BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12- CO ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012

Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.

Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số
32
1
231
3
yxxx=− + − +
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Gọi
32
() 6 9 3
f
xx x x=− +−, tìm số nghiệm của phương trình:
[] []
32
() 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−=.
Câu II (4,0 điểm)

1) Giải phương trình
(1 sin )(1 2 sin ) 2(1 2 sin ) cos 0xx xx+−++ =.
2) Giải hệ phương trình
()
2
3
3
22() (2)2
,.
2( 1) 1 0
xy xy
xyxy xy xy
xy
yx
−+
⎧
−=+ +−− −
⎪
∈
⎨
−−+=
⎪
⎩


Câu III (4,0 điểm)
1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu
nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số lớn hơn 2012.
2) Tính tích phân
2

22
2
(sin cos )d
3sin 4cos
x
xx
I
x
x
π
π
−
+
=
+
∫
.
Câu IV (6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy cho đường tròn
22
(): 9Cx y+=, đường thẳng
:33yxΔ=−+ và điểm (3; 0)A . Gọi
M
là một điểm thay đổi trên ()C và B là
điểm sao cho tứ giác
A
BMO là hình bình hành. Tính diện tích tam giác
A
BM , biết

trọng tâm
G của tam giác
A
BM
thuộc
Δ
và G có tung độ dương.
2) Cho hình chóp
.SABCD, đáy là hình chữ nhật có
A
Ba
=
và 2BC a= , mặt phẳng
()SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng ()SBC và ()SCD cùng tạo với đáy một góc
bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA và BD bằng
2
6
a
.
a) Tính thể tích khối chóp
.S ABCD .
b) Tính côsin góc giữa hai đường thẳng
SA và BD .

Câu V (2,0 điểm)
Cho các số thực
,,
x
yz thoả mãn

11
,,1
32
x
yz>>> và
321
2
3221xyz
+
+≥
++
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(3 1)(2 1)( 1)Ax y z
=
−−−.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Số báo danh
… ……
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
1
- 1 -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Đề chính thức)
Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
(Hướng dẫn gồm 04 trang)


CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I 1) 3,0 điểm

● Tập xác định:
D =

.
● Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
'43
y
xx=− + − ; '( ) 0 1
y
xx
=
⇔= hoặc 3x
=
.

0,5
Hàm số nghịch biến trong khoảng: ( ; 1)
−
∞ và (3; )
+
∞ ; đồng biến trên khoảng: (1; 3) .
+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
1
x
=
;
CT
1
3
y
=
− , đạt cực đại tại
3x
=
; y
CĐ
1= .
+ Giới hạn: lim
x
y
→−∞
=+∞; lim
x
y
→+∞

=
−∞.
1,0
+ Bảng biến thiên









1,0
● Đồ thị:
+ Đi qua điểm:
(0; 1) và
1
4;
3
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.

+ Nhận xét: Đồ thị (
C) đối xứng qua điểm
1
2;
3
I
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
0,5
2) 1,0 điểm

4,0
điểm
[
]
[
]
32
() 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−= (1)
(1)
[][]

32
1
() 2 () 3 () 1 0
3
fx fx fx⇔− + − + =
.
0,5

x −∞ 1 3
+
∞
'
y

−
0
+
0
−

y
−
∞
+∞
1
3
−

1
y

1
1
3
4
x

O
1
3
−


WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
2
- 2 -
Đặt
32
1
() 2 3 1
3
gx x x x=− + − + , ta có: (1) ( ( )) 0gfx
⇔
=
() 0
()
gm
mfx
=
⎧

⇔
⎨
=
⎩

() 0 (2)
()(3).
3
gm
m
gx
=
⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩

Số nghiệm của (1) là số nghiệm của (3), với m nhận tất cả các giá trị thoả mãn (2).
Từ đồ thị (
C), suy ra (2) có 3 nghiệm
m
, thoả mãn: 0 1m
<
< , 1 3m
<
< và 3 4m<<.
Cũng từ (

C), ta có:
+ Nếu
01m<<
hay
1
0
33
m
−<− < thì (3) có 3 nghiệm phân biệt.
+ Nếu 1 3m<< hay
1
1
33
m
−<− <−
thì (3) có đúng 1 nghiệm.
+ Nếu 3 4m<< hay
4
1
33
m
−<− <− thì (3) có đúng 1 nghiệm.
Rõ ràng, các nghiệm của (3) trong 3 trường hợp trên là đôi một khác nhau.
Do đó (1) có đúng 5 nghiệm.
0,5
II 1) 2,0 điểm

(1 sin )(1 2 sin ) 2(1 2 sin ) cos 0xx xx+−++ = (1).
(1)
2

22
cos sin (1 2sin ) 2(1 2sin ) cos sin 0
22 2 2
xx x x
xx
⎛⎞ ⎛ ⎞
⇔+ −++ − =
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠

cos sin 0
22
xx
⇔+= (2)
hoặc
cos sin (1 2sin ) (2 4sin ) cos sin 0
22 22
xx xx
xx
⎛⎞ ⎛⎞
+−++ −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
(3)
● (2)
tan 1
2
x
⇔=−

2
2
x
k
π
π
⇔=−+
.
1,0
● (3)
3cos sin 2sin cos 6sin sin 0
22 2 2
xx x x
xx⇔−+ − =

