Đề cương và đáp án Ôn tập hình học kì II năm 2010 - 2011

Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
ÔN TẬP HỌC KÌ II
Phần :HÌNH HỌC

§ 1 : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A.Lý thuyết cần nắm:
•Quy tắc ba điểm:
, , , .AB BC AC A B C+ = ∀
uuur uuur uuur
•Quy tắc hình bình hành:
,AB AD AC ABCD+ =
uuur uuur uuur
là hình bình hành.
•Quy tắc tìm hiệu hai véctơ có cùng điểm đầu:
OB OA AB− =
uuur uuur uuur
•Quy tắc hình hộp:
' ' ' ' ' '
, .AB AD AA AC ABCD A B C D+ + =
uuur uuuur
uuur uuur
là hình hộp.
•Nếu I là trung điểm của đoạn AB ta có:
IA IB O+ =
uur uur ur
và
2 ,MA MB MI M+ = ∀
uuur uuur uuur
•Nếu G là trọng tâm ∆ABC ta có:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r

và
3 ,MA MB MC MG M+ + = ∀
uuur uuur uuuur uuuur
.
B.Bài tập:
Dạng 1:Chứng minh đẳng thức véctơ
Cách giải: *Biến đổi vế trái bằng vế phải.
*Biến đổi vế phải bằng vế trái.
*Lấy hai vế đẳng thức trừ nhau và cm bằng véctơ không…
Bài 1:Cho tứ diên ABCD.Cmr:
AC BD AD BC+ = +
uuur uuur uuur uuur
Giải:
C1:Ta có
AC AD DC= +
uuur uuur uuur
;
BD BC CD= +
uuur uuur uuur
⇒
AC BD+ =
uuur uuur
AD DC+
uuur uuur
+
BC CD+
uuur uuur
=
AD BC+
uuur uuur

.
C2: Biến đổi vế phải bằng vế trái.
C3:Ta có
( ) ( )
( ) 0AC BD AD BC AC AD BD BC DC CD+ − + = − + − = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
⇒
AC BD AD BC+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
Bài 2:Cho tứ diện ABCD, gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC,G là trọng tâm
∆BCD.Cmr:
a/
( )
1
2
MN AB DC= +
uuuur uuur uuur
b/
3AB AC AD AG+ + =
uuur uuur uuur uuur
Giải:
a/Ta có
MN MA AB BN= + +
uuuur uuur uuur uuur
MN MC CD DN= + +
uuuur uuuur uuur uuur
2MN⇒ =
uuuur
MA AB BN+ +

uuur uuur uuur
+
MC CD DN+ +
uuuur uuur uuur
=
AB DC+
uuur uuur
(vì M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và
BC)
( )
1
2
MN AB DC⇒ = +
uuuur uuur uuur
b/Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3 3AB AC AD AG GB AG GC AG GD AG GB GC GD AG+ + = + + + + + = + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(Vì G là trọng tâm ∆ABC nên
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
)
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD. Cmr:
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
Bài 4:Cho tứ diện ABCD,gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BD,I là trung điểm của
MN.Cmr:
a/
0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur r

(Điểm I được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD)
b/
4 ,MA MB MC MD MI M+ + + = ∀
uuur uuur uuuur uuuur uuur
Bài 5:Cho hình lập phương ABCD.EFGH.Cmr:
a/
( )
1
2
AE AF AH AC= + −
uuur uuur uuuur uuur
b/
( )
1
2
AG AF AH AC= + +
uuur uuur uuuur uuur
Bài 6:Cho hình lập phương OABC.DEFG,gọi I là tâm của hình hộp.Cmr:
a/
( )
1
2
OI OA OC OD= + +
uur uuur uuur uuur
b/
AG OC OD OA= + −
uuur uuur uuur uuur
c/
BI FE FG FI= + −
uur uuur uuur uur

Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 1 10/4/2011
A
B
C
D
A
B
C
D
M
N
G
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
Dạng 2:Phân tích một véctơ theo các véc tơ không cùng phương cho trước:
Bài 1:Cho tứ diện OABC,M là trung điểm của BC phân tích
AM
uuuur
theo
, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
.
Bài 2:Cho tứ diện OABC,gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC phân tích
MN
uuuur
theo
, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
.
Bài 3:Cho tứ diện ABCD,trên cạnh AD lấy điểm P sao cho 3AP=2AD.Trên cạnh BC lấy điểm Q
sao cho 3BQ=2BC.Phân tích

