Hướng dẫn giải đáp bài tập toán cao cấp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 38 trang )
ooo
Bé m«n To¸n Khoa CNTT - 2014
Hướng Dẫn Giải Bài Tập
To¸n cao cÊp
2
Chương 1 Ma trận - Định Thức - Hệ phương trình tuyến tính
1) Cho hai ma trận
1 3 3 1 2 1 1 2
2 4 4 2 1 2 2 1
3 5 5 3 0 1 1 0
AB
Hãy thực hiện các phép tính:
; ; 2 ; ; ;
t t t t t
A B A B A B A A B A B
Đs:
3 4 4 3
3 6 6 3
3 6 6 3
AB
;
1 2 2 1
1 2 2 1
3 4 4 3
AB
;
3 3 3
466
466
3 3 3
tt
AB
.
3) Cho hai ma trận
12
1 2 2 1
23
2342
24
1 4 3 2
12
AB
Hãy thực hiện các phép tính:
;
tt
AB B A
Đs:
0 14
. 2 25
3 22
AB
;
0 2 3
()
14 25 22
t t t
B A AB
.
4) Hãy thực hiện các phép tính sau:
1.
1 2 3 1
1 1 2 1
2 1 1 2
Đs:
9
6
5
;
3.
1
3 2 3 1
2
Đs:
11
5.
1 0 1
0 1 0
0 0 1
n
Giải
Dự đoán
10
0 1 0
0 0 1
n
n
A
(1)
Với
n
= 1, công thức (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với
nk
, ta có:
1
1 0 1 0 1 1 0 1
. 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
kk
kk
A A A
, như vậy (1) đúng với
1nk
Theo phương pháp quy nạp toán học ta kết luận công thức (1) đúng với mọi
n
.
7.
11
01
n
Đs:
1
01
n
3
9.
21
32
n
Đs:
n
chẵn
11
01
;
n
lẻ
21
32
10.
cos sin
sin cos
n
xx
xx
Đs:
cos sin
sin cos
nx nx
nx nx
5) Hãy tính định thức của các ma trận sau:
1.
1 2 3
1 1 2
223
A
Đs:
1A
;
3.
1 3 6
1 1 2
8 5 4
C
Đs:
56C
5.
1
1
1
a bc
E b ca
c ab
Đs:
E a b a c c b
6) Hãy tính định thức của các ma trận sau:
1.
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
Hd:
1 2 3 4
2 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1
1 2 1 1 5 2 1 1 0 1 0 0
5
1 1 2 1 5 1 2 1 0 0 1 0
1 1 1 2 5 1 1 2 0 0 0 1
c c c c
;
3.
4 3 2 1
3 4 1 2
2 3 4 1
1 2 3 4
Đs: 80 (cộng 4 cột vào cột đầu, )
5.
1 1 1 1
1 1 cos cos
1 cos 1 cos
1 cos cos 1
cb
ca
ba
Đs:
2 cos 1 cos 1 cos 1abc
;
7) Tính định thức của các ma trận vuông cấp
n
:
1.
0 0
0 0
0 0 0
0 0
xy
xy
y
yx
Hd: Khai triển định thức theo cột 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
( 1) ( 1)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
n n n n
x y y
x y x y
A x y x y
x x y
xy
.
4
3.
1 2 3
1 0 3
1 2 0
1 2 3 0
n
n
C
n
Đs:
!Cn
8) Tính hạng của các ma trận sau:
1.
1 2 1 2 1
2 3 2 3 2
3 4 3 4 3
4 5 4 5 4
A
Đs:
2rA
; Hd: cột 3 - cột 1; cột 5 - cột 1; cột 4 - cột 2
3.
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
1 0 0 1
C
Đs: Nếu n chẵn
r C n
, nếu
n
lẻ
1r C n
5.
1 3 1 3 1
2 5 2 5 2
3 7 3 7 3
49494
E
Đs:
2rE
(Hd: tương tự câu 1.)
9) Tùy theo giá trị của tham số
m
tìm hạng của các ma trận sau:
1.
1 1 2
2 1 4
1 5 1 1
a
Aa
Đs:
3r A a
(Hd: Áp dụng biến đổi sơ cấp hoặc tính
3.
2 2 2
1 1 1
C a b c
abc
Đs: nếu
abc
thì
1rC
, nếu
a b c
hoặc
a c b
hoặc
b c a
thì
2rC
, nếu
b c a
thì
3rC
.
10) Tìm ma trận nghịch đảo nếu có của các ma trận sau:
1.
cos sina
sin cos
a
A
aa
Đs:
1
cos sin
sin cos
aa
A
aa
3.
1 2 3
3 4 3
2 2 1
C
Đs:
1
1 2 3
1,5 2,5 3
1 1 1
C
5.
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
E
Đs:
1
2 1 1 1
1 2 1 1
1
1 1 2 1
3
1 1 1 2
E
11) Giải các phương trình sau:
1.
1 2 3 5
3 4 5 9
X
Đs:
1
1 2 3 5 1 1
3 4 5 9 2 3
X
5
3.
3 2 1 2
5 4 5 6
X
Đs:
1
1 2 3 2 3 2
5 6 5 4 5 4
X
.
5.
1 2 3 1 3 0
3 2 4 3 1 3
2 1 0 3 4 4
X
Đs:
1
1 2 3 1 3 0 1 17 1
3 2 4 3 1 3 5 38 2
2 1 0 3 4 4 4 32 1
X
7.
2 3 1 9 7 6 2 0 2
4 5 2 1 1 2 18 12 9
5 7 3 1 1 1 23 15 11
X
Đs:
1 1 1
1 2 3
2 3 1
X
(Hd: Nghiệm của pt
AXB C
là
11
X A CB
nếu A và B khả nghịch.)
9.
0 1 1 3 5
1 0 1 2 1
1 1 0 1 4
X
Đs:
00
14
21
X
(Hd:
1
AX B X A B
)
12) Hãy tìm hạng và ma trận nghịch đảo nếu có của các ma trận sau
1.
51
91
A
Đs:
1
11
1
4 0 2;
95
4
A r A A
.
