Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề Bất đẳng thức

[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC
I. Một số ghi nhớ
*Định nghĩa:
0 baba
.
*
cacbba  ,

*
cbcaba 

*
dbcadcba  ,

*
bcaccba  0,

*
bcaccba  0,

*
bdacdcba  0,0

*
00,  bdacdcba

*
Nnbaba

nn
 0

*
nNnbaba
nn
,
lẻ
*
mnaaa
mn
1

*
mnaaa
mn
 10

*
NnRaa
n
 ,,0
2
, dấu = xảy ra khi a=0
*
Rbaabba  ,,4)(
2
, dấu = xảy ra khi
ba 
(tương ứng)

*
Rbababa  ,,0
22
, dấu = xảy ra khi
0 ba

*
Raaa  ,||
, dấu = xảy ra khi
0a
hoặc
0a
(tương ứng)
*
Rbababa  ,|,|||||
, dấu = xảy ra khi
0ab
hoặc
0. ba
(tương ứng)
*
Rbababa  ,||,||||||
, dấu = xảy ra khi
0ab
hoặc
0. ba
(tương ứng)
*
1|cos|,1|sin|  xx

*
bababa






,|,||||| 
dấu = xảy ra khi
0,  kbka


.
*
bababa






,|,||||| 
dấu = xảy ra khi
0,  kbka


.
*
bababa







,||,|||||| 
dấu = xảy ra khi
0,  kbka


.
*
bababa






,||,|||||| 
dấu = xảy ra khi
0,  kbka


.
* Bất đẳng thức Côsi
Cho n số không âm
n
aaa , ,,

21
khi đó ta có
n
nn
aaanaaa
2121

; dấu "=" xảy ra
khi
n
aaa 
21
.
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Cho hai dãy số
n
aaa , ,,
21
và
n
bbb , ,,
21
khi đó ta có
) )( () (
22
2
2
1
22
2

2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa 
;
dấu "=" xảy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1
.
Trường hợp đặc biệt: với mọi số thực x, y, z ta có
*
 
2
22
2
2222
22
1.1.)11)((











yxyx
yxyx

[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

dấu "=" xảy ra khi
yx 
.
*
 
2
222
2
222222
33
1.1.1.)111)((











zyxzyx
zyxzyx

dấu "=" xảy ra khi
zyx 
.

II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phương pháp sử dụng định nghĩa
Để chứng minh
ba 
ta chứng minh
0ba
.
Ví dụ 1: Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
a.
zxyzxyzyx 
222

b.
zxyzxyzyx 222
222


c.
)(23
222
zyxzyx 

d.
)(
444
zyxxyzzyx 

Hướng dẫn giải:
Ta xét hiệu
a.
.,,0])()()[(
2
1
)222222(
2
1
222
222222
Rzyxxzzyyx
zxyzxyzyxzxyzxyzyx



Dấu “=” xảy ra khi
zyx 
.

b.Ta xét hiệu

Rzyxzyxzxyzxyzyx  ,,0)(222
2222
.
Dấu “=” xảy ra khi
zyx 
.

c.Ta xét hiệu
Rzyxzyxzyxzyx  ,,)1()1()1()(23
222222
.
Dấu “=” xảy ra khi
1 zyx
.

d.Ta xét hiệu
 
0])()()[(
2
1
)()()(
2
1
222222
2
1
)(
222222222222222

222444
222444444










xzzyyxxyzxzyyzx
xyzzxyyzxzyx
xyzzxyyzxzyxzyxxyzzyx


với mọi số thực x, y, z. Dấu “=” xảy ra khi
zyx 
.

Ví dụ 2: Với mọi số thực a, b, c, d. Chứng minh rằng:
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

)1(1
2222
 dcbadcba
.
Hướng dẫn giải:

Ta xét hiệu
0])2()2()2()2[(
4
1
)]1(444444[
4
1
)1(1
2222
22222222


adacaba
dcbadcbadcbadcba

Với mọi số thực a, b, c, d. Dấu “=” xảy ra khi
1,2  dcba
.

