BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+
a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(
C
) c
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho.
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(
C
), bi
ế
t ti
ế
p
đ
i
ể
m có hoành
độ
1.
x
=
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Cho góc α thỏa mãn:
π
α π
2
< <
và
3
sin
α .
5
=
Tính
2
tan
α
.
1 tan
α
A
=
+
b) Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c:
(1 ) (3 ) 2 6 .
i z i z i
+ + − = −
Tính mô
đ
un c
ủ
a
z
.
Câu 3.
(
0,5 điểm
) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3 3
log ( 2) 1 log .
x x
+ = −
Câu 4.
(
1,0 điểm
) Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2 2
2 3( 2 2).
x x x x x+ + − ≥ − −
Câu 5.
(1,0
đ
i
ể
m) Tính tích phân:
2
3
1
(2 ln ) d .
I x x x
= +
∫
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, AC = 2a,
o
30 ,
ACB =
Hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ
a
đỉ
nh S trên m
ặ
t
đ
áy là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh AC và
2 .
SH a
=
Tính theo
a th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC và kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m C
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB).
Câu 7.
(1,0
đ
i
ể
m) Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy
, cho tam giác OAB có các
đỉ
nh A và B thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 3 12 0
x y
∆ + − =
và
đ
i
ể
m
(6; 6)
K là tâm
đườ
ng tròn bàng ti
ế
p góc O. G
ọ
i C là
đ
i
ể
m
n
ằ
m trên
∆
sao cho
AC AO
=
và các
đ
i
ể
m C, B n
ằ
m khác phía nhau so v
ớ
i
đ
i
ể
m A. Bi
ế
t
đ
i
ể
m C có
hoành
độ
b
ằ
ng
24
,
5
tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a các
đỉ
nh A, B.
Câu 8.
(1,0
đ
i
ể
m) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đ
i
ể
m
(2; 0; 0)
A và
(1; 1; 1).
B
−
Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c (P) c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB và ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm O, ti
ế
p xúc
v
ớ
i (P).
Câu 9.
(0,5
đ
i
ể
m) Hai thí sinh A và B tham gia m
ộ
t bu
ổ
i thi v
ấ
n
đ
áp. Cán b
ộ
h
ỏ
i thi
đư
a cho m
ỗ
i thí
sinh m
ộ
t b
ộ
câu h
ỏ
i thi g
ồ
m 10 câu h
ỏ
i khác nhau,
đượ
c
đự
ng trong 10 phong bì dán kín, có hình
th
ứ
c gi
ố
ng h
ệ
t nhau, m
ỗ
i phong bì
đự
ng 1 câu h
ỏ
i; thí sinh ch
ọ
n 3 phong bì trong s
ố
đ
ó
để
xác
đị
nh
câu h
ỏ
i thi c
ủ
a mình. Bi
ế
t r
ằ
ng b
ộ
10 câu h
ỏ
i thi dành cho các thí sinh là nh
ư
nhau, tính xác su
ấ
t
để
3
câu h
ỏ
i A ch
ọ
n và 3 câu h
ỏ
i B ch
ọ
n là gi
ố
ng nhau.
Câu 10.
(1,0
đ
i
ể
m) Xét s
ố
th
ự
c x. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c sau:
2
2 2
3 2 2 1
1 1
3
2 3 3 3 2 3 3 3
+ +
= + +
+ − + + + +
( )
.
( ) ( )
x x
P
x x x x
HẾT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
●
Tập xác định:
{
}
\ 1 .
D
= −
»
●
Giới hạn và tiệm cận:
( 1)
lim
x
y
+
→ −
= − ∞
,
( 1)
lim
x
y
−
→ −
= + ∞
;
lim lim 2.
x x
y y
→ −∞ → +∞
= =
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
1
x
= −
và một
tiệm cận ngang là đường thẳng
2.
y
=
0,25
●
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' =
2
3
( 1)
x +
> 0
∀
x
∈
D.
Suy ra, hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng
(
)
; 1
− ∞ −
và
(
)
1;
− + ∞
.
- C
ự
c tr
ị
: Hàm s
ố
đ
ã cho không có c
ự
c tr
ị
.
0,25
Lưu ý:
Cho phép thí sinh không nêu k
ết luận về cực trị của hàm số.
- Bảng biến thiên:
x
–
∞
– 1 + ∞
y' + +
y
+
∞
2
2 – ∞
0,25
●
Đồ thị (C):
0,25
O
x
y
−1
−
1
2
½
b) (1,0 điểm)
Tung độ
0
y
của tiếp điểm là:
0
1
(1) .
2
y y
= =
0,25
Suy ra h
ệ
s
ố
góc
k
c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là:
3
'(1) .
4
k y
= =
0,25
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là:
3 1
( 1) ;
4 2
y x
= − +
0,25
hay
3 1
.
4 4
y x
= −
0,25
Câu 2
(
1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Ta có:
2
2
tan α 3
tan
α.cos α sin α.cos α cos α.
1 tan α 5
A = = = =
+
(1)
0,25
2
2 2
3 16
cos
α 1 sin α 1 .
5 25
= − = − =
(2)
Vì
α ;
2
π
π
∈
nên
cos
α 0.
<
Do đó, từ (2) suy ra
4
cos
α .
5
= −
(3)
Thế (3) vào (1), ta được
12
.
25
A = −
0,25
b)
(
0,5 điểm
)
Đặt
z
=
a
+
bi
, (
,a b
∈
»
); khi đó
z a bi
= −
. Do đó, kí hiệu (
∗
) là hệ thức cho
trong đề bài, ta có:
(
∗
)
⇔
(1 )( ) (3 )( ) 2 6
i a bi i a bi i
+ + + − − = −
⇔
(4 2 2) (6 2 ) 0
a b b i
− − + − =
0,25
⇔
{
4 2 2 0
6 2 0
a b
b
− − =
− =
⇔
{
2
3.
a
b
=
=
Do đó
2 2
| | 2 3 13.
z = + =
0,25
Câu 3
(
0,5 điểm)
●
Điều kiện xác định:
0.
x
>
(1)
●
Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là phương trình đã cho, ta có:
(2)
⇔
3 3
log ( 2) log 1
x x
+ + =
⇔
3 3
log ( ( 2)) log 3
x x + =
0,25
⇔
2
2 3 0
x x
+ − =
⇔
1
x
=
(do (1)).
0,25
Câu 4
(1,0 điểm)
● Điều kiện xác định:
1 3.
x ≥ +
(1)
● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là bất phương trình đã cho, ta có:
(2) ⇔
2 2
2 2 2 ( 1)( 2) 3( 2 2)
x x x x x x x
+ − + + − ≥ − −
0,25
⇔
( 2)( 1) ( 2) 2( 1)
x x x x x x
− + ≥ − − +
⇔
(
)
(
)
( 2) 2 ( 1) ( 2) ( 1) 0.
x x x x x x
− − + − + + ≤
(3)
Do với mọi x thỏa mãn (1), ta có
( 2) ( 1) 0
x x x
− + + >
nên
(3) ⇔
( 2) 2 ( 1)
x x x
− ≤ +
0,50
⇔
2
6 4 0
x x
− − ≤
⇔
3 13 3 13.
x− ≤ ≤ +
(4)
K
ế
t h
ợ
p (1) và (4), ta
đượ
c t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là:
1 3 ; 3 13 .
+ +
0,25
Câu 5
(1,0
đ
i
ể
m)
Ta có:
2 2
3
1 1
2 d ln d .
I x x x x
= +
∫ ∫
(1)
0,25
Đặ
t
2
3
1
1
2 d
I x x
=
∫
và
2
2
1
ln d .
I x x
=
∫
Ta có:
2
4
1
1
1 15
.
2 2
I x= =
0,25
2 2
2 2
2
1 1
1 1
.ln d(ln ) 2ln 2 d 2ln 2 2ln 2 1.