3.
17 6
45 16
A
Đs:
1
83
2 0 2;
22,5 8,5
A r A A
5.
1 1 0
0 1 1
1 0 1
A
Đs:
11
0; 1 0 2
01
A r A
7.
1 1 0
0 1 1
1 0 1
A
Tương tự câu 5.
13) Giải các hệ phương trình sau
1.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 9
3 5 4
4 7 5
x x x
x x x
x x x
Hd: Áp dụng biến đổi sơ cấp:
2 1 3 9 2 1 3 9
3 5 1 4 0 1 1 5
4 7 1 5 0 0 0 12
A
( ) ( )r A r A
. Hệ vô nghiệm
3.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7 3 6
3 5 2 2 4
9 4 7 2
x x x x
x x x x
x x x x
Hd: Áp dụng biến đổi sơ cấp:
2 7 3 1 6
0 11 5 110 ( ) ( ) 2 4
0 0 0 0 0
A r A r A
Nghiệm của hệ là
1
4
23
948
11 5 10
, ; ,
x
x
x x R
6
5.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 2 3
6 8 2 5 7
9 12 3 10 13
x x x x
x x x x
x x x x
Hd:
Áp dụng biến đổi sơ cấp:
3 4 1 2 3
0 0 0 1 1 ( ) ( ) 2 4
0 0 0 0 0
A r A r A
Nghiệm của hệ là
1 2 4
3
; ; 1
1 3 4
,
x x x
x
R
7.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5 7
3 3 3
8 2 9 4
x x x
x x x
x x x
Đs:
1 2 3
146 339 42
; ; ; ;
217 217 217
x x x
14) Giải và biện luận hệ các hệ phương trình sau
1.
1 2 3
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1x x x
ax bx cx d
a x b x c x d
Giải
2 2 2
1 1 1
( )( )( )D a b c b a c a c b
abc
a, b, c đôi một khác nhau, hệ có nghiệm duy nhất.
1
2
3
1
2
3
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x
x
x
D
b d c d
x
D b a c a
D
d a c d
x
D b a c b
D
d a d b
x
D c a c b
a b c
, ta có hệ
1 2 3
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1x x x
ax ax cx d
a x a x c x d
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
00
0 0 0 ( )( )
A a a c d c a d a
d c d a
a a c d
.
Nếu d = c: hệ có vô số nghiệm:
( ; ; 1)
(
tùy ý)
Nếu d = a : hệ có vô số nghiệm:
( ; 1 ; 0)
(
tùy ý)
Nếu
;d a d c
: hệ vô nghiệm.
Tương tự với các trường hợp
a c b
và
b c a
.
7
3.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
ax x x
x bx x
x x cx
Giải
1abc
,
1; 1; 1; 1; 1; 1a b c b a c c a c
: hệ có vô số nghiệm (đơn giản)
1; 1; 1abc
hệ có nghiệm
0; 0;1
; tương tự khi
1; 1; 1; a c b
1; 1; 1abc
: Giải
12
;xx
theo
3
x
từ hệ
,
rồi thay vào
ta được:
1 2 3
1 1 1 1 1 1
;;
b c c a b a
x x x
AAA
với đk:
3 2 0A a b c abc
Khi
3 2 0a b c abc
: hệ vô nghiệm.
5.
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1ax x x
x ax x a
x x ax a
Giải
Với
1; 2aa
: hệ có nghiệm duy nhất:
1
2
3
1
2
1
2
( 1)
( 1)( 2)
a
x
a
x
a
a
x
aa
.
Với
1a
: hệ có vô số nghiệm:
( ; ; 1 )x y x y
với
;x y R
.
Với
2a
: hệ vô nghiệm.
7.
2
1 2 3
32
1 2 3
43
1 2 3
( 1) 3
( 1) 3
( 1) 3
x x a x a a
x a x x a a
a x x x a a
Giải
Với
0; 3aa
: hệ có nghiệm duy nhất:
32
1
2
2
3
21
21
2
x a a a
xa
xa
.
Với
0a
: hệ có vô số nghiệm:
;;x y x y
với
;x y R
.
Với
3a
: hệ có vô số nghiệm:
; ; xxx
với
xR
.
15) Giải phương trình
2
XX
với
X
là ma trận vuông cấp 2
Giải
TH1:
0det X
. Ta có 2 hàng của X tỷ lệ với nhau.
Giả sử
ab
X
k a kb
;
2
()X a kb X
X a kb X
8
00
00
X
,
,
hoặc
1a kb
1
(1 )
kb b
X
k kb kb
TH2:
0det X
.
2
XX
2 1 1
X X XX X I
17* Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB + A + B = 0. Chứng minh AB = BA.
Giải
Từ AB + A + B = 0, ta có (A + I)(B + I) = I. Đặt X = A + I, Y = B + I thì
XY = I
Y = X
-1
(detX. detY = 1
detX 0, nên tồn tại X
-1
)
Do đó: YX = X
-1
X = I
(B + I)(A + I) = I
BA + A + B = 0.
Từ đó suy ra đpcm.
19* Tồn tại hay không một ma trận vuông cấp 2 thỏa mãn
2010
2008 2010
0 2009
A
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán. Gọi đa thức đặc trưng của A là p(x), p(x) là đa thức bậc 2. Chia
2010
x
cho
px
được
2010
( ) ( ) ( )x p x q x r x
.
Trong đó
qx
là thương và
rx
là phần dư,
rx
là đa thức không quá 1.
Giả sử
()r x x
.
Ta nhắc lại định lý Cayley-Hamilton: Cho A là ma trận vuông cấp n,
px
là đa thức đặc trưng của A.
Khi đó
0pA
Theo định lý trên ta có
0pA
. Vậy
2010
A A I
.
Giả sử
ab
A
cd
. Từ
2010
2008 2010
0 2009
A A I
, ta có
2008
2010
0
2009
a
b
c
d
Suy ra
0c
. Do đó
0
ab
A
d
2010
2010
2010
0
ax
A
d
2010 2010
2008, 2009ad
(vô lý).