22
3cos sin 4sin cos 12sin cos 0
22 22 22
xx xx xx
⇔−+ − =
33
3sin 4sin 12cos 9cos 0
22 22
xx xx
⇔− + −=
33
sin 3cos 0
22
xx
⇔+ =

22
33
x
l
α
π
⇔= +
,
tan 3
α
=
− .
Vậy, (1) có nghiệm:
2
2
x
k
π
π
=− + hoặc
22
33
x
l
α
π
=+ , tan 3
α
=

− (với ,kl∈ ).
1,0
2) 2,0 điểm

2
3
3
22() (2)2(1)
2( 1) 1 0 (2).
xy xy
xyxy xy xy
yx
−+
⎧
−=+ +−− −
⎪
⎨
−−+=
⎪
⎩

+ Điều kiện:
0, 2 0xy xy+≥ −≥ (*).
+ Khi đó:
2
(1) 2 (2 ) 2 2 ( )
xy xy
x
yxy xyxy
−+

⇔+− −=+++
.
Xét hàm
() 2
t
f
ttt=+
, suy ra: (1) có dạng
(2 ) ( )
f
xy fxy
−
=+
.
Mặt khác
()
f
t
đồng biến, do đó (1)
2
x
yxy
⇔
−=+
hay
2
x
y
=
.

1,0
4,0
điểm
+ Thế vào (2), ta được:
3
3
12(2 1)yy+= − (3).
Đặt
3
21yt=−, phương trình (3) trở thành hệ:
3
3
(2 1)
(2 1)
ty
yt
⎧
=
−
⎪
⎨
=
−
⎪
⎩

1,0
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
3

- 3 -
Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được:
()
22
do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 ,ty y y t t yt=−+−−+−+>∀
Thế vào hệ:
3
(2 1)yy=−
32
812 510yyy⇔− +−=
2
(1)(8 41)0yyy
⇔
−−+= 1
y
⇔=.
12yx=⇒ =, thoả mãn (*). Vậy, hệ đã cho có nghiệm (duy nhất): ( ; ) (2; 1)xy= .
III 1) 2,0 điểm

● Lập số chẵn dạng abcd . Đặt
{
}
0, 1, 2, 3, 4E =
.
+ Chọn
0d =
, chọn thứ tự ,,abc trong tập
{
}
\0E có

3
4
24A
=
cách. Dạng này có 24 số.
+ Chọn
0d ≠ có 2 cách, chọn
{
}
\0,aE d∈ có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập
{
}
\,
E
da
có
2
3
6A =
cách. Dạng này có 2.3.6 36
=
số. Lập được 24 36 60
+
= số.
1,0
● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng 1bcd :
Chọn
d chẵn có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập
{
}

\1,
E
d
có
2
3
6A
=
cách.
Dạng này có:
3.6 18=
số. Suy ra số lớn hơn 2012 có
60 18 42
−
=
số.
Xác suất cần tính:
42 7
60 10
P ==.
1,0
2) 2,0 điểm

0
2
22 22
0
2
(sin cos )d (sin cos )d
3sin 4cos 3sin 4cos

x
xx x xx
I
x
xxx
π
π
−
++
=+
++
∫∫

Đặt
x
t=− , ta có:
00
22
2 2 22 22 2 2
00
22
(sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d
3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos
x
xx t tt t tt x xx
x
xttttxx
ππ
ππ
−

+ −+−+−+
=− = =
++++
∫ ∫∫∫
.
1,0
4,0
điểm
Suy ra:
22
22 2
00
cos d dsin
22
3sin 4cos 4 sin
x
xx
I
x
xx
ππ
==
+−
∫∫
2
0
11 1
dsin
2 sin 2 sin 2
x

xx
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
+−
⎝⎠
∫

2
0
1sin2
ln
2sin2
x
x
π
⎛+⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
1
ln 3
2
= .
1,0
IV 1) 3,0 điểm

(C) có tâm O(0; 0), bán kính

3R =
.
Nhận xét:
()
A
COAOM∈⇒= ⇒ ABMO là hình thoi ⇒ AM OB
⊥
.
Gọi
I
AM OB
=
∩ ⇒
4
3
OG OI= .
Kẻ
//GK AM
,
KOA
∈
, ta có:
4
3
OK OA=
u
uur uuur
⇒ (4; 0)K .
1,0
6,0

điểm
//GK AM
⇒ GK OB
⊥
.
Suy ra
G thuộc đường tròn đường kính OK .
Toạ độ
(; ), 0Gx y y> thoả mãn:
22
33
(2) 4
yx
xy
⎧
=−+
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩

()
2
2
33
13 4
xy
yy
⎧

=+−
⎪
⇔
⎨
+
−+=
⎪
⎩
2
33
22(13)230
xy
yy
⎧
=+−
⎪
⇔
⎨
+− − =
⎪
⎩
(3; 3) (do 0)Gy⇒>.
1,0


x
y
O
M
B

A
G
K
I
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
4
- 4 -
Diện tích:
()( ) () ()
9
22
16
AMB OAM OAI OKG
SS S S
ΔΔ Δ Δ
== =
9.d(,)
.
82
OK G Ox
=
9.4. 3
16
=
93
4
= .
1,0
2) 3,0 điểm

a) Gọi H là hình chiếu của S trên ( )ABCD ,
suy ra
HAB
∈
(do ( ) ( )SAB ABCD⊥ ).
CB HB
⊥
, suy ra góc giữa hai mặt phẳng
()
SBC và ( )ABCD là

