Hệ phương trình trong các ký thi tuyển sinh đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (471.06 KB, 14 trang )
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014
Giải hệ phương trình sau:
( )
2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
− + − =
− − = −
trong ñó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
( )
( )
( )
2
3
12 12 12 1
8 1 2 2 2
x y y x
x x y
− + − =
− − = −
ðiều kiện:
2 3 2 3
x− < ≤
;
2 12
y
≤ ≤
Ta có
( )
2
2
2
12
12
2
12
12
2
x y
x y
y x
y x
+ −
− ≤
+ −
− ≤
. Nên
(
)
2
12 12 12
x y y x
− + − ≤
. Do ñó:
( )
2
0
1
12
x
y x
≥
⇔
= −
Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
(
)
( )
( )
( )
3 2 3 2
2
2
8 1 2 10 8 3 2 1 10 0
2 3
3 3 1 0 3
1 10
x x x x x x
x
x x x
x
− − = − ⇔ − − + − − =
+
⇔ − + + + =
+ −
Do
0
x
≥
nên
(
)
2
2
2 3
3 1 0
1 10
x
x x
x
+
+ + + >
+ −
Do ñó:
(
)
3 3
x
⇔ =
thay vào hệ phương trình và ñối chiếu ñiều kiện ta thu ñược nghiệm của
hệ phương trình là
(
)
(
)
; 3;3
x y =
.
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014:
Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
x x y x x y y
y x y x y x y
− − + = + − −
− + + = − − − −
trong ñó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2 1 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3 2
x x y x x y y
y x y x y x y
− − + = + − −
− + + = − − − −
ðiều kiện:
0
2
4 5 3
y
x y
x y
≥
≥
≥ +
Ta có
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
1 1 1 1 1 0
1 1
1 1 0 3
1 1
y x y x y y
y x y
x y y
⇔ − − − + − − − =
⇔ − − − + =
− + +
Do
1 1
0
1 1x y y
+ >
− + +
nên phương trình (3) tương ñương với
1
1
y
y x
=
= −
Với
1
y
=
, phương trình (2) trở thành
9 3 0 3
x x
− = ⇔ =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
Với
1
y x
= −
, ñối chiếu ñiều kiện thì phương trình 2 trở thành
(
)
(
)
( )
2 2
2
2 3 2 2 1 1 2 0
1
1 2 0
1 2
x x x x x x x
x x
x x
− − = − ⇔ − − + − − − =
⇔ − − + =
− + −
Do
1
2 0
1 2x x
+ >
− + −
nên (3)
2
1 5
1 0
2
x x x
±
− − = ⇔ =
ðối chiếu ñiều kiện và kết hợp với trường hợp trên ta ñược nghiệm của hệ phương trình ñã
cho là
( ) ( )
1 5 1 5
; 3;1 , ;
2 2
x y
+ − +
=
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014:
Giải bất phương trình
(
)
(
)
2
1 2 6 7 7 12
x x x x x x
+ + + + + ≥ + +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
2
x
≥ −
. Bất phương trình ñã cho tương ñương với
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
1 2 2 6 7 3 2 8 0
1 6
2 4 0 1
2 2 7 3
x x x x x x
x x
x x
x x
+ + − + + + − − + − ≥
+ +
⇔ − + − − ≥
+ + + +
Do
2
x
≥
nên
2 0
x
+ ≥
và
6 0
x
+ >
. Suy ra
1 6 2 2 6 6 1
4 0
2 2
2 2 7 3 2 2 7 3 2 2
x x x x x x
x
x x x x x
+ + + + + +
+ − − = − + − − <
+ + + + + + + + + +
Do ñó
(
)
1 2
x
⇔ ≤
ðối chiếu ñiều kiện, ta ñược nghiệm của bất phương trình ñã cho là
2 2
x
− ≤ ≤
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
( )
4
4
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y
+ + − − + =
+ − + − + =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
1
x
≥
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
( )
2
4 1 , 0
y x y y
= + − ⇒ ≥
ðặt
4
1, 0
u x u
= − ⇒ ≥
. Phương trình (1) của hệ phương trình trở thành
( )
4 4
2 2 3
u u y y+ + = + +
Xet hàm số
( )
4
2
f t t t
= + +
, Với mọi
0
t
≥
.
Ta có:
( )
3
4
2
' 1 0
2
t
f t
t
= + >
+
,Với mọi
0
t
≥
.