Vậy không tồn tại ma trận thỏa mãn bài toán.
21* Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2009 thảo mãn AB = 0. Chứng minh rằng trong 2 ma trận P = A + A
t
,
Q = B + B
t
có ít nhất một ma trận suy biến.
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Ta sử dụng 2 bổ đề sau:
Bổ đề 1. Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì
( ) ( ) ( ).r A B r A r B
Bổ đề 2. Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì
( ) ( ) ( ) .r A r B r AB n
Theo bổ đề 2 ta có
( ) ( ) ( ) 2009 2009.r A r B r AB
Suy ra
rA
hoặc
rB
nhỏ hơn
2009
2
. Giả sử
2009
2
rA
.
Khi đó
2009
2
t
r A r A
. Theo bổ đề 1 ta có:
9
( ) ( ) ( ) 2009.
tt
r A A r A r A
Vậy
t
AA
suy biến.
23* Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0. Chứng minh rằng tồn tại 2 ma trận
vuông cấp n là B và C sao cho BC – CB = A.
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Xét 2 ma trận vuông cấp
n
:
;
ij ij
B b C c
với
ij
thì
, 0,
ij
ij ij ii ii
a
b c b c i
ji
.
Ta chứng minh B, C là 2 ma trận cần tìm.
Thật vậy ta có phần tử hàng i, cột j của
–BC CB
là:
11
,,
0
n n n n
ij
ik kj ik kj ik kj ik kj ii ij ii ij ij jj ij jj
k k i k k i
k i j k i j
a khi i j
b c c b b c c b b c c b b c c b
khi i j
.
25* Cho A là ma trận cấp
42
, B là ma trận cấp
24
,
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
AB
.
Tìm ma trận BA.
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Viết A, B dưới dạng khối:
1
12
2
;
A
A B B B
A
, với A
1
, A
2
, B
1
, B
2
là các ma trận vuông cấp 2.
Theo đề bài ta có
1 1 1 2
2 1 2 2
A B A B
II
AB
A B A B
II
Suy ra
1 1 2 2
, A B I A B I
. Từ đó
11
1 1 2 2
;A B A B
. Do đó
1 1 2 2
2BA B A A B I
27* Cho
0 , 1, 2, , ; 2 1
ij ji
a a i j n n k
. Chứng minh rằng hệ phương trình :
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
0
nn
nn
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
có nghiệm không tầm thường.
Giải: (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Đặt
ij
nn
Aa
, ta có
t
AA
Khi đó :
det det det 1 det det
n
t
A A A A A
det 0A
Vậy hệ có nghiệm không tầm thường.
10
29* Cho hệ phương trình :
1 2 2002
1 2 2002
1 2 2002
1
2
2002
a x b x b x
b x a x b x
b x b x a x
Tìm điều kiện của a và b để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải: (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Ta có:
1
1 1 1
1 1 1
n
a b b
b a b b a b
a n b a n b a
b b a b b a
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
1
ab
a n b
31* Cho
ij
nn
Aa
là ma trận vuông cấp
n
có
min ,
ij
a i j
. Hãy tính det(A).
Giải: (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 0 1 1 1
det
1 2 3 3 0 1 2 2
1 2 3 0 1 2 1
nn
A
nn
2
11
1
12
33* Cho A là ma trận vuông cấp
n
thoả mãn
n
A
(ma trận không).
Chứng minh rằng
–AI
có nghịch đảo.
Giải:
Ta có:
12
n n n
I A I A I A A I
12
1 det det .det
n
nn
I A I A A I
det 0AI
35* Biết
X I AB
khả nghịch. Chứng minh
Y I BA
cũng khả nghịch.
Giải: (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Ta tìm C sao cho
I BA I C I
I BA I BA C I
0BA I BA C
Ta tìm C dưới dạng
C BD
. Ta có
0BA I BA BD
0BA BD BABD
0B A I AB D
Chọn D sao cho
0A I AB D
hay
1
D I AB A
Vậy ta có
1
IBI BA I AB A I
. Vậy
I BA
khả nghịch.
Các bài từ 41+) đến 56+) : tương tự các bài từ 1) đến 14)
11
Chương 2 Hàm số - Đạo hàm - Vi phân
1) Tìm miền xác định của các hàm số sau
1.
1yx
Đs: D = (-∞; 1]
3.
2
2
arcsin
1
x
y
x
Đs: D = R
5.
2
log
1
x
y
x
Đs: D = [0; 1]
7.
2
2
1
4
x
y
x
Đs: D = (-2; 2)
9.
ln
xx
y e e
Đs: D = (0; +∞)
2) Tìm tập giá trị của các hàm số sau
1.
3sin 4cosy x x
Đs:
[ 5; 5]
y
R
(Hd:
5siny a x
với
3
arccos
5
a
)
3.
66
sin cosy x x
Đs:
[0;1]
y
R
5.
2
2
arctan
1
x
y
x
Đs:
;
44
y
R
7.
2
ln 1yx
Đs:
[0; )
y
R
9.
2
2
xx
y
Đs:
4
[0; 2]
y
R
Hd:
2
1
;
4
xx
3) Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
1.
arcsiny x x
Đs: hàm chẵn (hình H1)
3.
sin2 cos3y x x
Đs: hàm không chẵn, lẻ (hình H2)
5.
3
4
1
x
y
x
Đs: hàm lẻ (hình H3)
H1 H2 H3
H4 H5
7.
2
xx
ee
y
Đs: hàm lẻ (hình H4)
9.
xx
xx
ee
y
ee
Đs: hàm lẻ (hình H5)
4) Xác định chu kỳ tuần hoàn của các hàm số sau (nếu có)
1.
44
sin cosy x x
Đs: chu kỳ
2
31
: cos 4
44
Hd y x
12
3.
sin2 cos3y x x
Đs: chu kỳ
2
5.
ln 1 cosx
Đs: chu kỳ
2
7.
cos 2yx
Đs: chu kỳ
2
9.
sin2 cos4y x x
Đs: chu kỳ
5) Tìm các giới hạn sau:
1.
2
2
21
lim
n
nn
n
Đs:
1
2
3.