SBH .
Hạ ()
HE CD E CD
⊥
∈ , suy ra góc giữa hai
mặt phẳng ( )
SCD và ( )ABCD là

SEH .
Do đó

SBH SEH= 2HB HE a⇒==.
Ta được
//
B
DAE
//( )
B

DSAE⇒
d( , ) d( ,( )) d( ,( ))
SA BD B SAE H SAE⇒= =
(do
A
là trung điểm
HB
)
2
d( ,( ))
6
a
HSAE
⇒=.
1,0
Nhận xét rằng , ,HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra:
2222
1 111
d( ,( ))
H SAE HA HE HS
=++
22 2 2
311 1
24
aa aHS
⇔=++
2SH a
⇔
=
.

Thể tích:
3
(. ) ( )
14
.
33
S ABCD ABCD
a
VSSH
==.
1,0
b) //
B
DAE, suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và
B
D là

SAE .
Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác
SAE , với
22
5
A
ESA SH HA a== + =
và
222SE SH a==
, ta có:


222

1
cos( , ) cos
2. . 5
SA AE SE
SA BD SAE
SA AE
+−
=
==.
1,0
V

Đặt 31 ,21, 1
x
ay bz c−= −= −=; ta có: ,,abc là các số dương và A abc
=
.
Khi đó:
321
2
3221
xyz
++≥
++

321
2
321
abc
⇔++≥

+++
32
321
abc
abc
⎛⎞
⇔
−++≥
⎜⎟
+++
⎝⎠

1
321
abc
abc
⇔++≤
+++
.
0,5
Suy ra: 1
21 3
bc a
bc a
+≤−
++ +
hay
32
321
(2)(1)

bc bc
abc
bc
≥+≥
+++
+
+
(1).
0,5
Tương tự:
22
2
(1)( 3)
ca
b
ca
≥
+
++
(2) và
12
1
(3)(2)
ab
c
ab
≥
+
+
+

(3).
Nhân vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được:
3
4
A
≤
.
0,5
2,0
điểm
Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi:
1
3213
abc
abc
=
==
+++


31
,1,
22
abc⇔= = =

93
,3,
22
xyz
⇔

===
.
Vậy, max
3
4
A = .
0,5
……………………………….……… HẾT……………………………………………….

S
A
B
C
D
E
t
H
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013


ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN – THPT chuyên.
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Ngày thi: 02/11/2012.


Câu 1 (2,5 điểm)
. Giải hệ phương trình
(
)
2
2
2
8
3 2 5 1
8
3 2 5 1 , ,
8
3 2 5 1
x x y
y
y y z x y z
z
z z x
x

+ + = − −



+ + = − − ∈




+ + = − −


ℝ


Câu 2 (1,5 điểm). Cho
, , ,
a b c d
là các số thực dương. Chứng minh rằng
( )( )
( ) ( )
3
3
4
3
3 2 25
2. 3. 4.
6
81
a bc b d
a b c a b a b c d
a b a b c d
+ + ≤
+ + + + + +
+ + + +


Câu 3 (2,0 điểm). Giả sử

n
là một số nguyên dương sao cho
3 2
n n
+
chia hết cho
7
. Tìm số

d
ư
c
ủ
a
2
2 11 2012
n n n
+ +
khi chia cho
7
.

Câu 4 (3,0 điểm).
Cho hình bình hành
ABCD
. G
ọ
i
P
là

đ
i
ể
m sao cho trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng
CP
chia
đ
ôi
đ
o
ạ
n
AD
và trung tr
ự
c c
ủ
a
đ

o
ạ
n
AP
chia
đ
ôi
đ
o
ạ
n
CD
. G
ọ
i
Q
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
BP

.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng
BP
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
AC
.
b) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
4.
BP OE
=
, trong
đ

ó
E
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AC
và
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
AQC
.

Câu 5 (1,0 điểm).
Cho m, n
(
)
4
m n
> >
là các s

ố
nguyên d
ươ
ng và A là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p con có
đ
úng
n
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p
{
}
1,2,3, ,
S m
=
. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
(
)
(
)
2 3 4
1 1
n n n
m n C C C
> − + + + thì ta luôn ch
ọ
n
đượ
c
n
ph
ầ
n t
ử

đ
ôi m
ộ
t phân bi
ệ

t
1 2
, , ,
n
x x x S
∈
sao cho các t
ậ
p h
ợ
p
{
}
, , 1,
i i
A x y x x A y A i n
= + + ∈ ∈ =
th
ỏ
a mãn
j k
A A
= ∅
∩
v
ớ
i m
ọ
i
j k

≠
và
, 1,
j k n
=
.

