chuyên đề tìm chữ số cuối cùng của một lũy thừa

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LUỸ THỪA
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Các dạng toán liên quan đến luỹ thừa trong chương trình số học 6 có thể khai thác
ở nhiều khía cạnh. Ngoài những dạng toán như so sánh luỹ thừa, tính giá trị các
biểu thức luỹ thừa, tìm x thoả mãn một đẳng thức luỹ thừa, chứng minh tính chia
hết,… thì tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa cũng là một trong những dạng toán hay
có thể khai thác để giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu hơn các công thức liên quan
đến luỹ thừa, một mặt vừa luyện được kỹ năng biến đổi biểu thức hợp lý, vừa vận
dụng được những kiến thức các em được học ở tiểu học biết xác định chữ số tận
cùng của một tổng , một tích, vừa có thể liên hệ với việc xác định quan hệ chia hết
hay chia có dư với các số đặc biệt như 5, 10, 25, 100,
Khai thác được các kỹ năng đó góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho học
sinh, rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Nội dung chuyên đề
Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của A
n
, n
¹
0
*Nhận xét:
“Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A
n
cũng là chữ số tận
cùng của a
n
”.
Từ nhận xét suy ra:
1)Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì A
n

có chữ số tận cùng tương ứng là 0,
1, 5, 6
2)Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A
2k
có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1
3)Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A
4k
có chữ số tận cùng tương ứng là 6,
1, 1, 6
*Áp dụng:
VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
19
2008
; 12
100
;

12
103

Lời giải:
a) 19
2008
=19
2.1004
=(19
2
)
1004
=361

1004
361
1004
có tận cùng là 1

⇒
19
2008
có tận cùng là 1
b) 12
100
=12
4.25
=(12
4
)
25
1
12
4
có tận cùng là 6

⇒
(12
4
)
25
có tận cùng là 6
Vậy 12
100

có tận cùng là 6
c)

12
103
=12
3
. 12
102
có tận cùng là 8.
VD2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
17
2007
, 19
21
; 13
1003
Lời giải:
Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A
2k
, A
4k
để vận dụng
các ý trong nhận xét ở trên đ ây.
Thật vậy, 17
2007
=17. 17
2006
=17. 17
4.501

=17.(17
4
)
501
17
4
có tận cùng là 1
(17
4
)
501
có tận cùng là 1
17.(17
4
)
501
có tận cùng là 7
Vậy 17
2007
có tận cùng là 7.
Tương tự
19
21
=19. 19
2.10
suy ra 19
21
có tận cùng là 9.
13
1003

=13
3
. 13
4.250
suy ra 13
1001
có tận cùng là 7.
VD3: Chứng minh rằng 33
66
+77
55
– 2 chia hết cho 5
Lời giải:
Ta chứng minh 33
66
+77
55
-2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết
cho 5
Thật vậy, 33
66
có cùng chữ số tận cùng với 3
66
, mà 3
66
=9
33
=9.9
2.16
suy ra 3

66
có tận
cùng là 9, 77
55
có cùng chữ số tận cùng với 7
55
, vì 7
55
=7
3
.7
4.13
nên 7
55
có tận cùng là
3. Do đó 33
66
, 77
55
có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 33
66
+77
55
– 2 tận cùng
là 0 (đpcm)
Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của A
n
, n
¹
0

*Nhận xét:
1) Giả sử A có hai chữ số tận cùng là
ab
, B có hai chữ số tận cùng là
cd
Khi đó A.B và
ab
.
cd
có cùng hai chữ số tận cùng.
2) “Nếu hai chữ số tận cùng của A là
ab
, thì hai chữ số tận cùng của A
n
cũng là hai
chữ số tận cùng của
ab
n
”
Đặc biệt các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có
tận cùng lần lượt bằng 01, 25,76.
*Áp dụng:
2
VD1:Tìm hai chữ số tận cùng của
4001
2
7
Lời giải: Ta có
4001
2

