phân loại và phương pháp giải toán lớp 9

NGUYỄN DUY PHÚC
Phân loại và phương pháp giải
TOÁN 9
(Tái bản lần 1)
HÀ NỘI - 2014
LỜI MỞ ĐẦU
Để giúp các em ôn thi môn toán vào lớp 10 ,tôi biên soạn cuốn "Phân loại và phương
pháp giải toán lớp 9".Trong cuốn sách này được phân thành các chương ,mỗi chương là
các loại toán thường xuất hiện trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 của các tỉnh trong cả
nước,cuốn sách gồm rất nhiều các bài tập từ dễ đến khó giúp các em ôn lại, hệ thống hoá
kiến thức của mình ,và hình thành cho các em một tư duy toán học phục vụ sau này,một
số bài có đáp số và hướng dẫn giải chi tiết để các em tiện đối chiếu kết quả.
Do thời gian thực hiện không nhiều, kiến t hức còn hạn chế nên khi biên soạn không
tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến
phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.Mọi góp ý đóng góp xin gửi theo địa chỉ:
Email:
Phone: 0169.668.9392
Website:nguyenduyphuc.wordpress.com
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2014
Tác giả
1
Mục lục
Chương 1. Căn thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Tính toán biểu thức số chứa căn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Rút gọn phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Giải bài toán bằng cách lập phương tr ình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Dạng toán chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Dạng toán năng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Dạng toán làm chung, làm r iêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5. Dạng toán có nội dung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Dạng toán tìm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7. Dạng toán có nội dung vật lí và hóa học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Chương 3. Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Hàm số bậc hai y = ax
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3. Tương giao giữa hai đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Tiếp tuyến của parabol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2
MỤC LỤC
Chương 4. Phương tr ình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1. Giải phương tr ình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Chứng minh phương tr ình có nghiệm, vô nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3. Hệ thức Viét và các dạng toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4. So sánh nghiệm của phương tr ình bậc hai với một số . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ
thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6. Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai . . . . . . . . . 66
Chương 5. Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1. Bất đẳng thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2. Bất đẳng thức hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3. Bất đẳng thức ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Chương 6. Giải phương tr ình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1. Xét số dư của từng vế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2. Đưa về dạng tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3. Dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3.3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.4. Sử dụng điều kiện ∆  0 để phương trình bậc hai có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4. Dùng tính chia hết , tính đồng dư. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4.1. Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4.2. Phương pháp đưa về phương trình ước số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.3. Phương pháp tách ra các giá trị nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5. Lùi vô hạn , nguyên tắc cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3
MỤC LỤC
6.6. Xét chữ số tận cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.7. Dùng tính chất của số chính phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.7.1. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.7.2. Tạo ra bình phương đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.7.3. Xét các số chính phương liên tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.7.4. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số
chính phương thì mỗi số đều là số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.7.5. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí
một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.8. Tìm nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.8.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.8.2. Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.9. Hạ bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.10.Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.10.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.10.2. Phương trình bậc 2 hai ẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.10.3. Phương trình bậc cao hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.10.4. Phương trình đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.11.Các dạng phương trình nghiệm nguyên khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.11.1. Phương trình dạng phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.11.2. Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.11.3. Phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.11.4. Hệ phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.11.5. Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.12.Phương trình chứa phần nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.12.1. Dùng định nghĩa để khử dấu phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.12.2. Đặt ẩn phụ để khử dấu phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4
MỤC LỤC
6.12.3. Xét khoảng các giá trị của biến để khử dấu phần nguyên. Với chú ý rằng nếu x ≥ y
thì [x] ≥ [y]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Chương 7. Hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1. Hình học trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Chương 8. Một số đề thi chính thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.1. Các đề thi chính thức vào lớp 10 các năm trước . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5
Chương 1
Căn thức bậc hai
1.1. Tính toán biểu thức số chứa căn
Bài tập 1. Thực hiện phép tính
1. (2
√
2 −
√
5 +
√
18)(
√
50 +
√
5) Đáp số: 45

2. (
√
28 −2
√
14 +
√
7).
√
7 + 7
√
8 Đáp số: 21
3. (2
√
12 −5

1
5
−6

1
3
−
√
20)(
√
27 + 3
√
5 −
√
3) Đáp số: -33

4. (
√
12 +
√
75 +
√
27) :
√
15 Đáp số: 2
√
5
5. (5 + 4
√
2)(3 + 2

1 +
√
2)(3 −2

1 +
√
2) Đáp số: -7
6. (7
√
48 + 3
√
27 −2
√
12) :
√

3 Đáp số: 33
7. (2 + 4

√
2 −1)(2 −4

√
2 −1) + 8
√
2 −10 Đáp số: −8
√
2 + 10
8. 12 −
√
5 +

7 +
√
5 +

6 −2
√
5 Đáp số: 13
9.

6

8
9
−5


32
25
+ 14

18
49

.

1
2
Đáp số: 6
10. 21


2 +
√
3 +

3 −
√
5

2
−6


2 −
√

3 +

3 +
√
5

2
−15
√
15
Đáp số: 60
11.

√
22 −3
√
2


10 + 3
√
11 Đáp số: 2
6
1.1. Tính toán biểu thức số chứa căn
12.
5+3
√
5
√
5

+
3+
√
3
√
3+1
−

√
5 + 3

Đáp số:
√
3
13.

3
√
2 +
√
6


6 −3
√
3 Đáp số: 6
14.
√
4−2
√

3
√
6−
√
2
Đáp số:
√
2
2
15.

12 −6
√
3 +

21 −12
√
3 Đáp số:
√
3
16. 5


2 +
√
3 +

3 −
√
5 −


5
2

2
+


2 −
√
3 +

3 +
√
5 −

3
2

2
Đáp số: 10
17.
4+
√
2−
√
3−
√
6+
√

8
2+
√
2−
√
3
Đáp số: 1 +
√
2
18.
√
3+
√
5+
√
7
8+2
√
15+
√
21+
√
35
Đáp số:
√
5−
√
3
2
19.


