LUẬN văn tốt NGHIỆP DH sư PHẠM hà nội SKNN – phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm
nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa. Càng ngày
xã hội loài người càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang
đang ở trình độ cao nhất từ mà loài người chưa từng có. Do đó toán học
củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại.
Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Trong
đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các
bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính
chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức.
Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ
vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi
bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương
pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một
cách hợp lí mới giải được.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các
dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đề thi học
sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bất
đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy học
sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
1
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Trong thực tế ở trường THCS và THPT, học sinh gặp nhiều khó
khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán

chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một
phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài
toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS Và THPT còn có nhiều
hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và
không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .
Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính
chất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất
đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất
đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., một số
bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh
bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng
thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh,
giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói
riêng và bộ môn Toán nói chung .
Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng
dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số
phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi
nghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong được sự
góp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xin
chân thành cảm ơn!
2. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
- kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
2
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
- kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn
nhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương
trình vô tỉ.

3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Học sinh trung học cơ sở
- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó.
4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập
tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượng
học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ
học, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá
và học sinh trung bình về môn Toán
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất
đẳng thức ở chương trình toán trung học cơ sở
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
PHẦN I. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Để giải được bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài
toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp
bài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó
có thể tìm ra cách giải. Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng
khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn
luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài.

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
3
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng
rèn luyện và phát huy khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất
đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏi
phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn.
Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi

ngoài chương trình của các em học sinh trung học cơ sở. Nhưng việc các
em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi. Muốn làm được điều đó
đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic,
xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán. Đặc
biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài
toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đua ra phương pháp
chung cho các bài toán khác tuơng tự.
Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em
nắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận
dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không
nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành
được lôgic của toán học.
Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là
hạn chế. Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó
khăn đói với các em có học lực trung bình, khá.
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.
I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý.
1) Định nghĩa bất đẳng thức
+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
4
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a
≤
b,
+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a
≥

b ,
2) môt số tính chất của bất đẳng thức:
a) Nếu
a b>
và
b c>
thì
a c>
(tính chất bắc cầu)
b) Nếu
a b>
và
c
bất kì thì
a c b c+ > +
Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất
kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.
c) Nếu
a b c> +
thì
a b c− >
Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này
sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
d) Nếu
a b>
và
c d>
thì
a c b d+ > +
Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được

một bất đẳng thức cùng chiều.
Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
e) Nếu
a b>
và
c d<
thì
a c b d− > −
Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được
một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
f) Nếu
a b>
và
c 0>
thì
ac bc>
Nếu
a b>
và
c 0<
thì
ac bc<
Tức là:
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thf
bất đẳng thức không đổi chiều
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất
đẳng thức đổi chiều.

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin

K48
5
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
g) Nếu
a b 0> >
và
c d 0> >
thì
ac bd>
Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có
các
vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.

Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược
chiều.
h) Nếu
a b 0> >
thì
1 1
0
b a
> >
Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy
nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.
k) Nếu
a b 0> >
và
n
nguyên dưong thì
n n

a b>
Nếu
a b>
và
n
nguyên dưong thì
n n 1
a b
+ +
>
3. Một số bất đẳng thức thông dụng
+
2
2
A 0( A 0 A 0); A A≥ = ⇔ = =
+
A B B A B (B 0)≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥
+
A B
A B
A B
≥

≥ ⇔

≤ −

+
A B A B+ ≤ +
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

A, B
Cùng dấu
+
A B A B− ≤ −
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
A B 0≥ ≥
hoặc

A B 0≤ ≤
+
2 2
A B A B> ⇔ >
+
2 2
a 0 (a 0 a 0)≥ = ⇔ =

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
6
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
+
2 2
a b 2ab+ ≥
. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b=
)
+
a b
2
b a

