Đề Thi KSCL đầu năm - Trường THCS Mã Thành

Phòng GD&ĐT huyện yên thành kì thi tuyển sinh vào lớp chọn khối 9
Trờng THCS mã thành
Đề Chính thức Năm học 2010 2011
Môn thi: Toán
Thời gian: 60 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Bài 1. Cho biểu thức: P =
1
1
1
1
1
12
23


++
+
+

+
x
xx
x
x
x
(với
1

x

)
a) Thu gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P =
3
1
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
44
yx

b)
1234
22
++ yyxyx
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC. Các đờng cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của
BC và K là điểm đối xứng với điểm H qua điểm I.
a) Tứ giác BHCK là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh: BD. BC = BH. BE.
c) Chứng minh rằng: Luôn tồn tại một điểm O sao cho O cách đều 4 điểm A, B, K, C.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . .
Phòng GD&ĐT huyện yên thành kì thi tuyển sinh vào lớp chọn khối 9
Trờng THCS mã thành
Đề Chính thức Năm học 2010 2011
Môn thi: Toán
Thời gian: 60 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

Bài 1. Cho biểu thức: P =
1
1
1
1
1
12
23


++
+
+

+
x
xx
x
x
x
(với
1

x
)
a) Thu gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P =
3
1
.

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
44
yx

b)
1234
22
++ yyxyx
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC. Các đờng cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của
BC và K là điểm đối xứng với điểm H qua điểm I.
a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: BD. BC = BH. BE.
c) Chứng minh rằng: Luôn tồn tại một điểm O sao cho O cách đều 4 điểm A, B, K, C.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . .
Phòng GD&ĐT huyện yên thành kì thi tuyển sinh vào lớp chọn khối 9
Trờng THCS Mã Thành Năm học 2010 2011
Đáp án Môn Toán
(Đáp án này gồm: 3 trang)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu Đáp án Điểm
1(a)
1(b)
1(c)
a) Ta có: P
1
1
1

1
1
12
23


++
+
+

+
=
x
xx
x
x
x

)1)(1(
1
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
12
2
2
22
++
++

++
+
+
++
+
=
xxx
xx
xxx
xx
xxx
x

)1)(1(
)1()1()12(
2
22
++
++++
=
xxx
xxxx

)1)(1(
1112
2
22
++
++
=

xxx
xxxx

)1)(1(
1
2
++

=
xxx
x

1
1
2
++
=
xx
b) Ta có: P =
3
1

3
1
1
1
2
=
++

xx

13
2
++=
xx

02
2
=+
xx

022
2
=+
xxx

0)2()2(
2
=++
xxx

0)2()2(
=++
xxx

0)1)(2(
=+
xx

=
=+

01
02
x
x




=
=

1
2
x
x

)(
)(
loai
TM
Vậy với x = -2 thì P =
3
1

.
c) Ta có:
22
22
2
1
1
2
1
2
1
21






+






++=++ xxxx
4
3
2
1

2
+






+= x
Vì:
4
3
1
4
3
4
3
2
1
0
2
1
2
22
+++

+






+ xxxx
(với mọi giá trị của x)
3
4
4
3
1
1
1
2
=







++

xx
hay P

3
4

. Dấu = xãy ra khi
2
1
0
2
1
==+ xx
.
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
2(a)
2(b)
3
3(a)
3(b)
3(c)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là
3

4
, đạt đợc khi
2
1
=x
.
a) Ta có:
( ) ( )
2
2
2
244
yxyx =

))((
2222
yxyx +=


))()((
22
yxyxyx ++=
b) Ta có:
12441234
22222
++=++ yyyxyxyyxyx


)12()44(
222

++= yyyxyx

22
)1()2( = yyx

[ ][ ]
)1()2()1()2(
+=
yyxyyx

)1)(13(
+=
yxyx
Vẽ hình
a) Ta có: I là trung điểm của BC (gt) (1)
Mặt khác:
Vì K và H đối xứng với nhau qua I

I là trung điểm của HK. (2)
Từ (1) và (2)

Hai đờng chéo BC và HK của tứ giác BHCK cắt nhau tại
trung điểm của mổi đờng.

Tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Xét

BDH và

BEC có:

==
=
0
90
)(
BECBDH
nhautrungEBCDBH


BDH

BEC (g g)

BC
BH
BE
BD
=


BD. BC = BH. BE (đpcm)
c) Vì tứ giác BHCK là hình bình hành (c/m câu a)
0,25

0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

CK // BE mà BE

AC

CK

AC


0
90=ACK



ACK vuông tại C.
Tơng tự ta củng chứng minh đợc

ABK vuông tại B.
Gọi O là trung điểm của AK.

OKOA
AK
OC ===
2
(tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền
của tam giác vuông) (*)
Tơng tự:
OKOA
AK
OB ===
2
(**)
Từ (*) và (**)

OA = OB = OK = OC

O cách đều 4 điểm A, B, K, C

đpcm.
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
Ghi chú
- Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa.
- Điểm của bài thi là tổng điểm thành phần của các câu, làm tròn đến 0,25.