Hết


- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh……………


WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
6
2




SỞ G
IÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

Môn: TOÁN – THPT chuyên

HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 04 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm
của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai
đó không được điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu
1. (2,5 điểm)
Nội dung
Điều kiện:
1
, ,
5
x y z
≥
. Xét các hàm s
ố

( ) ( )
2
8

3 2, 5 1
f t t t g t t
t
= + + = − −
. Khi
đ
ó ta có
( ) ( )
2
8 5 1
' 2 3 0, ' 0,
5
2 5 1
f t t g t t
t
t
= + > = − − < ∀ >
−
.
Mà
(
)
(
)
,
f t g t
là các hàm s
ố
liên t
ụ

c trên
1
;
5
 
+ ∞


 
suy ra
(
)
f t
đồng biến trên
1
;
5
 
+ ∞


 

và
(
)
g t
nghịch biến trên
1
;

5
 
+ ∞


 
. Không mất tính tổng quát ta giả sử
{
}
min , ,
x x y z
= .
Khi đó ta có:
Nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

x y g x g y f z f x z x g z g x f y f z
< ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ < ⇒ < suy
ra
(
)
(
)
(
)
(
)
y z g y g z f x f y x y
< ⇒ > ⇒ > ⇒ >
, vô lí vì
x y
<
.
Do vậy
x y
=
, tương tự lí luận như trên ta được
x z
=
suy ra
x y z
= =
. Thay trở lại hệ ta
được
2
8

3 2 5 1
x x x
x
+ + = − −
2
8
3 2 5 1 0
x x x
x
⇔ + + − + − =
(1).
Đặt
( )
2
8 1
3 2 5 1, ; .
5
h x x x x x
x
 
= + + − + − ∈ +∞


 
Dễ thấy hàm số đồng biến trên
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
7
3

Nộ
i
dung
1
;
5
 
+ ∞


 
và
(
)
1 0 1
h x
= ⇒ =
là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Vậy nghiệm của
hệ phương trình đã cho là
1.
x y z
= = =


Câu 2. (1,5 điểm)
Nội dung Điểm
Đặt
( )( )
( ) ( )
3

3
4
3
3 2
2 3 4
81
a bc b d
P
a b c a b a b c d
a b a b c d
= + +
+ + + + + +
+ + + +
. Khi đó áp
dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
( )
( )
( )
( )
3 3
2 2
2 .
2 2
a b a b
a a
a b a b c a b a b c
+ +
≤ +
+ + + + + +

( )( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
3
3
2
3
3 3 . .
2 3
2
3
2 3
a b c
bc b c
a b a b c d a b a b c a b c d
a b c
b c
a b a b c a b c d
+ +
=
+ + + + + + + + + +
+ +
≤ + +

+ + + + + +


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3
4
4
3
2 2
4 4.
3 3
81
2
3.
3 3
b d b d
a b a b c d
a b a b c d
b d
a b a b c d
 
=
 
 
+ + + +
+ + + +
 

≤ +
+ + + +


C
ộ
ng t
ừ
ng v
ế
các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c trên ta
đượ
c:
(
)
(
)
( )
(
)
( )
2 3 2
25
2 3 6

a b a b c a b c d
P
a b a b c a b c d
+ + + + + +
≤ + + =
+ + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
a b c d
= = =




Câu 3. (2,0 điểm)
Nội dung Điểm
Đặt
3 ; , ,0 2
n q r q r r
= + ∈ ≤ ≤
ℕ
. Khi đó
( ) (
)
3 2 27 .3 8 .2 1 .3 2 mod7
q
n n q r q r r r
+ = + ≡ − +

Do đó để
( ) ( ) ( )
3 2 0 mod7 1 .3 2 0 mod7 2 1, 0
q
n n r r
q k r
+ ≡ ⇔ − + ≡ ⇔ = + =
.

Suy ra
n
có dạng
6 3
n k
= +
, chú ý nếu
(
)
(
)
6
,7 1 1 mod7
a a
= ⇒ ≡
. Do đó ta có:

+)
(
)
( )

6
6 3
2 2 2 .8 1 mod7
n k k+
= = ≡ (1)

+)
(
)
( )
6
6 3 3 3
11 11 11 .11 4 1 mod7
n k k+
= = ≡ ≡ (2)

+)
( )
(
)
(
)
2
2 2
6
6 3
6 6 9 9 3
2012 2012 2012 .2012 3 27 6 mod7
k
n k k

+
+
= = ≡ ≡
≡ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta được

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
8
4

Nộ
i
dung Điểm
(
)
2 11 2012 1 1 6 1 mod7
n n n
+ + ≡ + + ≡ . Vậy số dư cần tìm là
1
.

Câu 4. (3,0 điểm)
E
O
Q
J
I
M

N
P
D
C
B
A

Nội dung Điểm
a) (2,0 điểm)
Gọi M, N, I, J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, CD, AP, CP. Khi đó
,
NI AP MJ CP
⊥ ⊥


Do I là trung điểm của AP, Q là trung điểm của BP nên
IQ AB
và
2
AB
IQ = t
ừ

đ
ó suy ra
IQ CN
và
IQ CN
=
. Suy ra t

ứ
giác CNIQ là hình bình hành.

Suy ra
CQ NI
. T
ừ

đ
ó, do
NI AP
⊥
nên
CQ AP
⊥
(1)

Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
, c
ũ
ng
đượ
c
AQ CP
⊥

(2)

T
ừ
(1) và (2) suy ra
P
là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác
ACQ
suy ra
PQ AC
⊥
hay
BP AC
⊥



Do
P
là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác
AQC
nên

OA OC OQ OP
+ + =
   

(
)
(
)
1
2
2
OA OC OP OB OP OA OC OB OP
⇔ + + + = ⇔ + + =
        


4 4 4.
OE OP OB OE BP BP OE
⇔ = − ⇔ = ⇒ =
    
.
V
ậ
y
4.
BP OE
=
.