+ ≥
(Với
a, b
cùng dấu)
Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào
từng dạng của bài toán. Sau đây là một số cách thường dùng.
II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
1. Pương pháp sử dụng định nghĩa
Để chứng minh
A B≥
(hoặc
A B>
) ta chứng minh
A B 0− ≥

(hoặc
A B 0− >
)
- Lưu ý : A
2

≥
0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
- Ví dụ :
Bài toán 1.1.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn
gọi là bất đẳng thức Ơclit )

a b
*

ab a,b R
2

+
≥ ∈
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
a b=
Thật vậy,

a b
2
ab a b 2 ab 0 ( a b) 0
2
+
≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥
Với mọi
a,b 0.≥
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
a b=
.
Bài toán 1.2. hoctoancapba.com
Chứng minh
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
 
 ÷
 
+ + + +

≥
với mọi số thực
a, b, c

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
7
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Phân tích:
Đây là một đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét
hiệu vế trái và vế phải.
Lời giải:
Xét hiệu

2 2 2
a b c
3
+ +
2
a b c
3
 
−
 ÷
 
+ +
=
2 2 2 2
3a 3b 3c (a b c)
9

+ + − + +
=
2 22
(a b) (b c) (c a)
0
9
− + − + −
≥
Vậy
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
 
 ÷
 
+ + + +
≥
Dấu “=” xảy ra
⇔
a b c= =
Do đó
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
 
 ÷
 
+ + + +

≥
Khai thác bài toán:
- Bằng phương pháp xét dấu của hiệu
A B−
ta xét được sự đúng đắn
của bất đẳng thức
A B≥
. Để ý rằng với 2 số thực bất kì
, u v
ta
củng có:

2
2 2
u v u v
2 2
 
 ÷
 
+ +
≥
- tương tự như chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau
Bài toán 1.3 .
Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x
2
+ y
2
+ z
2
+3

≥
2(x + y + z)
Lời giải:
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
8
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)

2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
Do (x - 1)
2

≥
0 với mọi x
(y - 1)
2

≥
0 với mọi y
(z - 1)
2

≥
0 với mọi z
=> H
≥
0 với mọi x, y, z
Hay x
2
+ y
2
+ z
2
+3

≥
2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
Khai thác bài toán:
Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau:
Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d + e)
Bài toán 1.4.
Chứng minh rằng:

a b
2
a
b
+ ≥
với mọi
a, b
cùng dấu

Lời giải:
Ta có:
2 2 2
a b 2ab (a b)
a b
2
a
b
ab ab
+ − −
+ − = =


a, b
cùng dấu
⇒

ab
> 0
⇒
2
(a b)
ab
−

≥
0
Vậy
a b
2

a
b
+ ≥
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b 0− =
hay
a b=
Khai thác bài toán :
1.4.1 Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
9
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Toán sau

.21xx-5
:cãta ,5x1 m·ntho¶ x mäi víir»ng minh Chøng
≥−+
≤≤
Hướng dẩn:
( )
( )( )
( )( )












=
=
≥−−⇔
≥−−+⇔≥≥−+⇔≥−+
1x
5x
khib»ng dÊu óng§ 01xx52
41xx524421xx-521xx-5
2
1.4.2
Chứng minh bất đẳng thức:
2
2
ab bc ca
c
+ +
<
với a ,b là cạnh
góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền.
Hướng dẩn:
Ta có :
ab + bc + ca < 2.c
2
hay ab + bc + ca < a
2

+ b
2
+ c
2
Xét: a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca =

( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2
1
2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca
2
1
a b (b c) (c a) 0
2
+ + − − − =
− + − + − >
Bài toán 1.5.
Chứng minh rằng nếu
. 1ab ≥
thì:

2
2
1 1 2
.
1 a
1 b 1 ab
+ ≥
+
+ +

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
10
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Phân tích:
Củng có thể xét hiệu 2 vế thì mới sử dụng được giả thiết
a.b 1≥

(
ab 1 0⇔ − ≥
)
Lời giải:
Xét hiệu:

2 2
2 2
2
2 2
1 11 1 2 1 1

1 a 1 a
1 b 1 ab 1 ab 1 b 1 ab
(b a) (ab 1)
0
(1 ab)(1 a )(1 b )

+
+ +
+ + + + +
− −
≥
+ + +
− = − + −
=

Khai thác bài toán:
- Với 3 số dương
a, b, c
mà
abc 1≥
, bất đẳng thức sau đúng hay
sai?
Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu
được, hãy phát biểu bài toán tổng quát.