Do ñó phương trình (3) tương ñương với
y u
=
, nghĩa là
4
1
x y
= +
Thay vào phương trình (2) ta thu ñược
(
)
(
)
7 4
2 4 0 4
y y y y+ + − =
Hàm số
(
)
7 4
2 4
f y y y y
= + + −
có
(
)
6 3
' 7 8 1 0
g y y y
= + + >
, với mọi
0
y
≥
Mà
(
)
1 0
g
=
, nên phương trình (4) có hai nghiệm không âm là
0
1
y
y
=
=
Với
0
y
=
ta ñược nghiệm của
(
)
(
)
; 1;0
x y =
Với
1
y
=
ta ñược nghiệm là
(
)
(
)
; 2;1
x y =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
(
)
(
)
(
)
; 1;0 , 2;1
x y =
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:
Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
+ − + − + =
− + + = + + +
trong ñó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2 0
4 0
x y
x y
+ ≥
+ ≥
Tử phương trình (1) của hệ ta thu ñược
1
2 1
y x
y x
= +
= +
Với
1
y x
= +
, thay vào phương trình (2) ta ñược
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
3 3 3 1 5 4
3 1 3 1 2 5 4 0
1 1
3 0
1 3 1 2 5 4
1
0
0
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x
x x
x
− + = + + +
⇔ − + + − + + + − + =
⇔ − + + =
+ + + + + +
=
⇔ − = ⇔
=
Khi ñó ta thu ñược nghiệm
(
)
(
)
(
)
; 0;1 , 1;2
x y =
Với
2 1
y x
= +
, thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
( ) ( )
3 3 4 1 9 4
3 4 1 1 9 4 2 0
4 9
3 0 0
4 1 1 9 4 2
x x x
x x x
x x
x x
− = + + +
⇔ + + − + + − =
⇔ + + = ⇔ =
+ + + +
Khi ñó nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 0;1
x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh Cao
ñẳ
ng kh
ố
i A-2013:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
2
3 1 0
4 12 0
xy y
x y xy
− + =
− + =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñược ñược viết lại
(
)
( )
2
3 1 0 1
4 12 0 2
xy y
x y xy
− + =
− + =
Nhận xét
0
y
=
không thỏa mãn phương trình (1).
Từ phương trình (1) ta ñược
( )
3 1
3
y
x
y
−
=
Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
3 2
1
3 11 12 4 0 2
2
3
y
y y y y
y
=
− + − = ⇔ =
=
Vậy nghiệm của hệ tích phân là
( ) ( )
5 3 2
; 2;1 , ;2 , ;
2 2 3
x y
=
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2012: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+ − =
− + + − − =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
H
ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
( )
( )
( )
2
2 0 1
2 1 0 2
xy x
x y x y
+ − =
− + − =
V
ớ
i
2 1 0 2 1
x y y x
− + = ⇔ = +
thay vào ph
ương trình 1 của hệ ta ñược
2
1 5
1 0
2
x x x
− ±
+ − = ⇔ =
.
Do
ñ
ó ta có các nghi
ệ
m
( ) ( )
1 5 1 5
; ; 5 , ; ; 5
2 2
x y x y
− + − −
= = −
V
ớ
i
2 2
0 .
x y y x
− = ⇔ = Thay vào ph
ươ
ng trình (1) c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
ñượ
c
(
)
(
)
3 2
2 0 1 2 0 1
x x x x x x
+ − = ⇔ − + + = ⇔ =
. Do
ñ
ó ta
ñượ
c nghi
ệ
m
(
)
(
)
; 1;1
x y =
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
;
x y
ñ
ã cho
là
1 5 1 5
; 5 , ; 5
2 2
− + − −
−
và
(
)
1;1
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2012: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
trong ñó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1
2
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 12 1 1 12 1
1 1
1
2 2
x x y y
x y
− − − = + − +
+ + + =
Từ (2), suy ra
1 3 1
1 1 1
2 2 2
1 1 3
1 1 1
2 2 2
x x
y y
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
⇔
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
Xét hàm số
(
)
3
12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
−
;
(
)
(
)
2
' 3 4 0
f t t
= − <
, suy ra
(
)
f t
là hàm nghịch biến.