2 −
√
3


26 + 15
√
3 −

2 +
√
3


26 −15
√
3 Đáp số:
√
2
20.


11 + 2
√
30 −

8 −4
√
3


√
5 −
√
2

Đáp số: 3
21.
2+
√
3
√
2+
√
2+
√
3
+
2−
√
3
√
2−
√
2−
√
3
Đáp số:
√
2

22.
3+
√
5
√
2+
√
3+
√
5
+
3−
√
5
√
2−
√
3−
√
5
Đáp số: 2
√
2
23. 2

4 +

6 −2
√
5


√
10 −
√
2

Đáp số: 8
24.
4
3+
√
5
−
8
1+
√
5
+
15
√
5
Đáp số: 5
25.
√
3−
√
2+
√
3+
√

2
√
3+
√
7
+

5 −2
√
6 Đáp số:
√
3
26.

10 + 2

17 −4

9 + 4
√
5 Đáp số:
√
5 + 1
27.
√
7+
√
5+
√
7−

√
5
√
7+2
√
11
Đáp số:
√
2
28.

3 +

5 −2
√
3 −

3 −

5 −2
√
3 Đáp số:
√
3 −1
29.

√
7 + 5 −2

√

7 + 4 + 1 Đáp số:
1
2
√
14 +
1
2
√
2
30.

√
14 +
√
10

6 −
√
35


6 +
√
35 Đáp số: 2
31.

√
3 + 1

√

5 −1

√
15 −1

7 −2
√
3 +
√
5

Đáp số: 56
7
1.1. Tính toán biểu thức số chứa căn
32.
3+4
√
3
√
6+
√
2−
√
5
Đáp số:
√
6 +
√
5 +
√

2
33.
(
√
3−
√
2
)
2
+4
√
6
√
3+
√
2
.

√
3 −
√
2

Đáp số: 1
34.

√
10+
√
8

√
10−
√
8
−

√
10−
√
8
√
10+
√
8
Đáp số: 4
35.
3

5
√
2 + 7 −
3

5
√
2 −7 Đáp số: 2
36.

3 −
√

5


3 +
√
5 +

3 +
√
5


3 −
√
5 Đáp số: 2
√
10
37.

2 +
√
3 −

2 −
√
3 −
√
2 Đáp số: 0
38.
1

1+
√
2
+
1
√
2+
√
3
+
1
√
3+
√
4
+ +
1
√
99+
√
100
Đáp số: 9
39.

7 −2
√
10 +
√
20 +
1

2
√
8 Đáp số: 3
√
5
40.
1
√
3−
√
2
+
1
√
3+
√
2
Đáp số: 2
√
3
Bài tập 2. Tính giá trị của biểu thức
A=x
2
−3x
√
y + 2y tại x =
1
√
5−2
;y =

1
9+4
√
5
Đáp số: 24 −4
√
5
B=x
3
+ 12x −8 với x =
3

4(
√
5 + 1) −
3

4(
√
5 −1) Đáp số: 0
C=x + y biết

x +
√
x
2
+ 3

y +


y
2
+ 3

= 3 Đáp số: C=0
Giải:

x +
√
x
2
+ 3

y +

y
2
+ 3

= 3
⇔ −3

y +

y
2
+ 3

= 3


x −
√
x
2
+ 3

⇔ −y −

y
2
+ 3 = x −
√
x
2
+ 3
⇔
√
x
2
+ 3 −

y
2
+ 3 = x + y
⇒ x
2
+ y
2
+ 6 −2


(
x
2
+ 3
) (
y
2
+ 3
)
=
(
x + y
)
2
⇒ C
2
−2xy + 6 − 2

x
2
y
2
+ 3
(
x
2
+ y
2
)
+ 9 = C

2
⇒

x
2
y
2
+ 3
(
C
2
−2xy
)
+ 9 = 3 −xy
t = xy; t ≤ 3
⇒
√
t
2
−6t + 3C
2
+ 9 = 3 −t
⇒ t
2
−6t + 3C
2
+ 9 = 9 −6t + t
2
⇒ C
2

= 0 → C = 0
D=x

1 + y
2
+ y
√
1 + x
2
biết xy +

(
1 + x
2
) (
1 + y
2
)
= a
Đáp số: x
2
+ y
2
+ 2axy
E=
√
16 −2x + x
2
+
√

9 −2x + x
2
biết
√
16 −2x + x
2
−
√
9 −2x + x
2
= 1
Đáp số: 7
8
1.2. Rút gọn phân thức
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 3. (2014)
1.Tính giá trị của biểu thức A =
√
x+1
√
x−1
khi x=9
2.Cho biểu thức P =

x−2
x+2
√
x
+
1

√
x+2

.
√
x+1
√
x−1
với x>0 và x= 1
(a) Chứng minh rằng P =
√
x+1
√
x
(b) Tìm giá trị của x để 2P = 2
√
x + 5
Đáp số: (1) A=2 (2.b) x =
1
4
Bài tập 4. Cho A =
√
x+2
√
x−1
và B =
√
x−1
√
x

+
1
√
x−x
a.Tính giá trị của A biết x = 6 −4
√
2
b.Rút gọn B.
c.Tìm x nguyên để giá trị biểu thức
A
B
là số nguyên dương.
Đáp số: (a) A = −2 −3
√
2 (b) B=
√
x−2
√
x−1
(c) x={9;16;36}
Bài tập 5. Cho A =
√
x−1
√
x+1
và B =
√
x+1
√
x

−
3
√
x+2
2
√
x−x
a.Tính giá trị của A biết x =
2
2+
√
3
b.Rút gọn B
c.Tìm x để
A
B
=
1
10
Đáp số: (a)A=
3−2
√
3
3
(b) B =
√
x+2
√
x−2
(c) x = 9 hoặc x =