7
=
3999
4.2
7
=
3999
2
2401
có hai chữ số tận cùng là 01
VD2: Chứng minh rằng
4 1
2
7
n
+
+
4 1
3
4
n+
- 65 chia hết cho 100
Lời giải: Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của
4 1
2
7
n
+
+
4 1

3
4
n+
- 65 sẽ là 00.
Thật vậy,
4 1
2
7
n
+
=
4
2.2
7
n
=
4
2.2
7
n
=
4.
7
k
=
2401
k
có hai chữ số tận cùng là 01
Mặt khác
4 1

3
4
n+
=
3.81
4
n
=
10 3
4
l
+
=4
3
.
10
4
l
= 64.
10
4
l
,

10
4
l
=
2
1024

l
,
2
24
l
=
576
l
, mà
76
l
có hai chữ số tận cùng là 76, do đó
4 1
3
4
n+
= 64.
10
4
l
và 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra
4 1
3
4
n+
có hai chữ số
tận cùng là 64.
Vì vậy
4 1
2

7
n
+
+
4 1
3
4
n+
- 65 có hai chữ số tận cùng là 00
Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của A
n
, n
¹
0
*Nhận xét:
“Nếu 3 chữ số tận cùng của A là
abc
, thì ba chữ số tận cùng của A
n
cũng là ba chữ
số tận cùng của
abc
n
”
Đặc biệt các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng
có tận cùng lần lượt bằng 001, 376, 625
*Áp dụng:
VD: Tìm 3 chữ số tận cùng của 5
2008
Lời giải:

5
2008
=5
4.502
=(5
4
)
502
5
4
có tận cùng là 625
suy ra (5
4
)
502
có tận cùng là 625
Vậy 5
2008
có 3 chữ số tận cùng là 625
2. Giáo án thực hiện tiết 1
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Nội dung
Treo bảng phụ
Y/c HS điền thông tin
còn thiếu trong bảng phụ
Học sinh quan sát bảng phụ, suy
nghĩ, phát biểu
1. Tìm một chữ số tận
cùng của luỹ thừa
3
Gv nx chốt lại, bước đầu

gợi mở pp tìm chữ số tận
cùng của một luỹ thừa
Y/c HS làm VD1
Gọi một HS nêu cách
làm, GV HD trình bày
mẫu một ý
Gọi tiếp 3 HS lên bảng
trình bày các ý còn lại
Cho HS nx, chữa bài
GV chốt lại
*Khai thác: 2
4k+3
có tận
cùng là gì?
*Gv định hướng cách
tìm cstc của luỹ thừa
Ra VD2
Y/c HS nêu phương
pháp giải
Gv chốt lại PP
Yêu cầu HS trình bày
từng phần lời gải a)
HS1: tìm cstc của 12
100
HS2: tìm cstc của 19
21
và
KL
Gọi một HS trình bày
b)

Hs trình bày theo mẫu:
4
2k
= (4
2
)
k
= 16
k
16
k
có tận cùng là 6
⇒
4
2k
có tận cùng là 6
Các ý khác học sinh trình bày
tương tự
Trả lời:
2
4k+3
= 2
4k
.2
3
= 2
4k
.8
2
4k

có tận cùng là 6
⇒
2
4k+3
có tận cùng là 6
PP:Tìm chữ số tận cùng của
biểu thức cần c/m chia hết
2HS lần lượt lên hoàn thiện a)
* 12
100
=12
4.25
= (12
4
)
25
12
4
có tận cùng là 6