Câu 5. (1,0 điểm)
Nội
dung Điểm
Xét tập hợp
{
}
, , ,
B x y z t x y z t A
= + − − ∈ . Ta sẽ chỉ ra bất đẳng thức sau:
B
≤
2 3 4
1
n n n
C C C
+ + +
(1)



WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
9
5

Nộ
i
dung Điểm
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu 4 số

, , ,
x y z t
đều bằng nhau thì số các số dạng
x y z t
+ − −
bằng 1.
+) Nếu trong 4 số
, , ,
x y z t
có đúng 3 số bằng nhau, giả sử
x y z t
= = ≠
. Khi đó
x y z t x t
+ − − = −
suy ra có tối đa
2
n
C
số
x y z t
+ − −
.
+) Nếu 4 số
, , ,
x y z t
có đúng 2 số bằng nhau. Khi đó nếu
x y
=
thì có tối đa

3
n
C
số dạng
này, còn nếu
x z
=
thì
x y z t y t
+ − − = −
thì có tối đa
2
n
C
số dạng này và đã xét ở trên.
+) Nếu 4 số
, , ,
x y z t
đôi một khác nhau thì có tối đa
4
n
C
số
x y z t
+ − −
.
Do đó có nhiều nhất
2 3 4
1
n n n

C C C
+ + +
số dạng
x y z t
+ − −
. Từ đó suy ra bất đẳng thức
(1).



Gọi
1
1
x S
= ∈
. Đặt
{
}
1 1
\
C S x x x B
= + ∈ suy ra

(
)
1 2 1 2 1
2 0 min
C S B n B x C x x
≥ − > − > ⇒ ∃ = ⇒ >
.

Dễ thấy
1 2
A A
= ∅
∩
. Tiếp theo đặt
{
}
2 1 2
\
C C x x x B
= + ∈ suy ra
(
)
2 1 3 2 3 2
3 0 min
C C B n B x C x x
≥ − > − > ⇒ ∃ = ⇒ >
.

Kiểm tra được ngay
2 3
A A
= ∅
∩
,
1 3
A A
= ∅
∩

. Cứ tiếp tục như vậy đến bước thứ
n
, ta đặt
{
}
1 2 2
\
n n n
C C x x x B
− − −
= + ∈ thì
(
)
1 2 1 1
0
n n n n n n
C C B n n B x C x x
− − − −
≥ − > − = ⇒ ∃ ∈ ⇒ >
Khi đó ta kiểm tra được
i j
A A
= ∅
∩
với mọi
i j
≠
. Vậy luôn tồn tại các phần tử
1 2
, , ,

n
x x x S
∈
thỏa mãn yêu cầu bài toán.



Hết
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
10
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
AN GIANG Năm học 2012 – 2013
Môn : TOÁN (vòng 1)
Lớp : 12
gian làm bài : 180 phút
(Không k th)

Bài 1: (3,0điểm).
Cho hàm s 

 ( m là tham s)
  th hàm s m ci và cc tiu lt là và 
ng thi tam giác  cân ti  vi 



.
Bài 2: (3,0 điểm)
Gi













Bài 3: (3,0 điểm)
Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s:











Bài 4: (4,0 điểm)
Tìm s các nghia :

Trong s các nghim này có bao nhiêu nghim 






 






mt khác nhau.
Bài 5 : (3,0 điểm)
Tìm t nh ca mt hình thang cân ABCD bit rng CD=2AB, 
ng chéo , các t  m A u
n tích bng 36.
Bài 6: (4,0 điểm)
u S.ABCD có cnh bên bng a, góc hp bng cao SH ca hình
chóp và mt bên bng , cho a c nh, i. Tìm   th tích khi chóp S.ABCD là
ln nht.
(Cho biết:



)
Ht
ĐỀ CHÍNH THỨC


ebooktoan.com

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
11
HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12
AN GIANG  2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN VÒNG 1
A.ĐÁP ÁN





Bài 1



 
 



 




  hàm s m cc tr thì  và ta có bng bin
thiên sau

 




 

 0  0 









 m ci và cc tiu là












 Tam giác ABC cân ti C(-4;-2) c 


















































 Vy  th






3,0
điểm
Bài 2
Gi













 Nhn xét: Nu vit i là































thì pm khi  do v ph
 t 








 thành


3,0
điểm
ebooktoan.com
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
12





























 












 


 Lt 





thành 



















 Vi 











 vy  là nghim ca























Vm 






Cách khác:
+ Nhn xét không là nghim c
+ Nu  t li là :































































So vu kim 






Bài 3











 




 t 

























































Vy 






 Xét hàm s 





























































3,0
điểm
ebooktoan.com
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
13
Vy 








Bài 4

 Mi b ba s  tha mãn  
ng vi b
















t2012 s1 và 2 s 0.
y s b ba s cn tìm chính là s các cách sp xp hai ch s 0 và
2012 ch s 1 vào 2013 v trí sao cho hai s ng cnh nhau và
ng cui.

  sp xp các s c hin
* Sp xp 2012 ch s 1 có 1 cách sp xp
* Sp xp s u tiên vào gia 2012 s1 có 2011 cách sp xp (tr  trí
u và cui).
* Sp xp s 0 th hai vào gia 2013 s trên có 2010 cách sp xp ( không
su và cui và không sp bên trái, bên phi s 0 va sp)
* Vì hai s 0 có th i ch cho nhau nên có


các b s cn tìm.
Ta có nhn xét 2012 không chia h
nghim bng nhau.
 m các nghim












.
 có nghim loi này ta thy mi cp 




có duy nht mt s nguyên


vi 



  chn nghim loi này ta thc hin
* Chn mt s nguyên thuc  vào hai v trí 



có 1005 cách
chn.
* S còn li 

là 

t cách chn.
Vy có 1005 b ba s













.
* Vì vai trò 





i ch cho nhau nên có 3.1005 các nghim có hai s
ging nhau
Vy có


 các b nghim








trong







t khác nhau.