4
9
Bài tập 6. Cho A =
√
x+2
√
x−2
và B =
√
x−2
√
x
+
3
√
x+2
x+
√
x
a.Tính giá trị của A biết x = 8
b.Rút gọn B
c.Tìm x để
A
B
≤
1
2
Đáp số: (a) A=3 + 2
√
2 (b) B =

√
x+2
√
x+1
(c) 0 < x < 4
Bài tập 7. Cho A=
2+
√
x
√
x
và B=
√
x−1
√
x
+
2
√
x+1
x+
√
x
a.Tính giá trị của A khi x = 64
b.Rút gọn B
c.Tìm x để
A
B
>
3

2
Đáp số: (a) A=
5
4
(b) B =
√
x+2
√
x+1
(c) 0 < x < 4
Bài tập 8. Cho A=
√
x+4
√
x+2
và B=(
√
x
√
x+4
+
4
√
x−4
) :
x+16
√
x+2
a.Tính giá trị của A biết x = 36
b.Rút gọn B

c.Tìm x nguyên để giá trị của biểu thức B(A −1) là số nguyên
Đáp số: (a) A=
5
4
(b) B =
√
x+2
x−16
(c) x={14;15;17;18}
9
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 9. A=
√
x+2
√
x+3
−
5
x+
√
x−6
+
1
2−
√
x
a.Rút gọn A
b.Tính giá trị của A biết x =
2
2+

√
3
Đáp số: (a) A=
√
x−4
√
x−2
(b) A=
6+
√
3
3
Bài tập 10. Cho P =

√
a+1
√
ab+1
+
√
ab+
√
a
√
ab−1
−1

:

√

a+1
√
ab+1
−
√
ab+
√
a
√
ab−1
+ 1

a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P biết a = 2 −
√
3 và b =
√
3−1
1+
√
3
c.Tìm min P biết
√
a +
√
b = 4
Đáp số: a)P=−
√
ab b)P=−2 +
√

3 c) minP = 2 khi a = b = 4
Bài tập 11. Cho P =
2
√
a+3
√
b
√
ab+2
√
a−3
√
b−6
−
6−
√
ab
√
ab+2
√
a+3
√
b+6
a.Rút gọn P
b.Cho P=
b+10
b−10
(b = 10).Chứng minh
a
b

=
9
10
Đáp số: a)P=
a+9
a−9
Bài tập 12. Cho P = (1 +
√
a
a+1
) : (
1
√
a−1
−
2
√
a
a
√
a+
√
a−a−1
)
a.Rút gọn P
b.Tìm a để P>1
c.Tính giá trị của P biết a = 19 −8
√
3
Đáp số: a) P =

a+
√
a+1
√
a−1
b) a>1 c) P=
15−
√
3
2
Bài tập 13. Cho P = (
√
x
√
x+2
+
8
√
x+8
x+2
√
x
−
√
x+2
√
x
) : (
x+
√

x+3
x+2
√
x
+
1
√
x
)
a.Rút gọn P
b.Chứng minh P≤1
c.Tìm x thoả mãn (
√
x + 1)P = 1
Đáp số: (a) P =
4(
√
x+1)
x+2
√
x+5
(b) x ≥ 0 (c) x =
7−4
√
3
3
Bài tập 14. Cho A =

2+
√

x
2−
√
x
−
2−
√
x
2+
√
x
−
4x
x−4

:
√
x−3
2
√
x−x
a.Rút gọn A
b.Tính giá trị của A biết


√
x −5


= 2

Đáp số: (a) A=
4x
√
x−3
(b) A=49
Bài tập 15. Cho P =

2+
√
x
2−
√
x
+
√
x
2+
√
x
−
4x+2
√
x−4
x−4

:

2
2−
√

x
−
√
x+3
2
√
x−x

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P>0
c.Tìm x để P=-1
Đáp số: (a) P=
4x
√
x−3
(b) x > 9 (c) x =
9
16
10
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 16. Cho P =

2
√
x
x
√
x−x+
√
x−1

−
1
√
x−1

:

1 +
√
x
x+1

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<0
Đáp số: (a) P =
1−
√
x
x+
√
x+1
(b)x > 1
Bài tập 17. Cho P =

1 −
√
x
√
x+1


:

√
x+3
√
x−2
+
√
x+2
3−
√
x
+
√
x+2
x−5
√
x+6

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<0
c.Tìm các giá trị của m để có giá trị của x thoả mãn P(
√
x + 1) = m(x + 1) −2
Đáp số: (a)P =
√
x−2
√
x+1
(b)0 ≤ x < 4 (c) m≥ 0

Bài tập 18. Cho P =
1
√
x−1−
√
x
+
1
√
x−1+
√
x
+
√
x
3
−x
√
x−1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P>0
c.Tính giá trị của P biết x =
53
9−2
√
7
Đáp số: (a) P = x −2
√
x −1 (b)1 < x < 2 hoặc x > 2 (c) P=7
Bài tập 19. Cho P =


√
x+1
√
x−1
+
√
x
√
x+1
+
√
x
1−x

:

√
x+1
√
x−1
+
1−
√
x
√
x+1

a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P biết x =

2−
√
3
2
c.So sánh P với
1
2
Đáp số: (a) P =
2x+1
4
√
x
(b) P =
√
3
2
(c) P >
1
2
Bài tập 20. Cho P =
2
√
x−9
x−5
√
x+6
−
√
x+3
√

x−2
−
2
√
x+1
3−
√
x
a.Rút gọn P
b.Tìm giá trị của x để P<1
c.Tìm x nguyên để P∈ Z
Đáp số: (a)P =
√
x+1
√
x−3
(b)
{
0 ≤ x < 9 và x = 4
}
(c) x=
{
1;16;25;49
}
Bài tập 21. Cho P =
2
√
x+13
x+5
√

x+6
+
√
x−2
√
x+2
−
2
√
x−1
√
x+3
a.Rút gọn P
b.Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Đáp số: (a)P =
√
x+1
√
x−3
(b) x =
{
1;4;16;36;49
}
Bài tập 22. Cho P =
a
√
a−1
a−
√
a

−
a
√
a+1
a+
√
a
+

√
a −
1
√
a

.