2.Phương pháp biến đổi tương đương
Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 3: Với mọi số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng:
a.
baabba  1
22

b.
)(
22222
edcbaedcba 

c.
))(())((
4488221010
babababa 

Hướng dẫn giải:
a. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
0])1()1()[(
2
1
01
22222
 bababaabba
.
Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi
1ba
.
b. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
0
2222
0)(
2222
22222





























 e
a
d
a
c
a
b
a

edcbaedcba
Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi
edcba 2222 
.
c. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
0)()(
0))((0)()(
00))(())((
422422222
66222222282228
84482102104488221010



bbaababa
bababaababbaba
babaabbababababa

Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi
ba 
hoặc
ba 
hoặc
0a
hoặc
0b
.
Ví dụ 4: Với các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện
yxxy  ,1
. Chứng minh

rằng:
22
22



yx
yx
.
Hướng dẫn giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

0)2(
02)2(222202)2(2222
022220
2222
022
2
222222
22
2222









yx
xyyxyxyxyx
yxyx
yx
yxyx
yx
yx

Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi








yx
xy
yx
1
02
hay












2
62
2
62
y
x

hoặc











2
62
2
62
y
x

.
Ví dụ 5: Với mọi số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng:
21 






xz
z
zy
y
yx
x
.

Hướng dẫn giải:

Ta có
yxz
z
xz
z
zyx
y
zy
y
zyx
x

yx
x







;;
.
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra
1




 xz
z
zy
y
yx
x
.
Bạn đọc dễ dàng chứng minh được

yxz
xz
xz
z

zyx
xy
zy
y
zyx
zx
yx
x










;;

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra
2




 xz
z
zy
y

yx
x
.

3.Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 6: Với mọi số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng:

abcaccbba 8))()(( 
.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số không âm ta được
abba 2

bccb 2

acca 2


[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.
Ví dụ 7: Giải phương trình
2
3
42
1
12
4
14

2






xxx
x
x
x
.
Hướng dẫn giải:

Đặt













2
0,

4
2
ab
ba
b
a
x
x
. Phương trình trên trở thành
2
31
11





 baa
b
b
a
.
Vế trái của phương trình
.
2
3
3
))(1)(1(
1
.3.))(1)(1(.3

2
1
3)
1
1
1
1
1
)](()1()1[(
2
1
3)
1
1
1
1
1
)(1(
3)1
1
()1
1
()1
1
(
1
11
3
3





























baba
baba
baab

baba
baab
ba
baa
b
b
a
baa
b
b
a


Như vậy, vế trái

vế phải. Dấu “=” xảy ra khi
01
1









x
ba
b

a
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0.
Ví dụ 8: Với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất
(GTLN) của biểu thức
111 





z
z
y
y
x
x
P
.
Hướng dẫn giải:

Ta có
)
1
1
1
1
1
1
(3

1
11
1
11
1
11















zyxz
z
y
y
x
x
P
.
Vì x+y+z=1 nên

 
.
4
9
)2)(2)(2(
1
.3.)2)(2)(2(.3.
4
1
)
2
1
2
1
2
1
).()2()2()2(
4
1
)
111
).((
)
1
1
1
1
1
1
).((

1
1
1
1
1
1
3
3



























yxzzxyzyx
yxzzxyzyx
yxzzxyzyx
yxzzxyzyx
yxzzzxyyzyxx
zyx
zyx
zyx
zyx

[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Vì vậy,
.
4
3
4
9
3 P
Suy ra GTLN của P là
4
3
, đạt được khi x=y=z=1/3.

Ví dụ 9: Với mọi bộ ba số a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR:

.3




 cba
c
bca
b
acb
a

Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được
3
))()((
.3
cbabcaacb
abc
cba
c
bca
b
acb
a








.
Ta lại có
2
2
2
))(( a
bcacba
bcacba 








,
tương tự
2
))(( bcbaacb 
,
2
))(( cbcaacb 
.
Từ đó, suy ra
.))()(( abcbcacbaacb 

Vì vậy,
3.3
3





 abc
abc
cba
c
bca
b
acb
a
.
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.