PQ
uuur
theo
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
.
Bài 4:Cho tứ diện ABCD,M là trung điểm của BD, G là trọng tâm ∆ACD, phân tích
MN
uuuur
theo
, ,BA BD BC
uuur uuur uuur
.
Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O.Phân tích
SD
uuur
theo
, ,AB AC SO
uuur uuur uuur
.
Bài 6 :Cho hình chóp S.ABCD,đáy ABCD là hình bình hành tâm O.Trên cạnh SD lấy điểm H sao
cho SD=5HD.Phân tích
CH
uuur
theo
, ,OSOA OB
uuur uuur uuur
.
Bài 7:Cho hình lăng trụ tam giác
' ' '

.ABC A B C
.Gọi
'
'M BC B C= ∩
,phân tích
AM
uuuur
theo
'
, ,BA BC BB
uuur
uuur uuur
Bài 8:Cho hình hộp
' ' ' '
.ABCD A B C D
,phân tích
'
AA
uuuur
theo
' ' '
, ,DA DB DC
uuuur uuuur uuuur
.
Dạng 3: Chứng minh ba véctơ đồng phẳng:
Cách giải:
C1:Dùng định nghĩa,chứng minh giá của ba véctơ đó cùng song song với một mặt phẳng.
C2:Dùng định lí:
,a b
r r

không cùng phương,
, ,c ma nb m n= + ∈
r r r
¡
⇒
, ,a b c
r r r
đồng phẳng.
Bài 1:Cho hình chóp S.ABC,trên cạnh SA lấy M sao cho
2MS MA= −
uuur uuur
,trên cạnh BC lấy N sao cho
2NC NB= −
uuur uuur
.Cmr
, ,AB MN SC
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Bài 2:Cho hình hộp ABCD.EFGH,gọi I,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC,chứng
minh rằng
AF, ,IK ED
uuur uur uuur
đồng phẳng.
Dạng 4:Cm đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆
Cách giải:
C1.Gọi
,u v
r r
là vtcp của đương thẳng d và đường thẳng ∆.Ta có:
. 0d u v⊥ ∆ ⇔ =

r r
C2:
( )
( )
d
d
α
α

⊥

⇒ ⊥ ∆

∆ ⊂


Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC,
·
·
·
AS = =B ASC BSC
.Cmr:
a/
SA BC⊥
b/
SB AC⊥
c/
SC AB⊥
Giải:
a/Ta có

( )
·
·
. . .cos AS . . osAS 0= − = − =
uur uuur uur uuur uur
SA BC SA SC SB SA SC C SA SB c B
vì SA=SB=SC,
·
·
AS AS=B C
suy ra
SA BC⊥
.
b/ và c/ giải tương tự.
Bài 2:Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và
· ·
0
D 60= =BAC BA
.Cmr:
a/
AB CD⊥
b/Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Cmr:
;MN AB MN CD⊥ ⊥
Giải :
a/Ta có:
( )
· ·
. . . . . . os D . . os 0= − = − = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB CD AB AD AC AB AD AB AC AB AD c BA AB AC c BAC

vì AB=AC=AD và
0
60BAC BAD
∧ ∧
= =
.
AB CD⇒ ⊥
b/Ta có AC=AD
⇒
∆ACD cân tại A mà N là trung điểm của CD
. 0AN CD AN CD⇒ ⊥ ⇒ =
uuur uuur
Mặt khác theo câu (a) ta có
AB CD⊥
mà M là trung điểm của AB
. 0MA CD MACD⇒ ⊥ ⇒ =
uuur uuur
Do đó
( )
. . . . 0MN CD MA AN CD MACD AN CD= + = + =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
MN CD⇒ ⊥
Tương tự :
MN AB⊥
Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 2 10/4/2011
S
A
B
C
A

