Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm,giới hạn hàm số

I/Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm
A- Các kiến thức cơ sở:
1- Định nghĩa: Cho HS y = f(x) XĐ trên khoảng (a;b); x
0

( )
ba;
∈
. Giới hạn hữu hạn của tỉ số
0
0
)()(
xx
xfxf
−
−
khi x dần tới x
0
gọi là đạo
hàm của HS đã cho tại điểm x
0
, kí hiệu là f
’
(x
0
), nghĩa là

( ) ( )
x
y

xx
xfxf
xf
xxx
∆
∆
=
−
−
=
→∆→
00
0
0
0
0
'
limlim)(
.
2- Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của HS tại một điểm chính
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị HS tại điểm đó.
3- PTTT tại điểm
( )( )
000
; xfxM
có PT là:
y =
( )( ) ( )
000
'

xfxxxf
+−
4- Ý nghĩa cơ học, vật lí của đạo hàm: v(t) = S
’
(t); a(t) =
( )
tS
''
5- Một số công thức đạo hàm các HS thường gặp:
( )
( )
x
yxxy
xnynNnxy
yxy
yay
nn
2
1
0
.2;
1
0
'
1'
'
'
=⇒>=
=⇒≥∈=
=⇒=

=⇒=
−
6- Các qui tắc tính đạo hàm:

( )
( )
( )
'''
2
''
'
''
'
''
'
.


xu
ufxg
v
vuvu
v
u
vuvuvu
vuvu
=
−
=







+=
±=±
7- Đạo hàm của các HS lượng giác:

( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
2
'
2
'
'
'
sin
1
cot
cos
1

tan
sincos
cossin
−
=
=
−=
=
8- Đạo hàm cấp cao:
( ) ( )
[ ]
'
1−
=
nn
ff
với
2;
≥∈
nNn
B- Bài tập áp dụng
Bài1: Cho hàm số y = 2x
2
+ 3x – 3 . tính hệ số góc của cát tuyến AB
a) A(1; 2) ; B(1 +
yx ∆+∆ 2;
) với
x∆
lần lượt bằng 0,001; 0,01; 0,2
b) A(-1; -4) ;

( )
¦
4;1 yxB ∆+−∆+−
với
x
∆
lần lượt là 0,001; 0,01;
0,2.
Bài2: Tính đạo hàm các hàm số sau bằng định nghĩa:
a) y = 3x
2
- 2x + 2 tại x
0
= 1; x
1
= 4
b) y =
2
54
+−
+
x
x
tại x
0
= 5 ; x
1
= 0.
c) y =
3

2
++ xx
tại x
0
= 2.
Bài3: cho chuyển động có PT s= 3t
3
+2t – 4
a) Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian
1,0;01,0 =∆=∆ tt
b) Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm t= 1s, t= 4s, t= 10s
c) Tính thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
d) Tính thời điểm gia tốc đạt giá trị bằng 5m/s
2
,
Bài4: Tính các đạo hàm của các HS sau bằng định nghĩa:
a) y = 2x
2
+ 3x – 3 h) y = -3x
3
– 3x +2
b) y = x
4
+ 3x
2
– 2 k) y = 5x
5
+ x
3
c)y =

23
1
+x
f) y =
2
54
+−
+
x
x
d)y =
1
32
2
−
+−
x
xx
i) y =
5
−
x
e)y =
53
2
++
xx
j) y = sin3x
g)y = cos(2x -
3

π
).
Bài5: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = 3x
3
+ 6x -2 g) y =
( )
5
2
133 −+ xx
b) y =
1
5
4
3
2
2
234
−+−
xxx
h) y =
( )( )
22
351 xx −+
c) y =x(2x -1)(3x +2)(5 – 4x) k) y =
( )
( )( )
531
32
−++ xxx

d) y =
( )( ) ( )
32
13422 +−+ xxx
i) y =
35
45
+
−
x
x
e) y =
5
133
2
+
+−
x
xx
ị) y =
43
1
2
+−
−
xx
x
f)y =
1
4

2
2
+−
+−
xx
xx
Bài6: Tính đạo hàm các HS sau:
a) y =
23
2
+− xx
b) y =
4.
2
++
xxx
c) y =
22
ax
x
−
d) y =
48
52
−
+
x
x
b) y =
1

2
2
+
++
x
xx
e) y =
( )
41
22
++
xx

c) y =
1
1
2
+
x
h) y =
1
43
2
2
+−
+−
xx
xx
k) y =
x

+
1
i) y = x +
1
2
+
x
j) y =
1
2
++
xx
m) y =
( )
11
2
+−+ xxx
Bài7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = 3sin(3x
2
+2x-1) b) y = 3.sin
2
x. sin3x
c) y = sin
2
x. cos
3
x d) y = sin
2
x – cos