4,0
điểm
ebooktoan.com
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
14
Bài 5
* Gng chéo hình thang, t M là nghim ca h










* Ta có nhn xét ng thng
vuông góc
nhau.
CD=2AB suy ra hì
CD
* Vy din tích hình thang cân ABCD là:












* Ta li có







 Vy 































Vy t m A là







(loi)
Vi  do 
















 
* 
Ta li có













Vy t B là




(loi)
Vi    do 
















Vy t nh ca hình thang là .

3,0
điểm
Bài 6
* m ca AC và
BD
Gm ca CD d thy CD (SHM)
nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiu ca SH
lên mt phng (SCD) vy 






* t 























* Tam giác SHM vuông tc























































































* t 













4,0
điểm
M
H
A
B
C
D
S
ebooktoan.com
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
15
Xét hàm s :























































Bng bin thiên

  

+ -









Vy











B. HƯỚNG DẪN CHẤM
+ Hm t
m tng câu có th chia nh n 0,25 và không làm tròn.

ebooktoan.com
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
16
Họ tên TS: SốBD: Chữ ký GT1:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
(Đề thi chính thức)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày: 18 / 11 / 2012
Môn thi: TOÁN - Cấp THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1 (4,0 điểm).
Giải phương trình:

2 2
3
13 4  x x
= 3
Bài 2 (3,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = 3sinxcosx - sin
3
x - cos
3
x
Bài 3 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các số tự nhiên A có 3 chữ số sao cho
A
2
là một số chính
phương và
A
3
là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 4 (5,0 điểm).
Trên đường tròn tâm O, bán kính R cho hai điểm B, C cố định (BC không
phải là đường kính) và điểm A di động. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC,
trên cung không chứa điểm A lấy điểm M bất kỳ. Gọi D và E lần lượt là
các điểm đối xứng của M qua AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng.
b) Khi M đối xứng với A qua O, hãy xác định vị trí của điểm A sao cho
tam giác MDE có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (3,0 điểm).
Cho a

1
, a
2
,…, a
n
là n số thực thoả mãn điều kiện
2 2 2
1 2
1
n
a a a   
. Hãy
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ … + a
n-1
a
n
Bài 6 (2,0 điểm).
Cho 4 xã có trung tâm của mỗi xã nằm ở vị trí là đỉnh của một hình vuông
có cạnh bằng a. Hãy xây dựng một mạng lưới giao thông có độ dài ngắn nhất
nối 4 trung tâm của các xã đó.
HẾT
BC

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
17
Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số


3 2
1 1
y x x   .
1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số


1
biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng
d
có phương trình
5 1 0
x y
  
.
2. Tìm m để đường thẳng

có phương trình


1 1
y m x
  
cắt đồ thị hàm số



1
tại ba
điểm phân biệt


0;1 , ,
A B C
, biết hai điểm
,
B C
có hoành độ lần lượt là
1 2
;
x x
thỏa mãn:





3 3
1 1 2 2
2 2
2 1
2 2
1
1 1
x m x x m x

x x
   
  
 
.
Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình:




2
2 sin cos 1 2sin 2
1 tan
sin 3 sin5
x x x
x
x x
 
 

.
2. Giải hệ phương trình:


 
 
2 2
2
2 2 2

log log 2 .2
, .
2log 6log 1 log 3 3 0
x x
x x y
x y
x y x x y

  



     




Câu 3. (2,0 điểm) Tính tổng:
2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1
.2. .2 . .2 .
2 3 2014
S C C C C
  
     .
Câu 4. (4,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy

cho ba điểm


1;1
A ,


3;2
B ,


7;10
C . Lập phương trình
đường thẳng

đi qua
A
sao cho tổng khoảng cách từ
B
và
C
đến đường thẳng

lớn nhất.
2. Trong không gian tọa độ
Oxyz
cho hai mặt cầu





2
2 2
1
: 1 4
S x y z
   









2 2 2
2
: 3 1 1 25
S x y z
     
. Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao
tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng 1. Gọi
,
M N

là hai điểm thay đổi
lần lượt thuộc các cạnh
,
AB CD
sao cho mặt phẳng


SMN
luôn vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Đặt
,
AM x AN y
 
. Chứng minh rằng
3
x y xy
 
, từ đó tìm
,
x y
để tam giác
SMN
có diện tích bé nhất, lớn nhất.
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho ba số dương
, ,
a b c
thỏa mãn

2 2 2 3 3 3
a b c a b c
    
. Chứng minh rằng
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1
a b c
  
  
.