B
C
D
M
N
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
Bài 3:Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mp
khác nhau.Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC,CB,BD,DA.Cmr:
a/
AB CD⊥
b.Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Bài 4:Cho tứ diện đều ABCD cạnh a,gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
a/Cmr:
AO CD⊥
b/Gọi M là trung điểm của CD.Tính góc giữa AC và BM.
Bài 5:Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc.Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên
(ABC), SA=a,SB=b,SC=c và SH=h.Cmr:
a/Các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc.
b/H là trực tâm của ∆ABC
c/∆ABC có các góc là góc nhọn.
d/
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
= + +
HD
a/Dựa vào gt SA,SB,SC đôi một vuông góc ta cm được các cặp cạnh
đối của tứ diện vuông góc nhau.
b/Theo gt ta có
( )

SH ABC BC SH⊥ ⇒ ⊥
(1)
Mà
SA SB
BC SA
SA SC
⊥

⇒ ⊥

⊥

(2)
( ) ( )
1 2
BC AH⇒ ⊥
(3). Tương tự ta cm được
BH AC⊥
(4).
( ) ( )
3 4
⇒
H là trực tâm ∆ABC.
c/Áp dụng định lí côsin trong ∆ABC ta cm cosA, cosB, cosC dương suy ra ∆ABC có các góc là góc
nhọn.
d/Gọi
I SH BC= ∩
ta có
( )
SI SAH⊂

;từ (1) và (2) ta có
( )
BC SAH BC SI⊥ ⇒ ⊥
∆SBC vuông tại S có đường cao SI
2 2 2
1 1 1
SI SB SC
⇒ = +
(5)
∆SAI vuông tại S có đường cao SH
2 2 2
1 1 1
SH SA SI
⇒ = +
(6)
Từ (5) và (6) suy ra:
2 2
1 1
SH SA
=
2 2
1 1
SB SC
+ +
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
⇒ = + +
§ 2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Phương pháp giải
Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
( )
α
người ta thường dùng một trong hai
cách sau đây:
* Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong mặt phẳng
( )
α
.
* Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông
góc với
( )
α
.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA
( )ABCD⊥
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của SB, SC. Chứng minh:
a/
( )BD SAC⊥
.
b/
( )MN SAB⊥
.
Giải
a/
BD AC
⊥

vì đáy ABCD là hình vuông.

BD SA
⊥
vì SA
( )ABCD⊥
và BD
( )ABCD⊂
.
Do đó
( )BD SAC⊥
.
b/ ta có: M,N lần lượt là trung điểm
Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 3 10/4/2011
A
S
B
C
H
I
S
A
B
C
D
M
N
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
của SB, SC
/ /MN BC⇒

. (1)
Mặt khác:
BC AB
⊥
vì đáy ABCD là hình vuông.
BC SA
⊥
vì SA
( )ABCD⊥
Từ đó suy ra
( )BC SAB⊥
. (2)
Từ (1) và (2) ta có
( )MN SAB⊥
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh
đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Phương pháp giải:
* Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta tìm mặt
phăng (P) chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh
( )a P⊥
dễ thực hiện
* Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhậtvà cạnh bên
SA
( )ABCD⊥
.Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho
là những tam giác vuông. S
Giải

( )SA ABCD SA AB⊥ ⇒ ⊥

và
SA AD
⊥
Vậy các tam giác SAB và SAD là các tam
giác vuông tại A

( )
CD DA
CD SAD CD SD
CD SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Chứng minh tương tự ta có:

( )
CB AB
CB SAB CB SB
CB SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Vậy tam giác SDC vuông tại D và tam giác SBC vuông tại B.

Cách khác:. Muốn chứng minh tam giác SDC vuông tại D ta có thể áp dụng
định lí 3 đường vuông gócvà lập luận như sau:
Đường thẳng SD có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABCD)
là AD. Theo định lí 3 đường vuông góc vì
CD AD⊥
nên
CD SD⊥
và
ta có tam giá SDC vuông tại D.
Tương tự, ta chứng minh được
CB SB
⊥
và ta có tam giá SBC
vuông tại B.
BÀI TẬP.
1. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo
nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a/ Chứng minh
BC AD⊥
.
b/ Gọi AH là đường cao của tam giác ADI.
Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
2. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên Sa
vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm
B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng
CD CA⊥
và
( ).CD SCA⊥
§ 3 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
. 1.Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