4.Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Ví dụ 10: Với mọi số thực x. CMR:

.
8
1
sincos
88
 xx

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số
)sin,(cos
44
xx
và (1, 1), ta có
 
.
2
)sin(cos
sincossincos)11)(sin(cos
244
88
2
442288
xx
xxxxxx



Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số
)sin,(cos
22
xx
và (1, 1), ta được
 
.
2
1
sincos1sincos)11)(sin(cos
44

2
222244
 xxxxxx

Vì vậy,
.
8
1
sincos
88
 xx

Dấu “=” xảy ra khi
.
24
02cossincos
22

k
xxxx 

Ví dụ 11: Với mọi bộ bốn số thực a, b, c, d. CMR:

.)()(
222222
dcbadbca 

[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Hướng dẫn giải:
Bình phương hai vế,
2222
2222222222
2)()(
dcbabdac
dcdcbabadbca



Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (a, b); (c, d) ta suy ra đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi
.
d
b
c
a


Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:

.
532
532
22






yx
yx

Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số
)3;2( yx
và
)3;2(
ta suy ra
 
532)32(32)32(25
22222
 yxyxyx
.
Hệ phương trình trên chỉ có nghiệm khi
.1
3
3
2
2
 yx
yx

5.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 13: Với hai số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN và
GTLN của biểu thức:
33
2yxP 
.
Hướng dẫn giải:

Ta có y=1-x, suy ra
33
)1(2 xxP 
.
Xét hàm số
33
)1(2)( xxxf 
trên [0, 1].
Có
)22)(22(3)1(63)(
22


xxxxxf
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
)1,22( 
và nghịch biến trên khoảng
)22,0( 
.
.1)1(,)12(2)22(,2)0(
2
 fff

Vậy
2
)12(2min P
tại
)21,22(  yx
,

và
2max P
tại
)1,0(  yx
.
Ví dụ 14: Với hai số thực x, y lớn hơn
e
thỏa mãn x>y. CMR:
y
x
y
x

ln
ln
.
Hướng dẫn giải:
Bất đẳng thức trên tương đương với
y
y
x
x lnln

.
Xét hàm số
t
t
tf
ln
)( 

trên khoảng
),( e
.
Ta có
.0
ln1
)(
2
et
t
t
tf 




Vậy,
)(tf
là hàm số nghịch biến trên khoảng
),( e
. Suy ra
)()( yfxf 
(đpcm).
6.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức véc tơ
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Ví dụ 15: Với mọi số thực a. CMR:
211
22

 aaaa
.
Hướng dẫn giải:
Xét hai véc tơ
)
2
3
;
2
1
(),
2
3
;
2
1
(  avau

.
Khi đó, bất đẳng thức trên được viết thành
|||||| vuvu


, luôn đúng. Dấu “=” xảy ra
khi
0
2
3
2
3

2
1
2
1



 a
a
a
vku

.
III. Giới thiệu một số bài toán trong các đề thi đại học từ năm 2003-2014
Bài 1 (ĐH-khối A năm 2003): Với x, y, z là ba số dương và
1 zyx
. CMR:

82
111
2
2
2
2
2
2

z
z
y

y
x
x
.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức về véc tơ và bất đẳng thức Côsi.
Xét
)
1
;(),
1
;(,)
1
;(
z
zc
y
yb
x
xa



. Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trên là
.8280162
80
111
)(18
)(80
111

)(81
111
)(||||||||
2
2
2
2
2































zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxcbacba






Dấu “=” xảy ra khi
.
3
1
 zyx

Bài 2 (ĐH-khối A năm 2005): Với x, y, z là ba số dương và
4
111


zyx
. CMR:

1
2
1
2
1
2
1





 zyxzyxzyx
.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức
Vì
0,),
11
(
4
11
4)(
2



 ba
baba
abba
.
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Suy ra,










)
11
(
4
1
2
1
4
1
)
1
2

1
(
4
1
2
1
zyxzyxzyx
,











)
11
(
4
1
2
1
4
1
)
1

2
1
(
4
1
2
1
zxyzxyzyx
,











)
11
(
4
1
2
1
4
1
)