3
3x
f) y =
xx
xx
cossin
cossin
+
−
e) y =
( )
3
cossin xx
+
g) y =
x4sin1
+
h) y = tan
3
x – 4tan
2
x +5tanx -1
k) y = sin
4
2
x

i) y =
)
4

2(tan
3
π
+x

j) y =
12sin2
3
−
x
n) y =
x
x
x
x sin
sin
+
m) y = sin
2
1 x+
p) y =
( )
x3cossin
2
q) y =
x
xx
tan1
sin.
+

l) y = tan
2
1
2
+
x
Bài8: CMR các HS sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x:
a) y =
xxxx
2266
cos.sin3cossin
++
b) y =
xxxxx
22222
sin2
3
2
cos
3
2
cos
3
cos
3
cos −







++






−+






++






−
ππππ
Bài9: Giải PT f
’
(x) = 0 biết
f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
Bài 10: Tính đạo hàm cấp cao của mỗi hàm số sau:

a) f(x) =
( )
6
2
10
+
x

( )
xf
''
b) f(x) = cos
2
x f
(4)
(x)
c) f(x) =
x
+
1
1
f
(n)
(x)
d) f(x) =
( )
1
2
+
xx

f
(n)
(x)
e) f(x) = sinax f
(n)
(x)
g) f(x) = sin
2
x f
(n)
(x)
h) f(x) =
23
35
2
+−
−
xx
x
f
(n)
(x)
k) f(x) =
.
1
2
x
x
−
f

(30
)
(x)
i) f(x) =
x
x
−
+
1
1
f
(100)
(x)
j) f(x) =
12
23
2
2
−+
+−
xx
xx
f
(n)
(x)
p) f(x) =
187
942
24
23

+−
−−+
xx
xxx
f
(n)
(x)
Bài 11: CMR mỗi HS sau đây sau đây thoả mãn hệ thức tương ứng đã
cho:
a) f(x) =
4
3
+
−
x
x
thì
( )
( )
''
2
/
1.2 yyy −=
b) f(x) =
2
2 xx
−
thì
01.
''3

=+
yy
c) f(x) = x.sinx thì xy – 2(y
’
- sinx) +x.y
’’
d) f(x) = x.tanx thì
( )
( )
012
22''2
=++−
yyxyx
e) f(x) =
x
x
2
2
sin1
cos
+
thì
3
44
3
'
=







+






−
ππ
ff

Bài 12: Dùng ĐN tính đạo hàm của HS sau
a) f(x) =



<−−
≥−
11
13
2
khixx
xkhixx
tại x = 1
b) f(x) =






>−+−
≤−
286
22
2
2
khixxx
xkhixx
tại x = 2
c) f(x) =





=
≠
−
00
0
cos1
khix
khix
x
x
tại x = 0
d) f(x) =








=
≤≠
−−
0
2
1
1;0
11
khix
xkhix
x
x
CMHS liên tục tại x = 0,
tính f
’
(0)
e) f(x) =
x
x
+
1
tại x = 0
f)f(x) =






=
≠
−
00
0
cos1
khix
khix
x
x
tại x = 0
g) f(x) =





=
≠
00
0
1
sin
2
khix

khix
x
x
tại x = 0
h) f(x) =





=
≠
−
10
1
1
sin
2
khix
khix
x
x
π
tại x =1
i)f(x) =






=
≠
−
00
0
2
cos2cos
khix
khix
x
xx
tại x = 0
j)f(x) =
1
2
−+
xx
tại x= 1
k) f(x) =





=
≠
00
0
sin
2

3
khix
khix
x
x
π
tại x = 0
Bài 13: Xác định b, c để HS sau có đạo hàm
a) f(x) =





>++−
≤
1
1
2
2
ckhixbxx
khixx
tại x = 1
b) f(x) =





>++

≤≤−−
1
122
2
2
ckhixbxx
xkhix
tại x = 1
Bài 14:
a) CMR với mọi cách chọn p, q hàm số sau không thể có đạo hàm tại
điểm x = 0
f(x) =



>++
≤+
01
1sincos
khixqpx
xkhixqxp
b) CMHS sau liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó
f(x) =
1
+
x
x
Bài 15: Cho HS y = f(x) = x
2
– 2x +3 (c). Viết PTTT với đồ thị (c)

a) Tại điểm M(1; 2)
b) Tại điểm có hoành độ x
0
= 1
c) Tại điểm có tung độ y
0
= 3
d) Tại giao điểm của đồ thị với trục oy
e) Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = 2
f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1
g) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
h) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0
i) Biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục ox góc 45
0
j) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1)
Bài16: Cho HS y = f(x) = 4x
3
-3x ( C). Viết PTTT với đồ thị ( C)
a) Tại điểm M(1; 1)
b) Đi qua điểm có hoành độ x
0
= 2
c) Đi qua điểm có tung độ y
0
= 0
d) Tại giao điểm của đồ thị với trục ox và oy.
e) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3
f) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 2x – 5
g) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = 2x – 5
h) Biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d góc 45 độ

i) Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1; 1)
j) Tìm điểm trên đồ thị mà từ đó có thể kẻ được duy nhất một tiếp tuyến
tới đồ thị.
k) Tìm điểm trên đường thẳng y = 1 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến tới đồ thị.
Bài17 : Cho HS y = f(x) =
4
4
−x
( C)
Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k. Biện luận
theo k số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (c) . Từ đó suy ra PTTT
của ( C) xuất phát từ A.
Bài18 : Cho Hs y = f(x) =
1
2
−
−
x
x
a) M là điểm có hoành độ a
1−≠
, và thuộc đồ thị. Viết PTTT của
đồ thị
tại điểm M.
b) Tính khoảng cách từ điểm I(-1; 1) đến tiếp tuyến đó. Xác định a để
khoảng cách này lớn nhất.
Bai 19 : Cho HS y = f(x) =
x
x 1

2
+
(H)
Viết PTTT của đồ thị (H) kẻ từ điểm A(-2 ; 0). Kiểm nghiệm rằng
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài20 : Cho Hs y = f(x) = x
3
– 4x
2
+ 4x ( C)
a) Tiếp tuyến của ( C) tại gốc toạ độ cắt ( C) tại điểm A. Tính toạ độ A
b) Biện luận theo k vị trí tương đối giữa ( C) và đường thẳng y = kx
c) Tìm các tiếp tuyến của ( C) đi qua điểm B(3; 3)
Bài 21: Cho HS y = f(x) =
1
4
2
+−
−
x
x
( C)
a) CMR đường thẳng y = kx luôn cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N.
Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi.
b) Xác định k sao cho các tiếp tuyến của ( C) tại hai điểm M và N vuông
góc với nhau.
Bài22 : Cho HS y = x
3
+ 3x
2

+ 3x + 5
a) CMR trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại đó
vuông góc với nhau.
b) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó
vuông góc với đường thẳng y = kx.
Bài23 : Cho HS y = x – 1 +
1
1
+
−
x
m
Tìm ĐK cần của m để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao
cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông
góc với nhau.
Bài 24: Cho HS y = x
3
– 3x
2
+ 2
Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị 2 tiếp
tuyến vuông góc với nhau.
Bài25:
CMR: Nếu Sin
n
x + cos
n
x =1 với mọi x thì n = 2
Giải: Đặt f(x) = sin
n

x + cos
n
x . do f(x) = 1 với mọi x nên
f
’
(x) = n. sinx.cosx(sin
n-2
x –cos
n-2
x ) = 0 với mọi x, suy ra
sin
n-2
x= cos
n-2
x với mọi x <-> tan
n-2
x = 1 với mọi x <-> n =2.
Bài 26:
CMR: tanx + 2tan2x + 4tan4x + 8tan8x = cotx với mọi x.
Giải: Xét f(x) = tanx- cotx + 2tan2x + 4tan4x + 8tan8x. Ta có
f
’
(x) =
xxxxx 8sin
64
4sin
16
2cos
4
sin

1
cos
1
22222
−+++
= 0
suy ra f(x) = c -hằng số, mà f(
0)
16
=
π
nên f(x) = 0 với mọi x.
Bài 27: CMR:
a)
xxxx
∀=






−+






++

2
3
3
2
cos
3
2
coscos
222
ππ
b)
xxxx sin
8
5
3sin
16
5
5sin
6
1
sin
5
+−=
c) f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) với a < b < c . CMR:

( )
( )
( )
( )
( )

( )
0
'
''
'
''
'
''
=++
cf
cf
bf
bf
af
af
Bài 28:
a) Tìm a, b sao cho a(cosx – 1) + b
2
+ cos(a.x +b
2
)=0 với mọi x
b) f(x) =
abxx
bxax
++
++
2
2
1
không đổi với mọi x

Bài 29: Sử dụng đạo hàm để tính các giới hạn sau:
a) Cho f(x) = x(x-1)(x-2)….(x- 19994) . Tính f
’
(0)
Giải: Ta có f
’
(0) =
( ) ( )
( )( ) ( )
19994 21lim
0
0
lim
00
−−−=
−
−
→→
xxx
x
fxf
xx
= (-1)(-2)…(-19994)= 19994!
b) Tìm giới hạn: N =
x
xx
x
sin
112
lim

3
2
0
+−+
→
Đặt f(x) =
⇒+−+
3
2
112 xx
f(0) = 0, khi đó ta có
N =
( )
0
sin
lim:
0
)0()(
lim
sin
:
0
)0()(
lim
'
000
f
x
x
x

fxf
x
x
x
fxf
xxx
=
−
−
=






−
−
→→→
Ta có :
( )
( )
( )
110
13
2
12
1
'
3

2
2
'
=⇒=⇒
+
−
+
=
Nf
x
x
x
xf
c) Tính: N =
1sin2
1tan
lim
2
3
4
−
−
→
x
x
x
π
Đặt f(x) =
( )
0