3
√
a
√
a−1
−
2+
√
a
√
a+1

a.Rút gọn P

b.Với giá trị nào của a thì P=
√
a + 7
c.Chứng minh với mọi a > 0, a = 1 thì P>6
Đáp số: (a) P =
2
(
√
a+1
)
2
√
a
(b) a=4
11
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 23. Cho P =

√
x+1
√
x−1
−
√
x−1
√
x+1

:


1
√
x+1
−
√
x
1−
√
x
+
2
x−1

a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P biết x =
√
7−4
√
3
2
c.Tìm x để P=
1
2
Đáp số: (a) P =
4
√
x
(
√
x+1

)
2
(b)P=−20 + 12
√
3 (c) x = 17 ±12
√
2
Bài tập 24. Cho P =

2a+1
√
a
3
−1
−
√
a
a+
√
a+1

:

1+
√
a
3
1+
√
a

−
√
a

a.Rút gọn P
b.Xét dấu của biểu thức Q = P.
√
1 −a
Đáp số: (a) P =
1
(
a−1
)
3
(b)Q<0
Bài tập 25. Cho P =
√
x
(
1−x
)
2
1+
√
x
:

1−x
√
x

1−
√
x
+
√
x

1+x
√
x
1+
√
x
−
√
x

a.Rút gọn P
b.Xác định các giá trị của x để (x + 1)P = x −1
Đáp số: (a) P =
√
x
1+
√
x
(b)x = 3 + 2
√
2
Bài tập 26. Cho P =


x−3
√
x
x−9
−1

:

9−x
x+
√
x−6
−
√
x−3
2−
√
x
−
√
x−2
√
x+3

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<0
Đáp số: (a) P =
−3(
√
x−2)

3
√
x−4
(b) 0 ≤ x <
16
9
hoặc x > 4
Bài tập 27. Cho P =

2
√
x
√
x+3
+
√
x
√
x−3
−
3x+3
x−9

:

2
√
x−2
√
x−3

−1

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<
1
2
c.Tìm min P
Đáp số: (a) P =
−3
√
x+3
(b)x ≥ 0 (c) minP=-1 khi x=0
Bài tập 28. Cho P = 1 :

x+2
x
√
x−1
+
√
x+1
x+
√
x+1
−
1
√
x−1

a.Rút gọn P

b.Tính giá trị của P biết x = 5 −2
√
6
c.So sánh P với 3
Đáp số: (a) P =
√
x
x+
√
x+1
(b) P =
2
√
3−1
11
(c) P<3
Bài tập 29. Cho P =
3x+
√
9x−3
x+
√
x−2
−
√
x+1
√
x+2
+
√

x−2
√
x

1
1−
√
x
−1

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P∈ Z
Đáp số: (a) P =
√
x+1
√
x−1
(b) x={0;4;9}
12
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 30. Cho P =
x
√
x+26
√
x−19
x+2
√
x−3
−

2
√
x
√
x−1
+
√
x−3
√
x+3
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P tại x = 7 −4
√
3
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Đáp số: (a) P =
x+16
√
x+3
(b) P =
103+3
√
3
22
(c) Đặt t =
√
x + 3 → minP = 4 khi x = 4
Bài tập 31. Cho P =

√

x−1
3
√
x−1
−
1
3
√
x+1
+
8
√
x
9x−1

:

1 −
3
√
x−2
3
√
x+1

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=
6
5
Đáp số: (a) P =

√
x
(
√
x+1
)
3
√
x−1
(b) x={
9
25
;4}
Bài tập 32. Cho P =

4
√
x
2+
√
x
+
8x
4−x

:

√
x−1
x−2

√
x
−
2
√
x

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=-1
c.Tìm m để với mọi giá trị của x > 9 ta có :m(
√
x −3)P = x + 1
Đáp số: (a) P =
4x
√
x−3
(b)x =
9
16
(c)
1
4
< m <
5
18
Bài tập 33. Cho A=

2
√
x

2x−5
√
x+3
−
5
2
√
x−3

:

3 +
2
1−
√
x

a.Rút gọn A
b.Tìm x để A=
1
6−x
c.Tìm x để A > 0
Đáp số: (a) A=
1
3−2
√
x
(b) x=9 (c) 0 ≤ x <
9
4

Bài tập 34. Cho P =

√
x
√
x+2
−
x
√
x−8
x
√
x+8
.
x−2
√
x+4
x−4

:
4
√
x+2
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P = −
2
5
c.Tìm x để P < −
1
3

Đáp số: (a) P = −
1
√
x+2
(b) x =
1
4
(c)
{
0 ≤ x < 1
}
Bài tập 35. Cho P =
3a+
√
9a−3
a+
√
a−2
−
√
a−2
√
a−1
+
1
√
a+2
−1
a.Rút gọn P
b.Tìm a để

|
P
|
= 1
c.Tìm các giá trị của a ∈ N sao cho P∈ N
Đáp số: (a)P =
√
a+1
√
a−1
(b) a=0 (c) a = {4;9}
Bài tập 36. Cho P =

√
x−2
x−1
−
√
x+2
x+2
√
x+1

:
2
1−2x+x
2
a.Rút gọn P
13
1.2. Rút gọn phân thức

b.Tìm x để P > 0
Đáp số: (a)P = −
(
√
x−1
)
√
x
(
√
x+1
)
2
(b) 0<x<1
Bài tập 37. Cho P =