1
2
1
(
4
1
2
1
yxzyxzzyx
.
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi
4
3
 zyx
.
Bài 3 (ĐH-khối B năm 2005): CMR với mọi số thực x thì ta có

xxxxxx
543)
3
20
()
4
15
()
5
12
( 
.
Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Côsi.
xxx
3.2)
4
15
()
5
12
( 
,
xxx
5.2)
3
20
()
5
15
( 
,
xxx
4.2)
3
20
()
5
12
( 
.
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được đpcm.
Bài 4 (ĐH-khối D năm 2005): CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn

1xyz
.

33
1
11
33
3333






zx
xz
yz
zy
xy
yx
.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi.
xy
xy
yx
xyyx
3
1
31

33
33



, tương tự

yz
yz
zy
3
1
33


,
zx
zx
xz 31
33


.
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra
33
1
33
3331
11
3

33
3333






xyz
zxyzxy
zx
xz
yz
zy
xy
yx
.
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.

Bài 5 (ĐH-khối A năm 2006): Với mọi số thực khác 0 và thỏa mãn
xyyxxyyx 
22
)(
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
33
11
yx
A 
.
Hướng dẫn giải:

[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Từ giả thiết ta suy ra
xyyxyx
11111
22

.
Đặt
y
b
x
a
1
,
1

thì
abbaba 
22
.
Ta có
40
2
3)(3)(
2
2
22
2

















 ba
ba
baabbaba
ba
ab
.
Ta lại có
16)())((
11
22233
33
 baabbababa
yx
A

.
Vậy, GTLN của A là 16 xảy ra khi a=b và a+b=4 hay x=y=1/2.

Bài 6 (ĐH-khối B năm 2006): Tìm giá trị nhỏ nhất của

|2|)1()1(
2222
 yyxyxA
.
Hướng dẫn giải:
Dùng phương pháp tọa độ và đạo hàm:
Xét M(x-1; -y), N(x+1; y) ta có
MNONOM 
nên

|2|44|2|)1()1(
22222
yyyyxyxA 
.
Xét hàm số
|2|44)(
2
 yyyf
.
TH1: Nếu
325244)(244)(2
22
 yyfyyyfy
.
TH2: Nếu

32
1
12
)('244)(2
min
2
2
2



 f
y
yy
yfyyyfy
.
Vậy, GTNN của A là
32 
xảy ra khi x=0 và
3
3
y
.
Bài 7 (ĐH-khối A năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn
1xyz
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của
yyxx
yxz
xxzz

xzy
zzyy
zyx
P
2
)(
2
)(
2
)(
222









.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
xxxyxzyx 22)(
22

, tương tự
yyzxy 2)(
2


,
zzyxz 2)(
2

.
Đặt
xxzzczzyybyyxxa 2,2,2 
thì ta có
9
24
,
9
24
,
9
24 acb
zz
cba
yy
bac
xx






.
Suy ra,
[Type text]

Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

 
.2633.4
9
2
6)()(4
9
2
242424
9
2





















a
c
c
b
b
a
a
b
c
a
b
c
a
acb
c
cba
b
bac
P

Vậy, GTNN của P là
2
xảy ra khi
1 zyx
.
Bài 8 (ĐH-khối B năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z .
Tìm giá trị nhỏ nhất của


























xy
z
z
zx
y

y
yz
x
xP
1
2
1
2
1
2
.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có ta có

 
 
.
2
9
2
3
2
3
2
3
11
2
111
2
111

2
1
111
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
222
222
222






















































zz
z
yy
y
xx
x
yxz
zyx
yz
x
xy
z
zx
y
xy
z
zx
y
yz
x
zyxP

Vậy, GTNN của P là
2
9
xảy ra khi
1 zyx
.
Bài 9 (ĐH-khối B năm 2008) Với mọi số thực x, y thỏa mãn
1
22
 yx
.
Tìm GTLN và GTNN của:
2
2
221
)6(2
yxy
xyx
P