2
1lim
nk
nn
Đs: 0
5.
2
2
2
2
1
1
lim
n
n
n
n
Đs:
2
e
7.
2
1lim
n
nn
(tương tự câu 3 !)
9.
2
sin
lim
n
nn
n
Đs: 0
6) Tìm các giới hạn sau:
1.
2
0
1
1
lim
x
x
x
Đs: 1 (Hd: đặt
; 0 0t x x t
)
3.
sin 1 sinlim
x
xx
Đs: 0
5.
3
0
sin tan
lim
x
xx
x
Đs:
1
2
7.
0
1
ln
lim
x
x
x
xx
Đs: 1 (Hd: đặt
; 0 1
x
t x x t
)
9.
1
2
2
lim
x
x
x
Đs: 1 (Hd: Xét
1
2
ln
2
x
x
)
7) Xét tính liên tục và tìm các điểm gián đoạn (nếu có của các hàm số sau)
1.
sin cos
sin cos
xx
y
xx
Đs: Liên tục
x
, trừ ra tại
4
xk
3.
1 ln
1 ln
x
y
x
Đs: Liên tục
x
> 0, trừ ra tại
1
x
e
5.
1
sin 0
00
x khi x
gx
x
khi x
Đs: Liên tục
x
7.
21
0
ln2 0
x
khi x
ux
x
khi x
Đs: Liên tục
x
9.
ln 1
0
10
x
khi x
x
x
khi x
Đs: Liên tục
x
13
8) Tính đạo hàm của các hàm số sau
1.
1
1
x
y
x
tại
1x
; Đs:
1
'1
4
y
3.
1 sin
ln
1 cos
x
y
x
Đs:
sin cos 1
'
1 sin 1 cos
xx
y
xx
5.
2
2
1
arcsin
1
x
y
x
Đs: khi
2
2
0; '
1
x
xy
x
x
,
' 0 2
' 0 2
y
y
7.
ln x
yx
Đs:
ln 1
' 2 ln
x
y x x
9.
1 sin
ln
1 sin
x
y
x
Đs:
1
'
cos
y
x
11.
sin ln cos lny x x
tại
1x
; Đs:
' 1 1y
13.
arcsinx
yx
Đs:
2
arcsin
ln arcsin
'
1
x
xx
yx
x
x
15.
ln 1
ln
ln 1
xx
y
xx
tại
1x
; Đs:
22
2 ln 1
'
ln 1
x
y
xx
(
y
chỉ xác định khi
ln 1 0 1,763x x x
nên dĩ nhiên không tồn tại
'1y
)
17.
arcsin arccosy x x
Đs:
'0yx
9) 1. Cho
2
1
x
y
x
, tính
8
y
Đs:
8
9
8!
(1 )
y
x
3. Cho
1
ln
1
x
y
x
, tính
2010
y
Đs:
(2010)
2010 2010
2009! 2009!
( 1) ( 1)
y
xx
5. Cho
siny x x
, tính
2010
y
(phải áp dụng ct Newton - Leibniz)
7. Cho
lny x x
, tính
2010
y
Đs:
(2010)
2009
2008!
y
x
10) Tính đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau:
1.
2
1
1
y
x
Hd:
1 1 1 1
2 1 2 1
y
xx
11
1 ! 1 !
11
22
11
nn
n
nn
nn
y
xx
3.
22
xx
y
Đs:
2 ln 2 1 2 ln 2
n
n
x n x n
y
5.
2
lny x x
Đs:
3
2
1
1 2. 3 ! 3
n
n
n
y n n
x
7.
3
lny x x
Hd: tương tự câu 5.
9.
2 x
y x e
Hd: áp dụng công thức Newton - Leibniz (ngoài giới hạn chương trình)
11) Tính vi phân các hàm số sau:
1.
2
sin
1 cos
x
y
x
Đs:
2
sinx
2
(1 cos )
dy dx
x
3.
3
sin 2 1yx
Đs:
2
6sin 2 1 cos 2 1dy x x dx
14
5.
arctany x x
tại
1x
Đs:
3
24
dy dx
7.
3
1 1 2yx
tại
0x
Đs:
12dy dx
9.
ln 1y x x
tại
1x
Đs:
1
2
dy dx
(
y
không khả vi tại
0x
)
12) Tính các tổng sau
1.
2 3 1
1 2 3 4
n
S x x x nx
Đs:
1
2
11
1
nn
n x nx
S
x
3.
2 3 1
1 2 2.3 3.4 ( 1)
n
S x x x n nx
Đs:
2 2 1
2
1.
1
n
d x x
Sx
x
dx
5.
1 2 2
2
k k n
n n n
S C x C x kC x nCnx
Đs:
1
1
n
S nx x
13) Áp dụng vi phân tính gần đúng:
1.
3
0,98
Hd: Xét
3
f x x
tại
0
1; 0,02xx
3.
arcsin0,02
Hd: Xét
arcsinf x x
tại
0
0; 0,02xx
14) Chứng minh:
1.
22
tan tan (*) 0
2
os os
a b a b
a b b a
c b c b
Hd
Với a = b thì bất đẳng thức kép trở thành đẳng thức.
Với b < a, (*)
22
1 tan tan 1
os os
ab
ab
c b c b
Xét hàm
tanf x x
có
2
1
'
cos
fx
x
. Áp dụng định lý Lagrange cho
f
trên đoạn
;ba
thì tồn tại
,c b a
sao cho
2
tan tan 1
'( )
cos
ab
fc
ab
c
,c b a
nên
2 2 2
1 1 1
cos cos cos
b c a
b c a
. Từ đó suy ra đpcm.
3.
1 2005 1
ln
2005 2004 2004
Hd Áp dụng định lý Lagrange cho
lnf x x
trên đoạn
2004; 2005
15) Chứng minh m thì phương trình
3
30x x m
không thể có 2 nghiệm khác nhau trong (0,1).
Hd
Giả sử tồn tại
m
để phương trình đã cho có 2 nghiệm
12
;xx
thỏa:
12
01xx
.
