CHU SO TAN CUNG CUA MOT LUY THUA

A Những vấn đề chung
I Lý do chọn đề tài
Là một GV giảng dạy môn toán ở trờng THCS Chất Lợng Cao, ngoài việc làm
cho mọi đối tợng học sinh nắm rõ kiến thức cơ bản trong chơng trình THCS bản
thân tôi xác định bồi dỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ hàng đầu của mỗi ngời giáo
viên trong nhà trờng. Vì vậy trong những năm dạy học ở nhà trờng tôi đã thực hiện
đợc nhiều chuyên đề, đề tài, sáng kiến kinh nghiệm trong việc bồi dỡng học sinh
giỏi: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa là một trong những đề tài mà tôi đã
nghiên cứu với mục đích cho học sinh cả lớp vận dụng đợc lý thuyết về luỹ thừa, đặc
biệt là với những em có năng khiếu về môn toán để sau này sẽ vào đội tuyển học
sinh giỏi. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa là ứng dụng của phép luỹ thừa, từ
các đặc điểm của một số luỹ thừa đặc biệt 1; 2; 3 hoặc 4 chữ số tận cùng của một
luỹ thừa bởi trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần
biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó.
Trong khi tìm chữ số tận cùng của một tích một luỹ thừa học sinh đã biết vận
dụng tính chất của một tích các số (lẻ, chẵn) tích của một số với một số tận cùng là
0; 5 một số các số với chữ số tận cùng khi nâng lên luỹ thừa nào cũng giữ nguyên
chữ số tận cùng, tính chất của một số chính phơngNh vậy học sinh đợc rèn luyện
một cách linh hoạt, tính nhanh khi đọc một bài toán đã có thể xác định đợc sử dụng
tính chất nào của luỹ thừa, tìm một số tận cùng thì áp dụng nhận xét nào 2; 3; 4 chữ
số tận cùng thì áp dụng nhận xét nào.
Trong dạy toán chứng minh chia hết hoặc tìm số d trong một phép chia thì
vận dụng tính chất về luỹ thừa cũng là một cách làm đợc sử dụng một cách rất phổ
biến.
Để học sinh có thể nắm vững về vận dụng một cách có nhiệu quả tất cả những
dạng toán đó không chỉ cần đến sự nỗ lực cố gắng của học sinh mà ngời giáo viên
cần phải có kiến thức vững chắc, đào sâu nôi dung kiến thức tìm những ví dụ các
dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát để học sinh biết vận
dụng và vận dụng sáng tạo khi gặp các dạng bài tơng tự. Làm đợc những điều đó
không chỉ học sinh mà giáo viên còn đợc nâng cao về kiến thức, t duy thích hợp.
Với những lý do trên nên trong năm học vừa qua tôi đã đi sâu nghiên cứu vấn đề tìm

chữ số tận cùng của luỹ thừa. Coi đó là một kinh nghiệm nhỏ trong quá trình ôn thi
học sinh giỏi ở trờng THCS Chất Lợng Cao.
1
II Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu vấn đề này trong chơng trình THCS chỉ giới hạn ở mức độ học
sinh biết vận dụng tính chất của luỹ thừa tìm đợc 1; 2 chữ số tận cùng của một số,
một biểu thức. Trờng hợp 3; 4 số tận cùng không phổ biến, chỉ sử dụng với một số
trờng hợp đặc biệt. Biết vận dụng để chứng minh chia hết và tìm số d trong một phép
chia.
Đối với giáo viên cần nắm chắc, sâu kiến thức. Bên cạnh đó cần tìm tòi, su
tầm tài liệu để có một hệ thống tài liệu phù hợp phong phú giúp học sinh có hứng
thú trong học tập và vận dụng tốt.
III - Đối tợng nghiên cứu
1- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp 6 A trờng THCS Chất Lợng Cao, Mai
Sơn.
2- Cơ sở ngiên cứu trờng THCS Chất Lợng Cao, Mai Sơn.
IV Ph ơng pháp nghiên cứu
- Nêu và giải quyết vấn đề
- Phơng pháp vấn đáp
- Phơng pháp đánh giá và tổng kết kinh ngiệm
V Lịch sử nghiên cứu

Tìm chữ số tận cùng của một tích một luỹ thừa là một nội dung đợc đề cập
đến trong lý thuyết về luỹ thừa nhng chiếm lợng kiến thức không nhiều tuy nhiên
vận dụng vào giải các bài tập tơng đối phong phú và đợc xuyên suốt trong chơng
trình số học đại số ở THCS vì vậy có nhiều tài liệu đề cập. Nghiên cứu vấn đề này,
bản thân tôi là một giáo viên trờng phải bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi vì vậy tôi
2
muốn đi sâu nghiên cứu mảng này một cách cụ thể hơn với đối tợng học sinh của
mình, giúp các em có đợc nhận thức sâu rộng hơn, góp phần nâng cao chất lợng và