√
a
√
a+3
−
a
√
a−27
a
√
a+27
.
a−3
√

a+9
a−9

:
9
√
a+3
a.Rút gọn P
b.Tìm a để P <
−1
4
c.Tìm a để P =
−2
7
Đáp số: (a) P =
−1
√
x+3
(b)
{
0 ≤ a < 1
}
(c) a =
1
4
Bài tập 38. Cho P =
x
√
x−1
x−

√
x
−
x
√
x+1
x+
√
x
+
x+1
√
x
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=
9
2
c.Tìm x ∈ Z để P∈ Z
d.Tính giá trị của P biết x =
2−
√
3
2
e.So sánh P với 4
Đáp số: (a)P =
(
√
x+1
)
2

√
x
(b) x=
1
4
hoặc x = 4 (c) x=1
(d) P=
5+3
√
3
2
(e)P>4
Bài tập 39. Cho P =

√
x−1
√
x+1
−
√
x+1
√
x−1

.

1
2
√
x

−
√
x
2

2
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P tại x = 3 −2
√
2
c.Tìm x để P>0
d.Tìm x để P=3
√
x + 12
Đáp số: (a)P =
1−x
√
x
(b)P=2 (c) 0 < x < 1 (d) x =
19−6
√
10
4
Bài tập 40. Cho P =

2x+1
√
x
3
−1

−
1
√
x−1

:

1 −
x+4
x+
√
x+1

(a) Rút gọn P
(b) Tìm giá trị của x để P nguyên dương
Đáp số: (a) P=
√
x
√
x−3
(b) x={16;36}
Bài tập 41. Cho P =

√
x
√
x−1
−
1
x−

√
x

:

1
√
x+1
+
2
x−1

(a) Rút gọn P
(b) Tìm x để P > 0
(c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị của x thỏa mãn P
√
x = m −
√
x
Đáp số: (a) P=
x−1
√
x
(b) x>1 (c) m > −1
Bài tập 42. Cho P =

√
x −
x+2
√

x+1

:

√
x
√
x+1
−
√
x−4
1−x

a.Rút gọn P
14
1.2. Rút gọn phân thức
b.Tìm x để P<0
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Đáp số: (a) P =
√
x−1
√
x+2
(b)
{
0 ≤ x < 1
}
(c) minP=−
1
2

khi x=0
Bài tập 43. Cho P =

√
x −
1
√
x

:

√
x−1
√
x
+
1−
√
x
x+
√
x

a.Rút gọn P
b.Tính P biết x =
2
2+
√
3
c.Tìm GTNN của x t hoả mãn P

√
x = 6
√
x −3 −
√
x −4
Đáp số: (a)P =
(
√
x+1
)
2
√
x
(b) P=
3
√
3+3
2
(c) x = 4
Bài tập 44. Cho P =

1
√
x−2
+
5
√
x−4
2

√
x−x

:

2+
√
x
√
x
−
√
x
√
x−2

a.Rút gọn P
b.Tính giá trị P biết x =
3−
√
5
2
c.Tìm m để có x thoả mãn P=mx
√
x −2mx + 1
Đáp số: (a) P =
√
x −1 (b) P =
√
5−3

2
(c) m > 0
Bài tập 45. Cho P =

a+3
√
a+2
(
√
a+2
)(
√
a−1
)
−
a+
√
a
a−1

:

1
√
a+1
+
1
√
a−1


a.Rút gọn P
b.Tìm a để
1
P
−
√
a+1
8
≥ 1
Đáp số: (a) P =
√
a+1
2
√
a
(b) a=9
Bài tập 46. Cho P =
√
x
√
x−1
+
3
√
x+1
−
6
√
x−4
x−1

a.Rút gọn P
b.Tìm x để P <
1
2
Đáp số: (a) P =
√
x−1
√
x+1
(b)
{
0 ≤ x < 9 và x = 1
}
Bài tập 47. Cho biểu thức A =
√
x
√
x−5
−
10
√
x
x−25
−
5
√
x+5
(a) Rút gọn A
(b) Tính giá trị của A biết x = 9
(c) Tìm x để A <

1
3
Đáp số: (a) A =
√
x−5
√
x+5
(b) A = −
1
4
(c) 0 ≤ x < 100
Bài tập 48. Cho biểu thức A =
x
x−4
+
1
√
x−2
+
1
√
x+2
(a) Rút gọn A
(b) Tính giá trị của A biết x = 25
(c) Tìm x để A = −
1
3
Đáp số: (a) A =
√
x

√
x−2
(b) A =
5
3
(c) x =
1
4
15
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 49. Cho biểu thức A =
√
x
√
x+3
+
2
√
x
√
x−3
−
3x+9
x−9
(a) Rút gọn A
(b) Tìm giá trị của x để A =
1
3
(c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Đáp số: (a) A =

3
√
x+3
(b) x = 36 (c) maxA = 1 khi x = 0
Bài tập 50. Cho P =
2
√
x−1
+
2
(
√
x+1
)
x+
√
x+1
+
x−10
√
x+3
√
x
3
−1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=1
c.Tìm max P
Đáp số: (a) P =
5

√
x−3
x+
√
x+1
(b) x = 4 (c) maxP = 1 khi x = 4
Bài tập 51. ChoP =
x
2
−
√
x
x+
√
x+1
−
2x+
√
x
√
x
+
2
(
x−1
)
√
x−1
a.Rút gọn P
b.Tìm min P

c.Tìm x để Q =
2
√
x
P
nhận giá trị nguyên.
Đáp số: (a) P = x −
√
x + 1 (b) minP=
3
4
khi x=
1
4
(c) x =
7±3
√
5
2
Bài tập 52. Cho P =
√
x
√
x−2
−
3
√
x+1
√
x+2

−
3
√
x+2
x−4
+ 1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P ≥
1
2
c.Tìm x nguyên để P nguyên dương
d.Tìm giá trị lớn nhất của P
Đáp số: (a)P = −
√
x−2
√
x+2
(b)