Xét
3
( ) 3f x x x m
trên
12
[ , ]xx
là hàm liên tục và khả vi trong
12
( , )xx
, vì
12
( ) ( ) 0f x f x
nên theo định lý Rolle, tồn tại
12
( , ) (0,1)c x x
sao cho:
2
'( ) 3 3 0f c c
. Điều này là không thể. Mâu thuẫn này cho ta đpcm.
16) Chứng minh: Nếu phương trình
12
0 1 1
0
nn
n
a x a x a
có nghiệm
0
0xx
thì phương trình
12
0 1 1
( 1) 0
nn
n
na x n a x a
cũng có nghiệm
1
xx
thỏa mãn
10
0 xx
.
15
Hd: Xét hàm
1
0 1 1
( )
nn
n
f x a x a x a x
trên
0
[0, ]x
là hàm liên tục và khả vi trong
0
(0, )x
, đồng thời
0
(0) ( ) 0f f x
nên theo định lý Rolle, tồn tại
10
(0, )xx
sao cho
1
'( ) 0fx
hay phương trình
'( ) 0fx
có
nghiệm
10
(0, )xx
(đpcm).
17) Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng với mọi
0x
1.
( 1)ln( 1) arctanx x x
Giải
Xét hàm
( ) ( 1)ln( 1) arctanf x x x x
với
[0, )x
có
2
22
1
'( ) ln( 1) 1 ln( 1) 0 0
11
x
f x x x x
xx
Vậy
f
đồng biến trên
[0, )
( ) (0) 0 0f x f x
(đpcm)
3.
2
arctan
1
x
xx
x
Chứng minh:
2
arctan
1
x
x
x
. Xét hàm
2
( ) arctan
1
x
f x x
x
với
0x
có
22
2 2 2 2 2
1 1 2
'( ) 0
1 ( 1) ( 1)
xx
fx
x x x
0x
Chứng minh:
arctanxx
. Tương tự như trên
5.
2
2 arctan ln(1 ) ( )x x x x R
.
Hd
Xét hàm
2
( ) 2 arctan ln(1 )f x x x x x R
.
Do
()fx
là hàm chẵn nên ta chỉ cần chứng minh
( ) 0fx
với
0x
.
Ta có:
22
22
'( ) 2arctan 2arctan 0 0
11
xx
f x x x x
xx
.
Vậy
( ) (0) 0 0f x f x
7.
22
1 ln( 1) 1 ( )x x x x x R
Hd
Xét
22
( ) 1 ln( 1) 1f x x x x x
là hàm chẵn.
22
22
'( ) ln( 1) ln( 1) 0 0
11
xx
f x x x x x x
xx
18) Chứng minh
1. Với
01x
:
2
2
1
arccos 1 cot
x
x arc
x
Giải
Xét
2
2
1
( ) arccos 1 cot 0 1
x
f x x arc x
x
có
'
2
2
2
22
22
2
1
( 1 )' 1 1
'( ) 0 (0,1)
11
1 ( 1 )
1
1
x
x
x
f x x
xx
x
x
x
Vậy
fx
trên (0; 1) . Từ
22
arccos cot1 0
2 2 4 4
f arc
đpcm
16
3. Với
11x
thì
arcsin arccos
2
xx
. Xem ví dụ 1, trang 128.
19) Sử dụng quy tắc L'Hospital tìm các giới hạn sau:
1.
0
tan
lim
sin
x
xx
xx
Đs: 2
3.
2
1
0
sin
lim
x
x
x
x
Đs:
1
6
e
2
0
sin
ln
lim
:
x
x
x
x
Hd L e
5.
1
2
0
lim( )
x
x
x
xe
Đs:
3
e
7.
0
lim ln
x
xx
Đs: 0
9.
1
ln
lim
1
x
x
x
Đs: 1
11.
3
0
tan
lim
x
xx
x
Đs:
1
3
13.
2
lim
x
x
xe
Đs: 0
15.
2
lim
x
x
xe
Đs: 0 nếu
x
,
nếu
x
.
21* Cho hai dãy số:
1 1 1 1
, ; 0; 0; ;
2
nn
n n n n n n
xy
x y x a y b x x y y
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và có chung giới hạn.
Hd (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Ta có:
2
11
0
2
nn
nn
xy
y x n
nên
2
nn
y x n
1
2
n n n n
x x y x n
và
1
2
2
nn
nn
xy
y y n
n
x
là dãy tăng và bị chặn trên bởi
max ,ab
nên tồn tại
lim
n
n
xx
n
y
là dãy giảm và bị chặn dưới bởi
min ,ab
nên tồn tại
lim
n
n
yy
Từ
1n n n
x x y n
, cho
n
ta được
xy
23* Tìm
22
1 1 1
lim arctan arctan
2
2.2 2.
n
n
Hd (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Bằng quy nạp ta chứng minh được
22
1 1 1
arctan arctan arctan arctan
21
2.2 2.
n
n
n
Từ đó giới hạn đã cho bằng
4
25* Cho dãy số
n
x
có
11
1;
21
n
n
n
x
xx
x
. Hãy tìm giới hạn dãy số đã cho.
Hd: Ta có
1
11
2
nn
xx
, suy ra
1
11
1 1 1
2 2 1 lim 0
21
nn
n
n
n n x x
x x n
17
41) Một quả bóng được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 112
ft
m
(1 ft = 0,3048m).
Độ cao của quả bóng khi bay lên so với mặt đất tại thời điểm
t
là
2
16 112S t t t
(1)
1. Khi nào quả bóng đạt độ cao cực đại. Xác định độ cao đó.
2. Khi rơi xuống, khoảng cách của quả bóng tới mặt đất có cho bởi (1) hay không.
3. Xác định vận tốc bóng khi tiếp đất.
4. Xác định vận tốc bóng và gia tốc bóng khi
1 ; 4t s t s
Giải
1.
' 32 112 0 3,5; (3,5) 196v t S t t t S m
2. Phương trình chuyển động (1) không thay đổi trong suốt quá trình!!
(Phương trình (1) là hệ quả của định luật 2 Newton:
ma F mg
;
2
32 /g ft s
)
3. Hiển nhiên vận tốc lúc tiếp đất vẫn là 112
ft
m
(đề bài ngụ ý không tính lực cản không khí)
4.