.
Hướng dẫn giải:
Nếu x=0 thì P=0.
Nếu
0x
thì đặt y=kx. Khi đó,
1)1(
22

 kx
và
22222
22
321
)61(2
32
)6(2
kk
k
xkkxx
kxx
P






.
Suy ra,
02)6(23
2
 PkPPk
.
TH1: Nếu k=-1/6 thì P=0.
TH2: Xét
0P
, để pt trên có nghiệm thì
3603662

2


PPP
.
Vậy GTNN của P là -6 , GTLN của P là 3.
Bài 10 (ĐH-khối D năm 2008) Với mọi số thực x, y không âm. Tìm GTLN và GTNN
của:
22
)1()1(
)1)((
yx
xyyx
P



.
Hướng dẫn giải:
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

.
4
1
)1(
)1)((
)1()1(
|)1)((|
||

222







xyyx
xyyx
yx
xyyx
P

Vậy GTNN của P là -1/4 , GTLN của P là 1/4.
Bài 11 (ĐH-khối A năm 2009): CMR với mọi số thực dương x, y, z và thỏa mãn
xyzyxx 3)( 
, ta có
333
)(5))()((3)()( zyzyzxyxzxyx 
.
Hướng dẫn giải:
Đặt
zyczxbyxa  ,,
.
Từ giả thiết ta suy ra
abbac 
222
,
suy ra

cbabababaabbac 2)(
4
1
)(
4
3
)(3)(
22222

(*).
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
0,,;53
333
 cbacabcba
.
.53)(
53)(53))((53
2
32322333
cabcba
cabccbacabcabbabacabcba



Từ (*) ta suy ra
2
2)( ccba 
và
22
3)(

4
3
3 cbaab 
, từ đây suy ra đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hay x=y=z.
Bài 12 (ĐH-khối B năm 2009): Với mọi số thực x, y thỏa mãn
24)(
3
 xyyx
. Tìm
GTNN của biểu thức
1)(2)(3
222244
 yxyxyxA
.
Hướng dẫn giải:

Ta dễ thấy
xyyx 4)(
2

, kết hợp với điều kiện
24)(
3
 xyyx
, suy ra
1 yx
.
1)(2)(
4

9
1)(2)(
4
3
)(
2
3
1)(2)(
2
3
)(
2
3
1)(2)(3
2222222222222
2244222222244


yxyxyxyxyx
yxyxyxyxyxyxA
.
Đặt
2
1
2
)(
2
22




yx
tyxt
. Do đó
12
4
9
2
 ttA
.
Xét hàm số
2
1
,12
4
9
)(
2
 ttttf
. Ta có
2
1
,02
2
9
)( 

tttf
. Suy ra
16

9
)2/1(minmin  ffA
. Xảy ra khi x=y=1/2.
Bài 13 (ĐH-khối D năm 2009): Với mọi số thực không âm x, y thỏa mãn
1 yx
. Tìm
GTNN và GTLN của biểu thức
yxyyxA 25)34)(34(
22

.
Hướng dẫn giải:
1221634)](3)[(1216
259)(121625)34)(34(
22322
332222


xyyxxyyxxyyxyx
xyxyyxyxxyxyyxA
.
Đặt
xyt 
, ta được
12216
2
 ttA

[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Ta dễ thấy
4
1
0
4
1
4
)(
0
2


 t
yx
xy
.
Xét hàm số
4
1
0,12216)(
2
 ttttf
. Ta có
16
1
0)(232)( 




ttfttf
.
Ta có f(0)=12; f(1/16)=191/16; f(1/4)=25/2.
16
191
)6/1(minmin  ffA
. Xảy ra khi





16/1
1
xy
yx
hay










4
32
;