I x x x x x x
= − = − = − = −
∫ ∫
V
ậ
y
1 2
13
2 ln 2.
2
I I I= + = +
0,50
Câu 6
(1,0
đ
i
ể
m)
Theo gi
ả
thi
ế
t,
1
2
HA HC AC a
= = =
và SH ⊥ mp(ABC).
Xét
∆
v. ABC, ta có:
o
.cos 2 .cos 30 3 .
BC AC ACB a a
= = =
0,25
Do
đ
ó
o 2
1 1 3
. .sin .2 . 3 .sin 30 .
2 2 2
ABC
S AC BC ACB a a a
= = =
V
ậ
y
3
2
.
1 1 3 6
. . 2 . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a
V SH S a a= = =
0,25
Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)). (1)
G
ọ
i N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB, ta có HN là
đườ
ng trung bình c
ủ
a
∆
ABC.
Do
đ
ó HN // BC. Suy ra AB ⊥ HN. L
ạ
i có AB ⊥ SH nên AB ⊥ mp(SHN). Do
đ
ó
mp(SAB) ⊥ mp(SHN). Mà SN là giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ừ
a nêu, nên
trong mp(SHN), h
ạ
HK ⊥ SN, ta có HK ⊥ mp(SAB).
Vì v
ậ
y d(H, (SAB)) = HK. K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (1), suy ra d(C, (SAB)) = 2HK. (2)
0,25
Vì SH ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ HN. Xét
∆
v. SHN, ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
.
2
HK SH HN a HN
= + = +
Vì HN là
đườ
ng trung bình c
ủ
a
∆
ABC nên
1 3
.
2 2
a
HN BC= =
Do
đ
ó
2 2 2 2
1 1 4 11
.
2 3 6
HK a a a
= + =
Suy ra
66
.
11
a
HK =
(3)
Th
ế
(3) vào (2), ta
đượ
c
( )
2 66
, ( ) .
11
a
d C SAB =
0,25
Câu 7
(1,0
đ
i
ể
m)
Trên
∆
, l
ấ
y
đ
i
ể
m D sao cho BD = BO và D, A n
ằ
m khác phía nhau so v
ớ
i B.
G
ọ
i E là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng KA và OC; g
ọ
i F là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng KB và OD.
Vì K là tâm
đườ
ng tròn bàng ti
ế
p góc O c
ủ
a
∆
OAB nên KE là phân giác c
ủ
a góc
.
OAC
Mà OAC là tam giác cân t
ạ
i A (do AO = AC, theo gt) nên suy ra KE c
ũ
ng
là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a OC. Do
đ
ó E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OC và KC = KO.
Xét t
ươ
ng t
ự
đố
i v
ớ
i KF, ta c
ũ
ng có F là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OD và KD = KO.
Suy ra
∆
CKD cân t
ạ
i K. Do
đ
ó, h
ạ
KH ⊥
∆
, ta có H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD.
Nh
ư
v
ậ
y:
+ A là giao c
ủ
a
∆
và
đườ
ng trung tr
ự
c
1
d
c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OC; (1)
+ B là giao c
ủ
a
∆
và
đườ
ng trung tr
ự
c
2
d
c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OD, v
ớ
i D là
đ
i
ể
m
đố
i
x
ứ
ng c
ủ
a C qua H và H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a K trên
∆
. (2)
0,50
Vì C ∈
∆
và có hoành
độ
0
24
5
x =
(gt) nên g
ọ
i
0
y
là tung
độ
c
ủ
a C, ta có:
0
24
4. 3 12 0.
5
y
+ − =
Suy ra
0
12
.
5
y = −
T
ừ
đ
ó, trung
đ
i
ể
m E c
ủ
a OC có t
ọ
a
độ
là
12 6
;
5 5
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng OC có
ph
ươ
ng trình:
2 0.
x y
+ =
Suy ra ph
ươ
ng trình c
ủ
a
1
d
là:
2 6 0.
x y
− − =
Do
đ
ó, theo (1), t
ọ
a
độ
c
ủ
a A là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
{
4 3 12 0
2 6 0.
x y
x y
+ − =
− − =
Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c A = (3; 0).
0,25
G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua K(6; 6) và vuông góc v
ớ
i
∆
, ta có ph
ươ
ng trình c
ủ
a
d là:
3 4 6 0.
x y
− + =
T
ừ
đ
ây, do H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
∆
và d nên t
ọ
a
độ
c
ủ
a H là
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
{
4 3 12 0
3 4 6 0.
x y
x y
+ − =
− + =
Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c
6 12
; .
5 5
H
=
Suy ra
12 36
; .
5 5
D
= −
Do
đ
ó, trung
đ
i
ể
m F c
ủ
a OD có t
ọ
a
độ
là
6 18
;
5 5
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng OD có
ph
ươ
ng trình:
3 0.
x y
+ =
Suy ra ph
ươ
ng trình c
ủ
a
2
d
là:
3 12 0.
x y
− + =
Do
đ
ó, theo (2), t
ọ
a
độ
c
ủ
a B là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
{
4 3 12 0
3 12 0.
x y
x y
+ − =
− + =
Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c B = (0; 4).
0,25
Câu 8
(1,0
đ
i
ể
m)
G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB, ta có
3 1 1
; ; .
2 2 2
M
= −
Vì (P) là m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a AB nên (P)
đ
i qua M và
( 1; 1; 1)
AB
= − −
là
m
ộ
t vect
ơ
pháp tuy
ế
n c
ủ
a (P).
0,25
Suy ra, ph
ươ
ng trình c
ủ
a (P) là:
3 1 1
( 1) ( 1) 0
2 2 2
x y z
− − + − + − + =
hay:
2 2 2 1 0.
x y z
− + − =
0,25
Ta có
2 2 2
| 1| 1
( , ( )) .
2 3
2 ( 2) 2
d O P
−
= =
+ − +
0,25
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm O, ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) là:
2 2 2
1
12
x y z+ + =
hay
2 2 2
12 12 12 1 0.
x y z
+ + − =
0,25
Câu 9
(0,5
đ
i
ể
m)
Không gian m
ẫ
u Ω là t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các c
ặ
p hai b
ộ
3 câu h
ỏ
i, mà
ở
v
ị
trí
th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a c
ặ
p là b
ộ
3 câu h
ỏ
i thí sinh A ch
ọ
n và
ở
v
ị
trí th
ứ
hai c
ủ
a c
ặ
p là b
ộ
3 câu h
ỏ
i thí sinh B ch
ọ
n.
Vì A c
ũ
ng nh
ư
B
đề
u có
3
10
C
cách ch
ọ
n 3 câu h
ỏ
i t
ừ
10 câu h
ỏ
i thi nên theo quy
t
ắ
c nhân, ta có
(
)
2
3
10
( ) C .
n Ω =
0,25
Kí hi
ệ
u X là bi
ế
n c
ố
“b
ộ
3 câu h
ỏ
i A ch
ọ
n và b
ộ
3 câu h
ỏ
i B ch
ọ
n là gi
ố
ng
nhau”.
Vì v
ớ
i m
ỗ
i cách ch
ọ
n 3 câu h
ỏ
i c
ủ
a A, B ch
ỉ
có duy nh
ấ
t cách ch
ọ
n 3 câu h
ỏ
i
gi
ố
ng nh
ư
A nên
(
)
3 3
10 10
C .1 C .
X
n Ω = =
Vì v
ậ
y
(
)
( )
3
10
2
3
3
10
10
C
1 1
( ) .
( ) C 120
C
X
n
P X
n
Ω
= = = =
Ω
0,25
Câu 10
(1,0
đ
i
ể
m)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
th
ự
c x, xét các
đ
i
ể
m
( ; 1)
A x x
+
,
3 1
;
2 2
B
−
và
3 1
; .
2 2
C
− −
Khi
đ
ó, ta có
,
OA OB OC
P
a b c
= + +
trong
đ
ó a = BC, b = CA và c = AB.