⇒
(12
4
)
25
có tận cùng là 6

⇒
12
100

có tận cùng là 6
* 19
21
= 19.(19
2
)
10
19
2
có tận cùng là 1
⇒
(19
2
)
10
có tận cùng là 1
⇒
19.(19
2
)
10
có tận cùng là 9
⇒
19
21
có tận cùng là 9
* Vậy 12
100
+ 19
21

có tận cùng là
5
⇒
12
100
+ 19
21
chia hết cho 5
b) HS trình bày tương tự
VD1: Tìm chữ số tận
cùng của luỹ thừa sau:
a) 4
2k
; 9
2k
( k
¹
0)
b) 2
4k
; 3
4k
; 7
4k
;8
4k

( k
¹
0)

VD2: Chứng minh
rằng:
a) 12
100
+ 19
21
chia hết
cho 5
b) 33
66
+77
55
- 2 chia
hết cho 10
VD3: Tìm n sao cho
9
n
+4
n
=5
n
+6
n
4
Ra VD3
Y/c HS nêu phương
pháp giải ( hoặc GV gợi
mở)
Gv dẫn dắt HS phân chia
TH và trình bày lời giải

PP: Chứng tỏ chỉ có duy nhất
n =0 thoả mãn, n
¹
0 không
thoả mãn bằng cách so sánh chữ
số tận cùng của hai vế.
Nhận xét: n =0 thoả mãn
Nếu n>0
5
n
+6
n
luôn tận cùng là 1
Th1: n chẵn
9
n
tận cùng là 1, 4
n
tận cùng là 6
⇒
9
n
+4
n
tận cùng là 7
⇒
mâu
thuẫn
Th2: n lẻ
9

n
=9.9
n-1
tận cùng là 9
4
n
=4.4
n-1
tận cùng là 4
⇒
9
n
+4
n
tận cùng là 3
⇒
mâu
thuẫn
Vậy chỉ có n=0 thoả mãn.
*Củng cố:
Phương pháp tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa
Vận dụng trong bài toán chứng minh chia hết cho 5, cho 10; tìm số dư trong
phép chia cho 5, cho 10
*Hướng dẫn HS nghiên cứu tiếp:
Tìm hai, ba chữ số tận cùng của một luỹ thừa
Đọc thêm NC&PT 6 tr 62-63
Bài tập:
1. Chứng minh: 17
5
+24

4
-13
21
M
10
2. Chứng minh:
a) 7
4n
-1
M
5
b) 9
2n+1
+1
M
10
3. Chứng minh: 7
1999
-43
M
100
5
Nội dung bảng phụ:
Luỹ thừa
4
2
9
2
2
4

3
4
7
4
8
4
A0
n
A1
n
A5
n
A6
n
Chữ số tận
cùng
Ghi chú
n
¹
0
Đáp án bảng phụ:
Luỹ thừa
4
2
9
2
2
4
3
4

7
4
8
4
A0
n
A1
n
A5
n
A6
n
Chữ số tận
cùng
6 1 6 1 1 6 0 1 5 6
Ghi chú
n
¹
0

C. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trên đây là các bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa giải bằng phương
pháp số học lớp 6. Vấn đề này sẽ được nghiên cứu đầy đủ hơn bằng cách dùng các
hằng đẳng thức ở lớp 8 sau này.
D. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Như vậy việc đi tìm một, hai, ba hay nhiều hơn nữa các chữ tận cùng của một luỹ
thừa đều dựa trên một ý tưởng là tìm cách liên hệ luỹ thừa đã cho với các luỹ thừa
đã biết quy luật về chữ số tận cùng (như đã nêu trong các nhận xét trên), cần rèn
luyện cho học sinh các kỹ năng phân tích luỹ thừa để thực hiện ý tưởng đó. Việc tìm
được các chữ số tận cùng sẽ có ứng dụng cho nhiều bài toán hay, trong phạm vi của

chuyên đề tôi đã nêu ứng dụng trong một số bài toán chia hêt, đề nghị các đồng
nghiệp cùng trao đổi góp ý cho tôi về chuyên đề này. Tôi xin trân thành cảm ơn!

Bình Giang, ngày… , tháng …., năm…….
Người viết chuyên đề:
6