44
1sin.2;1tan
2
3
=






=






⇒−=−
ππ
gfxxgx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1
2:
3
2
2sin2;
cos

1
.tan.
3
1
4
:
44
4
lim:
4
4
lim
'
2
3
2
'
''
44
=






=⇒==













=
−






−
−






−
=
−
→→
Nxxg

x
xxf
gf
x
gxg
x
fxf
N
xx
ππ
π
π
π
ππ
3
3
0
3
0
3
3
2
2
0
2
3
0
2
3
2

1
3cos.2cos.cos1
3cos.2cos.cos1
lim)
13sin1.2sin1
lim)
8
3252
lim)
243
sin121
lim)
3121
lim)
1
75
lim)
xxx
xxx
i
x
xx
k
x
xxx
h
xx
xx
g
x

xx
e
x
xx
d
x
x
x
x
x
x
−
−
−++
−
++−+
−−+
++−
+−+
−
+−−
→
→
→
→
→
→
Bài 30:
a) Cho f(x) =
2

1 xx
++
CMR: *)
( )
( ) ( ) ( )
0414
'''2
=−++
xfxxfxfx
*)
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
0124.32414
2
2
12
=−−+−++
−−
xfnxfxnxfx
nnn
b) Cho y = f(x) =
2
2 xx +
CMR: y

3
.y
’’
+ 1 = 0
c) Cho f(x) = sin
3
2x; g(x)= 4cos2x – 5sin4x. GPT: f
’
(x) = g(x)
Bài 31:
a) Tìm y =f(x) thoả mãn f(0) = 1 và f(x).f
’
(x) =
( )
xf
x21
−
với mọi
x.
Bài 32: Sử dụng đạo hàm để tính các tổng sau:
a) Tính tổng: p(x) =
132
4321
−
+++++
n
xnxxx
Xét f(x) =
n
xxxx

++++

32

( ) ( )
xpxf
=⇒
'
mặt khác
( )
( )
( )
1
1
1
132
−
−
=+++++=
−
x
xx
xxxxxxf
n
n
suy ra
( ) ( )
( )
( )
1

1
11.
2
1
'
≠∀
−
++−
==
+
x
x
xnxn
xfxp
nn
Với x = 1 thì p(x) = 1+2+3+…+n=
( )
2
1+nn
b) tính tổng: p(x) =
122222
3.21
−
++++
n
xnxx
với x = 1 thì p(1) =
( )( )
6
121 ++ nnn

Với
( )
=⇒≠
xpx 1
c) Tính tổng T = cosx + 2.cos2x + 3cos3x + …+ ncosnx
Xét tổng S = sinx + sin2x + …+ sinnx thì S
’
= T
2S.sin






+
−
−
++






−+







−=
x
n
x
nxxxxx
2
12
cos
2
12
cos
2
5
cos
2
3
cos
2
3
cos
2
cos
2
=
x
nx
2
12

cos
2
cos
+
−
0
2
sin
2
sin2
2
12
cos
2
cos
≠∀
+
−






=⇒
x
x
x
nx
S

π
kx
x
nx
x
nx
n
ST 2
2
sin2
2
sin
2
12
sin
2
sin.
2
2
'
≠∀
−
+
==⇒
Nếu
( )
2
1
212
+

=+++=⇒=
nn
nTkx
π
d) CMR: S =
( ) ( )
232
211 2.3.1.2
−
−=−+++
nn
nnn
nnCnnCC
Xét HS: f(x) =
( )
nn
nnnn
n
xCxCxCCx 1
2210
++++=+
Lấy đạo hàm 2 vế:
( )
121
1
21.
−
−
+++=+
nn

nnn
n
xCnxCCxn
Lấy đạo hàm lần 2:
( )( ) ( )
232
2
1 2.3.1.211
−
−
−+++=+−
nn
nnn
n
xCnnxCCxnn
Thay x= 1 suy ra ĐPCM.
e) Tính tổng: S =
( ) ( )
22
1
42
12.1 531
−
−
−−−−+−
n
n
xnxx
f)Tính tổng: S =
( )

12
1 4.3.3.22.1
−
+++++
n
xnnxx
g) Tính tổng: S = sinx+ 4.sin2x + 9.sin3x +….+.n
2
.sinnx
h) Tính tổng:
S =
( ) ( ) ( )
( )
( )
[ ]
( )
22222
2
1
122

21
32
1
12
nxnx
nx
xx
x
xx

x
+−+
−+
++
++
+
+
+
+
Bài 33: Tính các đạo hàm sau:
( )
( ) ( )
( )
( )
x
ex
x
xxx
x
x
x
eeyq
xxeyp
yj
x
eyi
xxyk
xexyh
xxyg
x

x
ye
xxyd
xxeyc
xxxxyb
xxxya
+=
++=
++=






+=
+=
=
++=








+
−
=

+=
−=
=
+−+=
)
32.)
432)
2
cot1)
1ln.)
ln )
1ln)
1
1
ln)
lncoslnsin)
cossin.)
)
1)
2
542
22
2
2
2