0,25
G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm
∆
ABC, ta có:
. . . 3 . . .
. . . 2 . . .
a b c
OA GA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC
P
a GA b GB c GC a m b m c m
= + + = + +
,
trong
đ
ó
,
a b
m m
và
c
m
t
ươ
ng
ứ
ng là
độ
dài
đườ
ng trung tuy
ế
n xu
ấ
t phát t
ừ
A,
B, C c
ủ
a
∆
ABC.
0,25
Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô si cho hai s
ố
th
ự
c không âm, ta có
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
. . 3 2 2
2 3
3 2 2
1
. .
2
2 3 2 3
a
a m a b c a
a b c a
a b c
= + −
+ + −
+ +
≤ =
B
ằ
ng cách t
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có:
2 2 2
.
2 3
b
a b c
b m
+ +
≤
và
2 2 2
. .
2 3
c
a b c
c m
+ +
≤
Suy ra
( )
2 2 2
3 3
. . . .
P OAGA OB GB OC GC
a b c
≥ + +
+ +
(1)
0,25
Ta có:
. . . . . . .
OA GA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC
+ + ≥ + +
(2)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
. . .
. . .
.
4
. (3)
9 3
a b c
OA GA OB GB OC GC
OG GA GA OG GB GB OG GC GC
OG GA GB GC GA GB GC
a b c
m m m
+ +
= + + + + +
= + + + + +
+ +
= + + =
T
ừ
(1), (2) và (3), suy ra
3.
P ≥
H
ơ
n n
ữ
a, b
ằ
ng ki
ể
m tra tr
ự
c ti
ế
p ta th
ấ
y
3
P =
khi x = 0.
V
ậ
y
min 3.
P =
0,25
SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO KÌTHITHỬTHPTQUỐCGIA2015
PHÚYÊN MÔN:TOÁN
Ngàythi :02/4/2015
Thờigian :180phút(khôngkểthờigiangiaođề)
Câu1. (2,00điểm) Chohàmsố
3
3 2y x x = - - .
a)Khảosátsựbiếnthiên vàvẽđồthị (C)củahàmsố.
b)Gọi A,B làcácđiểmcựctrịcủađồthị hàmsốđãcho.Hãytìm tọađộđiểm Mthuộc
đồthị (C)saochotamgiácMABcântại M.
Câu2. (1,00điểm) Giảiphươngtrình
2 8
log ( 2) 3log (3 5) 2 0x x - + - - = trêntậphợpsốthực.
Câu3. (1,00điểm) Tính tíchphân:
3
2
1
2
2 3 2
I dx
x x
=
+ -
ò
.
Câu4.(1,00điểm)Mộtlớphọccó33họcsinh,trongđócó10họcsinhgiỏi,11họcsinhkhá
và12họcsinhtrungbình.Chọnngẫunhiêntronglớphọc4họcsinhthamdựtrạihè.Tínhxác
suấtđểnhómhọcsinhđượcchọncóđủhọcsinhgiỏi,họcsinhkhávàhọcsinhtrungbình.
Câu5.(1,00điểm)ChotứdiệnSABCcóđáyABClàtamgiácvuôngcântại A,SAvuônggóc
vớimặtphẳngđáy.TínhthểtíchtứdiệnbiếtđườngcaoAHcủatamgiácABCbằngavàgóc
giữamặtphẳng(SBC)vàmặtphẳng(A BC)là60
0
.
Câu6.(1,00điểm)TrongmặtphẳngOxycho hìnhvuôngABCDcóM,Nlần lượt làtrung
điểmcủa cáccạnh BC, CD. Tìm tọa độ đỉnhB, điểmM biết N(0;2), đườngthẳng AM có
phươngtrình x+2y–2=0 vàcạnhhìnhvuôngbằng4.
Câu7. (1,00điểm) Trongkhônggian Oxyzchođiểm A(4;2;4)vàđườngthẳngd:
3 2
1 ( ).
1 4
x t
y t t
z t
= - +
ì
ï
= - Î
í
ï
= - +
î
¡
Viếtphươngtrình đườngthẳng DđiquaA,cắtvàvuônggócvớiđườngthẳngd.
Câu8. (1,00điểm) Giảihệphươngtrình:
( )
3
2
2
27 3 9 7 6 9 0
( , )
109
2 3 0
3 81
x x y y
x y
x
y x
ì
+ + - - =
ï
Î
í
+ + - - =
ï
î
¡ .
Câu9.(1,00điểm) Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrị nhỏnhấtcủabiểuthức
2
5 5
x y
P = + ,biếtrằng
0, 0, 1x y x y ³ ³ + = .
Hết
Cảm ơnthầyDươngBìnhLuyện()
đãgửitớiwww.laisac.page.tl
ĐỀCHÍNHTHỨC
HNGDNCHMTHI
(Gmcú04 trang)
1. Hngdnchung
Nuthớsinhlmbikhụngtheocỏchnờutrongỏpỏnmvnỳngthỡchoim
tngphnnhhngdnquynh.
Vicchitithúathangim(nucú)sovithangimchmphibomkhụngsai
lchvihngdnchmvcthngnhtthchintrongHingchmthi.
imbithikhụnglmtrũns.
2. ỏpỏn vthangi m
CU PN IM
1
Chohms
3
3 2y x x = - -
2,00
a)Khosỏtsbinthiờnvvth(C)cahms.
Tpxỏcinh: Ă .
Sbinthiờn:
+Chiubinthiờn:
2 2
' 3 3 3( 1).y x x = - = -
2
1
' 0 3( 1) 0
1
x
y x
x
= -
ộ
= - =
ờ
=
ở
.
Hmsngbintrờncỏckhong
( )
1 -Ơ - v
( )
1+Ơ
Hmsnghchbintrờnkhong
( )
11 - .
+Cctrvgiihn:
H/stcciti 1x = - y
C
=
( )
1 0y - = .
H/stcctiuti 1x = y
CT
=
( )
1 4y = - .
Cỏcgiihn: lim lim
x x
y y
đ-Ơ đ+Ơ
= -Ơ = +Ơ .
+Bngbinthiờn:
x -Ơ 11+Ơ
y +0 0 +
y
0+Ơ
Ơ 4
thiquacỏcim(20),(02):nhhỡnhv.
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
b)Tỡmtaim Mthucth (C)saocho DMABcõnti M.
M(xy)cntỡmlgiaoimcangtrungtrccaon ABvth(C).
TacúcỏcimcctrlA(10),B(14),trungimcaon AB lI(02).
ngtrung trcon ABnhn (2 4)AB = -
uuur
lmvtcpcúp/t 2 4 0x y - - = .
HonhgiaoimcaMlnghimcaphngtrỡnh:
3
4
3 2
2
x
x x
-
- - = .
Giiratac
7
2
x = v
0x =
(loi).
Vi
7 14 8
2 4
x y
-
= ị = ,tacúim
1
7 14 8
2 4
M
ổ ử
-
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
Vi
7 14 8
2 4
x y
- -
= - ị = ,tacúim
2
7 14 8
2 4
M
ổ ử
- -
-
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
f(x)=x^33x 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8
6
4
2
2
4
6
8
x
f(x)
2
Giiphngtrỡnh
2 8
log ( 2) 3log (3 5) 2 0x x - + - - =
1,00
iukin
2 0
2
3 5 0
x
x
x
- >
ỡ
>
ớ
- >
ợ
.
Phngtrỡnhtngng:
2 2
log ( 2) log (3 5) 2x x - + - =
[ ]
2
2
log ( 2)(3 5) 2 3 11 6 0x x x x - - = - + = .