32 112 1 80; 4 16v t t v v
(vận tốc < 0 ứng với giai đoạn vật rơi trở lại)
32a t const
(tác giả đặt một số câu hỏi không có ý nghĩa lắm về mặt cơ học)
43) Một người đang đứng ở điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1600m. Người này phải bơi qua sông và đi bộ tới điểm
B bên kia sông. Biết B cách điểm đối diện với A qua dòng sông là 4800m. Biết người đó có thể bơi với vận tốc
3200m/s và đi bộ với với vận tốc 4800m/s. Hãy xây dựng phương án để người đó tới B với thời gian nhỏ nhất.
Giải
Giả sử hành trình của người đó là: A C B. Gọi
x
là khoảng cách HC (km)
0 4,8x
Hàm mục tiêu (thời gian đi từ A đến B):
22
1,6
4,8
3,2 4,8 3,2 4,8
x
AC BC x
fx
22
1
'0
4,8
3,2 1,6
x
fx
x
khi
2
1,6
1,43
1,5 1
x
f
đạt cực tiểu tại
1,43x
;
1,37
ct
f
(giờ)
Trả lời: Người đó bơi tới điểm C cách H 1,43km rồi đi bộ đến B thì thời gian ngắn nhất.
45) Giả sử số lượng một bầy ruồi đục quả tại thời điểm
t
là
0
kt
N t N e
;
0
N
là số lượng bầy ruồi tại thời điểm
0t
,
k
là hằng số tăng trưởng. Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày.
1. Tìm hằng số
k
.
2. Giả sử ban đầu bầy ruồi có 100 con, xác định số lượng bầy ruồi sau 41 ngày.
3. Sau bao nhiêu ngày thì bầy ruồi có 800 con.
Giải
1.
9
00
1
9 2 ln2 0,077
9
k
N N e N k
2.
1
ln2 41
9
0
100100 41 2352N N e
con.
18
3. Xét phương trình
1 ln8
100 800 ln8 27
1
ln2
9
kt
et
k
ngày.
47) Một loại lon nước giải khát dạng hình trụ và chứa 0,4 lít chất lỏng. Xác định đường kính đáy và đường cao hình trụ
để vật liệu sử dụng làm lon là ít nhất.
Giải
Gọi
x
là bán kính đáy (
x
> 0),
y
là chiều cao của lon nước (đơn vị: dm)
Thể tích lon:
2
2
0,4
0,4V x y y
x
Hàm mục tiêu (dt xung quanh):
2 2 2
2
0,4 0,8
2 2 2 2 2S x x y x x x
x
x
2
0,8
' 4 0Sx
x
khi
3
0,2
0,40x
S đạt cực tiểu tại
0,40x
;
2
3
ct
S dm
Khi đó đường kính đáy là
0,8d dm
, chiều cao
2
0,4
0,80
0,4
y
49) Điểm B nằm cách đường sắt 60km. Khoảng cách trên đường sắt từ điểm A tới điểm C gần điểm B nhất là 285km.
Cần xây dựng một nhà ga cách điểm C một khoảng là bao nhiêu để thời gian đi lại giữa A và B là nhỏ nhất, nếu tốc
độ chuyển động trên đường sắt là 52km/h và tốc độ chuyển động trên đường nhựa là 20km/h.
Giải
Tương tự như bài 43. Đặt
x CM
(km)
Ta có hàm mục tiêu (thời gian đi B M A):
22
60 285
20 52
xx
fx
22
1
'0
52
20 60
x
fx
x
khi
2
60
25
52
1
20
x
(km)
f
đạt cực tiểu tại
25x
; thời gian đi nhanh nhất:
8,25
ct
f
(giờ)
Cần xây nhà ga cách điểm C 25km.
19
Chương 3 Nguyên hàm và tích phân
1) Dùng các tính chất và bảng nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau
1.
47
2
4
44
7
1
1 x xd x x C
x
x
3.
2
2
3
2.ln
1
1
1
x
x
x
dx x C
x
5.
2
tan tanxdx x x C
2) Hãy tính các tích phân bất định
1.
1
1 cos2
1 cos
sin2
2
ln
2
x
dCxx
x
3.
3
22
2
1
1
3
1x x dx x C
5.
3
33
1
ln
1
1 1 1
3
1 x
x
d
C
x
x
x
7.
22
1
2
xx
xe dx e C
9.
2
3
2
2
3
1
13
13
4
xdx
x
Cx
11.
2
ln 2 ln 2x dx x x x C
3) Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp đổi biến
1.
3
2
33
3
3
31 1 1 1
1
3l
2
1
n
dx
x
x
x x C
3.
4sin 3cos 5
tan
1
2
2
dx
C
x
xx
5.
3
2
3
1 ln
1 ln x
x
x
dx C
7.
l
11
1 1 1
n
x
xx
dx
C
e
ee
4) Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp tích phân từng phần
1.
2
2 2 2 2
ln ln ln
2
1
24
11
x x dx x x x x x C
3.
22
sin cos 2 sin 2cosx xdx x x x x x C
5.
22
sin sin2 cos2
44
1 1 1
8
x xdx x x x x C
5) Cho
cos
n
n
I xdx
. Lập công thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 2
Đs:
1
2
s
11
in cos
n
nn
n
I x x I
nn
6) Tính các tích phân bất định sau
1.
2
2ln 2 ln
3
1
2
xdx
x x C
xx
3.
3
42
2
1
ln 3 ln 3 ln 9 arctan
2 3 93
891
3
x x B Cx D
dx dx
A C D x
A x B x x K
xx
xx
với
31 29 48 6
; ; ;
108 108 108 108
A B C D
5.
3
4
tan tan
cos
1
3
dx
x x C
x
7.