số lợng đối tợng học sinh giỏi hàng năm.
B. Nội dung
I. Cơ sở lí luận
Trong thực tế nhiều khi ngời ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần
biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn khi so xổ số muốn biết có
trúng những giải cuối hay không ngời ta chỉ cần so hai chữ số cuối cùng. Trong toán
học khi xét một số chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta chỉ
cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó. Việc tìm 1, 2, 3 chữ số tận cùng của một
số ta chỉ có thể căn cứ:
- Tích các số lẻ với lẻ, lẻ với chẵn, lẻ với số tận cùng bằng 5, tích một số với số
tận cùng bằng 0
- Với luỹ thừa: các số đặc biệt có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào
(khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng.
- Các số nâng lên luỹ thừa 4n
- Tính chất của các số chính phơng.
Trên cơ sỏ lí thuyết đó học sinh có những bớc biến đổi để đa về dạng các luỹ
thừa đặc biệt trên, từ đó xác định đợc chữ só tận cùng của một tích, một luỹ thừa
một biểu thức.
II. Cơ sở thực tiễn:
Lí thuyết về luỹ thừa rất rõ ràng, cụ thể tuy nhiên quá trình vận dụng kết hợp
các nhận xét trên để biến đổi đa về dạng cụ thể là một vấn đề tơng đối khó, nhất là
đối với học sinh lớp 6, nhiều em còn rất lúng túng trong quá trình vận dụng: đa số
học sinh bớc đầu rất khó khăn để từ một số cụ thể đã cho sử dụng nhận xét nào, biến
đổi theo hớng nào để tìm chữ số tận cùng đặc biệt đối với những số phức tạp nh luỹ
thừa tầng hoặc luỹ thừa của những số chứa chữ, với học sinh đây là vấn đề trừu tợng
khó định hớng.
3
Đối với giáo viên: Đội ngũ giáo viên trong tổ có 7 đồng chí, 100% trình độ
đại học đều yêu nghề, ý thức trách nhiệm cao trong công việc, chuyên môn nghiệp
vụ vững vàng. Tuy nhiên số giáo viên trực tiếp bồi dớng học sinh giỏi cha nhiều

trong đó có một số đồng chí mới nhận lớp chuyên nên kinh nghiệm cha nhiều, vì
vậy công việc trao đổi học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau phần nào còn hạn chế. Sự hỗ
trợ cho nhau trong việc tìm tòi tài liệu, bài tập hay cha nhiều.
Trên cơ sở thực tế từ giáo viên và học sinh tôi đã có những nghiên cứu điều
tra, chuẩn bị từ đầu năm học nh nắm bắt chất lợng chuyên môn, dự kiến các đối t-
ợng học sinh vào đội tuyển. Su tầm, nghiên cứu tài liệu trao đổi nắm bắt tình hình
với các đối tợng học sinh, các giáo viên cùng bộ môn trong tổ để đề tài đợc hoàn
thành có hiệu quả nhất.
III. Những biện pháp tiến hành:
1. Điều tra học sinh đầu năm.
Tổng số Học lực
35
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
18 15 10 1 0
29.4% 44,1% 23,56% 2,94% 0
Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học tập đợc gia đình nhà trờng giáo
viên tạo điều kiện về tài liệu, thời gian và tinh thần để các em tập trung vào học tập
2. Điều tra mức độ hứng thú học tập của học sinh.
Tổng số Thích Không thích Bình thờng
35 25 3 7
Qua điều tra tôi nhận thấy đa số các em đều yêu thích bộ môn, có ý thức thái
độ học tập đúng mực, một số em đạt kết quả cao trong học tập có hứng thú, yêu
4
thích bộ môn, tuy vậy còn một số em hạn chế về nhận thức nên dẫn đến không có
hào hứng trong học tập.
3. Những nguyên nhân của tồn tại:
Sự nhận thức và chuyên cần của học sinh không đồng đều, một số ít học sinh
do hạn chế về nhận thức nên có tâm lí không thích học bộ môn đặc biệt là với những
chuyên đề nâng cao, bởi đây là vấn đề khó đoì hỏi học sinh trớc tiên phải có ý thức,
hào hứng trong học tập từ đó cùng độ t duy nhạy bén sự tìm tòi học hỏi nhiều, nhng

với những học sinh trung bình cha làm đợc điều đó. Vì vậy vai trò ngời thầy rất quan
trọng, thầy ngoài việc truyền thụ, chuyển tải kiến thức còn phải luôn động viên, gần
gũi tạo không khí cởi mở biết khích lệ đúng lúc để các em tự tin, yêu thích bộ môn,
từ đó nâng cao chất lợng học tập cho các em.
4. Những biện pháp tiến hành
I. Lí thuyết

1. Định nghĩa: a
n
= a.a.aa (n

0)
a: cơ số, n: số mũ.
Các tính chất: a
m
.a
n
= a
m + n
a
m
: a
n
= a
m n
(a

0, m

n)

Nhận xét:
a/ Tích các số lẻ là một số lẻ.
- Tích một số có tận cùng là 5 với bất kì số nhiên lẻ nào cũng có tận cùng là 5.
5
n thừa số