Giipttrờnvichiuiukintatỡm cnghimptóchol
3x =
.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Tớnhtớchphõn
3
2
1
2
2 3 2
I dx
x x
=
+ -
ũ
1,00
Tacú:
3
1
2
(2 1)( 2)
I dx
x x
=
- +
ũ
3 3
1 1
2 2 1
5 2 1 2
dx dx
x x
ổ ử
= -
ỗ ữ
- +
ố ứ
ũ ũ
3 3
1 1
2 (2 1) ( 2)
5 2 1 2
d x d x
x x
ổ ử
- +
= -
ỗ ữ
- +
ố ứ
ũ ũ
( )
3 3
1 1
2 2
ln | 2 1| ln | 2 | ln 3
5 5
x x = - - + = .
0,50
0,25
0,25
4 1,00
Gi Albinc:4HScchncúHSgii,HSkhỏvHStrungbỡnh.
Sphntkhụnggianmu:
4
33
C W = =40920.
Tacúcỏctrnghpcchnsau:
(1)Cú2HSgii,1HSkhỏv1HStrungbỡnh.Scỏchchnl:
2 1 1
10 11 12
. . 5940C C C =
(2)Cú1HSgii,2HSkhỏv1HStrungbỡnh.Scỏchchnl:
1 2 1
10 11 12
. . 6600C C C =
(3)Cú1HSgii,1HSkhỏv2HStrungbỡnh.Scỏchchnl:
1 1 2
10 11 12
. . 7260C C C = .
Tac
A
W =5940+6600+7260=19800.
Doú
15
( )
31
A
P A
W
= =
W
.
0,25
0,25
0,25
0,25
5 1,00
DABCvuụngcõnti Anờn BC=2AH =2a.
Tú
2
1 1
. .2
2 2
ABC
S AH BC a a a = = = (vdt).
Vỡ SA^(ABC)vAH ^ BCsuyraSH^ BC
Doú((SBC),(ABC))=
ã
0
60SHA =
Suyra
0
tan 60 3SA AH a = = .
Vy
3
2
1 1 3
. 3.
3 3 3
SABC ABC
a
V SA S a a = = = (vtt).
0,25
0,25
0,25
0,25
6 1,00
Gi I=AM ầB N. DBIMngdng DABM
suyraAM^BNnờn BN:2x y+c=0.
N(02)
2c ị = - ị
BN:2x y 2=0.
Taim Ilnghimhpt:
0,25
O
12
2M
2A
B
1
1
1
I
y
x
B
C
A
H
S
6
2 2 0
6 2
5
2 2 0 2
5 5
5
x
x y
I
x y
y
ộ
=
ờ
+ - =
ỡ
ổ ử
ị
ờ
ớ
ỗ ữ
- - =
ố ứ
ợ
ờ
=
ờ
ở
.
T DABMvuụng:
2 2
. 4
5
AB BM
BI
AB BM
= =
+
.
Taim B(xy)thamón
2 2
2 2 0
4
6 2 16
5
5 5 5
x y
B BN
B I
x y
- - =
ỡ
ẻ
ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
ổ ử ổ ử
=
- + - =
ỗ ữ ỗ ữ ù ù
ợ
ố ứ ố ứ
ợ
.
Giihtac
2
2
x
y
=
ỡ
ớ
=
ợ
v
2
5
6
5
x
y
ỡ
=
ù
ù
ớ
-
ù
=
ù
ợ
,suyra (22)B (loi
2 6
5 5
-
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
).
Taim M(xy)tha
2 2
2 2
2 2 0
6 2 4
5 5 5
x y
M AM
x y
IM BM BI
+ - =
ỡ
ẻ
ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
ổ ử ổ ử
- + - =
= -
ù
ỗ ữ ỗ ữ ù
ợ
ố ứ ố ứ
ợ
.
Giihtac
2
0
x
y
=
ỡ
ớ
=
ợ
v
2
5
4
5
x
y
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
,suyra
1 2
2 4
(20),
5 5
M M
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
0,25
0,25
0,25
7 1,00
Do DiquaAvvuụnggúcvi dnờn Dphinmtrongmtphng(P)iqua
Avvuụnggúcvi d.
Mtphng(P)nhnvtcp (2 14)u = -
r
cadlmvtpt,iquaA(424)cú
phngtrỡnh:2xy+4z 10=0.
Gi Mlgiaoimcadv(P)thỡ M(3+2t1 t1+4t) ẻ d vMẻD.
TacngcúMẻ(P) 2(3+2t) (1 t)+4(1+4t)10=0
21t 21=0 t=1.Vy M(103).
Khiú (32 1)AM = -
uuuur
,ngthng DquaA vMcúphngtrỡnh:
4 2 4
3 2 1
x y z + + -
= =
-
.
0,25
0,25
0,25
0,25
8
Giihphngtrỡnh:
( )
3
2
2
27 3 9 7 6 9 0(1)
109
2 3 0 (2)
3 81
x x y y
x
y x
ỡ
+ + - - =
ù
ớ
+ + - - =
ù
ợ
.
1,00
Viiukin:
2 2
,
3 3
x y Ê Ê ,(1)vitlil:
( )
( )
2
9 1 3 6 9 1 6 9x x y y + = - + - .
0,25
Đặt 3 , 6 9u x v y = = - ,tacó:
( ) ( )
2 2
1 1u u v v + = + .
Xéth/s:
( )
2
( ) 1f t t t = + có
2
'( ) 3 1 0f t t = + > nênh/sluônđồngbiếntrên ¡ ,
Suyra
2
0
3 6 9
2
(3)
3
x
u v x y
y x
³
ì
ï
= Û = - Û
í
= -
ï
î
.
Thế(3)vào(2)tađược:
2
2
2
2 109
2 3 0
3 3 81
x
x x
æ ö
+ - + - - =
ç ÷
è ø
(4).
Nhậnxét:
2
0,
3
x x = = khôngphảilànghiệmcủa(4).
Xéthàmsố:
2
2
2
2 109
( ) 2 3
3 3 81
x
g x x x
æ ö
= + - + - -
ç ÷
è ø
Tacó:
( )
2
3 2
'( ) 2 2 1 0, 0;
3
2 2 3
g x x x x
x
æ ö
= - - < " Î
ç ÷
-
è ø
Nênhàmsốg(x)nghịchbiếntrên
2
0;
3
æ ö
ç ÷
è ø
.
Dễthấy
1
3
x = lànghiệmcủa(4),suyra
5
9
y = nênhệcónghiệmduynhất
1 5
;
3 9
æ ö
ç ÷
è ø
.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
9
TìmGTLN,GTNNcủabiểuthức
2
5 5
x y
P = + ,biết 0, 0, 1x y x y ³ ³ + =
1,00đ
Do 1 1x y y x + = Þ = - ,nên
2 1 2
5
5 5 5
5
x x x
x
P
-
= + = + .
Đặt 5
x
t = thì
1 5t £ £
(do
0 1x £ £
).
Xéthàmsố
2
5
( )f t t
t
= + ,với
1 5t £ £
.Tacó
3
2 2
5 2 5
'( ) 2
t
f t t
t t
-
= - = .
Dođócóbảngbiếnthiên:
t
1
3
5
2
5
f’(t) 0+
f(t)
626
3
25
3
4
Vậy
3 3
1 5 1 5
5 25
min min ( ) 3 ;max max ( ) (5) 26
2 4
t t
P f t f P f t f
£ £ £ £
æ ö
= = = = = =
ç ÷
ç ÷
è ø
.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Cảm ơnthầyDươngBìnhLuyện()
đãgửitới www.laisac.page.tl
THỬSỨCTRƯỚCKỲTHI
ĐềSố6,số453,tháng4năm2015.
ĐỀ
(Thờigianlàmbài:180phút)
Câu1(2,0điểm).Gọi
( )
m
C làđồthịcủa hàmsố
3
3y x x m = - + (mlàthamsốthực).