2
4 2 2
2
ln
3 2 2
1xdx x
C
x x x
20
7) Chứng minh rằng có thể tính
22
n
n
dx
I dx
xa
theo công thức
2
1
1 2
22
2
22
12
113
nn
n
xn
II
n
a n a
xa
. Áp dụng tính I
3
Hd:
Áp dụng công thức tích phân từng phần cho tích phân
2 2 2 2 2
1
2
11
2
1
1
n
n n n
dx x
I x x dx
x a x a x a
n
22
1
1
2
1
12
n n n
n
x
I n I a I
xa
. Từ đó suy ra I
n
32
2 2 2
22
113
4
4
x
II
aa
xa
;
2
22
1
22
22
11x
II
a x a a
;
2
1
2
arct
1
an
dx x
I dx C
aa
xa
8) Tính các tích phân sau
1.
2
2
32
102
x
dx
xx
Giải
2
2 2
10 1 32xx x
, đặt
1tx
thì
2 2 2 2
2 2 2 2
33
2
1
3
3
1
3
t dt
I dt
t
tt
Theo bài 3.7 thì
2
2 2 2
22
11
1
arctan
54 3
3
8
3
dt t t
IC
t
t
Vậy
22
1 1 1 1 1
1
3
arctan
28
10 1
3
0
54
22
xx
IC
x x x x
3.
cos ln cos ln sin ln
2
x
x dx x x C
5.
2
sin
ln 2 cos 2cos
cos2
1
2
1
x
dx x x C
x
9) Tính các tích phân sau
1.
cos sin sin cos
cos
ln cos sin
cos sin 2 cos s
1
in 2 2
1
x x x x
xx
dx dx x x C
x x x x
3.
43
tan tan n
1
ta
3
xdx x x x C
5.
1 1 sin
ln
cos 1 sin2
x
x
dx
C
x
7.
3
22
11
1 tantan ln tan
22
c
1a
o
n
s
t
dx
x xxCx
(Hd: Đổi biến:
tantx
)
10) Tính các tích phân sau
1.
4 3 4 3
43
44
ln
3
1
3
1
x
dx x x C
x
3.
22
2
35
4 4 3 ln 2 4
1
1 43
44
4 4 3
x
dx x x x x x C
xx
21
5.
2 2 2
1 3
2 ln
4 8 2
1
1 1 1 1x x dx x x x x x x C
7.
2
3
tan ln cos
2
tn
1
a
dx
x x C
x
9.
32
cos
co
11
t
22
sin sin
x x x
dx x C
xx
11.
2
2
2
1arccos
arcco
1 1 1
11
s ln
2
x
dx x
x
C
x
x
x
11) Dùng định nghĩa tp hãy tính
b
a
f x dx
. Cho ý nghĩa hình học và kiểm tra kết quả tính được.
Giải
Chia đoạn [a,b] bởi phân điểm đều, chọn
i
c
là mút phải mỗi đoạn con, ta có tổng Riemann
2
1
2
n
nn
R h a h a h a nh h na h
với
ba
hx
n
22
.2
2 2 2 2
1
n
n n b a b a b a
b a b a n b a
R na b a a
n n n
Vậy
b
a
f x dx
22
2
ba
Ý nghĩa hình học: tích phân
b
a
f x dx
biểu thị diện tích hình thang bên
13) Chứng minh rằng
3
0
10
5
6
1
xdx
x
Hd:
3
1
x
fx
x
có cực đại tại
2x
,
1
2
1
2
f
1
10
5
2 6
0
1
I
14) Tính các tích phân sau
1.
2
0
1 3cos
sin
x
xx
dx
Hd: Đổi biến
xt
thì chứng minh được
00
2
x f x dx f x dx
Do đó
2
2
0
1 3c
sin
2
os
33
td
I
t
t
3.
2
/2 /2 /2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
22
2
tan
cos
2
cos sin sin tan
co
1
s
dx
dx d x
x
ab
a x b x x a b x
ab
x
5.
4
1
1
11
x
dx
ex
Hd:
10
01
I
;
Đổi biến
xt
thì được
0
44
1
01
1 1 1 1
x
xx
dx e dx
e x e x
4
1
0
1
dx
I
x
Áp dụng phương pháp tích phân hàm hữu tỉ ta tính được:
22
2
4
2
2 2 1 1
ln arctan 2 1
8
1
2 1 2 2
1
arctan 2 1
22
dx x x
x
x
xx
xK
Từ đó suy ra:
2
ln 3 2 2 0,867
8
42
I
(có áp dụng đẳng thức:
arctan arctan
1
2
x
x
)
7.
2
1
1
0
22
2
2
1 2arcsin
5
14
ln
n
.
ln 1 4
5
l
e
xdx t
xx
dt
x tt
15) Tính các tích phân sau
1.
0
1
arcsin xdx
2
1
11.arcsin
0
2
xxx
3.
3
2
0
1 1 ssin 2
ln ln 2 3
3
cos 2 3
cos
in
1 sin
1
xx x x
dx
x x
x
5.
/2
1
/2
/2
cos ln cos ln sin l
1
2
1
1n
2
e
e
x
x dx x x e
7.
1
2
1
1
1 1 1 1 1
anln 2 arct
1
2
ln3 arctan
8 8 8 4 2
24
dx
x
xx
x
9.
1
2
2
2
3
1
1
ln 3
l 2 ln
6
n2
8
x
dx
x
(tích phân từng phần 2 lần)
16) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1.
2
10; ; 5y y x y x
1 5
2
11
32
5
3
1S x dx x dx
3.
22
16; 24 48 8yxyx
Hd: Đổi vai trò
x
,
y
ta được các đường:
22
16; 24 48 8xyxy
24
22
24
32
6
3
22
4
1
8
1
2
S x x dx
5.
22
3 ; 8 ; 4 0y x y x x y
0,5 0
2 2 2
4
0,5
3
4 3 8 3S x x dx x x dx
55
54
17) Tính độ dài cung của các đường sau
1.
2
1
ln 1 ; 0
2
y x x
Hd:
1
2
2
22
0
2 1 1
' ln3
2
11
xx
y L dx
xx
3.
ln ; 3 8y x x
Hd:
2
8
3
1 1 1 3
' 1 ln
22
x
y L dx
xx
5.