( )
( )
( )
( )

[ ]
x
x
yo
xyy
xx
b
x
a
yx
xyf
ee
ee
yz
xyv
xyr
xys
eyt
x
x
yl
xyn
xxym
X
x
x
y
11
ln)
cosln)

.
)
1sinln)
)
ln1)
ln1)
1lnln)
)
cos
sin1
ln)
.)
2ln)
2
3
3
2
3
X
X-X
2
3
2
tan
2
−+
=
=
+=
+=

+
−
=
+=
+=
+=
=
+
=
=
−+=
−
π
π
Bài 34:
a) Cho y = ln
x
+
1
1
CMR: x.y
’
+ 1= e
y
b) Cho
2
2
.
X
exy

−
=
CMR: x.y
’
= (1 – x
2
).y
c) Cho y =
xx ln1
1
++
CMR: x.y
’
= y(y.lnx- 1)
d) Cho y =(x +1).e
X
CMR: y
’
- y = e
X
e) Cho y = e
-X
. cosx CMR: y
(4)
+ 4y = 0
g) Cho y = e
2x-1
+ 2.e
1-2x
+ 7x -5 GPT: y

’
(x)= 0
h) Cho y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: y + x.y
’
+x
2
.y
’’
=0
Chuyên đề: Giới hạn
A-Giới hạn vô định dạng:
0
0
Bài1: Tính các giới hạn sau:

( )
34
6262
lim)
23
2423
lim)
11
lim)
2
24
lim)
11
lim)
25

12
lim)
11
lim)
2
22
3
2
2
1
33
0
3
2
2
3 2
0
1
2
0
+−
++−+−
+−
−−−−
−−+
−
−
−+
−+
−+

−+
→
→
→
→
→
−→
→
xx
xxxx
h
xx
xxx
g
x
xx
e
x
x
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
X

X
X
X
X
X
X

x
xx
t
x
ax
n
x
xxx
m
x
x
j
x
x
i
x
xx
f
x
aax
k
X
n

X
X
X
X
X
X
7169
lim)
11
lim)
1
12
lim)
1
23
lim)
232
4
lim)
1
23
lim)
lim)
0
0
2
3
2
3
1

3
2
1
3
2
2
3
1
33
0
−+++
−+
−
+−+−
+
−+
−+
−
−
−−
−+
→
→
→
−→
−→
→
→
Giải:

(
)
(
)
(
)
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
3
2
3
2
3
3
2
0
3
2
3
3
2
3
2

3
3
2
33
0
33
0
1
11
2
0
2
22
0
2
9
3
11
lim
limlim)
2
12
25
lim
122525
251212
lim
25
12
lim)

0
11
lim
11
1111
lim
11
lim)
a
aaaxax
aaaxaxx
aaaxaxaax
x
aax
k
x
x
xxx
xxx
x
x
b
x
x
xx
xx
x
x
a
X

XX
X
XX
XX
X
=
++++
=






++++
++++−+
=
−+
=
++
++
=
++++−+
++++−+
=
−+
−+
=
++
=

++
++−+
=
−+
→
→→
−→
−→−→
→→
→

( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )

416
lim
39
lim
7169
lim)

1 11
1 1111
lim
11
lim)

2
1
123
1
lim3
2231
123123
lim1lim
1
123
lim
1
1
lim
1
23
lim)
000
21
21
00
11
2
1
1
3
1
3
1
=

−+
+
−+
=
−+++
==
+++++
+++++−+
=
−+
=
+−
−=
+−−
+−−−
−++=
−
−−
−
−
−
=
−
−−
→→→
−−
−−
→→
→→→
→→→

x
x
x
x
x
xx
t
n
a
xaxax
xaaxax
x
ax
n
xxx
xx
xx
x
x
x
x
x
xx
f
XXX
nn
nnn
X
n
X

XXX
XXX
Bài2: Tính các giới hạn sau:
1
212
lim)
23
43811
lim)
211
lim)
1
75
lim)
3121
lim)
812
lim)
23
37
lim)
5
4
1
2
3
2
2
4
3

2
0
2
3
2
1
2
3
0
3
0
2
3
1
−
−+−
−+
+−+
+
−−+
−
+−−
+−+
−−+
+−
+−+
→
→
→
→

→
→
→
x
xx
h
xx
xx
g
xx
xx
e
x
xx
d
x
xx
c
x
xx
b
xx
xx
a
X
X
X
X
X
X

X

lii
x
bxax
f
x
xx
m
x
xx
j
x
xx
i
x
xx
k
mn
X
X
X
X
X
)
11
lim)
29
202
lim)