0 ≤ x ≤
4
9

(c) x=1 (d) maxP=1 khi x=0
Bài tập 53. Cho P =

6x+4
3
√
3x

3
−8
−
√
3x
3x+2
√
3x+4

1+3
√
3x
3
1+
√
3x
−
√
3x

(a) Rút gọn P
(b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên.
Đặt a=
√
3x thì
P =

2(a
2
+2)

a
3
−8
−
a
a
2
+2 a+4

a
3
+1
1+a
− a

= ··· =
(
a−1
)
2
a−2
Đáp số: (a)P =
(
√
3x−1
)
2
√
3x−2
(b) x = 3

Bài tập 54. Cho P =
√
a
3
−
√
b
3
a−b
−
a
√
a+
√
b
−
b
√
b−
√
a
(a) Rút gọn P
(b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 8 −2
√
15;b = 8 + 2
√
15
Đáp số: (a)P =
√
ab

√
a−
√
b
(b) P=−
√
3
3
16
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 55. Cho các số thực dương a,b với a=b. Chứng minh rằng
(
a−b
)
3
(
√
a−
√
b
)
3
−b
√
b + 2a
√
a
a
√
a −b

√
b
+
3a + 3
√
ab
b − a
= 0
Bài tập 56. Cho biểu thức:
A =


1
√
x
+
1
√
y

2
√
x +
√
y
+
1
√
x
+

1
√
y

:
√
x
3
+ y
√
x + x
√
y +

y
3

xy
3
+

x
3
y
(a) Rút gọn A
(b) Tìm x, y biết xy =
1
36
; A=
17

5
Đáp số: (a) A=
√
x+
√
y+2
√
x+
√
y
(b)
(
x;y
)
=

1
4
;
1
9

,

1
9
;
1
4


Bài tập 57. Cho Q =
2
√
x
−

x
x+
√
xy
−
x−y
√
xy
−
y
√
xy+y

.
√
x+
√
y
x+
√
xy+y
(a) Rút gọn Q
(b) Tính giá trị của Q biết x = 5 −2
√

6;y = 5 + 2
√
6
Đáp số: (a) Q =
√
x+
√
y
√
xy
(b) Q = 2
√
3
Bài tập 58. Cho B=

x−y
√
x−
√
y
+
√
x
3
−
√
y
3
y−x


:
(
√
x−
√
y
)
2
+
√
xy
√
x+
√
y
(a) Rút gọn B
(b) Chứng minh rằng B ≥ 0
(c) So sánh B với
√
B
Đáp số: (a)B =
√
xy
x−
√
xy+y
(b) B =
√
xy


√
x−
√
y
2

2
+
3y
4
≥ 0
(c) Ta có
x −
√
xy + y
=
(
x + y
)
−
√
xy > 2
√
xy −
√
xy =
√
xy > 0, ∀x,y ≥ 0, x = y
⇒ 0 <
√

xy
x+y−
√
xy
< 1
⇒ 0 < B < 1
⇒ B <
√
B
Bài tập 59. Cho A=

√
a
√
ab−1
−
√
a
√
ab+1
+
√
a
(
b−2
)
ab−1

:
√

b
1−ab
(a) Rút gọn A
(b) Cho
√
a +
√
b = 6. Tìm giá trị của a và b để A đạt GTNN.
Đáp số: (a)A = −
√
ab (b) minP=-3 khi a=b=9
Bài tập 60. Cho M =

3
√
1+a
+
√
1 −a

:

3
√
1−a
2
+ 1

(a) Rút gọn M
17

1.2. Rút gọn phân thức
(b) Tính giá trị của M nếu a =
√
3
2+
√
3
(c) Tìm a để
√
M > M
Đáp số: (a) M=
√
1 −a (b) M=
√
3 −1 (c) 0<a<1
Bài tập 61. Cho P =
a
√
a
2
−b
2
−

1 +
a
√
a
2
−b

2

:
b
a−
√
a
2
−b
2
(a) Rút gọn P
(b) Tính giá trị của P biết
a
b
=
3
2
(c) Tìm điều kiện của a,b để P<1
Đáp số: (a) P=
a−b
√
a
2
−b
2
(b) P =
1
√
5
khi a > b > 0,P =

−1
√
5
khi a < b < 0
(c) ab>0
Bài tập 62. Cho P =
2
√
x
√
x+m
+
√
x
√
x−m
−
m
2
4x−4m
2
(a) Rút gọn P
(b) Tính x theo m để P=0
(c) Xác định giá trị của m để x tìm được ở câu (b) thỏa mãn điều kiện x>1
Đáp số: (a) P=
m
2
+4m
√
x−12x

4
(
m
2
−x
)
(b) x =

m
2
36
;
m
2
4

(c)
|
m
|
> 6
Bài tập 63. Cho P = 1 +

2a+
√
a−1
1−a
−
2a
√

a−
√
a+a
1−a
√
a

.
a−
√
a
2
√
a−1
(a) Rút gọn P
(b) Tìm a khi P=
√
6
1+
√
6
(c) Chứng minh P>
2
3
Đáp số
: (a) P =
a+1
a+
√
a+1

(b)x =
4±
√
12
2
Bài tập 64. Cho P =
(
√
a−
√
b
)
2
+4
√
ab
√
a+
√
b
.
a
√
b−b
√
a
√
ab
(a) Rút gọn P
(b) Tính P biết a = 2

√
3;b =
√
3
√
3−1
Đáp số: (a) P=a −b (b) P=
3
√
3−3
2
Bài tập 65. Cho P =

3
√
a
a+
√
ab+b
−
3a
a
√
a−b
√
b
+
1
√
a−

√
b

:
(
a−1
)
(
√
a−
√
b
)
2a+2
√
ab+2b
(a) Rút gọn P
(b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Đáp số: (a) P=
2
a−1
Bài tập 66. Cho P =

1
√
a+
√
b
+
3

√
ab
a
√
a+b
√
b

.