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsốkhi
2m =
.
b) Địnhthamsốmđểquađiểmuốncủađồthị
( )
m
C kẽđượcmộtđườngthẳng
( )
d tạovớiđồthị
( )
m
C một
hìnhphẳng(H)và
( )
d tiếptụcchắntrênhaitrụctọađộmộttamgiác(T)saochodiệntíchcủa(H)và(T)
bằngnhauđềubằng2(đvdt) .
Câu2(1,0điểm). Giảiphươngtrình
( )
( )
2
tan .cot 2 1 sinx 4cos 4sin 5 .x x x x = + + -
Câu3(1,0điểm). Tínhtíchphân
( )
( )
3
4
ln 4tan
sin 2 .ln 2t anx
x
I dx
x
p
p
=
ò
.
Câu4(1,0điểm).
a) TrogtrườnghợpkhaitriểntheonhịthứcNewton củabiểuthức
( )
2
1
n
x + tacóhệsốchứa
8
x bằng210
Tínhtổngcáchệsốcủacácsốhạngđượckhaitriểntừbiểuthứctrêntheotrườnghợpđó.
b)Chocácsốphứczthỏamãn 1 34z - = và 1 2z mi z m i + + = + + .Địnhthamsố
mÎ ¡
đểtồntạihai
sốphức
1 2
,z z đồngthời thỏamãnhaiđiềukiệntrên saocho
1 2
z z - làlớnnhất.
Câu5(1,0điểm). TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,quahaiđiểm
( ) ( )
1; 1;1 , 0; 1;0M N - - lập
phươngtrìnhmặtphẳng
a
cắtmặtcầu
( )
2
2 2
( ) 2 ( 1) ( 1) 5S x y z + + + + - = mộtthiếtdiệnđườngtrònmàdiện
tíchhìnhtrònsinhbỡiđườngtròn đócódiệntích
S
p
=
.
Câu6(1,0điểm). ChohìnhchóptứgiácS.ABCD,đáyABCDlàhìnhvuôngcạnha,cạnhbên ( )SA ABCD ^
vàSA=a.QuaAdựngmặtphẳng
a
vuônggócvớiSCsaocho
a
cắtSC,SB,SDlầnlượttạiG,M,N.
Tínhtheoathểtích khối nón(H),biếtrằngđườngtròn đáy của(H)ngoạitiếptứgiácAMGNvàđỉnhOcủa
(H)nằmtrên đáyABCDcủahìnhchópS.ABCD.
Câu7(1,0điểm). TrongmặtphẳngvớihệtrụctọađộOxy,hãytínhdiệntíchtamgiácABCbiếtrằnghai
điểm (5;5)H ,
( )
5;4I lầnlượtlàtrựctâmvàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácABCvà 8 0x y + - = là
phươngtrình đườngthẳngchứacạnhBCcủatamgiác.
Câu8(1,0điểm). Giảiphươngtrìnhnghiệmthực
( )
2
x ln x 2x 2 x 1 - + = + .
Câu9(1,0điểm). Chobasốdươngx,y,zthỏamãn0 x y z < < < .
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
( ) ( )
3 4 3 3
2
2 2 2 2
15x z y z x
P
x z
y xz y z xz y
+
= + +
+ +
.
NguyễnLái
( GVTHPTChuyênLươngVănChánh.
TuyHòa,PhúYên.)
HNGDNGII.
Cõu1.
a)Bnctgii.
b)Taimuncath
( )
m
C l
( )
0I m nờnngthng
( )
d cúdng y kx m = +
Phngtrỡnhhonhgiaoimcahms
( )
m
C vphngtrỡnhngthng
( )
d l
3
3x x m - +
kx m = +
( )
3
3 0x k x - + = (1)
( )
d chnctrờnth
( )
m
C mtdintớchthỡphngtrỡnh(1)phicú3nghim
3k ị > -
,
lỳcú3nghimcaphngtrỡnh(1)l 0, 3, 3x x k x k = = - + = + .
VỡIltõm ixngcangcong
( )
m
C nờndintớchcahỡnhphng(H)l:
( )
3
2
3
0
1
2 3 3
2
k
S kx m x x m dx k
+
ộ ự
= + - + - = +
ở ỷ
ũ
( )
2
1
2 3 2 1
2
S k k ị = + = ị = - (vỡ
3k > -
).
Lỳcnyngthng
( )
d vitli y x m = - + nờn(d)cthaitrctatihaigiaoim
( ) ( )
0 , 0A m B m .Vỡ(T)ltamgiỏcvuụngcõnnờndintớchca(T)l
2
1
2
S m =
theogithit 2 2, 2S m m = ị = = - .Vycúhaigiỏcntỡml 2, 2m m = = - .
Cõu2. iukin:
cos 0
sin 2 0
2
x
k
x
x
p
ạ
ỡ
ị ạ
ớ
ạ
ợ
.
Tacú
( )
( )
2 3
tan .cot 2 1 sinx 4cos 4sin 5 tan .cot 2 3sin 4sin 1x x x x x x x x = + + - = - -
sin3 1
1 tan .cot 2 sin3 sin 3 sin 3 1 0
cos .sin 2 cos .sin 2
x
x x x x x
x x x x
ổ ử
+ = = - =
ỗ ữ
ố ứ
Nghimphngtrỡnhxyra:
hocsin 3 0
3
n
x x
p
= = ,soviiukinphngtrỡnhcúnghiml
2
,
3 3
x m x m
p p
p p
= + = +
hoc
sin 2 1 sin 2 1
sin 2 .cos 1
cos 1 cos 1
x x
x x
x x
= = -
ỡ ỡ
= "
ớ ớ
= = -
ợ ợ
vụnghim
Vynghimcaphngtrỡnhtrờnl
( )
2
, ,
3 3
x m x m m Z
p p
p p
= + = + ẻ .
Cõu3.Tacú:
( )
( ) ( )
3 3 3
4 4 4
ln 2 ln 2t anx
ln 2.
sin 2 .ln 2t anx sin 2 .ln 2t anx sin 2
dx dx
I dx
x x x
p p p
p p p
+
= = +
ũ ũ ũ
Tớnh
( )
( )
( )
( )
3 3
3
4
4 4
ln 2t anx
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 3
ln 2. . . ln ln(2 tan ) .ln
sin 2 .ln 2t anx 2 ln 2t anx 2 2 ln 2
d
dx
x
x
p p
p
p
p p
ộ ự
ổ ử
ở ỷ
ộ ự
= = =
ỗ ữ
ở ỷ
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ
.
Tớnh
3
3
4
4
1 1
ln(t anx) ln 3
sin 2 2 2
dx
x
p
p
p
p
= =
ũ
.
Vy
ln 2 ln 2 3 1
.ln ln 3
2 ln 2 2
I
ổ ử
= +
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
Câu4.
a).Khaitriểnbiểuthứctrêncósốhạngthứ(k+1) là
( )
2
,
k k
n
C x k n < .
Theogiảthiết,tacó
2 8
210
k
n
k
C
=
ì
í
=
î
( )
4
!
4, 210 210
4! 4 !
n
n
k C
n
Þ = = Þ =
-
( )( )( )
( )( )
2 2
3 2 1 5040 3 3 2 5040n n n n n n n n Û - - - = Û - - + = .
Đặtẩnphụvàgiảiphươngtrìnhnàytađượcn=10.
Khaitriểnbiểuthức
( )
10
2 0 2 1 4 2 2.10 10
10 10 10 10
1 x C x C x C x C + = + + + + .