1
181127
lim)
sin
112
lim)
2
11
1
4
1
3
lim)
0
4
3
7
4
4
3
3
0
3
2
0
3
3
0
+−+
−+

+−+
−
+−+
+−+
−−
+−+
→
→
→
→
→
Giải:
(
)
( )
( ) ( )
(
)
( )( )( )
( )
( )( )

sin
*
11
lim
sin
*.
112
lim

sin
11
lim
sin
112
lim
sin
112
lim)

121121
121121121
lim
111
11111
lim
121
lim
11
lim
211
lim)

23
23
lim
23
27
lim
23

37
lim)
3 2
00
3 2
0
3 2
0
4
2
44
0
3
22 22
3
2
3
2
2
3
2
0
2
4
0
2
3
2
0
2

4
3
2
0
2
1
2
3
1
2
3
1
=








−+
−









−+
=
−+
−
−+
=
+−+
=
+−+−+
+−+−−−
+
+++++






++++−+
=
=
+
−−
−
+
−+
=
+
−−+

=
+−
−+
−
+−
−+
=
+−
+−+
→→
→→→
→→
→→→
→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
i
xxxx

xxx
xxxx
xxx
xx
x
xx
x
xx
xx
b
xx
x
xx
x
xx
xx
a
XX
XoXX
XX
XXX
XXX
( )( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )

1 221

1 2212
lim
1121121
112112112
lim
1
12
lim
1
112
lim
1
212
lim)
3
4
3
4
5
1
4
44
1
5
1
4
1
5
4
1

=
++−+−−
++−+−−−
−
+−+−−
+−+−−−
=
−
−−
−
−
−−
=
−
−−−
→→
→→→
xxx
xxx
xxx
xxx
x
x
x
x
x
xx
h
XX
XXX

Bài3: Tính các giới hạn một bên sau:
( )
( )
( )
xx
x
e
x
xx
d
x
x
c
x
xx
b
x
xx
không
x
x
x
x
xx
cóA
x
xx
a
X
X

XX
X
X
XX
X
−+
−
+
++
−
−
−
+−
+
∃⇒
−
=
+−
=
+
=
+
=
+
−+
+−
−
++
→
−→

→→
→
→
→→
→
21
4
lim)
1
23
lim)
1
1
lim)
2
23
lim)
2
3
lim
2
3
2
3
lim
;
2
3
2
3

lim
2
3
lim
2
3
lim)
2
2
2
2
1
2
3
1
2
2
42
0
2
0
2
0
2
0
42
0
Bài4: Tính các giới hạn sau:
a) Cho f(x) = x(x-1)(x-2)….(x- 19994) . Tính f
’

(0)
Giải: Ta có f
’
(0) =
( ) ( )
( )( ) ( )
19994 21lim
0
0
lim
00
−−−=
−
−
→→
xxx
x
fxf
xx
= (-1)(-2)…(-19994)= 19994!
b) Tìm giới hạn: N =
x
xx
x
sin
112
lim
3
2
0

+−+
→
Đặt f(x) =
⇒+−+
3 2
112 xx
f(0) = 0, khi đó ta có
N =
( )
0
sin
lim:
0
)0()(
lim
sin
:
0
)0()(
lim
'
000
f
x
x
x
fxf
x
x
x

fxf
xxx
=
−
−
=






−
−
→→→
Ta có :
( )
( )
( )
110
13
2
12
1
'
3
2
2
'
=⇒=⇒

+
−
+
=
Nf
x
x
x
xf
c) Tính: N =
1sin2
1tan
lim
2
3
4
−
−
→
x
x
x
π
Đặt f(x) =
( )
0
44
1sin.2;1tan
2
3

=






=






⇒−=−
ππ
gfxxgx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1
2:
3
2
2sin2;
cos
1
.tan.
3
1

4
:
44
4
lim:
4
4
lim
'
2
3
2
'
''
44
=






=⇒==













=
−






−
−






−
=
−
→→
Nxxg
x
xxf
gf
x

gxg
x
fxf
N
xx
ππ
π
π
π
ππ
3
3
0
3
0
3
3
2
20
2
3
0
2
3
2
1
3cos.2cos.cos1
3cos.2cos.cos1
lim)
13sin1.2sin1

lim)
8
3252
lim)
243
sin121
lim)
3121
lim)
1
75
lim)
xxx
xxx
i
x
xx
k
x
xxx
h
xx
xx
g
x
xx
e
x
xx
d

xx
xx
xx
−
−−++
−
++−+
−−+
++−
+−+
−
+−−
→→
→→
→→

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
5,000iđkh
13131
3
)(;
121

2
)(
0
1
13131
3
lim
0
1
121
2
lim
13131
3
lim
121
2
lim
13131
3
121
2
lim
311121
lim
:2
1
2
1
313111