Phương pháp giải:
*Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng kia.
*Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng
0
90
2. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Phương pháp giải:
Cách thường dùng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
• Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)
Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 4 10/4/2011
B
A
C
D
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
• Trên (P) tìm
AI d⊥
, trên (Q) tìm
BI d⊥
•
·
AIB
là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA
⊥
(ABC). Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE và CF cắt nhau
tại O. Gọi H là trực tâm của tam giác SBC.
CMR: a) S, H, E thẳng hàng

b) (SBC)
⊥
(SAE), (SBC)
⊥
(CFH).
c) OH
⊥
(SBC).
Giải:
a) + SA
⊥
(ABC), AE
⊥
BC
⇒
SE
⊥
BC
(Theo định lí 3 đường vuông góc)
Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên
S, H, E thẳng hàng
b) * Ta có : BC
⊥
AE, BC
⊥
SE

⇒
BC
⊥

(SAE)
Mà BC
⊂
(SBC) nên (SBC)
⊥
(SAE).
* Vì SA
⊥
(ABC)
→
SA
⊥
CF và AB
⊥
CF
SBCFSABCF ⊥⇒⊥⇒ )(
Mặt khác do H là trực tâm tam giác SBC
⇒
CH
⊥
SB
Từ đó suy ra SB
⊥
(CFH), mà SB
)()()( CFHSBCSBC ⊥⇒⊂
c) Theo chứng minh trên ta có:
+ BC
⊥
(SAE), OH
OHBCSAE ⊥⇒⊂ )(

+ SB
⊥
(CFH), OH
OHSBCFH ⊥⇒⊂ )(
Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)
→
OH
⊥
(SBC).
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H và I lần lượt lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a)CMR: (SAB)
⊥
(SAD), (SAB)
⊥
(SBC).
b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
c)Chứng minh rằng (SHC)
⊥
(SDI).
Giải:
a)* Ta có H là trung điểm của AB.
- Vì SAB là tam giác đều
⇒
SH
⊥
AB.
Do (SAB)
⊥
(ABCD),

(SAB)
∩
(ABCD) = AB
⇒
SH
⊥
(ABCD)
⇒
SH
⊥
AD (1)
- Vì ABCD là hình vuông
⇒
AB
⊥
AD (2)
- Từ (1) và (2)
⇒
AD
⊥
(SAB).
Mà AD
⊂
(SAD). Vậy (SAD)
⊥
(SAB)
* Lập luận tương tự ta có (SBC)
⊥
(SAB)
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)

và (SBC):
- Ta có AD
⊂
(SAD), BC
⊂
(SBC), AD // BC
∩⇒ )(SAD
(SBC) = St // AD
- Vì (SAD)
⊥
(SAB), (SBC)
⊥
(SAB)
⇒
St
⊥
(SAB)
⇒
St
⊥
SA, St
⊥
SB
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB.
* Tính góc ASB:
Vì tam giác SAB đều nên góc
·
SAB
= 60
o

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60
o
.
c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC
⊥
DI
Mặt khác do SH
⊥
(ABCD)
⇒
SH
⊥
DI.
Vậy DI
⊥
(SHC), mà DI
).()()( SHCSDISDI ⊥⇒⊂
BÀI TẬP
1.Cho tứ dien ABCD có AB
⊥
CD và AH
⊥
(BCD) tại H
a/CMR: (ABH)
⊥
(BCD) và (ABH)
⊥
(ACD)
b/Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 5 10/4/2011

D
C
I
S
B
H
A
t
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA
⊥
(ABCD), SA = a
a/CMR: (SAB)
⊥
(ABCD), (SAB)
⊥
(SAD)
b/CMR: (SAB)
⊥
(SBC), (SAC)
⊥
(SBD)
c/CMR: giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) vuông góc với (SAB)
d/Tính góc giữa các cặp mặt phẳng (SCD) và (SAD), (SCD) và (ABCD),
(SAD) và (SBC).
3. Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Chứng minh rằng mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt
phẳng (BCD).
Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ AH vuông góc với BD, chứng
minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD)

