Đề thi thử Toán quốc gia lần 3 năm 2015

1



ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Đ
Ề
CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

Ngày thi: 20 tháng 01 năm 2015
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
42
21y x mx m   
(m là tham số,
m
).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2sin sin3 sin2 4cos sin3 2cos2 2.x x x x x x   

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
2
3
1

ln( 1)x
I dx
x



.
Câu 4 (1,0 điểm). Trong một bình đựng 8 quả cầu trắng, 7 quả cầu xanh và 9 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu
nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu lấy được gồm đủ cả ba màu.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
2 2 1
:
1 2 1
x y z
d
  


và
mặt phẳng
( ):3 2 5 0P x y z   
. Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và
viết phương trình đường thẳng

là hình chiếu vuông góc của d trên (P).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Các mặt bên (SAB)
và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, I là trung điểm SC. Cho AB = 2a, SA = BC = a, CD =
25a
. Gọi H là điểm thỏa mãn
1

5
AH AD
. Tính theo a thể tích tứ diện IBCD, tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng BH và SC.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có
tâm
(1; 2)I 
, bán kính
17
và đường thẳng BC có phương trình
3 5 30 0xy  
. Biết trực tâm H của
tam giác thuộc đường thẳng
:5 3 24 0d x y  
. Chứng minh
2AH IM
, với M là trung điểm đoạn
thẳng BC và tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
2 2 3 9 4 4 7, ( ).x x x x x      

Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
2 2 2
12abc  
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
1 1 1
1 1 1

P
abc
  
  
.

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh :…… …………………….; Số báo danh:……………………

1


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Đ
Ề
CHÍNH THỨC

(Đáp án – thang đi
ể
m có 5 trang)

Câu Đáp án Điểm
1
(2,0đ)
a) (1,0 điểm)
Khi m = 1 hàm số trở thành
42

2y x x
.
 TXĐ:
D 
.
 Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
' 4 ( 1)y x x
.
0
'0
1
x
y
x






.
0,25
- Các khoảng nghịch biến
( ; 1) 
và
(0;1)
; khoảng đồng biến
( 1;0)

và
(1; )
.
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 1
CT
xy   
; đạt cực đại tại
0,x 
y
CĐ
=0.
- Giới hạn:
lim lim
xx
yy
 
  
.
0,25
- Bảng biến thiên:
x

-1 0 1



y’ - 0 + 0 - 0 +
y


0




-1 -1

0,25
 Đồ thị:

0,25
b) (1,0 điểm)
Ta có
32
' 4 4 4 ( )y x mx x x m   
.

2
0
'0
x
y
xm






.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi
0m 
(*).
0,25

2

Các điểm cực trị của đồ thị là
22
(0; 1), ( ; 1), ( ; 1)A m B m m m C m m m       
. Suy ra tọa độ trung điểm của BC là
2
(0; 1)M m m  
.
0,25
2
,2AM m BC m
2
1
.
2
ABC
S AM BC m m  
.
0,25
Ta có phương trình
2
32 4m m m  
(thỏa mãn điều kiện (*)).
Vậy với

m  4
thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện
tích bằng
.32

0,25
2
(1,0đ)
Phương trình đã cho tương đương
   
sin sin cos sin sin cosx x x x x x    2 3 4 3 2 2 2 2 0

   
sin sin cos cos sin cosx x x x x x    2 3 2 2 2 0

(sin3 cos )(sin 2cos ) 0x x x x   

sin 2cos 0 (1)
sin3 cos 0 (2)
xx
xx






.
0,25
Ta thấy

cosx  0
không là nghiệm của phương trình
()1
.
cosx  0
,
(1) tan 2 arctan2 ( )x x k k

     
.
0,25
 
4
2 sin3 sin( ) ,( )
3
2
82
xk
x x k
k
x





  

    






.

0,25
Vậy phương trình có nghiệm
3
; ; arctan2 , ( )
4 8 2
k
x k x x k k
  

       
.

0,25
3
(1,0đ)
Đặt
2
2
3
2
2
ln( 1)
1
1

1
2
x
du dx
ux
x
dv dx
v
x
x















.
0,25
 
   
2

22
2
2
2 2 2 2
1
11
1 1 1
.ln 1 ln5 ln2
2 8 2
11
xx
I x dx dx
x
x x x x
       


.
0,25
Đặt
 
2
1
22
1
.
1
x
I dx
xx




Đặt
2
1
2
t x xdx dt  
.
1 1; 2 4x t x t     
.
 
4
44
1
11
1
1 1 1 1 1 1 8
ln ln
2 1 2 1 2 1 2 5
dt t
I dt
t t t t t

    

  


.

0,25
Suy ra
1 1 1 8 1 1 16 1 1 1
ln5 ln2 ln ln5 ln ln16 ln5 ln5
8 2 2 5 8 2 5 2 2 8
I

         



5
2ln2 ln5.
8
I  

0,25
4
(1,0đ)
Số phần tử của không gian mẫu là
4
24
( ) 10626.nC  

0,25
Gọi A là biến cố “4 quả cầu lấy được có đủ ba màu”.
Ta xét 3 trường hợp:
- Lấy được 2 quả cầu trắng, 1 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ :
0,25

3

2 1 1
8 7 9
. . 1764C C C 
(cách).
- Lấy được 1 quả cầu trắng, 2 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ:
1 2 1
8 7 9
. . 1512C C C 
(cách).
- Lấy được 1 quả cầu trắng, 1 quả cầu xanh, 2 quả cầu đỏ:
1 1 2
8 7 9
. . 2016C C C 
(cách).
 
