Bộ đề thi học sinh giỏi MÔN TOÁN Lớp 8

®Ò thi häc sinh giái -MÔN : TOÁN Lớp : 8
§Ò sè 1
Bài 1 : a) Phân tích đa thức x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A
M
B biết
A = 10x
2
– 7x – 5 và B = 2x – 3 .
Bài 2 : Cho x + y = 1 và x y
≠
0 . Chứng minh rằng

( )
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x y
x y
y x x y
−
− + =
− − +
Bài 3 : Cho a
2
– 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P =

4 2
2
1a a
a
+ +

Bài 4 : Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất M =
2
2
2 2009a a
a
− +
với a
≠
o
Bài 5 : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ
đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm
của EF
c) Chứng minh S
2
FDC

≥
16 S
AMC
.S
FNA
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với

MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số
BD
DC
Hết
HƯỚNG DẪN

Bài 1 : a) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
-4x
2
+ 4x – x
2
+4x – 4 = x( x
2
– 4x + 4) – ( x
2
– 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 )
2

b) Xét
2
10 7 5 7
5 4
2 3 2 3
A x x

x
B x x
− −
= = + +
− −

Với x
∈
Z thì A
M
B khi
7
2 3x −

∈
Z
⇒
7
M
( 2x – 3)
Mà Ư(7) =
{ }
1;1; 7;7− −

⇒
x = 5; -2; 2 ; 1 thì A
M
B ( 0,25 đ)
Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi
3 3

1 1
x y
y x
−
− −
=
4 4
3 3
( 1)( 1)
x x y y
y x
− − +
− −

=
( )
4 4
2 2
( )
( 1)( 1)
x y x y
xy y y x x
− − −
+ + + +
( do x+y=1
⇒
y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
=
( ) ( )
( )

2 2
2 2 2 2 2 2
( )
( 1)
x y x y x y x y
xy x y y x y yx xy y x x
− + + − −
+ + + + + + + +
(0,25đ)
=
( )
2 2
2 2 2 2
( 1)
( ) 2
x y x y
xy x y xy x y x y xy
− + −
 
+ + + + + +
 
(0,25đ)
1
=
( )
2 2
2 2 2
( )
( ) 2
x y x x y y

xy x y x y
− − + −
 
+ + +
 
=
( )
[ ]
2 2
( 1) ( 1)
( 3)
x y x x y y
xy x y
− − + −
+
(0,25đ)
=
( )
[ ]
2 2
( ) ( )
( 3)
x y x y y x
xy x y
− − + −
+
=
( )
2 2
( 2 )

( 3)
x y xy
xy x y
− −
+
(0,25đ)
=
2 2
2( )
3
x y
x y
− −
+
Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 3 : (0,75đ) Ta có a
2
- 4a + 1 = 0
⇒
a
2
– a + 1 = 3a
⇒

2
1a a
a
− +
=3 (0,25đ)
P =

4 2 2 2
2
1 1 1
.
a a a a a a
a a a
+ + − + + +
=
= 3 .
2
a 1a
a
+ +
(0,25đ)
Mà
2 2
a 1 1 2a a a a
a a a
+ + − +
= +
= 3+2 = 5
Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M =
2
2
2008( 2 2008)
2008
a a
a
− +

=
2 2
2
2008 2. .2008 2008
2008
a a
a
− +
(0,25đ)
=
2 2 2
2
2007 2 .2008 2008
2008
a a a
a
+ − +
(0,25đ) =
2
2
2007 ( 2008) 2007
2008 2008 2008
a
a
−
+ ≥
(0,25đ)
Dấu “=” xảy ra
⇔
a – 2008 = 0

⇔
a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2007
2008
khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được :
DF DC
AM MC
=
( Do AM//DF) (1)

DE BD
AM BM
=
( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) và (2)
⇒

2
DE DF BD DC BC
AM BM BM
+ +
= = =
( MB = MC) ( 0,25đ)

⇒
DE + DF = 2 AM ( 0,25đ)
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành

Ta có
NE AE
ND AB
=
(0,25đ)

NF FA DM DM AE
ND AC MC BM AB
= = = =
(0,5 đ)

⇒
NE NF
ND ND
=
=> NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ)
∆
AMC và
∆
FDC đồng dạng

⇒
2
AMC
FDC
S
AM
S FD
 

=
 ÷
 

∆
FNA và
∆
FDC đồng dạng

⇒
2
FNA
FDC
S
NA
S FD
 
=
 ÷
 
( 0,25đ)
2

⇒

2
AMC
FDC
S
ND

S FD
 
=
 ÷
 
và
2
FNA
FDC
S
DM
S DC
 
=
 ÷
 

⇒

.
AMC FNA
FDC FDC
S S
S S
=
2
ND
FD
 
 ÷

 
.
2
DM
DC
 
 ÷
 

4
1
16
ND DM
FD DC
 
≤ +
 ÷
 
(0,25đ)

⇒
S
2
FDC

≥
16 S
AMC
.S
FNA

(0,25đ)
( Do
( )
2
0x y− ≥

⇔
( )
2
4x y xy+ ≥

⇔

( )
4
2 2
16x y x y+ ≥
với x
≥
0; y
≥
0)
Bài 6 : ( 1 đ)
Kẻ MI // BC ( I
∈
AD)
⇒
MI =
2
BD

Ta có :
MI MH
DC HC
=
( Do MI // BC)
⇒

2
BD MH
DC HC
=
( 1)
( 0,25đ)
∆
MAH và
∆
ACH đồng dạng ( g-g)
⇒
1
2
MH MA
AH AC
= =
(
∆
ABC vuông cân tại A nên AB = AC )
⇒
AH = 2 MH ( 0,25đ)
∆
AMC vuông , ta có AH

2
= MH . HC
⇒
4MH
2
= MH.HC
⇒
HC = 4 MH
( 0,25đ)
Thay vào (1) ta có :
1
2 4 4
BD MH
DC MH
= =

⇒

1
2
BD
DC
=

( 0,25đ)
§Ò sè 2
Bài 1: Cho biểu thức M =







+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:








+
−
+−

2
10
2
2
x
x
x
a) Rút gọn M
M=






+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x

:








+
−
+−
2
10
2
2
x
x
x
=






+
+
−
−

+− 2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
:
2
6
+x
M =
6
2
.
)2)(2(
6 +
+−
− x
xx
=
x−2
1
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
:

x
=
2
1
⇔
x =
2
1
hoặc x = -
2
1

Với x =
2
1
ta có : M =
2
1
2
1
−
=
2
3
1
=
3
2
Với x = -
2

1
ta có : M =
2
1
2
1
+
=
2
5
1
=
5
2

Bài 2: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn
3
I
M
D
H
C
B
A
N
E
D
M
C
A

B
F
0=++
z
c
y
b
x
a
và
1=++
c
z
b
y
a
x
. Chứng minh rằng
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y

a
x
HD Từ
0=++
z
c
y
b
x
a
⇒
0=
++
xyz
cxybxzayz
⇒
ayz + bxz + cxy = 0
Từ
1=++
c
z
b
y
a
x
⇒
2
2
2
2

2
2
c
z
b
y
a
x
++
+
ab
xy2
+
bc
yz2
+
ac
xz2
= 1
⇒
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y

a
x
++
+
abc
xyc2
+
abc
yza2
+
acb
xzb2
=1
Mà ayz + bxz + cxy = 0
⇒
2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc
≠
0)
Hay
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b

y
a
x
(đpcm)
Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
a. Ta có : A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2

c
2
= ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- (2bc)
2
= ( b
2
+ c
2
- a
2
-2bc)( b
2
+ c
2
-
a
2
+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
Vậy A< 0
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =

1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
=
1)1(
)1(3
2
+++
+
xxx
x
=
)1)(1(
)1(3
2
++
+
xx

x
=
1
3
2
+x
Do x
2
+1>0 nên B =
1
3
2
+x
≤
3 Dấu ''='' xãy ra
⇔
x = 0
Vậy GTLN của B là 3
⇔
x = 0
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I,J lần lượt thuộc hai
cạnh BC và CD sao cho góc IAJ =45
0
.Đường chéo BD cắt
AI và AJ tương ứng tại H và K. Tính tỉ số
J I
HK
.
Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =45
0

, suy ra tứ giác AHJD
nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân tại H.
Suy ra
2
2
=
AJ
AH
(1)
Xét tương tự ta có
2
2
=
AI
AK
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
JI~ AAHK ∆∆
. Do đó

J I
HK
=
2
2
=
AJ
AH
.
§Ò sè 3

C©u 1
4

H

K

A

D

B

C

J

I
Cho T=
2 2
3 2 2
( 1) 4 ( 4) 5 1
:
2 ( 1) ( 2)
x x x x x x
x x x x x
+ +
+
.
a/ Rút gọn T. b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất.

HD*TXĐ x

1.
a/ Rút gọn T=
2 2
3 2 2
( 1) 4 ( 4) 5 1
:
2 ( 1). ( 2)
x x x x x x
x x x x x
+ +
+
=
2
3 2 2
( 1) 1
:
2 2 2 2 1
x x
x x x x x

+ +
=
2
2
( 1) 1
.
( 1)( 2 2) 1
x

x x x x

+ +
=
2
1
( 1) 1x + +

b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì
2
( 1) 1x +
nhỏ nhất mà (x+1)
2
+1>1 .
Vậy x=-1 thì T=1 là lớn nhất
Bi 2: Chng minh rng nu
)1()1(
22
xzy
xzy
yzx
yzx


=


Vi x

y ; xyz

0 ; yz

1 ; xz

1.
Thỡ : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD T GT

(x
2
-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y
2
- xz)

x
2
y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2
z - xy

3
z +x
2
yz
2


x
2
y- x
3
yz - y
2
z+ xy
2
z
2
- xy
2
+x
2
z + xy
3
z - x
2
yz
2
= 0

xy(x-y) +xyz(yz +y

2
- xz - x
2
)+z(x
2
- y
2
) = 0

xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0

(x -y)
[ ]
yzxzzyxxyzxy ++++ )(
= 0
Do x - y

0 nờn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (pcm)
Bi 3: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh sau: x
2
-4xy+5y
2
=16
HD
Ta cú: x
2
-4xy+5y
2
=16

x
2
-4xy+4y
2
+y
2
= 16

(x-2y)
2
+y
2
= 16
Vỡ x, y

Z nờn (x-2y)

Z
Tng hai bỡnh phng ca hai s nguyờn bng 16 thỡ ch cú 2 kh nng xy ra
a)
(x-2y)
2
=0

x=8; y=4
y
2
=16 x=-8; y=-4
b) y

2
=0 x=4; y=0
(x-2y)
2
=16

x=-4; y=0

Vy phng trỡnh cú 4 nghim nguyờn: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)
5
Câu 4 (2 điểm): Một ngời đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một
nửa giờ sau một ngời đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời đi xe máy 10 phút.
Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy.
HD Gọi vận tốc của ngời đi xe máy là x km/h (x > 0)
=> vận tốc của ngời đi xe ô tô là 1,5x km/h .
thời gian ngời đi xe máy là:
80
x
(h) , thời gian ngời đi xe ô tô là:
80
1,5x
( h)
theo bài ra ta có pt:
80
x
-
80
1,5x
=
2

3
(ô tô đi trớc 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) =
2
3
(h)
giải pt trên đợc x= 40. Vậy vận tốc của ngời đi xe máy là 40 km/h, vận tốc của ngời đi xe ô
tô là 60 km/h
Bi 4: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H. ng
thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct nhau ti G.
a) Chng minh rng GH i qua trung im ca BC.
b)

ABC ~

AEF c)