2
arcsiny x x x
23
Hd: Miền xác định của
y
:
01x
;
1
0
11
'2
x
y L dx
x
x
20) Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ
1.
5 10
1
1
dx
x x x
Giải
Xét
5 10
1
dx
J
x x x
, đặt
5
tx
thì
2
1
5
1
dt
J
t t t
,
đặt
1
t
u
thì
2
2
1 1 1
ln 1
5 5 2
1
du
J u u u
uu
5 10 5
1 1 1 1 1
ln 1 ( )
52
Fx
x x x
1 2 3
lim 1 ln 1 0,1535
53
x
I F x F
3.
3
0
x
x e dx
Hd: Nguyên hàm của
3 x
f x x e
là
32
3 6 6
x
F x x x x e
Do đó
lim 0 6
x
I F x F
5.
42
0
1
dx
xx
Hd: Áp dụng phương pháp tích phân hàm hữu tỉ ta tính được
2
4 2 2
1 1 3 2 1 3 2 1
( ) ln arctan arctan
4 6 6
11
33
dx x x x x
Fx
x x x x
Do đó:
3
lim 0
6
x
I F x F
7.
2
1
ln x
dx
x
Hd:
2
ln 1 1
ln
x
F x dx x
xx
x
(tích phân từng phần)
lim 1 1
x
I F x F
9.
2
1
arctan x
dx
x
Hd:
2
2
arctan 1
arctan ln
1
xx
F x dx x
x
x
x
1
lim 1 ln2
42
x
I F x F
21) Chứng minh rằng tích phân
2
0
11
dx
xx
không phụ thuộc
.
Giải
Phân tách:
1
01
I J K
Xét
1
0
J
, đổi biến
1
x
t
,
x
= 0 thì
t
;
x
= 1 thì
t
= 1,
2
1
dx dt
t
24
Do đó
2
1
2
11
1
1
1
dt
J
tt
t
=
2
1
11
t dx
tt
Suy ra
2
22
11
11
1
1 1 1 1
x
I J K dx dx
x
x x x x
ko phụ thuộc
22) Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau
1.
2
2
1
x
e
dx
x
. Hội tụ. Hd:
2
2
22
1
01
x
x
e
e
xx
3.
2
1
ln 1 x
dx
x
Phân kỳ. Hd:
2
ln 1
1
x
xx
khi
2x
23) Chứng tỏ rằng tích phân suy rộng
2
1
cost
dt
t
hội tụ. Từ đó suy ra
1
sin x
dx
x
cũng hội tụ.
Giải
22
cost 1
tt
. Tích phân
2
1
1
dt
t
hội tụ nên
2
1
cost
dt
t
hội tụ (tuyệt đối).
Đặt
2
1
cost
A dt
t
, A hữu hạn.
2
1 1 1
sin 1 cos 1
cos cos
1
k u k
k
xx
dx d x x dx
x x x
x
=
2
1
cos cos
cos 1 cos 1
k
kx
dx A
k
x
(hữu hạn) khi
k
(đpcm)
25) Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau
1.
3
12
dx
x x x
. Hội tụ. Hd:
3
3
2
1 1 1
12
2
x x x
x
t
, mà
3
1
2
dt
t
hội tụ.
3.
1
1
sin dx
x
. Phân kỳ: Hd: Khi
x
thì
1
0
x
và
11
sin ~
xx
30) Tính
sin
1 2 sin
x
nx
dx
x
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
0
12
0
sin sin sin
1 2 sin 1 2 sin 1 2 sin
x x x
nx nx nx
I dx dx dx I I
x x x
Đổi biến
xt
thì
1
0
2 sin
1 2 sin
t
t
nt
I dt
t
12
0
sin
sin
nx
I I I dx
x
n
I
Từ
sin sin 2 2cos 1 sinnx n x n x x
2
0
2cos 1 0
nn
I I n x dx
2nn
II
Vì
01
0;II
nên
02
1 2 1
khi n k
I
khi n k
25
31) Cho
2
ln
x
x
dt
Fx
t
2;x
. Chứng minh rằng
()Fx
là hàm đơn điệu tăng và tìm miền giá trị của
()Fx
.
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
2 1 ln ln2
' 0; 2
ln2 ln ln ln2
x
F x x
x x x x
4
2
2 1,9224
ln
dt
F
t
. (Tích phân
ln
dx
x
không phải là hàm sơ cấp)
F
22
22
ln
xx
xx
dt dt
xx
t
t
Nên miền giá trị của
F
là khoảng
1,9224;
35* Biết
f x dx
hội tụ, chứng minh
1
f x dx
x
hội tụ.
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
Phân tích I =
1
f x dx
x
=
0
1
f x dx
x
+
0
1
f x dx
x
= I
1
+ I
2
Xét I
2
, ta áp dụng phép đổi biến
1
tx
x
2
4
2
tt
x
2
2
1 1 1 1 1
2 2 2 2
4
1
4
t
dx dt dt
t
t
Do đó ta có:
2
2
22
1 1 1
4
1
If
t
t dt f t dt
Đặt
2
1
1
4
gt
t
thì
gt
là hàm giới nội, đơn điệu tăng khi
t
.
2
1
4
1
f t dt g t f t dt
t
hội tụ theo định lý Abel-Diriclet.
Mặt khác tích phân
f t dt
hội tụ theo giả thiết. Vậy I
2
hội tụ.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được I
1
hội tụ. Vậy tích phân suy rộng I hội tụ.
Định lý Abel-Diriclet: Nếu
a
f x dx
hội tụ,
gx
là hàm liên tục, giới nội và đơn điệu thì tích phân
a
f x g x dx
hội tụ.
37* Cho hàm
fx
liên tục và dương trên [0,
) và
0
dx
fx
hội tụ.
Chứng minh rằng :
2
0
lim
1
A
A
f x dx
A
Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)
0
dx
fx
hội tụ thì phải có
1
0 fx
fx
khi
x
Áp dụng phương pháp phản chứng, giả sử ngược lại rằng
2
0
lim
1
A
A
f x dx L
A
hữu hạn.