1
√
a−
√
b
−
3
√
ab
a
√
a−b
√
b

:
a−b
a+
√
ab+b


(a) Rút gọn P
(b) Tính P khi a = 16; b = 4
Đáp số: (a) P=
(
√
a+
√
b
)
2
a−
√
a
√
b+b
(b) P=3
Bài tập 67. Chứng minh các đẳng thức sau:
18
1.2. Rút gọn phân thức
1.

√
x
√
x+2
√
y
−
√

x+2
√
y
2
√
y


√
x
√
x−2
√
y
−1 +
8
√
y
3
8
√
y
3
−
√
x
3

=
√

x
2
√
y−
√
x
2.

99
√
x+1
5x−5
+
1
5+5
√
x
+
20
1−
√
x

:
4
√
x
3
y−
√

xy
= −5
√
xy
3.
√
y−
√
x
√
xy
:

y
(
√
x−
√
y
)
2
(
√
x+
√
y
)
−
2x
√

y
x
2
−2xy+y
2
+
x
(
y−x
)
(
√
x+
√
y
)

=
(
√
x−
√
y
)
2
√
xy
4.
√
x+

√
y
2
(
√
x−
√
y
)
−
√
x−
√
y
2
(
√
x+
√
y
)
−
y+x
y−x
=
√
x+
√
y
√

x−
√
y
với x ≥0;y ≥ 0; x = y
5.
2
√
ab
:

1
√
a
−
1
√
b

2
−
a+b
(
√
a−
√
b
)
2
= −1 với a > 0; b > 0; a = b
Bài tập 68. Cho biểu thức P =

1
√
x+1−2
−
1
x−3
√
x+1+3
(a) Rút gọn P
(b)Tìm x để P=1
Đáp số: (a)P =
√
x+1−2
x+3−3
√
x+1
(b) x = ∅
Bài tập 69. Cho A =
1
x+
√
x
+
2
√
x
x−1
−
1
x−

√
x
(a) Rút gọn A
(b) Tìm x để A=
√
x −5 −
4
3
(c) Tìm x để biểu thức P=
A
√
4−x
là số nguyên
Đáp số: (a)A =
2
√
x
(b) x = 9 (c) x =

2;2 ±
√
3

19
Chương 2
Giải bài toán bằng cách lập
phương trình
2.1. Dạng toán chuyển động
Quãng đường =Vận tốc . Thời gian
Bài tập 70. Một người đi xe đạp dự định đi từ A đến B dài 60km trong một thời gian

nhất định.Sau khi đi được một nửa quãng đường AB,người đó nhận thấy vận tốc thực
tế chỉ bằng
2
3
vận tốc dự định,nên trên quãng đường còn lại người đó tăng vận tốc thêm
3 km/h so với vận tốc dự định.Tuy vậy người đó vẫn đến B chậm mất 40 phút so với dự
kiến.Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp ,biết vận tốc người đó không nhỏ hơn 10
km/h.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dự định :x km/h,x>10
Thời gian dự định đi quãng đường AB là
60
x
h
Vận tốc thực tế trên nửa quãng đường đầu là
2
3
.x km/h
Thời gian đi nửa quãng đường đầu là 30:
2
3
x h
Vận tốc thực tế trên nửa quãng đường sau là x+3 km/h
Thời gian đi nửa quãng đường sau là 30:(x+3) h
Ta có phương trình:
45
x
+
30
x+3

=
60
x
+
2
3
⇔

x =
9
2
(loại)
x = 15 thoả mãn
20
2.1. Dạng toán chuyển động
Bài tập 71. Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 75 km với vận tốc dự
định.Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay về A với vận tốc lớn hơn dự định là 5
km/h.Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút .Tính vận tốc dự định của người đó.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dự định : x km/h,x>0
Thời gian xe máy đi từ A đến B:
75
x
h
Thời gian xe máy đi từ B đến A :
75
x+5
h
Ta có phương trình:
75

x
+
75
x+5
+
1
3
=
35
6
⇔

x = 25
x =
−30
11
(loại)
Bài tập 72. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 300 km .Ôtô thứ nhất
mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô t hứ hai là 1 giờ.Tính
vận tốc mỗi xe ?
Hướng dẫn
Gọi vận tốc ô tô thứ 2 là x km/h,x>0
Vận tốc ô tô t hứ nhất : x+10 km/h
Thời gian ô tô thứ nhất đi :
300
x+10
h
Thời gian ô tô thứ 2 đi :
300
x

h
Ta được phương trình:
300
x
−
300
x+10
= 1 ⇔

x = −60 (loại)
x = 50
Bài tập 73. Một người đi xe đạp từ A đến B dài 78 km.Sau 1h ,người thứ 2 đi từ B đến A
.Hai người gặp nhau tại C cách B 36 km.Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành
đến lúc gặp nhau,biết vận tốc người thứ 2 lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h
Hướng dẫn
Gọi thời gian người thứ 1 đi từ A đến chỗ gặp nhau: x ,x>0
Thời gian người thứ 2 đi từ B đến chỗ gặp nhau là x-1
Vận tốc người thứ 1 và thứ 2 lần lượt là:
78−36
x
;
36
x−1
Ta có phương trình:
36
x−1
−
78−36
x
= 4 ⇔


x = −
7
2
(loại)
x = 3
Bài tập 74. Một ô tô từ Hà Nội đến Hải Phòng dài 100km.Lúc về vận tốc ô tô đó tăng
thêm 10km/h,do đó thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút .Tính vận tốc của ô tô lúc đi
?
21
2.1. Dạng toán chuyển động
Hướng dẫn
Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là x (km/h)
Thời gian đi:
100
x
(h)
Vận tốc lúc về: x+10 (km/h)
Thời gian về :
100
x+10
(h)
Ta có phương trình:
100
x
−
100
x+10
=
1

