +
Bài 13.
Cho hàm số:
2
x 2x m 2
y
x m 1
+ +
=
+
1/. Khảo sát với m=-1
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(6;4)
3/. Tìm m để hàm số có CĐ, CT. Viết phơng trnhf đờng thẳng qua CĐ, CT
Bài 14.
Cho hàm số:
2
2x 3x m
y
x 1
+
=

1/. Khảo sát với m=2
2/. Biện luận nghiệm phơng trình
2
1
2
2x 3x 2
log a 0
x 1
+
+ =

theo a.
3/. Tìm m để hàm số đồng biến /(3, +)
Bài 15.
Cho hàm số:
2
x 3x a
y
x 1
+ +
=
+
1/. Tìm a để đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác góc thứ nhất.
CMR khi đó hàm số có CĐ, CT.
2/. Khảo sát với a=3.
Bài 16.
Cho hàm số:
2 2
(m 1)x m
y

x m
+
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1
2/. CMR đồ thị hàm số có tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định
với mọi m khác 0.
Bài 17.
Cho hàm số:
2
x
y
x 1
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị.
2/. Viết phơng trình Parabol đi qua CĐ, CT và tiếp xúc với đờng thẳng
1
y
2
=
3/. Tìm A, B thuộc hai nhánh khác nhau để khoảng cách giữa chúng ngắn nhất.
12
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
Bài 18.
Cho hàm số:
3
y x 3
x 1

= + +

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Từ đó vẽ đồ thị
2
x 4x
y
| x 1 |
+
=

2/. CMR
y 2x m= +
luôn cắt (C) tại hai điểm có hoành độ
1 2
x ; x
. Tìm m để
( )
2
1 2
d x x=
nhỏ nhất.
Bài 19.
Cho hàm số:
2
x 4x 1
y
x 2
+ +
=
+

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2/. Tìm m để (dm): y=mx+2-m cắt (C) tại hai điểm cùng nhánh.
Bài 20.
Cho hàm số:
2
2x kx 2 k
y
x k 1
+ +
=
+
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị với k=0
2/. CMR
k 2
đồ thị hàm số đã cho luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố
định.
3/. Tìm k để hàm số đồng biến /(1; +).
Bài 21.
Cho hàm số:
2
x 3x 3
y
x 2
+
=

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số từ đó vẽ đồ thị hàm số
2
x 3x 3
y

| x 2 |
+
=

Bài 22.
Cho hàm số:
1
y x 3 m
x m
= + +
+
1/. CMR hàm số có cực trị với mọi m.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
) với m=2.
3/. Tìm a để
y a(x 1) 1= + +
cắt (C
2
) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.
Bài 23.
Cho hàm số:
2
2x x 1
y
x 1
+ +
=
+
(C)

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm những điểm trên Oy mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C) và vuông
góc với nhau.
3/. Tìm Max, Min của biểu thức:
2
2.cos x | cos x | 1
A
| cos x | 1
+ +
=
+
Bài 24.
Cho hàm số:
2
x 2x 1
y
x 1
+
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Viết phơng trình tiếp tuyến cuae đò thị hàm số sao cho các tiếp tuyến vuông
13
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
góc với tiệm cận xiên. CMR tiếp điểm là trung điểm của đoạn chắn bởi 2 tiệm
cận với tiếp tuyến.
3/. Viết phơng trình tiếp tuyến qua A(3; -2).
Bài 25.
Cho hàm số:

2
x 2x 2
y
x 1
+ +
=
+
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà khoảng cách đến trục hoàng bằng 2
lần khoảng cách đến trục tung.
Bài 26.
Cho hàm số:
2
x
y
x 1
=

(C)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm những điểm trên Oxy mà từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp
tuyến vuông góc với nhau.
Bài 27.
Cho hàm số:
2
mx x m
y
mx 1
+ +
=

+
1/. Tìm m để hàm số đồng biến /(0;+)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (C).
3/. Tìm số tiếp tuyến có thể của (C) đi qua mỗi điểm thuộc (C)
Bài 28.
Cho hàm số:
2
x mx m
y
mx m
+ +
=
+
1/. Tìm điểm cố định đồ thị đị qua với mọi m.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1.
3/. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) qua
5
A 0;
4

ữ

Bài 29.
Cho hàm số:
2
x .sin 2x.cos 1
y
x 2

+ +

=
+
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
2


=
2/. Xác định tiệm cận xiên với tổng quát. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến
tiệm cận xiên.
3/. Tìm

để khoảng cách là lớn nhất.
Bài 30.
Cho hàm số:
2
x
y
x 1
=

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên y=4 tất cả các điểm từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị mà góc tạo
bởi 2 tiếp tuyến bằng
0
45
Bài 31.
Cho hàm số:
2
x 2mx 2
y

x 1
+ +
=
+
14
Tài liệu ôn thi đại học phần Hàm số
B.soạn: Phùng Đức Tiệp Trờng THPT Lơng Tài 2
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1
2/. Cho
: x y 2 0

+ =
. Tìm m để hàm số có CĐ, CT mà
( ) ( )
C Đ, CT ,
d d

=
Bài 32.
Cho hàm số
2
x x 1
y
x 1
+
=

(C)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Xác định

( )
1 1 1
A x ; y : x 1, A (C)>
sao cho khoảng cách đến giao hai tiệm
cận là ngắn nhất.
15