4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoiABCD cạnh a và có
SA = SB = SC = a. Chứng minh:
a/ Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
b/ Tam giác SBD là tam giác vuông tại S.
5. Cho hình chóp đều S.ABC . Chứng minh:
a/ Mỗi cạnh bên của hình chóp đó vuông góc với cạnh đối diện.
b/ Mỗi mặt phẳng chứa một cạnh bên và đường cao của hình chóp đều
vuông góc với cạnh đối diện
§ 4 KHOẢNG CÁCH
A. Lí thuyết cần nắm
1. Khoảng cách từ O đến đường thẳng a là độ dài đoạn OH
⊥
a với H
∈
a, kí hiệu là d(O, a)
Chú ý: d(O,a) = OH
≤
OM với mọi M
∈
a
2. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (
α
) là độ dài đoạn OH
⊥
(
α
) với H
∈
(
α

),
kí hiệu là d(O, (
α
))
Chú ý: d(O,(
α
)) = OH
≤
OM với mọi M
∈
(
α
)
3. Khoảng giữa đường thẳng a mặt phẳng (
α
) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì
thuộc a tới mp(
α
) kí hiệu là d(a, (
α
)) = d(A,(
α
)) với A
∈
(
α
)
4. Khoảng giữa hai mặt phẳng song song (
α
) và (

β
) là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên mặt
phẳng này đến mp kia. Kí hiệu là d((
α
),(
β
)) = d(M,(
β
)) với M
∈
(
α
)
Hay d((
α
),(
β
)) = d(N,(
α
)) với N
∈
(
β
)
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài của đoạn vuông góc chung giữa hai đ,th đó
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và đường cao SO =
3
3
a

. Gọi I là
trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI
a) Tính khoảng cách từ O đến SA
b) Chứng minh: BC
⊥
(SOI)
c) Chứng minh: OK
⊥
(SBC)
d) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Giải
a) Khoảng cách từ O đến SA
Ta có : AI =
3
2
a

AO =
2
3
AI =
3
3
a
và OI =
1
3
AI =
3
6

a
Hạ OH
⊥
SA. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến SA
Tam giác SOA vuông tại O có OH là đường cao nên:
Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 6 10/4/2011
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011

2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3 6
OH OA SO a a a
= + = + =

2
2
6
6 6
a a
OH OH⇒ = ⇒ =
b) Chứng minh BC
⊥
(SOI)
Ta có : BC
⊥
SO ( Vì SO
⊥
(ABC)) và BC
⊥
SI nên BC
⊥

(SOI)
c) Chứng minh OK
⊥
(SBC)
Ta có : BC
⊥
(SOI) và OK
⊂
(SOI)
⇒
OK
⊥
BC
Mặt khác OK
⊥
SI . Vậy OK
⊥
(SBC)
d) Khoảng cách từ O đến (SBC)
Dễ thấy OK là khoảng cách từ O đến (SBC)
Tam giác SOI vuông tại O có OK là đường cao nên:

2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 12 3 15
15
a
OK
OK OI OS a a a

= + = + = ⇒ =

15
15
a
OK⇒ =
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy bằng a và đường cao SO =
2
a
a) Tính khoảng cách từ O đến SD
b) Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI.
* Chứng minh: BC
⊥
(SOI)
* Chứng minh: OK
⊥
(SBC)
c) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và DC
Giải

a) Khoảng cách từ O đến SD:
Ta có : BD = AB
2
= a
2

D 2
D
2 2

B a
O⇒ = =
Hạ OH
⊥
SD thì OH là khoảng cách từ O đến SD
Tam giác SOD vuông tại O, có OH là đường cao nên:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 4 6 6
6
a
OH
OH OD SO a a a
= + = + = ⇒ =
b) * Chứng minh BC
⊥
(SOI)
Ta có: BC
⊥
SO ( vì SO
⊥
(ABCD))
Và BC
⊥
OI
Nên: BC
⊥
(SOI)
* Chứng minh OK
⊥

(SBC)
Theo trên : BC
⊥
(SOI)
⇒
OK
⊥
BC
Mặt khác : OK
⊥
SI
Nên : OK
⊥
(SBC)
c) Khoảng cách từ O đến (SBC)
Ta có: OK
⊥
(SBC)
⇒
OK là khoảng cách từ O đến (SBC)
Tam giác SOI vuông tại O, có OK là đường cao nên :

2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 8 2
4
a
OK
OK OI OS a a a
= + = + = ⇒ =
d) Khoảng cách giữa SI và DC