Dođótổngcáchệsố:
( )
10
0 1 2 10 10
10 10 10 10
1 1 2C C C C + + + + = + =
b). Giảsử
( )
;M a b làđiểmbiểudiễnsốphức
( )
, ,z a bi a b R = + Î ,vì
( )
2
2
1 34 1 34z a b - = Þ - + =
Þ
Mthuộcđườngtròn
( )
2
2
( ): 1 34C x y - + = .Vì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 2 3 0z mi z m i a b m a m b m a m b + + = + + Þ + + + = + + + Þ - + - - =
Þ
Mnằmtrênđườngthẳng( ):d
( ) ( )
2 1 2 2 3 0m x m y - + - - =
Đểtồntạihaisốphức
1 2
,z z đồngthờithỏamãnhaiđiềukiệnđãchonghĩalàtồntạihaiđiểmbiểu
diễn
1 2
,M M củahaisốphứclầnlượtnằmtrênhaigiaođiểmcủa ( )C và(d),vàđể
1 2
z z - lớnnhất
khivàchỉkhi
1 2
M M làđườngkínhcủa(C)hay(d)quatâm (1;0)I của(C)
( ) ( )
1
2 1 .1 2 2 .0 3 0
2
m m m Þ - + - - = Þ = - .
Lúcnầyđườngthẳng(d)viếtlại3 5 3 0x y - - = .Dođó
1 2
,M M lànghiệmcủahệ
( )
( ) ( )
2
2
1 2
1 34
6;3 , 4; 3
3 5 3 0
x y
M M
x y
ì
- + =
ï
Þ - -
í
- - =
ï
î
.
Vậyhaisốphứccầntìmlà
3 4
6 3 , 4 3z i z i = + = - - .
Câu5.Mặtcầu(S)cótâm ( 2; 1;1)I - - vàbánkính 5R = .
Gọirlàbánkínhđườngtrònthiếtdiện,theogiảthiếttacó
2
. 1S r r
p p p
= Û = Þ = .
GọidlàkhảngcáchtừIđếnmặtphẳng
a
tacó
2 2 2
5 1 2d R r d = - = - Þ = .
Mặtphẳng
a
qua
( )
0; 1;0N - códạng
( )
( )
2 2 2
Ax 1 0 Ax 0 0B y Cz By Cz B A B C + + + = Û + + + = + + ¹ .
Mặtkhác
a
qua
( )
1; 1;1M - nênthỏa 0 : Ax 0A C By Az B
a
+ = Þ + - + = .
Vì
2 2
2 2
3
( , ) 2 4 2
2
A
A
d d I A B
B
A B
a
-
= = = Û = Þ = ±
+
(vì
2 2 2
0A B C + + ¹ )
Dođócóhaimặtphẳng
a
cầntìmlà: 2 2 1 0x y z + - + = , 2 2 1 0x y z - - - = .
Câu6. Tacó
( )
BC SA
BC SAB BC AM
BC AB
^
ì
Þ ^ Þ ^
í
^
î
(vì ( )AM SAB Ì )(1)
Mặtkhác
SC SC AM
a
^ Þ ^
(vì
AM
a
Ì
)(2)
Từ(1)và(2)suyra ( )AM SBC AM MG ^ Þ ^ (vì ( )MG SBC Ì )
AMG Þ D
vuôngtạiM,tươngtựtacũngcótamgiác
A NG D
vuông
tạiN
Þ
tâmHđườngtrònđáycủa(H)làtrungđiểmAG,cóbán
H
N
G
M
O
S
D
CB
A
kính
2
AG
R = .XéttamgiácvuôngSACtạiAcó
. 6 6
3 6
SA AC
AG a R a
SC
= = Þ = .
VìOHlàđườngcao(H)
/ /OH OH SC O
a
Þ ^ Þ Þ
làgiaođiểmhaiđườngchéoAC,BD
1
2
OH CG Þ = .XéttamgiácvuôngSACcóAGlàđườngcao,nên
2
2 3
3
3
AC
CG a OH a
SC
= = Þ =
Vậythểtíchhìnhnónlà
( )
2 3
1 3
.
3 54
H
V R OH a
p p
= = .
Câu 7 KéodàiđườngcaoAHlầnlượtcắtBCvàđườngtrònngoạitiếptamgiácABCtạihaiđiểm
EvàK,tadễdàngchứngminhđượcElàtrungđiểmHK.
Đườngcao
AH BC ^
nêncóphươngtrình 0x y - = ,ElàgiaođiểmcủaBCvàAH (4;4)E Þ vàHlà
trungđiểmHK (3;3)K Þ ,suyrabánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiácABClà 5R IK = =
Þ
phươngtrìnhđườngtrònlà
( ) ( )
2 2
5 4 5, ( )x y C - + - =
VậyhaiđiểmB,ClànghiệmcủahệhaiphươngtrìnhđườngthẳngBCvàđườngtròn
( ) (3;5), (6;2)C B C Þ vàđỉnhAlànghiệm hệcủađườngcaoAHvàđườngtròn ( ) (6;6)C A Þ
Diệntíchtamgiác ABClà
( )
6 6 8
1 1
, . .3 2 6
2 2
2
ABC
S d A BC BC
+ -
= = = (đvdt).
Câu8.Điềukiện
0x >
tacó
( ) ( )
2
2
x 1
x ln x 2x 2 x 1 x ln x
2x 2
+
- + = + Û - =
+
Xéthàmsố
2
x 1
f(x)
2x 2
+
=
+
/ /
2 2
1 x
f (x) f (x) 0 x 1
(x 1) 2x 2
-
Þ = Þ = Û =
+ +
Lậpbảng biếnthiêntacó ( ) 1, 0f x x £ " > ,đẳngthứcxảyrakhix=1.
Xéthàmsố
1 1
( ) ln '( ) 1 '( ) 0 1
x
g x x x g x g x x
x x
-
= - Þ = - = Þ = Û = .
Lậpbảng biếnthiêntacó ( ) 1, 0g x x ³ " > ,đẳngthứcxảyrakhix=1.
Vậyphươngtrìnhcóđúngmộtnghiệmx=1.
Câu9 Tacó
3
3
2
15
x
y
y
z
z
P
x y x y z
x
y z y z x
æ ö
æ ö
ç ÷
ç ÷
æ ö
è ø è ø
= + + +
ç ÷
è ø
+ +
. Đặt
, , . . 1, 1.
x y z
a b c a b c c
y z x
= = = Þ = >
Biểuthứcviếtlại
3 3
2
15a b
P c
a b a b c
= + + +
+ +
Tacó
( )
3 3
3 3
1a b
a b ab a b ab
a b a b c
+ ³ + Þ + ³ =
+ +
(vìa,b>0).
Vậy
( )
2 2
1 15 16
( ), 1;P c c f c c
c c c
³ + + = + = " Î +¥
Tacó
2
16
'( ) 2 '( ) 0 2f c c f c c
c
= - Þ = Û =
Lậpbảngbiếnthiêntacó ( ) (2) 12,f c f ³ = khivàchỉkhi
1
2 2 2
2
c a b z y x = Þ = = Þ = =
.
Vậygiátrịnhỏnhất 12P = khivàchỉkhi 2 2z y x = = .
Sở giáo dục & đào tạo Thừa thiên huế
Trng THPT 80 Nguyn Hu
đề chính thức
Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA
Năm học 2014-2015
Mụn thi : Toán
(120 phút, không kể thời gian giao đề)
Cõu I (3,0 im) Cho hm s
2
32
x
x
y
cú th (C)
1. Kho sỏt v v th hm s(C)
2. Cho ng thng d:
mxy
2
. Chng minh rng d ct (C) ti hai im A, B phõn bit
vi mi s th c m . G i
,
1
k
2
k
ln l t l h s gú c c a t ip tu y n ca (C )
ti A v B. Tỡm m P =
2014 2014
1 2
k k
t giỏ tr nh nht.
Cõu II (2,0 im)
1. Gii phng trỡnh lng giỏc:
cos 2x sin x cosx 0
2. Gii h phng trỡnh:
10)1(4)19(
1
1
1913
223
2
xxyx
xx
yxy
Cõu III (2,0 im) Cho khi chúp
.
S ABC
cú SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a,
0
AS 90 ,
B SAC
0
120
BSC
. Gi M, N ln lt trờn cỏc on SB v SC sao cho SM = SN = 2a. Chng minh
tam giỏc AMN vuụng. Tớnh th tớch S.ABC v khong cỏch t im
C
n mt phng
( )
SAB
theo a.