2 2
2
1 1 1 3
1 a 1 c
1 b 1 abc

+ + ≥
+ +
+ +
- Với 2 số
x, y
mà
x y 0+ ≥
ta có:

2
y
x
x y
1 1
1 4
1 4
1 2
+
+ ≥
+
+
+
2. Phương pháp biến đổi tương đương
- Để chứng minh
A B≥
ta biến đổi tương đương

A B≥
⇔
…

⇔
C D≥
trong đó bất đẳng thức cuối cùng
C D≥
là một bất đẳng thức hiển

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
11
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức

A B≥
. Sau khi khẳng định được tính đúng đắn của bấtđẳng thức

C D≥
ta kết luận bất đẳng thức
A B≥
đúng
- Một số hằng đẳng thức thường dùng :
(A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
(A-B)
2
=A
2

-2AB+B
2
(A+B+C)
2
=A
2
+B
2
+C
2
+2AB+2AC+2BC
(A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
(A-B)
3
=A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B

3
Bài toán 2.1.
Chứng minh rằng
a, b, c, d R∀ ∈
thì

2 2 2 2 2
a b c d e a(b+c+d+e)+ + + + ≥
Lời giải.
Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:
(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

2 2 2 2 2 2
2 2
(a 4ab 4b ) (a 4ac 4c ) (a 4ad 4d )
+(a 4ae 4e ) 0
− + + − + + − +
− + ≥
2 2 2 2
(a 2b) (a 2c) (a 2d) (a 2e) 0 ⇔ − + − + − + − ≥ lµ h»ng ®óng
.
Bài toán 2.2.
Cho
a, b, c
là các số thực. Chứng minh rằng:

2 2
a b 1 ab a b+ + ≥ + +
Lời giải:
Bất đẳng thức

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
12
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

2 2
a b 1 ab a b+ + ≥ + +

⇔
2 2
(a b 1) 2(ab a b) 0+ + − + + ≥

⇔

2 2 2 2
(a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) 0− + + − + + − + ≥

⇔

2 2 2
(a b) (a 1) (b 1) 0− + − + − ≥
đúng

⇒
Điều cần chứng minh
Khai thác bài toán:
Tương tự như bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
Cho
a, b, c

là các số thực. Chứng minh rằng:

a b c 1 1 1
2
ca a c
bc ab b
 
 ÷
 
+ + ≥ + +
Bài toán 2.3.

x,y∀
chứng minh rằng

4 4 3 3
x y xy x y+ ≥ +
Lời giải:
Ta có:

4 4 3 3 3 3
2
2 2
x y xy yx x (x y) y (x y)
y 3y
(x y) (x ) 0
2 4
 
 
 

+ − − = − − −
= − + + ≥
Vậy
4 4 3 3
x y xy x y+ ≥ +
Bài toán 2.4.
Chứng minh rằng
3 3 3
a b c 3abc
0
a b c
+ + −
≥
+ +
(1)
Lời giải.
Ta có: (1)

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
13
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

( ) ( )
2 2 2
2 2 2
a b c a b c ab ac bc
0
a b c
1

(a b) (b c) (c a) 0 (2)
2
+ + + + − − −
⇔ ≥
+ +
⇔ − + − + − ≥
(2) đúng
⇒
(1) đúng
Bài toán 2.5.
Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2
a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc+ + + + + ≥
(1)
Lời giải:
(1)
2 2 2
(a bc) (b ac) (c ab) 0⇔ − + − + − ≥
(2)
(2) đúng
⇒
(1) đúng
Khai hác bài toán:
Tương tự như trên ta có thể chứng minh bài toán sau
2.5.1