Ta có :
CI SI
CI DC

⊥
⇒

⊥

Độ dài đoạn thẳng CI là khoảng cách giữa SI và DC
Mặt khác CI =
2
a
. Vậy : khoảng cách giữa SI và DC là
2
a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B
Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 7 10/4/2011
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
với AB = BC =
2
AD
= a và SA
⊥
(ABCD) , SA =
6a
a) Chứng minh rằng:
∆
SAB và
∆

SBC là các tam giác vuông
b) Xác định và tính góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD)
c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SD và SC.
Đường thẳng EF cắt mp(ABCD) tại G. Chứng minh rằng: AF
⊥
SD
và ba điểm A, B, G thẳng hàng
Giải
a) C/M
SAB∆
và
SBC∆
vuông
•
( )
( )
SA ABCD
SA AB SAB
AB ABCD

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊂

vuông tại A
•
( )
(1)
( )

SA ABCD
SA BC
BC ABCD

⊥
⇒ ⊥

⊂

Mặt khác
BC AB⊥
(2)
Từ (1) và (2)
( )BC SAB BC SB SBC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒∆
vuông tại B
b) Xác định và tính góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD)
Gọi I là trung điểm của AD . Ta có BC = AI ; BC // AI và
·
·
1IAB ABC v= =
ABCI⇒
là hình vuông
2
AD
CI AI⇒ = =
Xét
ACD
∆
có
2

AD
CI AI= = ⇒
ACD
∆
vuông tại C
DC AC⇒ ⊥
Mặt khác
( ) (2)SA ABCD SA CD⊥ ⇒ ⊥
Từ (1) và (2)
⇒
Góc giữa 2 mp(SCD) và mp(ABCD) là góc
·
SCA
Trong
SAC∆
vuông tại A ta có:
· ·
0
6
tan 3 60
2
SA a
SCA SCA
AC
a
= = = ⇒ =
c) Ta có AF
⊥
SC (gt) (1)
( ) ( )

AF (2)
AF ( )
CD SAC cmt
CD
SAC

⊥
⇒ ⊥

⊂

Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 8 10/4/2011
Nhóm toán 11 - Trường THPT Phước Long 10/4/2011
Từ (1) và (2)
⇒
AF
⊥
(SCD)
⇒
AF
⊥
SD (3)
Ta có AE
⊥
SD (gt) (4)
Từ (3) và (4)
⇒
SD
⊥
(AEF) mà AG

⊂
(AEF)
⇒
SD
⊥
AG (5)
Mắt khác AG
⊥
SA ( Do SA
⊥
(ABCD) và AG
⊂
(ABCD) ) (6)
Từ (5) và (6)
⇒
AG
⊥
(SAD) (7)
Ta có AB
⊥
(SAD) ( Vì AB
⊥
SA và AB
⊥
AD ) (8)
Từ (7) và (8)
⇒
AG trùng với AB
⇒
Ba điểm A, B, G thẳng hàng

Bài 4: (ĐHKII 2010)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD); SA =
15
2
a
a) Chứng minh: BD vuông góc SC
b) Gọi M là trung điểm BC. Tinh góc giữa đường thẳng SM và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách từ tâm O đến mp(SBC)
Giải
a) Dễ dàng
b) Vì SA
⊥
(ABCD) nên AM là hình chiếu
vuông góc của SM trên (ABCD)
Khi đó (SM; (ABCD)) = (SM;AM) =
·
SMA
Xét tam giác SAM vuông tại A

·
·
0
15
2
tan 3 60
5
2
a
SA
SMA SAM

AM
a
= = = ⇒ =
c) Xét (ABCD), từ O kẻ đường thẳng song song
với BC cắt AB tại I và cắt CD tại K.
Từ I kẻ IH
⊥
SB tại H (3)
Ta lại có BC
⊥
(SAB)
⇒
BC
⊥
IH (4)
Từ (3) và (4) suy ra IH
⊥
(SBC)
Do IK // BC nên IK // (SBC)
Khi đó d(O;(SBC)) = d(I;(SBC)) = IH
Xét
IHB∆
đồng dạng với
SAB∆
ta được
.SA IB
IH
SB
=
Ta có: SA =

15
2
a
; IB =
2
a
SB =
2 2
19 285
2 38
a a
SA AB IH+ = ⇒ =

Đề cương ôn tập HK II - Hình Học 11 Trang 9 10/4/2011