Do
ñó (1) tương ñương
(
)
1 1 2 3
x y y x− = + ⇔ = −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
Thay vào (2), ta ñược
2 2
2
1
1 3
2
1 4 8 3 0
3
2 2
2
x
x x x x
x
=
− + − = ⇔ − + = ⇔
=
Thay vào phương trình (3), ta ñược nghiệm của hệ phương trình
(
)
;
x y
là
1 3
;
2 2
−
ho
ặ
c
3 1
;
2 2
−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2011: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
(
)
( )
( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có:
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0 1
2 2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
T
ừ
ph
ươ
ng trình (2) t
ươ
ng
ñươ
ng
( )
( )
2 2
2 2
1
1 2 0
2
xy
xy x y
x y
=
⇔ − + − = ⇔
+ =
+
1;
xy
=
từ phương trình (1) suy ra
4 2
2 1 0 1
y y y
− + = ⇔ = ±
Do ñó, nghiệm
(
)
(
)
; 1;1
x y =
hoặc
(
)
(
)
; 1; 1
x y
= − −
+
2 2
2
x y
+ =
, từ phương trình (1) suy ra
(
)
(
)
( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
3 4 2 2 0
6 4 2 2 0
1
1 2 0
2
y x y xy x y x y
y xy x y x y
xy
xy y x
x y
+ − + − + =
⇔ − + − + =
=
⇔ − − = ⇔
=
Với
2
x y
=
, từ
( )
2 2
2 10 10
2 ; ;
5 5
x y x y
+ = ⇒ =
ho
ặ
c
( )
2 10 10
; ;
5 5
x y
= − −
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho cho 4 nghi
ệ
m
( ) ( )
2 10 10
1;1 , 1; 1 , ;
5 5
− −
2 10 10
;
5 5
− −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2011: Tìm m
ñể
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
(
)
3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m
− + + =
+ − = −
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặ
t
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y
= − ≥ − = −
H
ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho tr
ở
thành
(
)
(
)
2
2 1 0 1
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u
=
+ − + =
⇔
+ = −
= − −
H
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
1
4
u
≥ −
V
ớ
i
1
4
u
≥ −
, ta có : (1)
( )
2
2
2 1
2 1
u u
u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+
Xét hàm s
ố
( )
2
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
V
ớ
i
1
4
u
≥ −
, ta có
( )
( )
( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2011: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2 3 2
2 2
x y x y
x xy y
+ = − −
− − =
trong ñó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện
2 0
x y
+ ≥
, ñặt
2 , 0
t x y t
= + ≥
.
Phương trình (1) trở thành :
( )
2
1
2 3 0
3
t
t t
t loai
=
+ − = ⇔
= −
V
ớ
i t =1, ta có
1 2
y x
= −
. Thay vào (2) ta
ñượ
c
2
1
2 3 0
3
x
x x
x
=
+ − = ⇔
= −
V
ớ
i x=1 ta
ñượ
c
1
y
= −
V
ớ
i
3
x
= −
ta
ñượ
c
7
y
=
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
(
)
;
x y
là
(
)
1; 1
−
và
(
)
3;7
−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2
2
2
4 2 0
2log 2 log 0
x x y
x y
− + + =
− − =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện
(
)
2; 0 1
x y> >
Từ hệ phương trình ñã cho ta có :
2 2
0
2
4 2 0 3 0
2 2
3
1
x
y
x x y x x
x y y x
x
y
=
= −
− + + = − =
⇔ ⇔
− = = −
=
=
ðối chiếu nghiệm của hệ phương trình với ñiều kiện ta thấy nghiệm của hệ là
(
)
(
)
; 3;1
x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
(
)
2
2
log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
− =
+ =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện
1
3
y
>
, phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta
3 1 2
x
y
− =
Do ñó, hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2
2
2
1
1
2
3 1 2
3 1 2
2
1
1
6 3 0
3 1 3 1 3
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y y
y y y
y
= −
=
− =
− =
⇔ ⇔ ⇔
=
− =
− + − =
=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
7
-
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
1
; 1;
2
x y
= −
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010: Giải hệ phương trình sau
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 4 2 3 4 7
x y y
x y x
+ + − − =
+ + − =
trong ñó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
3 5
;
4 2
x y
≤ ≤
. Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương ñương với
(
)
(
)
(
)
2
4 1 2 5 2 1 5 2 1
x x y y+ = − + −
Nhận xét phương trình (1) có dạng
( )
(
)
2 2 2
f x f y
= −
, với
(
)
(
)
2
1
f t t t
= +
Ta có
(
)
2
' 3 1 0
f t t
= + >
suy ra f là hàm số ñồng biến trên R.