3 3
2 2
Cho a 0; b 0 a b a b. :

a b ab 1.
> > + = −
+ + <
vµ Chøng minh r»ng
Hướng dẩn:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
3 3 3 3 2 2 2 2
3 3
3 3 2 2 3 3 2 2
3 3
3 3
2 2 3 3 3 3 3
3 3
a + b = a - b a - b a + b + ab = a - b a + b + ab
a - b
a - b a + b + ab = a - b a + b + ab =
a + b
a - b
VËy a + b + ab < 1 < 1 a - b < a + b 0 < b
a + b
2.5.2

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48

14
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

( )
cba
cba3
ac
ac
cb
cb
ba
ba
:cã lu«nta c b, a, d ong sè mäi víiminh Chøng
222222222
++
++
≤
+
+
+
+
+
+
+
+
Hướng dẩn:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )

( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
óng§0
cbac
abab
caba
bcbc
cbba
acac
cba
ac
acb
cb
cba
ba
bac
cba3
ac
ac
cb
cb
ba
ba
cbaTB§
222
222

222222
222
222222
≥
++
−
+
++
−
+
++
−
⇔
++≤
+
+
+
+
+
+
+
+
⇔
++≤









+
+
+
+
+
+
+
+
++⇔
3. Phương pháp quy nạp toán học
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1
bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n
0
)
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n
0
)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n
0
)
Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n
∈
N)
Thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học
- Ví dụ :
Bài toán 3.1.

Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.
Với
1 2 n n
a , a a R , n 2∈ ≥
thì

1 2
1 2
n
n
n
a a a
a .a a
n
+ +
≥
Lời giải:

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
15
n n n n n n
1 2 1 3 1 n
n n n n n n
2 3 2 n n 1 n
n 1
1 2 2 1
1 3 3 1 n n 1
n 1
n 1 n 1 n 1 n 1

1
n 1 n 1
n 1 n n n 1
(x x ) (x x ) (x x )
(x x ) (x x ) (x x )
(x x x x )
(x x x x ) (x x x x )
(x x x x ) (*)
−
−
−
− − − −
− −
− −
+ + + + + + +
+ + + + + + + +
≥ + +
+ + + + + +
+ +
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Ta dùng phương pháp quy nạp theo
n
:
• Với
n
=2 bất đẳng thức đả được chứng minh ở 1. (bất đẳng
thức Ơclit) hoctoancapba.com
• Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trứơc hết ta hãy xét
vài bất đẳng thức phụ. Nếu
1 2

x , x R
+
∈
thì

1 2 1 2
n 1 n 1
x x x x
− −
< ⇔ <
.
Vậy
1 2
x , x R
+
∀ ∈
thì ta luôn có (chuyển một bộ phận sang vế
phải, ta được)

n 1 n 1
1 2 1 2
n n n 1 n 1
1 2 1 2 2 1
(x x )(x x ) 0
x x x x x x .
− −
− −
− − ≥
+ ≥ +
Lấy

n
số thực không âm
1 2 n
x ,x x R ,
+
∈
viết các bất đẳng
thức tương ứng rồi cộng lại ta được:

Từ đó:

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
16
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

n n n
1 2 n
n 1 n 1 n 1
1 2 3 n
n 1
n
n 1
n 1
n 1 n 1
2 1 3
n 2 n 1
n 1 2
(n 1)(x x x )
x (x x x )

x (x x x )
x (x x x )
− − −
−
−
−
− −
− −
− + + + ≥
+ + + +
+ + + + +
+ + + +
(**)
Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với
1n−
số
thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung
bình nhân của chúng. Thế thì nói riêng ta có:

2
n 1 n 1 n 1
3 n
x x x
− − −
+ + +
≥
3
2 n
(n 1)x x x−

n 1 n 1 n 1
1 3 n
x x x
− − −
+ + +
≥
1 3 n
(n 1)x x x−
…………………………………………………


2 2
n 1 n 1 n 1
1 2 n 1 n 1
x x x (n 1)x x x
− − −
− −
+ + + −≥
Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cường các bất đẳng
Thức ( ** )

n n n
1 2 n
1 2 n
(n 1)(x x x ) n(n 1)x x x )− + + + ≥ −
Trong hệ thức này đặt
n n n
1 1 2 2 n n
x a ,x a , x a= = =

ta được

1 2 n
n
1 2 n
a a a
a .a a
n
+ +
≥
( đpcm )
Trong tất cả quá trình lý luận trên, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2 n
x x x= = =
tức là khi và chỉ khi
1 2 n
a a a= = =
Trong lý thuyết đả có một số bất đẳng thức được chúng minh bằng
phương pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, . . .)
Sau đây ta xét một số bài toán khác.

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
17
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Bài toán 3.2.
Tổng quát của bất đẳng thức
2
2 2

u v u v
2 2
 
 ÷
 
+ +
≥
Cho
a, b
là hai số dương, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n 2≥

Ta có:

n
n n
u v u v
2 2
 
 ÷
 
+ +
≥
Phân tích:
Việc xét hiệu trực tiếp không đạt được kết quả vì vậy chúng ta có thể
nghĩ đến cách sử dụng phương pháp quy nạp.
Lời giải:
Với
n 2=
ta có:

2
2 2
b a b
2 2
a
 
 ÷
 
+ +
≥
(bằng cách xét hiệu).
Giả sử bất đẳng thức đúng với
n k=
, tức là

k
k k
a b a b
2 2
 
 ÷
 
+ +
≥
Ta phải chứng minh bất đẳng thức củng đúng với
n k 1= +
, tức là

k 1
k 1 k 1

a b a b
2 2
 
 ÷
 
+
+ +
+ +
≥
Thật vậy,

k
k k
a b a b
2 2
 
 ÷
 
+ +
≥
⇔
k 1
k k
a b a b a b
.
2 2 2
 
 ÷
 
+

+ + +
≥
Ta chứng minh:

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
18
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

k 1 k 1
a b
2
+ +
+
≥
k k
a b a b
.
2 2
+ +

⇔

k 1 k 1
a b
+ +
+
k k
ab a b≥ +

⇔

k 1 k k 1 k
a a b b ab
+ +
− + −
0≥

⇔

k k
(a b )(a b) 0
− − ≥

⇔

2 k k 2 2 k k 1
(a b) (a a b ab b ) 0
− − −
− + + + + ≥
(đúng)
Khai thác bài toán:
a) Bài toán vẩn đúng trong trường hợp
a 0; b 0≥ ≥
b) Với
a b 2+ =
ta có
n n
a b
1

2
+
≥
Bài toán 3.3.

n N∀ ∈
,
n
>1, chứng minh rẳng:

1 1 1 13

n 1 n 2 2n 24
+ + + >
+ +
Lời giải:
Với
n 2=
tacó
1 1 7 14 13
VT VP
3 4 12 24 24
= + = = > =
Giả sử bất đẳng thức đúng với
n
, nghĩa là ta có:

1 1 1 13

n 1 n 2 2n 24

+ + + >
+ +
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với
n 1+
, nghĩa là phải chứng
minh:

1 1 1 13

n 1 n 2 24
2(n 1)
+ + + >
+ +
+

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
19
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Ta có
1 1 1 1 1
VT ( )
n 1 2n 2n 1 2n 2 n 1
= + + + + −
+ + + +

1 1 1 13
VP
n 1 2n 24
(2n 1)(2n 2)