BDF =

CDE
d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DE
Gii
a)BG

AB, CH

AB, nờn BG // CH
Tng t BH

AC, CG

AC nờn BH//CG
T giỏc BGCH cú cỏc cp cnh i song
song nờn nú l hỡnh bỡnh hnh.
Do ú hai ng chộo ct nhau ti trung
im ca mi ng.Vy GH i qua trung im
M ca BC.
b) Do BE v CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC
nờn cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng.
Hai tam giỏc vuụng ABE v ACF cú chung gúc A nờn
chỳng ng dng
Suy ra
AF
AE
AC
AB
=



AF
AC
AE
AB
=
(1)
Hai tam giỏc ABC v AEF cú gúc A chung (2)
T (1) v (2) suy ra

ABC ~

AEF.
c) Chng minh tng t ta c:

BDF ~

BAC,

EDC ~

BAC, suy ra

BDF ~

EDC



BDF =

CDE
d) Ta cú

BDF =

CDE

90
0
-

BDF = 90
0
-

CDE

90
0
-

BDF = 90
0
-

CDE



ADB -

BDF =

ADC -

CDE



ADF =

ADE
Suy ra: DH l tia phõn giỏc gúc EDF. Chng minh tng t ta cú FH l tia phõn giỏc gúc
EFD. Suy ra H l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF. Vy H cỏch u ba cnh
ca tam giỏc DEF.
6

H

A

B

C

G

D

E

F
Đề số 4
Bài 1
a) Chứng minh rằng phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số

2
n 4
A
n 5
+
=
+
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân
số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) M d hay 1 M d d = 1.
Vậy phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5
n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản. Suy ra
n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29
n + 5 =29k (k N) hay n=29k 5.

Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009
1 k 69 hay k{1; 2; ; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài.
Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690.
Bài 2. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Lời giải
Ta có :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +

1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
a b 0
b c 0
c a 0
ộ
+ =
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ
+ =
ở

a b
b c
c a

ộ
=-
ờ
ờ
=-
ờ
ờ
=-
ở
đpcm.
Từ đó suy ra :
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a
+ + = + + =
-

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1
a b c a ( c) c a
= =
+ + + - +

2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
7

Bài 3:Tỡm GTNN ca B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
HD : B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 8.
MinB = 8 khi : .
Bài 4 : Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3).
Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì
hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công
việc. Nếu công việc trên đợc giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để
hoàn thành
Bi 5: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H. ng
thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct nhau ti G.
a) Chng minh rng GH i qua trung im ca BC.
b)

ABC ~

AEF
c)

BDF =

CDE
d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF
Gii
a)BG

AB, CH

AB, nờn BG // CH
Tng t BH

AC, CG

AC
nờn BH//CG
T giỏc BGCH cú cỏc cp cnh i song
song nờn nú l hỡnh bỡnh hnh.
Do ú hai ng chộo ct nhau ti trung
im ca mi ng.Vy GH i qua trung im
M ca BC.
b) Do BE v CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC
nờn cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng.
Hai tam giỏc vuụng ABE v ACF cú chung gúc A nờn chỳng ng dng
Suy ra
AF
AE
AC
AB
=



AF
AC
AE
AB
=
(1)
Hai tam giỏc ABC v AEF cú gúc A chung (2)
T (1) v (2) suy ra

ABC ~

AEF.
c) Chng minh tng t ta c:

BDF ~

BAC,

EDC ~

BAC, suy ra

BDF ~

EDC



BDF =

CDE
d) Ta cú

BDF =

CDE

90
0

-

BDF = 90
0
-

CDE

90
0
-

BDF = 90
0
-

CDE



ADB -

BDF =

ADC -

CDE

ADF =

ADE
Suy ra: DH l tia phõn giỏc gúc EDF. Chng minh tng t ta cú FH l tia phõn giỏc gúc
EFD. Suy ra H l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF. Vy H cỏch u ba cnh
ca tam giỏc DEF.
Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
8

H

A

B

C

G

D

E

F
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do đó :

1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;
a b a b P
+ -
+ = =


3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta có : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +

=
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
Ví dụ 4 . Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ
thuộc vào giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lời giải
Cách 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +

= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx + C
với :
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta có :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)

- + - + -
= =
- - -
;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -


(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
.
Vậy S(x) = 1x (đpcm).
Cách 2
Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có
tối đa hai nghiệm.
9
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.
Ví dụ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1

B x
x
= +
; c)
4
4
1
C x
x
= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lời giải
a)
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;
b)
3
3
3
1 1 1
B x x 3 x 27 9 18
x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + = + - + = - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
;
c)
2
4 2
4 2
1 1
C x x 2 49 2 47
x x

ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;
d)
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + = + + + = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
D = 7.18 3 = 123.
Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1

+
= +
+ - + -
.
Lời giải
Ta có :
2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -
Đồng nhất phân thức trên với phân thức
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta đợc :

a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1
ỡ ỡ
+ = =-
ù ù
ù ù
ù ù
ù ù
- = =-
ớ ớ

ù ù
ù ù
- = =
ù ù
ù ù
ợ ợ
. Vậy
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
Đề số 5
Bi 1 :( 1,5 im)
a) Phõn tớch a thc x
3
5x
2
+ 8x 4 thnh nhõn t

b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A
M
B bit
A = 10x
2
7x 5 v B = 2x 3 .
Bi 2 : (1,5 im) Cho x + y = 1 v x y

0 . Chng minh rng

( )
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x y
x y
y x x y

+ =
+
10
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng :
2
2
1 1
3
3 1
x x
x x
+ +
≤ ≤
− +
c) Cho a
2
– 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức

P =
4 2
2
1a a
a
+ +

Bài 4 : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất
M =
2
2
2 2008a a
a
− +
với a
≠
o
Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh
BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung
điểm của EF
c) Chứng minh S
2
FDC

≥
16 S
AMC
.S

FNA
Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông
góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số
BD
DC
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 : ( 1,5 điểm)
a) ( 0,75đ) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
-4x
2
+ 4x – x
2
+4x – 4 ( 0,25 đ )
= x( x
2
– 4x + 4) – ( x
2
– 4x + 4) ( 0,25 đ)
= ( x – 1 ) ( x – 2 )
2
( 0,25 đ)
b) (0,75đ) Xét
2

10 7 5 7
5 4
2 3 2 3
A x x
x
B x x
− −
= = + +
− −
( 0,25 đ)
Với x
∈
Z thì A
M
B khi
7
2 3x −

∈
Z
⇒
7
M
( 2x – 3) ( 0,25 đ)
Mà Ư(7) =
{ }
1;1; 7;7− −

⇒
x = 5; -2; 2 ; 1 thì A

M
B ( 0,25 đ)
Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi
3 3
1 1
x y
y x
−
− −
=
4 4
3 3
( 1)( 1)
x x y y
y x
− − +
− −

=
( )
4 4
2 2
( )
( 1)( 1)
x y x y
xy y y x x
− − −
+ + + +
( do x+y=1
⇒

y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
=
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
( )
( 1)
x y x y x y x y
xy x y y x y yx xy y x x
− + + − −
+ + + + + + + +
(0,25đ)
=
( )
2 2
2 2 2 2
( 1)
( ) 2
x y x y
xy x y xy x y x y xy
− + −
 
+ + + + + +
 
(0,25đ)
=
( )
2 2
2 2 2

( )
( ) 2
x y x x y y
xy x y x y
− − + −
 
+ + +
 
=
( )
[ ]
2 2
( 1) ( 1)
( 3)
x y x x y y
xy x y
− − + −
+
(0,25đ)
11
=
( )
[ ]
2 2
( ) ( )
( 3)
x y x y y x
xy x y
− − + −
+

=
( )
2 2
( 2 )
( 3)
x y xy
xy x y
− −
+
(0,25đ)
=
2 2
2( )
3
x y
x y
− −
+
Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) ( 0,75đ) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n
∈
Z )
Ta có ( n-1)
3
+n
3
+ ( n+1)
3
= 3n