Do ñó:
( )
2
0
1 2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y
≥
⇔ = − ⇔
−
=
The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta ñược
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7 0 3
2
x x x
+ − + − − =
Nhận thấy
0
x
=
và
3
4
x
=
không phải là nghiệm của phương trình (3)
Xét hàm số
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7
2
g x x x x
= + − + − −
, trên khoảng
3
0;
4
( )
( )
2 2
5 4 4
' 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
= − − − = − − ≤
− −
Suy ra
(
)
g x
là hàm số nghịch biến.
Mặt khác
1
0
2
g
=
, do ñó phương trình (3) có nghiệm duy nhất
1
2
2
x y
= ⇒ =
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
( )
1
; ;2
2
x y
=
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
(
)
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =
+ − + =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
8
-
( )
2
2
2 2
2
1
1
1
3
3 3
1
2 1
1 0 1
1 1 2
5 4 6
3 5
1 0 2 0
1 1 0
2
3
1
2
2
x
x
x y
x y y
x y x y
x
x x
x
x y
x
x x x
x x
y
x y
=
=
+ = −
+ = =
+ + − = + = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
=
+ − + = − + =
− − + =
= −
+ =
Vậy
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm
(
)
;
x y
là
(
)
1;1
và
3
2;
2
−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =
+ + =
trong
ñ
ó
(
)
,x y
∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
2
2
2
2
1
5
1
1
1 1
7
7
20 0
12
1
1
1 1
13
4
13 1
3
x
x
y
I
x
x
x
x x
y y
x y
y y
y y
x
x x
x
x
x x
y y
y
II
y y y y
x y
+ = −
+ + =
+ + =
+ + + − =
=
⇔ ⇔ ⇔
+ + =
+ =
+ − = = − +
=
+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm
+ Hệ phương trình (II) có nghiệm
( )
1
; 1;
3
x y
=
và
(
)
(
)
; 3;1
x y
=
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
(
)
( )
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
− +
+ = +
=
trong
ñ
ó
(
)
,x y
∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
(
)
0 *
xy
>
, hệ phương trình ñã cho tương ñương với
2 2
2
2 2
2
2
4
4
x y
x y xy x y
y
y
x xy y
=
+ = =
⇔ ⇔
= ±
=
− + =
Kết với với ñiều kiện ta thấy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
(
)
2;2
và
(
)
2; 2
− −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
2 3 2
4 2
5
4
,
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x
+ + + + = −
∈
+ + + = −
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
9
-
Ta có biến ñổi:
( )
( )
( )
( )
2 3 2 2 2
2
4 2 2
5 5
4 4
*
5 5
1 2
4 4
x y x y xy xy x y xy xy x y
x y xy x x y xy
+ + + + = − + + + + = −
⇔
+ + + = − + + = −
ðặt
2
u x y
v xy
= +
=
. Hệ phương trình (*) trở thành
2
2 3 2
5 5 5
0,
4 4 4
5 1 3
0 ,
4 4 2 2
u v uv v u u v
u
u v u u u v
+ + = − = − − = = −
⇔ ⇔
+ = − + + = = − = −
Giải ta ñược nghiệm của hệ phương trình
(
)
;
x y
là
3
3
5 25
;
4 16
−
và
3
1;
2
−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
+ + = +
+ = +
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
( )
2
2
2
2
3
2 4 3 2
2
2 9
0
3 3 2 9 12 48 64 0 4 0
4
2
3 3
2
x xy x
x
x
x x x x x x x x x
x
x
xy x
+ = +
=
⇒ + + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔
= −
= + −
+ Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình
+ Với
17
4
4
x y
= − ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( )
17
; 4;
4
x y
= −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2 2
2
,
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y
+ + = −
∈
− − = −
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
1, 0
x y
≥ ≥
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
(
)
( )
2 1 0 1
2 1 2 2 2
x y x y
x y y x x y
+ − − =
− − = −
Từ ñiều kiện ta có
0
x y
+ >
nên
(
)
(
)
1 2 1 3
y⇔ +
Thay (3) vào(2) ta ñược
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 2 1 0 5
y y y y do y x
+ = + ⇔ = + >
⇒
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 5;2
x y =
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2007:
Xác ñịnh m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
y y
+ + + =
+ + + = −
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
10
-
Hướng dẫn giải
ðặt
( )
1
2, 2
1
u x
x
u v
v y
y
= +
≥ ≥
= +
. Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
3 3
5
5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =
+ =
⇔
= −
+ − + = −
Vậy u và v là hai nghiệm của phương trình
(
)
2
5 8 1
t t m− + =
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa
1 2
2, 2
t t
≥ ≥
, (Hai nghiệm này không nhất thiết phân biệt)
Xét hàm số
(
)
2
5 8
f t t t
= − +
với
2
t
≥
.