1764 1512 2016 5292.nA    

0,25
 
5292 126
0,5
10626 253
PA   
.
0,25
5
(1,0đ)
Đường thẳng

d
đi qua
(2; 2;1)A 
có vectơ chỉ phương
(1;2; 1)u 
. Mặt phẳng
 
P
có vectơ pháp tuyến
(3; 2; 1)n   
.
0,25
Có
0nu
và
()AP
suy ra
/ /(P)d
.
0,25
Phương trình đường thẳng a đi qua
( ; ; )A 2 2 1

vuông góc với (P) có dạng
2 2 1
3 2 1
x y z  


.

Tọa độ giao điểm A’ của a và (P) là nghiệm hệ:

 
2( 2) 3( 2) 1
2 2( 1) 0 ' 1;0;2 .
3 2 5 0 2
x y x
y z y A
x y z z
     


      


    


0,25
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng

đi qua A’ song song với
d
có phương
trình là
12
1 2 1
x y z



.
0,25
6
(1,0đ)
Do (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với đáy nên
()SA ABCD
.
 
 
 
 
1
,,
2
d I BCD d S ABCD
1
22
a
SA
.
Gọi điểm
DNA

sao cho
DBC N
là
hình bình hành.
Suy ra
.

BC DN a
DC BN a







25

Xét tam giác vuông
ABN
có
2 2 2 2
16AN BN AB a  

45AN a AD a   
.

0,25
2 2 2
11
( 5 )2 6 , 5 .2 5
22
ABCD ABD BCD ABCD ABD
S a a a a S a a a S S S a        

3
2

1

3 2 6
IBCD
aa
Va
(đvtt).
0,25
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CE // BH (E thuộc AD) ta có
1
( , ) ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
2
d BH SC d BH SCE d H SCE d A SCE  

Kẻ
AF CE
tại F, AF cắt BH tại K. Kẻ AJ vuông góc với SF tại J suy ra
0,25

4

( ,( ))d A SCE AJ
.
Có
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 4
4
55
aa
AK AF

AK AH AB a a
       

2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 4
16
21
a
AJ
AJ AS AF a a
     

Vậy
12
( , ) ( ,( ))
2
21
a
d BH SC d A SCE
.
0,25
7
(1,0đ)
Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (I) suy ra IM là đường trung bình của tam giác
AA’H nên
2AH IM
. Mặt khác
,AH IM
cùng hướng suy ra
2AH IM

0,25
Tọa độ B, C là nghiệm hệ
22
( 1) ( 2) 17
3 5 30 0
xy
xy

   


  



Suy ra B(0; -6), C(5; -3) (hoặc C(0; -6), B(5; -3)).
0,25
Trung điểm M của BC có tọa độ
59
;
22
M




.
Trực tâm H của tam giác thuộc đường tròn
(C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến

2IM
T
,
với vectơ tịnh tiến có tọa độ
2 (3; 5)IM 
.
Từ biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến suy ra
phương trình đường tròn (C’) có tâm
 
;I 47

 
22
' :( 4) ( 7) 17C x y   
.



0,25
Vậy H là giao điểm của đường tròn (C’) và đường thẳng có phương trình
5 3 24 0xy  
nên ta có 2 điểm H thỏa mãn là H(3; -3) hoặc H(0;-8).
Suy ra
 
0;2A
hoặc
 
3; 3A 
.
0,25

8
(1,0đ)
Điều kiện:
39
.
24
x

0,25
Phương trình đã cho tương đương với
 
2
2 2 3 2 2 9 4 2 5 4 4 x x x x x x         

22
2
( 2) 4( 2)
2. ( 2)
2 3 1 9 4 5 2
xx
x
x x x x
   
   
     
(Mẫu khác 0
39
;
24

x




).
0,25
2
( 2) 0 2
24
1 0 (*)
2 3 1 9 4 5 2
xx
x x x x

   



  

     


0,25
Ta thấy
2 3 1 0
39
, ; .
24

9 4 5 2 0
xx
x
xx

   






   




phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2.
0,25

5

9
(1,0đ)

Á
p dụng bất đẳng thức
Cô-
si cho các cặp số dương ta có

22
32
1 1 2
1 (1 )(1 )
22
a a a a
a a a a
    
      

Dấu “=” xảy ra
2
0
1 1 .
2
a
a a a
a


     




Loại
0a 
vì
a
dương.
0,25
2
32
2
1 (1 )(1 )
2
b
b b b b

     
(Dấu “=” xảy ra khi b = 2)
2
32
2
1 (1 )(1 )
2
c
c c c c

     
(Dấu “=” xảy ra khi c = 2)
Suy ra
2 2 2
1 1 1
2

2 2 2
P
abc

  

  


0,25
2 2 2
9
2.
(2 ) (2 ) (2 )
P
abc

    
(Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2)
0,25
Suy ra
1P 
.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2. Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1.
0,25

(Chú ý. Nếu học sinh có cách giải khác mà kết quả đúng vẫn tính điểm tối đa.)
Hết