= + + + > =
+
+ +

⇒
Bất đẳng thức đúng với
n 1+
Kết luận : bất đẳng thức đúng với
n N∀ ∈
,
n
>1.
Tương tự như trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau
1) Cho
a,b,c
là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh
huyền .
Chứng minh rằng:

2 2 2n n n
na b c N + ≤ ∀ ∈

2)
n
N∀ ∈
, Chứng minh rằng:

2 2n
2 2n 5
+

> +
3)
n N∀ ∈
,
n
>1, chứng minh rẳng:

2 2 2
1 1 1 1
2
n
1 2 n
+ + + < −
Bài toán 3.4. Chứng minh rằng với
( )
a,b,c,d,e 0;1∈
thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a b c d e− − − − − > − − − − −
Và hãy chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài
toán trên.
lời giải:
Ta sẻ chứng minh kết quả tổng quát sau đây
Với

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
20
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 n
1 2 n 1 2 n
a ,a , ,a 0;1 n 2
1 a 1 a 1 a 1 a a a
∈ ≥
⇒ − − − > − − − −
Chứng minh bằng quy nạp toán học theo
n
- Với
( ) ( )
1 2 1 1 2 1 2
n 2 1 a 1 a 1 a a a 1 a a= ⇒ − − = − + > − −
- Giả sử kẳng định đún với
n k=
, ta sẻ chứng minh khẳng định củng
đúng với
n k 1= +
Do khẳng định đúng với
( ) ( ) ( )
1 2 k 1 2 k
n k 1 a 1 a 1 a 1 a a a= ⇒ − − − > − − − −
Với
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k 1
1 2 k k 1 1 2 k k 1
0 1 1 a 0
1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a

−
+ +
< ⇒ − > ⇒
− − − − > − − − − −
Mà vế phải bằng

( )
1 2 k k 1 1 2 k k 1
0
1 2 k k 1
1 a a a a a a a a
1 a a a a
+ +
>
+
− − − − − + + + +
> − − − − −
1 4 4 2 4 4 3
( ) ( ) ( )
1 2 k 1 1 2 k 1
1 a 1 a 1 a 1 a a a
+ +
⇒ − − ≥ − > − − − −
Vậy khẳng định đúng với
n 2∀ >

4. Phương pháp tam thức bậc hai
a) Các tính chất của tam thức bậc hai thương dùng trong bất
đẳng thức
*.

2
F(x) ax bx c x R (a 0)= + + ∀ ∈ ≠

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
21
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

a 0
F(x) 0
0





>
≥ ⇔
∆ ≤
*.
a x b (x a)(x b) 0≤ ≤ ⇔ − − ≤
*.
2
2
4ac-b
F(x) ax bx c x R (a 0)
4a
= + + ≥ ∀ ∈ >
b) Phương pháp.
*> Phương pháp 1:

Để chứng minh bất đẳng thức
M N>
ta biến đổi

M N>
2
B 4AC 0 (A 0)⇔ − ≤ >

Xét tam thức
2
F(x) Ax Bx C = + +
ta chỉ cần chứng
minh
F(x) 0≥

x R∀ ∈
*> Phương pháp 2:
Để chứng minh bất đẳng thức
M N>
ta biến đổi

M N>
2
B 4AC 0⇔ − ≥
. Xét tam thức

2
F(x) Ax Bx C = + +
Ta chỉ cần chứng minh:
0 0

x /aF(x ) 0∃ ≤
*> Phương pháp 3:
Để chứng minh bất đẳng thức
M N>
ta biến đổi

M N>
⇔
2
Ax Bx C 0 x+ ≥ ∀±
và chỉ cần chứng minh:

2
B 4AC 0
A 0





− ≤
>
Bài toán 4.1.
Cho
,a b
là các số thoả mản điều kiện

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
22

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

2 2
a a 2b 4b 4ab 0− + + − ≤
(1)
Chứng minh rằng
0 a 2b 1≤ − ≤
Phân tích
Để ý rằng bất phương trình bậc hai
2
1 2
at bt c 0 (a 0) t t t+ + ≤ > ⇔ < <
trong đó
1
t
,
2
t
là các nghiệm của
tam thức
2
at bt c+ +
ta có lời giải sau.
Lời giải:
(1)
2 2
a 4ab 4b (a 2b) 0⇔ − + − − ≤