Bảng biến thiên của hàm số
(
)
f t
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ñể hệ phương trình có nghiệm thì
22
m
≥
hoặc
7
2
4
m
≤ ≤
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2006:
Tìm a ñể hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(
)
(
)
( )
ln 1 ln 1
,
x y
e e x y
x y
y x a
− = + − +
∈
− =
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện: : x, y>-1. Hệ phương trình ñã cho ñường thẳng với
(
)
(
)
(
)
( )
ln 1 ln 1 0 1
2
x a x
e e x a x
y x a
+
− + + − + + =
= +
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy
nhất trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
.
Xét hàm số
(
)
(
)
(
)
ln 1 ln 1
x a x
f x e e x a x
+
= − + + − + +
với x>-1
Do f(x) liên tục trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
. và
(
)
(
)
1
lim ; lim
x
x
f x f x
+
→+∝
→−
= − ∝ = + ∝
Nên phương trình
(
)
0
f x
=
có nghiệm trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
.
Mặt khác
( )
( )
( )( )
1 1
' 1 0, 1.
1 1 1 1
x a x x a
a
f x e e e e x
x a x x a x
+
= − + − = − + > ∀ > −
+ + + + + +
Suy ra f(x) là hàm số ñồng biến trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
.
Do ñó, phương trình
(
)
0
f x
=
có nghiệm duy nhất trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2006: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
3
,
1 1 4
x y xy
x y
x y
+ − =
∈
+ + + =
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
11
-
ðiều kiện: :
1, 1; 0
x y xy
≥ − ≥ − ≥
. ðặt
(
)
0
t xy t
= ≥
. Từ phương trình thứ nhất của hệ
phương trình ta suy ra:
3
x y t
+ = +
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta ñược
(
)
2 2 1 16 2
x y xy x y+ + + + + + =
Thay
2
, 3
xy t x y t
= + =
vào phương trình (2) ta ñược
( )
( )
2 2
2
2
2
0 11
0 11
3 2 2 3 1 16 2 4 11 3
4 4 11
3 26 105 0
t
t
t t t t t t t
t t t
t t
≤ ≤
≤ ≤
+ + + + + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
+ + = −
+ − =
Với
3
t
=
ta có
6
9
x y
xy
+ =
=
suy ra nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 3;3
x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2005: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
− + − =
− =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
+ Ta có:
( )
( )
( )
2 3
9 3
1 2 1 1
3log 9 log 3 2
x y
x y
− + − =
− =
; ðiều kiện:
1
0 2
x
y
≥
< ≤
Từ phương trình (2) của hệ suy ra
(
)
3 3 3 3
3 1 log 3log 3 log log
x y x y x y
+ − = ⇔ = ⇔ =
Thay
y x
=
vào phương trình (1) ta có
( )( ) ( )( )
1
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0
2
x
x x x x x x x x
x
=
− + − = ⇔ − + − + − − = ⇔ − − = ⇔
=
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
(
)
(
)
; 1;1
x y =
và
(
)
(
)
; 2;2
x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2004: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
1
1 3
x y
x x y y m
+ =
+ = −
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặt
u x
v y
=
=
ñiều kiện
0
0
u
v
≥
≥
Hệ phương trình ñã cho trở thành
3 3
1
1
1 3
u v
u v
uv m
u v m
+ =
+ =
⇔
=
+ = −
Vậy u, v là hai nghiệm của phương trình
(
)
2
0 **
t t m− + =
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm sao cho
0
0
u
v
≥
≥
. ðiều này
tương ñương phương trình (**) có nghiệm t không âm
1 4 0
1
1 0 0
4
0
m
S m
m
∆ = − ≥
⇔ = ≥ ⇔ ≤ ≤
≥
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2004: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
12
-
Hướng dẫn giải
ðiều kiện: y > x và y > 0
( ) ( )
1 4 4 4 4
4
1 1 3
log log 1 log log 1 log 1
4
y x y
y x y x x
y y y
−
− − = ⇔ − − − = ⇔ − = ⇔ =
Thay vào phương trình
2 2
25
x y
+ =
ta có
2
2
3
25 4
4
y
y y
+ = ⇔ = ±
So sánh ñiều kiện ta ñược
4 3
y x
= ⇒ =
thỏa mãn ñiều kiện
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 3;4
x y =
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2003: Giải hệ phương trình sau
( )
2
2
2
2
2
3
,
2
3
y