2
⇔

x = −50 (loại)
x = 40
Bài tập 75. Một ô tô đi quãng đường AB dài 150km với thời gian đã định.Sau khi đi
1
2
quãng đường ,ô tô dừng lại 10 phút ,do đó để đến B đúng hẹn ,xe phải tăng vận tốc
thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại .Tính vận tốc dự định cỉa ô tô ?
Hướng dẫn
Gọi vận tôc dự định của ô tô là x km/h
Thời gian dự định :
150
x
(h)
Thời gian đi
1
2
quãng đường đầu là
75
x
(h)
Thời gian đi
1
2
quãng đường sau:
75
x+5
(h)

Vì ô tô đến đúng hẹn nên ta có phương trình :
150
x
=
75
x
+
75
x+5
+
1
6
⇔

x = −50 (loại)
x = 45
Bài tập 76. Một nhóm bạn đi du khảo bằng xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km.Khi trở
về thì bị gió ngược nên tốc độ trung bình của nhóm bạn giảm đi 4km/h và thời gian di
chuyển về A lâu hơn thời gian di chuyển từ A đến B là 1h.Tính tốc độ trung bình ở lượt
đi của nhóm bạn nói trên?
Hướng dẫn
Gọi vận tốc trung bình lượt đi là x km/h
Thời gian đi từ A đến B:
24
x
h
Vận tốc đi từ B về A là x-4 km/h
Thời gian đi từ B về A :
24
x−4

h
Ta có phương trình:
24
x−4
=
24
x
+ 1 ⇔

x = −8 (loại)
x = 12
Bài tập 77. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định .Khi còn cách
B 30km nhận thấy nếu không tăng vận tốc thì sẽ đến B chậm nửa giờ,do đó người đó đã
tăng vận tốc thêm 5km/h nên tới B sớm hơn dự định nửa giờ .Tính vận tốc ban đầu của
người đi xe đạp?
22
2.1. Dạng toán chuyển động
Hướng dẫn
Gọi vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là x km/h
Thời gian dự định đi 30km lúc đầu là
30
x
(h)
Khi tăng vận tốc thì thời gian đi 30 km lúc sau là
30
x+5
(h)
Vì nếu không tăng vận tốc thì đến muộn nửa giờ ,còn nếu tăng vận tốc thì lại đến sớm
nửa giờ nên ta có phương trình :
30

x
−
1
2
=
30
x+5
+
1
2
x=10 km/h
Bài tập 78. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 60km và quay trở lại
A,cả đi và về hết 12 giờ 30 phút .Biết vận tốc nước là 2km/h.Tính vận tốc thực của ca
nô?
Hướng dẫn
Gọi vận tốc thực của ca nô là x km/h,x>2
Vận tốc ca nô lúc đi là x+2 (km/h),lúc về là x-2 (km/h)
Thời gian ca nô đi là
60
x+2
(h)
Thời gian ca nô về là
60
x−2
(h)
Ta có phương trình:
60
x+2
+
60

x−2
= 12,5 ⇔

x = 10
x = −
2
5
(loại)
Bài tập 79. Hai bến sông A và B cách nhau 40km.Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi từ
A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h.Sau khi đến B,ca nô
quay về A và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8km.Tính vận tốc thực của ca nô.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h),x>3
Vận tốc xuôi dòng:x+3 (km/h)
Vận tốc ngược dòng: x-3 (km/h)
Thời gian ca nô đi từ A đến B là :
40
x+3
(h)
Thời gian ca nô đi từ B đến khi gặp bè :
40−8
x−3
(h)
Thời gian chiếc bè trôi từ A đến khi gặp ca nô là :
8
3
(h)
Ta có phương trình:
40
x+3

+
32
x−3
=
8
3
x=27 km/h
Bài tập 80. Quãng đường sông từ bến A đến bến B dài 48 km.Một ca nô xuôi dòng từ
A đến B rồi ngược dòng từ B về. Thời gian lúc về lâu hơn thời gian lúc đi là 30 phút ,biết
vận tốc thực của ca nô là 28km/h.Tính vận tốc dòng nước.
23
2.1. Dạng toán chuyển động
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dòng nước là x (km/h),0<x<28
Vận tốc xuôi: 28+x km/h
Vận tốc ngược:28-x km/h
Thời gian xuôi:
48
28+x
h
Thời gian ngược:
48
28−x
h
Ta có :
48
28−x
−
48
28+x

=
1
2
x=4 km/h
Bài tập 81. Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km,rồi ngược về 36 km.Biết thời gian
xuôi dòng nhiều hơn thời ngược dòng là 2h và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi
ngược dòng là 6km/h.Tính vận tốc ca nô lúc xuôi và ngược dòng.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc lúc ngược dòng là x (km/h)
Vận tốc lúc xuôi dòng là x+6 (km/h)
Thời gian xuôi:
90
x+6
Thời gian ngược:
36
x
Ta có phương trình:
90
x+6
−2 =
36
x
x=9 hoặc x=12
Bài tập 82. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định.Sau
khi đi được
1
3
quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường
còn lại,vì vậy người đó đến B sớm hơn dự định là 24 phút.Tìm vận tốc dự định và thời
gian xe lăn bánh trên đường.

Hướng dẫn
Gọi vận tốc dự định là x (km/h)
Ta có phương trình:
40
x
+
80
x+10
+
24
60
=
120
x
x=40 hoặc x=-50 (loại)
Bài tập 83. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B dài 45 km.Khi đi được
1
3
quãng
đường thì xe bị hỏng nên người đó chờ ô tô hết 20 phút và đi tiếp bằng ô tô trên quãng
đường còn lại, vì vậy người đó đến B sớm hơn dự định là 1h20 phút. Tính vận tốc dự
định của người đi xe đạp biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe đạp 24km/h.
Hướng dẫn
24