Hết
(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
================
Đ
Ề
CHÍNH TH
Ứ
C

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
18
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
==============

Lời giải sơ lược
Thang
điểm
Câu
1.1
Cho hàm số


3 2
1 1
y x x   .
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số


1
biết tiếp tuyến này vuông góc
với đường thẳng
d

có phương trình
5 1 0
x y
  
.
3.0
TXĐ:

,
2
' 3 2
y x x
 

Hệ số góc của d là
1
5
 
Hệ số góc của tiếp tuyến là
5
k


1.0
Gọi


0 0
;
M x y

là tiếp điểm
Khi đó


0 0
2
0 0
0 0
1 3
3 2 5
5 23
3 27
x y
x x
x y

 

  
 

   
 

 


1.0

Từ đó tìm được phương trình hai tiếp tuyến:

5 2
y x
 
;
202
5
27
y x 

1.0
1.2
Tìm m để đường thẳng

có phương trình


1 1
y m x
  
cắt đồ thị hàm số


1

tại ba điểm phân biệt


0;1 , ,
A B C
, biết điểm

,
B C
có hoành độ lần lượt là
1 2
;
x x

thỏa mãn:




 
1
3 3
1 1 2 2
2 2
2
2 2
1 2
1 1
x m x x m x
x x
   
  
 
.
2.0
Phương trình hoành độ giao điểm:
   

   
3 2 2
2
0
1 1 1 1 0
1 0 *
x
x x m x x x x m
x x m


 
          

 
   



0.5


cắt đồ thị hàm số


1
tại ba điểm phân biệt
, ,
A B C


phương trình (*) có
hai nghiệm phân biệt khác 0
5
4 5 0
(**)
4
1 0
1
m
m
m
m

   
 


 
 
 


 


0.5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
19

Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của (*), ta có:










3 2
1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
x m x x x x m m m
 
           
 












3 2
2 2 2 2 2
2 1 1 1 1
x m x x x x m m m
 
           
 

Khi đó
 




2 2
2 1
1 1
2 1
1 1
m m
x x
 
  
 

0.5
 

  
 


 
 
2
2 2
1 2 1 2
1 2
2
2 2
2 2
2 1
1 2 1 2 1 2
2 2
2
1 1 1 1 3
1 1
2 1
x x x x
x x
m m
x x
x x x x x x
  
 
     
 
   

Kết hợp với hệ thức Viet ta biến đổi (3) trở thành




   
2
2
2 1 3 1
1
1 2 1 2
m m
m m
  

   
. Từ đó tìm được
0
3
m
m



 


Kết hợp điều kiện (**) ta có
0

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.5
Câu
2.1
1.Giải phương trình:




 
2
2 sin cos 1 2sin 2
1 tan 1
sin3 sin 5
x x x
x
x x
 
 

. 2.5
ĐK:
 
sin3 sin5 0
sin 4 0 *
cos 0
x x
x

x
 

 




0.5
Biến đổi được








2
1 sin cos 1 2sin 2 2 sin 4 cos sin
x x x x x x
    


    
sin cos 0 2
cos sin 1 2sin 2 2 sin 4 3
x x
x x x x
  



  



0.5
   
2
4
x k k


   

(Loại)
0.5


3 cos sin sin3 sin os3 cos 2 sin 4
x x x x c x x x
      
 
2
4
2 sin 3 2 sin 4
3 2
4
28 7
x k

x x k
k
x



 

 

 
    

 
 

 




0.5

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là
 
3 2
7 3, ,
28 7
k
x k m k m

 
    




0.5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
20
2.2
Giải hệ phương trình:




   
 
2 2
2
2 2 2
log log 2 .2 1
, .
2log 6log 1 log 3 3 0 2
x x
x x y
x y
x y x x y

  




     





2.5
ĐK:
0; 1
x y
  

Phương trình






2 2 2 2
1 log log 2 1 log log 1 1
x
x x y x x x y x y
 
           
 

0.5
Thế vào (2) ta có
2
2 2 2
2log 6log log 3 0
x x x x x
   

  


 
2
2 2
2
log 3 0 3
log 3 2log 0
2log 0 4
x
x x x
x x
  
   

 



0.5



3 8
x
 

0.5

Giải (4), xét
     
2
2
2log 0 ' 1
ln 2
f x x x x f x
x
     

 
2
' 0
ln 2
f x x   . Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai
nghiệm. Mà







2 4 0 4
f f
  
có hai nghiệm
2; 4
x x
 

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm








; : 8;7 ; 2;1 ; 4;3
x y
1.0
Câu
3
Tính tổng:
2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1
.2. .2 . .2 .
2 3 2014
S C C C C

  
     .
2.0
Xét








2013 2 2013
0 1 2 2013
2013 2013 2013 2013
1 2 . 2 . 2 . 2x C C x C x C x      0.5
     


2014
2 2
2014 2014
2013 2013
1 1
2
1 2
1 5 3
1 2 1 2 1 2
1
2 4028 4028

x
I x dx x d x


      
 

0.5
     
2
2 2013
0 1 2 2013
2013 2013 2013 2013
1
2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
. 2 . 2 . 2
2
.2 .2 .2
1
2 3 2014
C C x C x C x dx
x x x
C x C C C
 
   
 
 
    

 
 


2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1
.2. .2 . .2 .
2 3 2014
C C C C
  