y
x
x y
x
x
y
+
=
∈
+
=
ℝ
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
0; 0
x y
≠ ≠
Khi ñó hệ phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
3 0
3 2
3 2
3 2
x y xy x y
x y y
xy x
xy x
− + + =
= +
⇔
= +
= +
Trường hợp 1:
2 2
1
1
3 2
x y
x
y
xy x
=
=
⇔
=
= +
Trường hợp 2:
2 2
3 0
3 2
xy x y
xy x
+ + =
= +
vô nghiệm vì từ (1) và (2) ta có x, y >0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1
x y
= =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2003: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
3
1 1
,
2 1
x y
x y
x y
y x
− = −
∈
= +
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
0
xy
≠
Ta có phương trình (1) tương ñương
( )
1
1 0
1
x y
x y
xy
xy
=
− + = ⇔
= −
Trường hợp 1:
( )
( )
2
3 3
1
1 5
1 1 0
2
2 1 2 1
1 5
2
x y
x y
x y x y
x y
x x x
y x x x
x y
= =
=
= =
− +
⇔ ⇔ ⇔ = =
− + − =
= + = +
− −
= =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
13
-
Trường hợp 2:
( )
( )
3
4
3
1
1
3
1
2
2 1
2 0 4
1
y
y
xy
x
x
y x
x x
x
x
= −
= −
=
⇔ ⇔
= +
+ + =
− = +
Phương trình (4) của hệ vô nghiệm vì
2 2
4 2
1 1 3
2 0;
2 2 2
x x x x x
+ + = − + + + > ∀
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(
)
;
x y
là
(
)
1;1
,
1 5 1 5
;
2 2
− + − +
và
1 5 1 5
;
2 2
− − − −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2002: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
3 2
3 2
2 0
2 5 4 2 0
0
1
2 5 4 0
4
x
x x
x
y
y y y
y
y
y y y y
y
= >
= − = >
=
⇔ ⇔
=
= − + =
=
So sánh ñiều kiện ta thấy hệ phương trình có nghiệm
(
)
;
x y
là
(
)
0;1
và
(
)
2;4
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2002: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3
2
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
trong
ñ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có:
( )
( )
3
1
2 2
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
ðiều kiện:
( )
0
3
0
x y
x y
− ≥
+ ≥
Từ phương trình (1) tương ñương
( )
3 6
1 0
1
x y
x y x y
x y
=
− − − = ⇔
= +
Thay
x y
=
vào phương trình (2), giải ra ta ñược
1
x y
= =
Thay
1
x y
= +
vào phương trình (2), giải ra ta ñược
3 1
;
2 2
x y
= =
Kết hợp với ñiều kiện (3) ta có nghiệm của hệ phương trình
(
)
;
x y
là
(
)
1;1
và
3 1
;
2 2
Lời kết:
+ Qua hơn 10 năm thực hiện ñề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi ñã biên soạn và giới
thiệu ñến cộng ñồng một hệ thống những chuyên ñề luyện thi tuyển sinh ñại học của từng
năm.
+Tài liệu ñược sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung
tâm giáo viên Quốc Tuấn ñịa chỉ 157 ðặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -ðiện thoại:
0905671232-0989824932. Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi ñạy học có
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
14
-
uy tín trên ñịa bàn thành phố Huế. Luôn có những chính sách và những phương pháp giảng
dạy cũng như tính cập nhật hàng ñầu. Luôn mở các lớp, các nhóm dạy học chất lượng cao
với chi phí rẽ. ðặc biệt hưởng lợi ñược từ hàng ngàn tài liệu trên Xuctu.com và hàng trăm
Video Tutorial bài giảng ñược cấp phát miễn phí cho học viên tại trung tâm cũng như cộng
ñồng học sinh.
+ ðặc biệt trong năm học 2014-2015, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:
- Miễn phí ñến học một tuần ñể khẳng ñịnh chất lượng
- Giảm ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi ñến học
- Tặng ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi các học viên khác giới thiệu 1 học viên
ñến học
- ðược sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo ñầy kinh nghiệm luyện thi
- Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt ñối.
- ðược phép học tăng cường khi chưa hiểu bài
ðến tham quan và ñăng ký học tại ñịa chỉ trên hoặc tìm hiểu thông qua số ñiện thoại:
0905671232 hoặc website
Trân trọng và chúc các em học sinh sức khỏe và may mắn