3
lim
121
1
lim
131121
lim
3121
lim)
;'
3
3
2
3
3
2
00
3
3
2
00
3
2
3
0
2
3
2
0
3

2
3
2
00
2
3
2
0
2
2
0
=−=
++++
=
++
=
−
−
++++
−
−
−
++
=
++++
−













++
=


















++++
−

++
=








+−
+
−+
=
+
−
=
++++++
+
+
+++
=









+−+
−
+−+
=
+−+
=
→→
→→
→→
→→
→→
gfAó
xx
xg
x
xfđăt
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xxx
xx
x
x
x
x

A
Cách
xxxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
Aj
XX
XX
XX
XX
XX

161141
lim
6141
lim)
1
181127
lim)

29
320
29
32

lim
29
202
lim)
2
3
2
0
2
3
0
4
4
3
3
0
4
3
4
7
4
3
7
=









−+
−
−+
=
+−+
=
−
+−+








=
−+
−+
−
−+
−+
=
−+
+−+
→→
→
→→

x
x
x
x
x
xx
t
x
xx
n
x
x
x
x
x
xx
m
XX
X
XX
B- Giới hạn dạng:
∞
∞
Bài1: Tính các giới hạn sau:

( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

( )( )
( )( )( )( )( )
( )
214
32
lim)
15
54321
lim)
91013
7432
lim)
78316
5629
lim)
10010
10099 21
lim)
124
2312
12
3
lim)
1258
3476
lim)
325
1432
lim)
2

2
5
23
32
5
44
3
22
1010100
100100100100
2
22
245
35
234
23
+−+
++
−
−−−−−
++
+−
+−+
+−+
++
++++++++







+
++−
−
+
−+−
+−+−
+−+−
−+−
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→
+∞→
−∞→
+∞→
xx
xxx
k
x
xxxxx
h
xx
xx
g
xx
xx
e
xx

xxxx
d
xx
xxx
x
x
c
xxx
xxx
b
xxxx
xxx
a
X
X
Xx
X
X
X
X
( )
( )
( )
( )( ) ( )
2
2
lim)
21
21
lim)

2
2
lim)
723
1254
lim)
432
311
lim)
1
135
lim)
23
5
4
3
24 5
22
2
22
2
2
+
+
+−+
+−+
+
+
+−−
++++

−−−
++−
−
−+
∞++∞→
−∞→+∞→
+∞→−∞→
x
x
n
xx
xx
m
x
x
q
xxx
xxx
j
xxx
xxx
p
x
xx
i
XX
XX
XX
Giải:
( ) ( )

( )( )
( ) ( ) ( )
5
1
1
11
35
lim
1
135
lim)
3
2
1
21
4
3
2
1
lim
214
32
lim;4
1
21
4
3
2
1
lim

2
1
4
3
2
1
lim
2
1
4
3
2
1
lim
214
32
lim)
100
10010
1
100
1
2
1
1
1
lim
100.10
100 21
lim)

10.3
4.2
9
10
1
3
7
4
3
2
lim
91013
7432
lim)
0
3125
1
143
2
lim
25
1432
lim)
2
2
2
2
2
22
2

2
100
10
10
100
100100100
100
1010100
100100100
32
23
32
23
32
432
32
34
23
−=
−








−−
=

−
−+
−
=
−++−
++−
=
−++
++
=
−++
++
−++
++
=
−++
++
=
−++
++
=








++







+++






++






+
=
=
++
+++++
=







+






+






+






+
=
++
+−
=







+−+−
−+−
=
+−
−+−
−∞→−∞→
−∞→−∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
x
x
x
x
xx
i
x
x
x
xx
xxx
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
k
xx
x
xxx
x
xx
xxx
d
xx
xx
xx
xx
g
xxx
x
x

xx
x
xxx
xxx
a
XX
XXX
XXX
X
X
XX
XX
Bài2: Tính các giói hạn sau:
( )
2
12
1lim)
2
31
1
1
2
lim
3
2
lim
3
2
lim)
10

lim)
10
lim)
3
53
2
25
35
25
3
22
++
+
+
−=
+−
+
−=








+−
+
−=









+−
+
+
++
+
++
−∞→
−∞→−∞→−∞→
+∞→−∞→
xx
x
xd
xx
x
xx
xx
xx
xx
xc
x
xxx
b
x

xxx
a
X
XXX
XX
Bài3: Tính các giới hạn một bên sau:
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
xx
xx
n
x
xxx
m
x
x
xj
x
x
xi
x
xx
k
xx
xx
h

xx
xx
g
xx
xx
e
xx
xx
d
x
x
xx
xx
x
xx
c
x
x
b
x
x
x
x
a
XX
X
X
XX
XX
X

xxX
X
XXX
−+−
−−+
−
+
−
−
−
−+
−
−+−
−
+
−
+
+
++
=
+
−
=
+−
−−
=
−
+−
−==
−

−
==
−
−
=
−
−
−+
++
+−
−+
+
−−−
−
+++
→→
−→
→
→→
→→
−→
→→→
→
→→→
112
1
lim)lim)
1
1lim)
4