Cõu IV (2,0 im) Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hai im
1;2
A
v
4;3
B
. Tỡm
ta im M trờn trc honh sao cho gúc AMB bng
0
45
.
Cõu V (1,0im) Chng minh rng nu
,
x y
l cỏc s thc dng thỡ
2 2
1 1 1
1
1 1
xy
x y
- Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
- H v tờn thớ sinh S bỏo danh
Câu I
1. Khảo sát tự làm
2.
N
ội dung
Điểm
Xét phương tr
ình hoành
đ
ộ giao điểm của đồ thị (C) v
à d:
mx
x
x
2
2
32
(*)023)6(2
2
2
mxmx
x
0,5
Xét phương trình (*), ta có:
Rm
,0
và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
0,5
H
ệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B
l
ần l
ư
ợt
là
2
2
2
2
1
1
)1(
1
,
)1(
1
x
k
x
k
, trong đó
1
x
,
2
x
là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy
4
422
1
22
1
.
2
2121
2
2
2
1
21
xxxxxx
kk
(k
1
>0, k
2
>0)
0,5
Có P =
2014 2014 2014
2015
1 2 1 2
k k 2. k k 2
, do dó MinP = 2
2015
đạt được khi
2
2
2
1
2
2
2
1
21
)2()2(
)2(
1
)2(
1
xx
xx
kk
do
1
x
,
2
x
phân biệt nên ta có x
1
+2 = - x
2
- 2
x
1
+ x
2
= - 4
m = - 2. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
0,5
Câu II
1. Nội dung
Điểm
2 2
cos 2x sinx cosx 0 cos x sin x (cosx sin x) 0
0,5
(cos x sin x)(cosx sin x 1) 0
0,5
2.cos x 0
cosx sinx 0
4
cosx sinx 1 0
2 cos x 1
4
0,5
x k
x k
4 2
4
3
x k2 x k2
4 4
3
x k2
x k2
2
4 4
0,5
2.
N
ội dung
Điểm
ĐK:
0
x
NX: x = 0 không TM hệ PT
Xét x > 0
PT (1)
x
xx
yyy
1
1933
2
1
111
1)3(33
2
2
xxx
yyy
(3)
0,5
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t.
1
2
t
, t > 0.
Ta có: f’(t) = 1 +
1
1
2
2
2
t
t
t
>0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)
PT(3)
f(3y)= f
x
1
3y =
x
1
0,5
Thế vào pt(2) ta được PT:
10).1(4
223
xxxx
Đặt g(x)=
10).1(4
223
xxxx
, x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0
g(x) là hàm số đồng biến trên kho
ảng (0,+∞)
0,5
Ta có g(1) = 0
Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Với x =1
y =
3
1
KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;
3
1
).
0,5
Câu III
Dùng Đlý hàm số Cosin
tính được: MN =
32a
0,25
AM=
22a
, AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc
ASC
= 60
0
)
tam
giác AMN vuông tại A.
0,25
N
M
S
C
B
A
H
N
M
A
S
G
ọi H l
à trung đi
ểm của MN, v
ì SA = SM = SN và
tam giác AMN vuông t
ại A.
)(AMNSH
; tính được SH = a.
0,5
Tính được
3
22
3
.
a
V
AMNS
0,25
3
1
.
.
.
.
SCSB
SNSM
V
V
ABCS
AMNS
3
.
22 aV
ABCS
0,25
Vậy
3
.
2
3 6 2
( ;( )) 2 2
3
S ABC
SAB
V a
d C SAB a
S a
0,5
Câu IV
Giả sử tọa độ của
;0
M x
. Khi đó
1 ;2 ; 4 ;3
MA x MB x
.
Theo gi
ả thiết ta có
0
. . .cos 45
MA MB MA MB
0,25
2 2
2 2 2
2
1 4 6 1 4. 4 9.
2
2
5 10 2 5. 8 25.
2
x x x x
x x x x x x
0,25
2
2 2 2 2
4 3 2
2
2 5 10 2 5 8 25 (do 5 10 0)
10 44 110 75 0
1 5 4 15 0 1; 5
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
0,25
Vậy ta có hai điểm cần tìm là
1;0
M
hoặc
5;0
M
0,25
Câu V
Do
, 0
x y
nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
2 2 2 2
1 1 1 1 1
x y xy x y
0,25
2 2 2 2
2 2 2 1 1 2 1 2
x y x y xy x x y y
0,25
2 2
1 0
xy x y xy
, bất đẳng thức này luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi
1
x y
0,25
0,25
TRNG THPT S 3 BO THNG THI THPT QUC GIA NM 2015
Ngy Thi : 19
-
03
-
2015
Mụn: TON
THI TH LN 1 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt
Cõu 1 (2,0 im) Cho hm s
2 1
1
x
y
x
-
=
- +
cú th (C)
1. Kho sỏt v v th ca hm s (C)
2. Tỡm m ng thng
2y x m= - +
ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh
1 2
,
x x
sao cho
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x- + =
Cõu 2 (1,0 im) Gii phng trỡnh
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0
2sin 3
c
x
-
=
+
Cõu 3 (1,0 im) Tớnh tớch phõn
( )
2
1
ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
=
+
ũ
Cõu 4(1,0 im)
1. Cho s phc z tha món iu kin
1 3
(1 2 ) 2
1
i
i z i
i
-
- + = -
+
. Tớnh mụ un ca z .
2. Tỡm h s khụng cha x trong khai trin
15
3
2
( )f x x
x
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ
Cõu 5 (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho
( 1;2; 1)A - - v mt phng
( )
: 2 2 1 0x y za + - - =
. Vit phng trỡnh mt phng
( )
b
song song vi mt phng
( )
a
sao cho
khong cỏch t im A ti mt phng
(
)
a bng khong cỏch t im A ti mt phng
(
)
b
Cõu 6 (1,0 im)
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh bng a . SAB l tam giỏc vuụng cõn ti
S
v nm trong mt phng vuụng gúc vi ỏy ,
gúc gia cng SC v
mt phng (ABCD) bng
0
60
,c
nh AC = a
.
Tớnh theo a th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch t A n mt phng (SBC).
Cõu
7 (
1
,0 i
m)
Gi
i h phng trỡnh:
3 3 2
2 1 3 1 2
3 2 2
x y y x x y
x x y y
ỡ
- - + + = + +
ù
ớ
- + = -
ù
ợ
Cõu
8(1
,0 i
m) Trong m
t phng ta Oxy c
ho hỡnh vuụng
ABCD
cú tõm
7 3
;
2 2
O
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
. i
m
( )
6;6M
thuc cnh AB v
( )
8; 2N - thuc cnh BC . Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng.
Cõu 9 (1,0 im)
Cho
x, y, z l cỏc s thc thuc
( )
0;1 tha món iu kin
( )
3 3
( ) (1 )(1 )x y x y xy x y+ + = - - .Tỡm giỏ tr
ln nht ca biu thc :
2 2
2 2
1 1
3 ( )
1 1
P xy x y
x y
= + + - +
+ +
HT
C
m
n
b
n
N
g
ụ
Q
u
a
n
g
N
g
h
i
p
(
n
g
h
i
ep
b
t
3
@g
m
a
i
l
.
co
m
)
ó
g
i
t
i
w
w
w
.
l
a
i
s
a
c
.
p
a
g
e
.
t
l
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Đáp án Điểm
I
1
1,0
−
TXĐ : D = R
− Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên
( )
2
1
' 0, 1
1
y x
x
= > " ¹
- +
Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-
¥
;1) và (1 ; +
¥
)
0,25
+ Cực trị :
Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn :
lim 2; lim 2 2
x x
y y y
®-¥ ®+¥
= - = - => = -
là đường tiệm cận ngang
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
- +
® ®
= +¥ = -¥ => =
là đường tiệm cận đứng
0.25
+ Bảng biến thiên :
0,25
· Đồ thị:
− Đồ thị :
Đồ thị hàm số giao với Ox: (
1
2
;0)
Đồ thị hàm số giao với Oy: (0;-1)
0,25
2
1,0
2
2 ( 4) 1 0 (1)
2 1
2
1
1
x m x m
x
x m
x
x
ì
- + + + =
-
= - + Û
í
- +
¹
î
Đường thằng 2
y x m
= - +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Û
phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt khác 1
0,25
( )
2
2
4 8( 1) 0
8 0,
1 0
m m
m m
ì
+ - + >
ï
Û Û + > "
í
- ¹
ï
î
0,25
Vậy
m
"
đường thẳng
y x m
= +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ
1 2 1 2
, ,
x x x x
¹
Theo vi-et :
1 2 1 2
4 1
, .
