TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.78 MB, 120 trang )
LNG
GIÁC
MT S CHUYểN VÀ NG DNG
TP 3 : TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
MT S PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH
VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH
LNG GIÁC
MT S CHUYểN VÀ NG DNG
TP 3 : TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
MT S PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
TP. H CHÍ MINH, THÁNG 8 ậ 2011
LI NịI U
Cun sách “LNG GIÁC ậ MT S CHUYểN VÀ NG DNG” nƠy đc biên
son vi mc đích cung cp, b sung kin thc cho hc sinh THPT và mt s bn đc
quan tơm đn mng kin thc này trong quá trình hc tp và làm vic. Trong tp 3 “TÌM
GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT; MT S PHNG PHÁP LNG
GIÁC HịA” nƠy, chúng tôi s trình bày các k thut đi s, gii tích v hai vn đ trên.
Tuy nhiên, chúng tôi s xoáy vào trng tơm lƠ “PHNG PHÁP LNG GIÁC HịA”,
mt dng ng dng k thut khá hay trong mt s bài toán.
các chng chính, chúng tôi chia lƠm 3 phn :
- Phn I : Nêu lý thuyt cùng ví d minh ha ngay sau đó, giúp bn đc hiu và bit
cách trình bày bài. ng thi đa ra các dng toán c bn, thng gp trong quá trình
làm bài trên lp ca hc sinh THPT. phn này, chúng tôi s trình bày mt s bƠi đ bn
đc có th nm vng hn, tránh sai sót.
- Phn II : Trong quá trình tham kho và tng hp tài liu, chúng tôi s đa vƠo
phn này các dng toán khó nhm giúp cho các hc sinh bi dng, rèn luyn k nng
gii LNG GIÁC thành tho hn khi gp phi nhng dng toán này.
- Phn III : Chúng tôi s đa ra li gii gi ý cho mt s bƠi, qua đó bn đc kim
tra li đáp s, li gii hoc cng có th tham kho thêm.
Trong quá trình biên son, mc dù chúng tôi đư c gng bng vic tham kho mt lng
rt ln các tài liu có sn và tip thu có chn lc ý kin t các bn đng nghip đ dn
hoàn thin cun sách nƠy, nhng khó tránh khi nhng thiu sót bi tm hiu bit và kinh
nghim còn hn ch, chúng tôi rt mong nhn đc ý kin đóng góp quý báu ca bn đc
gn xa.
Chi tit liên h ti :
CÁC TÁC GI
VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH.
LI CM N
Trong quá trình biên son, chúng tôi xin cám n đn nhng bn đư cung cp tài liu tham
kho và vui lòng nhn kim tra li tng phn ca bn tho hoc bn đánh máy, to điu
kin hoàn thành cun sách này :
- Trn Phong (H S Phm Tp.HCM)
- Ngô Minh Nht (H Kinh T Tp.HCM)
- Mai Ngc Thng (H Kinh T Tp.HCM)
- Trng Tn Sang (Westminster High School California)
- Nguyn Th Thanh Huyn (THPT Chuyên Lng Th Vinh ng Nai)
- Nguyn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bi Châu Tp.Vinh)
- Nguyn ình Thi (H Khoa Hc T Nhiên Tp.HCM)
và mt s thành viên din đƠn MathScope.
MC LC
TP 3 : TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
MT S PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
CHNG 8 : TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
I. TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
HÀM LNG GIÁC 1
1. PHNG PHÁP BIN I LNG GIÁC 1
BÀI TP T LUYN 9
2. PHNG PHÁP S DNG BT BNG THC C BN 11
BÀI TP T LUYN 19
3. PHNG PHÁP O HÀM HÀM S 24
BÀI TP T LUYN 35
II. TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
HÀM LNG GIÁC CHA THAM S 38
BÀI TP T LUYN 44
III. TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
HÀM LNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 46
BÀI TP T LUYN 53
CHNG 9 : PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
GII MT S BÀI TOÁN I S
I. TÓM TT MT S K THUT THNG DÙNG 57
II. PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
TRONG CHNG MINH NG THC I S 59
BÀI TP T LUYN 63
III. PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
TRONG CHNG MINH BT NG THC 63
BÀI TP T LUYN 86
IV. PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
TRONG GII PHNG TRÌNH 88
BÀI TP T LUYN 95
V. PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
TRONG GII H PHNG TRÌNH 95
BÀI TP T LUYN 104
VI. PHNG PHÁP LNG GIÁC HÓA
TRONG TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT 105
BÀI TP T LUYN 111
TÀI LIU THAM KHO 114
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
1
CHNG 8
TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT
I. TÌM GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT HÀM LNG GIÁC
Nh vy, đ tìm giá tr ln nht (GTLN) và giá tr nh nht (GTNN) ca mt hàm s hay
mt biu thc lng giác, tùy theo tng loi toán ta có th dùng mt trong các phng
pháp sau. đơy, chúng ta ch đ cp đn các phng pháp đi s, gii tích.
1. PHNG PHÁP BIN I LNG GIÁC
- Da vào tính b chn ca hàm s sin, hàm s cos
- Dùng điu kin có nghim ca các phng trình c bn
i. Phng trình bc hai :
có nghim khi và ch khi
ii. Phng trình có nghim khi và ch khi
Cho hàm s
xác đnh trên min .