2
(a 2b) (a 2b) 0⇔ − − − ≤

Đặt
2
t a 2b t t 0 0 t 1 0 a 2b 1= − ⇒ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤
Khai thác bài toán:
Ta đã dùng định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này.
nên ta có thể giải các bài toán sau bằng một phương pháp khác
đơn giản:
Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của các biểu thức:

2
2
2
x 2x 2003
y
x
y x 3x 2
+ +
=
= − + −
Căn cứ vào đặc điểm Parabol
2
y a.x bx c= + +
với
a 0>
(
a 0<
) quay
bề lõm lên trên (xuống dưới), do đó đỉnh
b
S ,

2a 4a
 
 ÷
 
− −∆
là điểm có tung độ
bé nhất (lớn nhất), ta có thể thêm một cách tìm giá trị lớn nhất (bé nhất)
của các bểu thức có dạng

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
23
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

2
y a.x bx c= + +
(
a 0≠
)
Bài toán 4.2.

x,y R∀ ∈
, chứng minh bất đẳng thức sau:

2 4 2 2 2 3
x y 2(x 2)y 4xy x 4xy+ + + + ≥
(1)
Lời giải:
(1)
⇔

2 2 2 2 2
(y 1) x 4y(1 y )x 4y 0+ + − + ≥

2 2 2 2 2
F(x) (y 1) x 4y(1 y )x 4y= + + − +

2 2 2 2 2 2'
4y (1 y ) 4y (y 1)∆ = − − +

2'
16y∆ = −

'
f(x) 0
0
x,y R
y R




 
 


≥
∆ ≤
⇒
∀ ∈

∀ ∈
Bài toán 4.3.
Với
a,b,c,d R∈
, chứng minh bất đẳng thức sau:

2
(a b c d) 8(ac bd)+ + + > +
. (1)
Lời giải:
(1)
2 2
a 2(b 3c d)a (b c d) 8bd 0
a R;b c d





+ − + + + + − >
⇔
∀ ∈ < <
Xét tam thức
2 2
F(a) a 2(b 3c d)a (b c d) 8bd= + − + + + + −

2 2'
(b 3c d) (b c d) 8bd
'
8(c b)(c d)

'
0 F(a) 0 a R
∆ = − + − + + =
∆ = − −
∆ < ⇒ > ∀ ∈
Vậy (1) đúng

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
24
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Bài toán 4.4.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski.
Cho
n
cặp số thực bất kì
i i
a , b , i =1, ,n.
thế thì
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
(a b a b a b ) (a a a )(b b b )+ + + ≤ + + + + + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số
k R∈
sao cho

1 1
b ka=
,
2 2

b ka=
, …,
n n
b ka=
Lời giải:
Với
x R∀ ∈
ta có:

2
(a x b ) 0
1 1
− ≥
……………….

2
(a x b ) 0
n n
− ≥
Từ đó suy ra:

2 2 2
1 1 1 1
a x 2a b x b 0− + ≥
…………………………

2 2 2
a x 2a b x b 0
n n n n
− + ≥

Cộng vế với vế ta được

2 2 n 2
1 2 n 1 1 2 2
2 2 n
1 2 n
(a a a )x 2(a b a b a b )x
n n
(b b b ) 0
+ + + − + + +
+ + + + ≥
Vế trái là một tam thức bậc hai
( )
2 '
f x Ax 2B x C= − +
với
A 0≥
Và
f(x) 0 x R≥ ∀ ∈
nên nếu
A 0>
thì

2
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n
' '
B AC (a b a b a b )
n n

(a a a )(b b b ) 0
∆ = − = + + + +
+ + + + + + ≤

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48
25