4
32
);( yx
hoặc










4
32
;
4
32
);( yx

2
25
)4/1(maxmax  ffA
. Xảy ra khi






4/1
1
xy
yx
hay







2
1
;
2
1
);( yx
.
Bài 14 (ĐH-khối B năm 2010): Với mọi số thực không âm x, y, z thỏa mãn
1 zyx
.
Tìm GTNN của biểu thức
222222222
2)(3)(3 zyxzxyzxyxzzyyxA 
.
Hướng dẫn giải:
)(212)(3)(
2
zxyzxyzxyzxyzxyzxyA 

.
Đặt
zxyzxyt 
, ta được
tttA 2123
2


Ta dễ thấy
3
1
0
3
1
3
)(
0
2


 t
xyx
zxyzxy
.
Xét hàm số
3
1
0,2123)(
2
 tttttf

.
Ta có
3
1
00
)21(
2
2)(
21
2
32)(
2/3








t
t
tf
t
ttf
. Suy ra f’(t) là hàm số
đồng biến trên miền xác định của t.
)(1)0()( tfftf 




là hàm số đồng biến. Suy ra
2)0(minmin  ffA
. Xảy ra khi xy=yz=zx; xy+yz+zx=0 và x+y+z=1, hay (x, y,
z)=(1, 0, 0) hoặc (x, y, z)=(0, 1, 0) hoặc (x, y, z)=(0, 0, 1).
Bài 15 (ĐH-khối A năm 2011): Với mọi số thực x, y, z nằm trong đoạn [1; 4] thỏa mãn
zxyx  ,
. Tìm GTNN của biểu thức
xz
z
zy
y
yx
x
P






32
.
Hướng dẫn giải:
z
x
y
z
x
y

P






1
1
1
1
32
1
.
Bạn đọc dễ chứng minh được
ab
ba





1
2
1
1
1
1
(*) với
0,,1  baab

. Dấu “=”
xảy ab=1 hoặc a=b.
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Áp dụng (*) cho P, ta được
y
x
x
y
P




1
2
32
1
.
Đặt
y
x
t 
, vì
 
2,1]4,1[,,  tyxyx
.
Khi đó,
tt

t
P




1
2
32
2
2
. Xét hàm số
]2,1[,
1
2
32
)(
2
2




 t
tt
t
tf
.
Ta tính được
]2,1[,0

)1()32(
1831838
3)(
222
234





t
tt
tttt
tf
. Suy ra f(t) là hàm số
nghich biến trên đoạn [1, 2].
33
34
)2(  fP
. Dấu “=” xảy ra khi x=4, y=1, z=2.
Bài 16 (ĐH-khối B năm 2011): Với mọi số thực dương a, b thỏa mãn
)2)(()(2
22
 abbaabba
. Tìm GTNN của biểu thức



















2
2
2
2
3
3
3
3
94
a
b
b
a
a
b
b
a

P
.
Hướng dẫn giải:
Vì
)2)(()(2
22
 abbaabba
nên














ba
ba
a
b
b
a 11
2)(12
.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có





















b
a
a
b
ba
ba
ba
ba 222

11
2).(2
11
2)(
. Suy ra
2
5
22212 














a
b
b
a
b
a
a
b

a
b
b
a
.
Đặt
2
5
,181294
23
 ttttP
a
b
b
a
t
.
Xét hàm số
2
5
,0)232(6)(
2
5
,181294)(
223


 ttttftttttf
.
4

23
)
2
5
(  fP
. Dấu “=” xảy ra khi







ba
ba
a
b
b
a 11
2,
2
5
, hay (a, b)=(1, 2)
hoặc (a, b)=(2, 1).
Bài 17 (ĐH-khối A năm 2012): Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn
0 zyx
. Tìm
GTNN của biểu thức
)(6333
222||||||

zyxP
yxyxyx


.
Hướng dẫn giải:
Trước hết ta chứng minh
0,13  tt
t
. Thật vậy, xét hàm số
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

0,013ln3)(0,13)( 

 ttftttf
tt
. Suy ra f(t) là hàm số đồng
biến trên miền đang xét, và
0,130)0()(  ttftf
t
.
Vì vậy, ta có
3||||||333
||||||


xzzyyx
yxyxyx
(*).