2 2
m m
x x x x
+ +
+ = =
0.25
1 2 1 2
7 1 4 7 22
4( ) 4( )
2 2 2 2 3
m m
x x x x m
+ +
- + = Û - = Û = -
Vậy
22
3
m = - thì đường thẳng 2
y x m
= - +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
có hoành độ
1 2
,
x x
và
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x
- + =
0,25
2
1.0
ĐK :
3
sin
2
x ¹ ;
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0 sinx 3 osx=0
2sin 3
c
c
x
-
= Û -
+
0.25
1 3
sinx osx=0 os x + 0
2 2 6
c c
p
æ ö
Û - Û =
ç ÷
è ø
0.25
x = ,
3
k k Z
p
p
Û + Î
0.25
Kết hợp ĐK ta có
x k2 ,k Z
3
p
= + p Î
là nghiệm của phương trình
0.25
3
1.0
( )
(
)
( )
2
1 1 1
2ln 1
1 4ln 1 1 1 1
4 1 2ln 4 4 1 2ln
e e e
x dx
x dx
I dx
x x x x x
-
- +
= = +
+ +
ò ò ò
0.25
( ) ( )
(
)
( )
1 1
2ln 1
1 1
2ln 1 2ln 1
8 8 1 2ln
e e
d x
x d x
x
+
= - - +
+
ò ò
0.25
( ) ( )
2
1 1
1 1
2ln 1 ln 1 2ln
16 8
e e
x x
æ ö
= - + +
ç ÷
è ø
0.25
1
ln3
8
=
0.35
4
1.0
1 3 1 7
(1 2 ) 2
1 5 5
i
i z i z i
i
-
- + = - Û = +
+
0,25
2
z=> =
0,25
15
15 5
15 15
5
3
3 62
15 15
0 0
2
( ) . .2 .2 . ,(0 15, )
k kk
k k k k
k k
f x x C x x C x k k Z
x
-
= =
æ ö
= + = = £ £ Î
ç ÷
è ø
å å
0,25
Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn :
5
5 0 6
6
k
k
- = Û = =>
hệ số : 320320
0,25
5
1,0
( )
4
( , )
3
d A
a =
0,25
Vì
(
)
b
//
(
)
a
nên phương trình
(
)
b
có dạng :
2 2 0, 1
x y z d d
+ - + = ¹ -
0,25
( ) ( )
5
4
( , ) ( , )
3 3
d
d A d A
+
a = b Û = Û
0,25
1
9
9
d
d
d
= -
é
Û = -
ê
-
ë
(d = -1 loại) =>
(
)
b
:
2 2 9 0
x y z
+ - - =
0,25
6
1,0
Gi I l trung im ca on AB =>
,( ) ( ) ( )
SI AB SAB ABCD SI ABCD
^ ^ => ^
nờn
ã
( )
ã
0
, ( ) 60 ,
SCI SC ABCD= =
0
3 3
tan60
2 2
a a
CI SI CI= => = =
Gi M l trung im ca on BC , N l trung im ca on BM
3 3
2 4
a a
AM IN= => =
Ta cú
2 2 3
.
3 1 3 3 3
2 . .
2 3 2 2 4
ABCD ABC S ABCD
a a a a
S S V
D
= = => = =
0.5
ta cú
, ( )
BC IN BC SI BC SIN
^ ^ => ^
Trong mt phng (SIN) k ( ),
IK SN K SN
^ ẻ
. Ta cú
( ) ( ,( ))
IK SN
IK SBC d I SBC IK
IK BC
^
ỡ
=> ^ => =
ớ
^
ợ
Li cú :
2 2 2
1 1 1 3 13 3 13 3 13
( ,( )) ( ,( ))
26 26 13
IS
a a a
IK d I SBC d A SBC
IK IN
= + => = => = => =
0.5
7
1.0
K :
2 1 0
2 0
0
1
3
x y
x y
x
y
- -
ỡ
ù
+
ù
ù
>
ớ
ù
ù
-
ù
ợ
(1) 2 1 3 1 2 0
1 1
0
2 1 3 1 2
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
- - - + + - + =
- - - -
- =
- - + + + +
( )
1 1
1
2 1 3 1 2
x y
x y x y x y
ổ ử
- - -
ỗ ữ
ỗ ữ
- - + + + +
ố ứ
1 (3)
2 1 3 1 2 (4)
y x
x y x y x y
= -
ộ
ờ
- - + = + + +
ờ
ở
0,25
1
(4) 2 1 3 1 2 3 1 (5)
3
x
x y x y x y x y y
-
- - + = + + + = + =
0,25
A
B
C
D
S
I
M
N
K
T (3) v (2) ta cú :
( )
2 3 2 2
1
( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 1) 5 0
5
x
x x x x x x
x
=
ộ
- + = - - - - - =
ờ
=
ở
1 0; 5 4
x y x y
= => = = => =
0,25
T (5) v (2) ta cú :
( )
2 3 2 2
2 1
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 25 59 0 1
27 9
x x x x x x x
- + = - - - - + = =
(do x > 0)
Vy h ó cho cú nghim :
( ; ) (1;0);( ; ) (5;4)
x y x y
= =
0,25
8
1
1,0
Gi G l im i xng ca M qua O (1; 3)
G CD
=> = - ẻ
Gi I l im i xng ca N qua O ( 1;5)
I AD
=> = - ẻ
0,25
Phng trỡnh cnh MO qua M v cú VTCP
MO
uuuur
l :
9 5 24 0
x y
- - =
=> Phng trỡnh cnh NE qua N v vuụng gúc MO l :
5 9 22 0
x y
+ - =
Gi E l hỡnh chiu ca N trờn MG =>
163 39
;
53 53
E NE MG E
ổ ử
= ầ => =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
Li cú
( 0, ) ( 1;3)
NJ MG
NE MG k k R J
NE k NJ
=
ỡ
ù
^ => ạ ẻ => -
ớ
=
ù
ợ
uuur uuur
;(Vỡ
,
NE NJ
uuur uuur
cựng chiu )
Suy ra phng trỡnh cnh AD :
9
1 0
2
x OK
+ = => =
. Vỡ KA = KO = KD nờn
K,O,D thuc ng trũn tõm K ng kớnh OK
ng trũn tõm K bỏn kớnh OK cú phng trỡnh :
( )
2
2
3 81
1
2 4
x y
ổ ử
+ + - =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
Vy ta im A v D l nghim ca h :
( )
2
2
1
3 81
6
1
2 4
1
1 0
3
x
y
x y
x
x
y
ộ = -
ỡ
ỡ
ớ
ờ
ổ ử
=
+ + - =
ù ợ
ờ
ỗ ữ
ớ
ố ứ
ờ
= -
ỡ
ù
ờ
+ =
ớ
ợ
= -
ờ
ợ
ở
Suy ra
( 1;6); ( 1; 3) (8; 3); (8;6)
A D C B
- - - => -
. Trng hp
( 1;6); ( 1; 3)
D A
- - -
loi do M thuc CD .
0,25