de thi hsg lop 7- 2011

PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm học 2010-2011
Môn thi: Toán 7
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
a, Tính :
1 1 1 1 1 1 1
3 18 54 108 180 270 378
A = − − − − − −
b, Tìm các số nguyên tố x, y sao cho : 51x+26y=2000
c, Tìm số tự nhiên n, biết: (2
14
:1024).2
n
=128
Bài 2 ( 4,0 điểm )
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 108 m. Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn đó
biết chúng lần lượt tỉ lệ với 4 và 3
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho a,b,c
∈
R và a,b,c
≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2

2
( 2011 )
( 2011 )
a b
b c
+
+
(Biết rằng các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho góc vuông xAy. C là một điểm thuộc tia phân giác Az của góc xAy. D là hình chiếu
của C trên Ax, B là hình chiếu của C trên Ay. Trên các đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy
các điểm P, Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng AD+AB. Trên tia Dx lấy điểm E sao cho
DE=QB. Chứng minh rằng:
a,
∆
CDE=
∆
CBQ
b, PC là tia phân giác của góc DPQ.
c, Góc PCQ có số đo bằng 45
0
.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x)= ax
2
+bx+c với a, b, c là các số thực thỏa mãn 13a+b+2c=0. Chứng tỏ
rằng: f(-2).f(3)
≤
0
Hết./.

Đề chính thức
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung cấn đạt Điềm
Bài 1
6,0đ
a,
2,0
đ
1 1 1 1 1 1 1
3 18 54 108 180 270 378
1 1 1 1 1 1 1
( )
3 18 54 108 180 270 378
1 1 1 1 1 1 1
( )
3 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( )
3 3 3 6 6 9 9 18 21
1 1 1 1 1 1 6 1 2 5
( ) .
3 3 3 21 3 3 21 3 21 21
A
A
A
A
A
= − − − − − −
= − + + + + +
= − + + + + +

= − − + − + + + −
= − − = − = − =
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b,
2,0
đ
Ta có: 51x+26y=2000; 26x
M
2; 2000
M
2 suy ra 51x
M
2
mà 51 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x
M
2.
Mặt khác x là số nguyên tố nên x=2
Do đó, ta có: 51.2+26y=2000=>y=73 là số nguyên tố
Vậy x=2; y=73
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
c,
2,0
đ
(2

14
:1024).2
n
=128
(2
14
:2
10
).2
n
=128
2
4
.2
n
=2
7
2
4+n
=2
7
4+n=7
n=3
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2
4,0 điểm

Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ta có:
4 3
a b
k= =
=>a=4k; b=3k
Diên tích mảnh vườn là: a.b=4k.3k=12k
2
=108
=> k
2
=9=>k=3
=>a=12;b=9
1,0đ
1,0đ
1,0đ
1,0đ
Bài 3
2,0điểm
b
2
= ac=>
2011 2011
2011 2011
b a a b b a b a b
c b b c c b c b c
+
= ⇒ = = ⇒ = =
+
2
2011 2011 2011

. .
2011 2011 2011
a b a b a b a a b
b c b c b c c b c
+ + +
 
= ⇒ =
 ÷
+ + +
 
Do đó:
c
a
=
2
2
( 2011 )
( 2011 )
a b
b c
+
+
0,75đ
1,0đ
0,25đ
Bài 4
6,0 đ
0,25đ
a,
1,75

a, Xét
∆
CDE và
∆
CBQ, có:
DC=CB(T/c điểm thuộc tia phân giác)
µ
µ
0
90D B= =
DE=QB(gt)
Do đó
∆
CDE=
∆
CBQ(c.g.c)
1,75đ
b,
2,0
b, Ta có : AP+PQ+AQ=AD+AB(GT)(1)
EP+AP+AQ=DP+AP+AQ+QB=AD+AB(2)
Từ (1)(2)=>EP=PQ
Xét
∆
CEP và
∆
CQP, có:
CP chung
CE=CQ(Cạnh tương ứng của hai tg bằng nhau
∆

CDE=
∆
CBQ)
EP=PQ(c/m trên)
Vậy,
∆
CEP=
∆
CQP(c.c.c)
=>
·
·
EPC CPQ=
=>PC là tia phân giác của góc DPQ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
c,
2,0
c, Kẻ CI
⊥
PQ
Chứng minh được các cặp tam giác bằng nhau:
∆
CDP=
∆
CIP(Cạnh huyền-góc nhọn);
∆
CBQ=
∆

CIQ(Cạnh
huyền-Cạnh góc vuông)
Từ đó chứng minh được CP,CQ lần lượt là tia phân giác của các
góc DCI, ICB
Chứng minh được
· ·
0 0
1 1
.90 45
2 2
PCQ DCB= = =
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
2,0điểm
Ta có: f(-2)=a.(-2)
2
+b(-2)+c=4a-2b+c;f(3)=a.3
2
+b.3+c =9a+3b+c
=>f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0=>f(-2)=-f(3)
=>f(-2).f(3)=-[f(3)]
2

≤
0
0,75đ
0,75đ
0,5đ

Lưu ý:
+, Bài 4: Nếu học sinh không vẽ hình thi không chấm điểm
+, Học sinh giải theo cách khác đúng, phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm tối đa