1. Mt s thc M đc gi là giá tr ln nht ca hàm s nu :
Kí hiu :
2. Mt s thc N đc gi là giá tr nh nht ca hàm s nu :
Kí hiu :
Chú ý rng : Nu hàm s
liên tc trên
thì hàm s đó đt giá tr
ln nht và giá tr nh nht trên
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
2
iii. Nu hàm s có dng
Ta tìm min xác đnh ca hàm s ri quy đng mu s, đa v phng trình c đin
.
Nu hàm s cha đa v dng trên thì ta bin đi đ đa v dng trên (nu đc).
Gii:
a. Ta có :
Hay
Phng trình nƠy có nghim khi và ch khi
Do đó,
b. Ta đư chng minh đc
Do đó,
Phng trình nƠy có nghim khi và ch khi
Bài 1: Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
3
Vy
c.
Ta có :
Phng trình nƠy có nghim khi và ch khi
Do đó
Chú ý: Tng t cơu a, ta đa v bài toán dng tng quát
Bài 2: Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
4
Gii:
a. Ta có :
Vy
b. Ta có :
Ta xét :
Do đó,
c. Hàm s xác đnh khi và ch khi
Ta có :
Vy
Hn na,
Vy
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
5
d. iu kin:
Vì chu k ca và là nên ta cn xét trên . Do đó
Ta có :
Hn na,
Suy ra
Do vy,
Tng t, ta đc
Do đó,
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
6
Gii:
a. Ta có :
Do đó,
b. Ta có :
Do đó,
c. Ta có :
Do đó,
d. Ta có :
Do đó,
Bài 3: Tìm giá tr ln nht ca hàm s
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
7
Gii:
a. Ta có :
Do đó,
b. Ta có :
Do đó,
Bài 5: Vi là mt góc c đnh cho trc. Tìm giá tr nh nht ca hàm s :
Bit rng hàm s tha các điu kin xác đnh cho trc.
Bài 4: Tìm giá tr nh nht ca hàm s
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
8
Gii: Ta có :
Do đó, tn ti khi và ch khi
Khi đó,
Vy
Gii: iu kin:
Ta có :
Do đó,
Gii: Ta có :
Do đó, khi và ch khi . Ta chn
Bài 7: Cho . Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca biu
thc
Bài 6: Tìm giá tr nh nht ca biu thc
(H Giao Thông Vn Ti 1999)
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
9
Hn na, ta thy luôn luôn tn ti 2 s gi s là cùng du và
Do đó, khi và ch khi và
. Khi đó, ta chn
- BÀI TP T LUYN
8.1.1. Tìm giá tr ln nht, nh nht ca hàm s
8.1.2. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
8.1.3. Tìm giá tr ln nht ca biu thc
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
10
- GI Ý GII BÀI TP T LUYN
8.1.1.
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
11
8.1.2. Ta bin đi hàm s đư cho thƠnh
8.1.3. Ta bin đi biu thc đư cho thƠnh
ý rng, nu ta đt
Ta s đa biu thc v dng biu thc .
2. PHNG PHÁP S DNG BT NG THC C BN
- phn này, ngoài vic s dng các phng pháp đư đc đ cp chng 3,
chúng ta cn phi xác đnh rõ điu kin xác đnh ca hàm s hay biu thc trc
khi s dng các bt đng thc c bn.
- Phng pháp nƠy đc coi là mt phng pháp khó vì đòi hi tính sáng to và k
thut cao trong vic s dng thành tho bt đng thc và trong vic va tìm giá tr
ln nht va tìm giá tr nh nht nên đa phn các bài toán dng này ch yêu cu
tìm giá tr ln nht hoc giá tr nh nht ca hàm s hay biu thc.
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
12
Gii:
Theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Do đó,
Hn na, theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Do đó,
Ta bin đi hàm s
thành
Bài 1: Tìm giá tr nh nht ca hàm s
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
13
Theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Do đó,
Gii:
Do nhn nên dng.
Ta có :
Hn na, theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Bài 2: Cho nhn. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
14
Do đó,
Gii:
Theo bt đng thc Bunyakovsky, ta có :
Do đó,
Gii:
Theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Bài 4: Cho là hai s t nhiên ln hn . Tìm giá tr ln nht ca hàm s
(H Bách Khoa HƠ Ni 1998)
Bài 3: Cho là các s thc tha mãn
. Tìm giá tr ln nht ca
biu thc
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
15
Do đó,
Gii:
Theo bt đng thc Bunyakovsky, ta có :
Hn na, do
. Ta đc
Do đó,
khi và ch khi
Gii:
Bài 6: Tìm giá tr nh nht ca hàm s
Bài 5: Cho là ba s thc riêng bit sao cho hàm s sau có ngha
Tìm giá tr ln nht ca hàm s.
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
16
Tng t, ta có :
Ta suy ra
Mt khác, theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Suy ra
Do đó,
Gii:
Ta có :
Ta đc kt qu sau :
Bài 7: Cho các s thc
tha mưn điu kin
Tìm giá tr ln nht ca biu thc
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
17
Mt khác, theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Do đó,
T đó, ta chn
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
18
Gii:
Ta có :
Theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Do đó,
Ta li có :
Tng t trên, theo bt đng thc Cauchy, ta có :
Bài 8: Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s
Chng 8 : Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht
19
Do đó,
- BÀI TP T LUYN
8.1.4. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
8.1.5. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
8.1.6. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
8.1.7. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
8.1.8. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
8.1.9. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
8.1.10. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
8.1.11. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
8.1.12. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
8.1.13. Cho góc
tha mãn
Tìm giá tr ln nht ca biu thc