2lim)
2
2
lim)
11
lim)
2
lim)
2
lim)
23
lim)
6
1
3
4
lim
33
43
lim
9
127
lim)
1
2
2
lim)
11lim
2
2

lim
2
2
lim)
1
2
2
0
2
3
1
2
2
2
2
32
1
00
45
2
1
33
2
2
3
2
222
C- Giới hạn dạng:
∞−∞
Bài1: Tính các giới hạn sau:

( )( )
( )
( )( )
( )( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∞=
+−
−−−
=









+−
++−+
=






−
−
−
−
=−=
++
−
+++






+
=

=
++
−
++++
=
−+−−+=+−+
=
−+−−
=−+
==
−−+−
+
=
−−−−
+
=
−−−−
+
=
=
−−+−
−−−−
=−−+−
+
=
+







+






+
++
=
+++
−++
=−++
→→→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
∞→+∞→
−∞→
−∞→−∞→
−∞→−∞→
+∞→
+∞→+∞→
11
12
lim
11
121

lim
1
2
1
1
lim)
6
1
2
1
3
1
1
1
1
1
lim
1
1
1
1
1
1
lim
limlim
limlim)
0
11
1
lim1lim)

4
4
16
14
4
5
2
26
16
lim
14
452
2616
lim
14452
2616
lim
14452
14452
lim14452lim)
2
111
lim
limlim)
3
2
1
3
2
1

23
1
33
2
2
2
3
23
3
2
23
2
2
3
232
3
23
3
2
3
3
32
3
3
2
2
2
2
2
2

2
2
xx
xx
xx
xxx
xx
e
x
xx
xxx
x
xxxxxx
x
xxxxxxxxxxd
xxxx
xxc
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxxb
ba

x
b
x
a
x
ab
ba
xbxax
xbxax
xbxaxa
XXX
XX
XX
XX
XX
X
XX
Xx
X
XX
Bài2: Tính các giới hạn sau:
(
)
(
)
(
)
( )
(
)

( ) ( )
( )
1
12419
lim)
233
4
45
2
lim)
23lim)34412lim)
11
lim)1lim)
2
5
1
5
1
5
lim
5
1
5
lim
5
5
lim5lim)
3lim)
lim)87lim)
1

11
1
11
1
1
1
1
1
lim
limlim)
22
22
1
23 232
1
4
4
22
2
22
2
2
3 33 23
+
++−++









+−
+−
−
+−
+
−++−−−−






−
−
−
−+
=
++
=
++
=
++
−+
=−+
++−







−−−+−+
=
−−+++
−++
=
=
−−+++
−++
=






−−−++
+∞→→
−∞→+∞→
→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
−∞→
+∞→−∞→
+∞→
+∞→+∞→
x
xxxx

f
xx
x
xx
x
j
xxxxixxxk
x
m
x
n
hxxg
x
x
x
x
x
xx
xxx
xxxe
xxxd
xxxxcxxxxb
xx
x
xx
x
xx
xxxxxx
xxxx
xxxxxxa

XX
XX
mn
XX
XXXX
X
XX
X
XX
Bài3: Cho các hàm số sau:



<+
≥+
=
132
12
)()
2
xkhix
xkhix
xfa
Tính
( ) ( )
xfxfxf
X
XX
1
11

lim;lim;)(lim
→
→→
−+
Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )
xfxxfxxf
X
XXXX
1
11
2
11
lim532limlim32limlim
→
→→→→
∃⇒=+==+=
−−++
b)
( )





=
≠
+

=
01
0
3
2
xkhi
xkhi
x
xx
xg
tính
( ) ( ) ( )
xgxgxg
X
XX
0
00
lim;lim;lim
→
→→
−+

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )

1limlimlim
limlim;11limlim
0:
lim
01
0
)
lim
113limlim130
113limlim13)(0
00
0
00
2
00
0
2
0
00
00
=⇔=⇔∃
=+==+=
∈=⇒
∃



≥+
<+
=

∃⇒
−=−=⇒−=⇒<
=+=⇒+=⇒>
−+
−−++
−−
++
→→
→
→→→→
→
→
→→
→→
axfxfxfđê
aaxxfxxfcóta
RxRTXđ
xfđêatìm
xkhix
xkhiax
xfc
xg
xxgxxgxkhi
xxgxxgxkhi
XX
X
XXXX
X
X
XX

XX

( ) ( )
( ) ( )
xfđêaXD
xkhiaxx
xkhiax
xfe
xfđêaXD
xkhiax
xkhiax
xfd
X
X
1
2
0
2
lim
13
15
)
lim
02
03
)
−→
→
∃




−>+++
−≤+
=
∃



≥++
<+
=