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
|||||| baba 
. Ta có
)|||||(|2||||||
|||||||)||(||||)||(|||
|)||(||||||||||)||||(|
222222
222
2222
xzzyyxxzzyyx
xzzyyxzyyxxzxzyxzy
xzzyyxxzzyyxxzzyyx




Do đó,
)(6)(2)(6
)|||||(|2||||||
2222222
222
zyxzyxzyx
xzzyyxxzzyyx


.
Suy ra
0)(6||||||
222
 zyxxzzyyx

(**).
Từ (*) và (**) ta suy ra
3P
. Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=0.
Bài 18 (ĐH-khối B năm 2012): Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn
0 zyx
,
1
222
 zyx
. Tìm GTLN của biểu thức
555
zyxP 
.
Hướng dẫn giải:
Vì
0 zyx
,
1
222
 zyx
nên
1222212)(2)(0
222222
 xyzyzxyzzyxzyxzyx
.
Mà
222
12 xzyyz 
, suy ra








3
6
;
3
6
112
22
xxx
.
)2(
4
5
)1)()(1(
)())((
322222
2233225555
xxzxyyzxxxx
zyzyzyzyxzyxP



Xét hàm số
xxxf 

3
2)(
trên đoạn







3
6
;
3
6
, ta có
0)(16)(
2




xfxxf
khi
6
6
x
. Ta tính được
9
6

)
6
6
()
3
6
(;
9
6
)
6
6
()
3
6
(  ffff
. Suy ra
36
65
9
6
)(  Pxf
. GTLN của P là
36
65
, xảy ra khi
6
6
,
3

6
 zyx
.
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Bài 19 (ĐH-khối D năm 2012): Với mọi số thực x, y thỏa mãn
322)4()4(
22
 xyyx
. Tìm GTNN của biểu thức
)2)(1(3
33
 yxxyyxP
.
Hướng dẫn giải:
Vì
800)(8)(322)4()4(
222
 yxyxyxxyyx
.
6)(
2
3
)(3)(66)(3)(
233
 yxyxyxxyyxyxP
.
Đặt
]8,0[ tyxt

.
Xét hàm số
,
2
51
0)(,333)(63
2
3
)(
223





 ttftttfttttf
hoặc
2
51
t
(loại).
.
4
5517
)(398)8(;
4
5517
)
2
51

(;6)0(





 tffff

Vậy GTNN của A là
4
5517
, xảy ra khi
4
51
 yx
.
Bài 20 (ĐH-khối A năm 2013): Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn
2
4))(( ccbca 
. Tìm GTNN của biểu thức
c
ba
ca
b
cb
a
P
22
3
3

3
3
)3(
32
)3(
32 





.
Hướng dẫn giải
Đặt
3,  yxxy
c
b
y
c
a
x
. Khi đó,
22
3
3
3
3
)3(
32
)3(

32
yx
x
y
y
x
P 




.
Ta có
0,,)(
4
1
)()(
4
3
)()(3)(
323333
 vuvuvuvuvuvuuvvuvu
.
Suy ra
3
2
3
3
3
3

3
9)(3
)(32)(
8
33
8
)3(
32
)3(
32


























 yxxy
yxxyyx
x
y
y
x
x
y
y
x
.
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Thay xy=3-(x+y) vào ta dẫn đến
3
3
2
3
3
3
3
)1(
9)(3
)(32)(

8
)3(
32
)3(
32















yx
yxxy
yxxyyx
x
y
y
x
.
Suy ra
)3(2)()1()1(

23223
yxyxyxyxyxP 

Đặt t=x+y, ta có t>0 và
62)1(
23
 tttP
.
2)(
4
)(
3
2


 tyx
yx
yxxy
.
Xét hàm số
2,62)1()(
23
 tttttf
.
2,0
2
3
3
)1(
7

1
1
3
62
1
)1(3)(
2
2
2








t
t
tt
t
ttf
.
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét.
21)2()(  ftf
. GTNN của P là
21
, xảy ra khi a=b=c.
Bài 21 (ĐH-khối D năm 2013): Với mọi số thực dương x, y thỏa mãn
1 yxy