   
0.5

Vậy
S
2014 2014
5 3
4028




0.5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
21
Câu
4.1

1.Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho ba điểm


1;1
A ,


3;2
B ,


7;10
C . Lập
phương trình đường thẳng

đi qua
A
sao cho tổng khoảng cách từ
B
và
C
đến
đường thẳng

lớn nhất
2.0
TH1:


cắt đoạn thẳng
BC
tại
M





; ;
d B d C BM CM BC
      




0.5
TH2:

không cắt đoạn thẳng
BC
, gọi


5;6
I là trung điểm
BC








; ; 2 ; 2
d B d C d I AI
      







0.5
Vì
80 2 41 2
BC AI
   nên




; ;
d B d C
  
lớn nhất bằng
2 2 41
AI 
khi


vuông góc với
AI

0.5


 
đi qua


1;1
A và nhận


4;5
AI 

là véc tơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng




: 4 1 5 1 0 : 4 5 9 0
x y x y
         

0.5
4.2

2. Trong không gian tọa độ
Oxyz
cho hai mặt cầu




2
2 2
1
: 1 4
S x y z
   









2 2 2
2
: 3 1 1 25
S x y z
     
. Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt
nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
2.0



1
S
có tâm
1
(0;0;1)
I , bán kính
1
2
R




2
S
có tâm
2
(3;1; 1)
I

, bán kính
2
5
R


0. 5
1 2 2 1 1 2 2 1

14I I R R I I R R
      
hai mặt cầu cắt nhau
0.5

Khi đó tọa độ giao điểm của hai mặt cầu thỏa mãn hệ phương trình
0.5
B

∆
C

M

A

B

C

A

∆

I

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
22
 

     
 
2
2 2
2
2 2
2 2 2
1 4
1 4
6 2 4 11 0
3 1 1 25
x y z
x y z
x y z
x y z

   
   
 

 
   
      




Do đó hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn
đó là giao tuyến của măt cầu



1
S
và mặt phẳng
( )
P
:
6 2 4 11 0
x y z
   

 
1
7
;( )
56
d I P 


bán kính đường tròn cần tìm là
 
 
2 2
1 1
5 2
;
4
r R d I P  
0.5
Câu

5
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng 1. Gọi
,
M N
là hai điểm
thay đổi lần lượt thuộc cạnh
,
AB CD
sao cho mặt phẳng


SMN
luôn vuông góc
với mặt phẳng
( )
ABC
. Đặt
,
AM x AN y
 
. Chứng minh rằng
3
x y xy
 
, từ
đó tìm
,

x y
để tam giác
SMN
có diện tích bé nhất, lớn nhất.
3.0
Kẻ
SO MN

tại


O SO ABC
 
( Vì




SMN ABC

)
O

là trọng tâm tam giác đều
ABC

( Vì
.
S ABC
là hình chóp đều )

0. 5
Ta có
0 0 0
1 1 1
.sin 60 . .sin30 . .sin30
2 2 2
AMN AMO ANO
S S S xy x AO y AO
  
    
1 3 1 1 1 1 1 1
. . . . .
2 2 2 2 2 2
3 3
xy x y  



3 1
x y xy
  

0.5
1
.

2
SMN SMN
S SO MN S
 
  nhỏ nhất khi
MN
nhỏ nhất ( Vì
SO
không đổi)
Ta có




2 2
2 2 2 0 2 2
2 cos60 3 9 3
MN x y xy x y xy x y xy xy xy
          
0.5

Từ giả thiết
0 ; 1
x y
  
. Từ
 
4
1 3 2
9

xy x y xy xy
     

  
1
1 1 0 1 1 3
2
x y xy x y xy xy xy
           

0.5
S

A

C

B

N

M

O

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
23
Đặt
4 1

, ;
9 2
t xy t
 
 
 
 

2 2
9 3
MN t t
  

Lập bảng biến thiên hàm số


2
9 3
f t t t
 
4 1
, ;
9 2
t
 

 
 
ta được
MN

nhỏ nhất khi
4
9
t

, khi đó
2
3
x y
 

MN
lớn nhất khi
1
2
t

, khi đó
1
1
2
x
y








hoặc
1
2
1
x
y








1.0
Câu
6
Cho ba số dương
, ,
a b c
thỏa mãn
2 2 2 3 3 3
a b c a b c
    
. Chứng minh rằng
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1
a b c
  

  
.
1.0
Ta có
3 3 2 3 3 2 3 3 2
1 3 ; 1 3 ; 1 3
a a a b b b c c c
        


2 2 2 2 2 2
3 3 3
a b c a b c a b c
          

Đặt
3 3 3
; ; 3
a b c
x a y b z c x y z
a b c a b c a b c
         
     

Ta có
 
1 1 1 1 1 1
2
8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1
a b c x y z

    
     

0. 5

Mà:
1 1 2
4 2
8 1 (2 1)(4 2 1)
x
x x x x
 

   

Tương tự suy ra VP(2)
1 1 1
2
4 2 4 2 4 2
x y z
 
  
 
  
 

Ta chứng minh
1 1 1 1
(3)
4 2 4 2 4 2 2

x y z
  
  

Biến đổi được


3 4 4 4 12
x y z
   
( Bất đẳng thức này luôn đúng bằng cách
sử dụng bất đẳng thức Côsi, với chú ý
3
x y z
  
)

đpcm.
0.5
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi
tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết
nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh
trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống
nhất của cả tổ.
3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
24

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
25