. Tìm
GTLN của biểu thức
)(6
2
3
22
yx
yx
yxyx
yx
P






.
Hướng dẫn giải
Vì x, y>0 và
4
1
0
4
1
)
2
11
(
4

1
)
11
(
1
01
2
222



y
x
yyyy
y
y
xy
yxy
.
Đặt
4
1
0  t
y
x
t
. Suy ra
)1(6
2
3

1
)1(6
2
3
1
22




















t
t
tt
t

y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
P
.
Xét hàm số
4
1
0,
)1(6
2
3
1
)(
2






 t
t

t
tt
t
tf
, ta có
4
1
0,0
2
1
33.2
17
)1(2
1
)3(2
37
)(
2
32









t
t

tt
t
tf
.
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Vậy f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét
30
7
3
5
max
30
7
3
5
)4/1()(  Pftf
xảy ra khi x=4y và
1 yxy
hay (x=1/2;
y=2).
Bài 22 (ĐH-khối A năm 2014): Với mọi số thực dương không âm x, y, z thỏa mãn
2
222
 zyx
. Tìm GTLN của biểu thức
9
1
11

2
2
yz
zyx
zy
xyzx
x
P







.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết, ta có
)1(2)(0
2
yzxzxyzyx 
,
)1()1()1(1
2
 zyxxyzxzxyzyxxxyzx
.
Suy ra
1)1(1
2
2

2




 zyx
x
zyxx
x
xyzx
x
.
Ta lại có,
.
4
)(
)1()1(4
])([22)(2222)(2)(
2
222222
zyx
yzyz
zyxyzzyxyzyzzyxzyxzyx




Vì vậy, ta suy ra
36136
)(

1
22
t
t
tzyx
zyx
zyx
P 







.
Với
0 tzyxt
và
606)(3)(
22222
 tzyxzyxt
.
Xét hàm số
60,
361
)(
2



 t
t
t
t
tf
, ta có
0)(
)1(18
)94)(2(
18)1(
1
)(
2
2
2









tf
t
tttt
t
tf
tại t=2.

9
5
)(
5
6
30
31
)6(,
9
5
)2(,0)0(  tffff
.
Vậy GTLN của P là 5/9, xảy ra khi x+y+z=2, x=y+z,
2
222
 zyx
, hay x=1, y=1, z=0
hoặc x=1, y=0, z=1.
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)

Bài 23 (ĐH-khối B năm 2014): Với mọi số thực dương không âm a, b, c thỏa mãn
0)(  cba
. Tìm GTNN của biểu thức
)(2 ba
c
ca
b
cb
a

P






.
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
cba
a
cb
a
cbacba




2
)(2
, tương tự ta có
cba
b
ca
b



2

.
Vậy
2/32/12
2
1
)(2
)(2
)(2
)(2












ba
cba
cba
ba
ba
c
cba
ba
P

.
khi a=0, b=c>0 thì P=3/2. Vậy GTNN của P là 3/2.
Bài 24 (ĐH-khối D năm 2014): Với mọi số thực x, y nằm trong đoạn [1; 2]. Tìm GTNN
của biểu thức
)1(4
1
53
2
53
2
22








yxxy
xy
yx
yx
P
.
Hướng dẫn giải
Vì
xxxxx 320)2)(1(21
2


, tương tự ta có
yy 32
2

.
Vậy
)1(4
1
1)1(4
1
1)1(4
1
333
2
333
2


















tt
t
yxyx
yx
yxxy
xy
yx
yx
P
.
Với
 
4,2 tyxt
.
Xét hàm số
42,
)1(4
1
1
)( 



 t
tt
t
tf

, ta có
0)(
)1(4
1
)1(
1
)(
22








tf
tt
tf

tại t=3.
8
7
)(
60
53
)4(,
8
7
)3(,12/11)2(  tffff

.
Vậy GTNN của P là 7/8, xảy ra khi x+y=3; x=1 hoặc x=2; y=1 hoặc y=2 hay x=1, y=2,
hoặc x=2, y=1.

[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)