3
+6n (0,25đ)
= 3n
3
-3n +9n = 3n(n
2
-1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ)
Vì
9 9
3 ( 1)( 1) 9
n
n n n


− +

M
M

⇒
3n (n-1) (n+1) + 9n
M
9 (0,25đ)
b) (1đ) Ta có (x+1)
2

≥
0
⇔

2( x+1)
2

≥
0
⇔
2x
2
+4x+2
≥
0

⇔
3x
2
+3x+3
≥
x
2
-x+1
⇔
3(x
2
+x+1)
≥
x
2
-x+1 (*)
Tương tự, ta có từ (x-1)
2

≥
0
⇔
3(x
2
-x+1)
≥
x
2
+x+1 (**) (0,25đ )
Vì x
2
-x+1 = ( x-
1
2
)
2
+
3
4
> 0 (0,25đ)
Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x
2
-x+1
ta có
2
2
1 1
3 1
x x

x x
+ +
≤
− +
(0,25đ)
Chia 2 vế của bất đẳng thức (**) cho x
2
-x+1
ta có
2
2
1
3
1
x x
x x
+ +
≤
− +
suy ra đccm (0,25đ)
c) (0,75đ) Ta có a
2
- 4a + 1 = 0
⇒
a
2
– a + 1 = 3a
⇒

2

1a a
a
− +
=3 (0,25đ)
P =
4 2 2 2
2
1 1 1
.
a a a a a a
a a a
+ + − + + +
=
= 3 .
2
a 1a
a
+ +
(0,25đ)
Mà
2 2
a 1 1 2a a a a
a a a
+ + − +
= +
= 3+2 = 5
Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M =
2
2

2008( 2 2008)
2008
a a
a
− +
=
2 2
2
2008 2. .2008 2008
2008
a a
a
− +
(0,25đ)
=
2 2 2
2
2007 2 .2008 2008
2008
a a a
a
+ − +
(0,25đ) =
2
2
2007 ( 2008) 2007
2008 2008 2008
a
a
−

+ ≥
(0,25đ)
Dấu “=” xảy ra
⇔
a – 2008 = 0
⇔
a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2007
2008
khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được :
DF DC
AM MC
=
( Do AM//DF) (1)

DE BD
AM BM
=
( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) và (2)
⇒

2
DE DF BD DC BC
AM BM BM
+ +
= = =

( MB = MC) ( 0,25đ)
12

⇒
DE + DF = 2 AM ( 0,25đ)
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành
Ta có
NE AE
ND AB
=
(0,25đ)

NF FA DM DM AE
ND AC MC BM AB
= = = =
(0,5 đ)

⇒
NE NF
ND ND
=
=> NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ)
∆
AMC và
∆
FDC đồng dạng

⇒
2

AMC
FDC
S
AM
S FD
 
=
 ÷
 

∆
FNA và
∆
FDC đồng dạng

⇒
2
FNA
FDC
S
NA
S FD
 
=
 ÷
 
( 0,25đ)

⇒

2
AMC
FDC
S
ND
S FD
 
=
 ÷
 
và
2
FNA
FDC
S
DM
S DC
 
=
 ÷
 

⇒

.
AMC FNA
FDC FDC
S S
S S
=

2
ND
FD
 
 ÷
 
.
2
DM
DC
 
 ÷
 

4
1
16
ND DM
FD DC
 
≤ +
 ÷
 
(0,25đ)

⇒
S
2
FDC

≥
16 S
AMC
.S
FNA
(0,25đ)
( Do
( )
2
0x y− ≥

⇔
( )
2
4x y xy+ ≥

⇔

( )
4
2 2
16x y x y+ ≥
với x
≥
0; y
≥
0)
Bài 6 : ( 1 đ)
Kẻ MI // BC ( I
∈

AD)
⇒
MI =
2
BD
Ta có :
MI MH
DC HC
=
( Do MI // BC)
⇒

2
BD MH
DC HC
=
( 1)
( 0,25đ)
∆
MAH và
∆
ACH đồng dạng ( g-g)
⇒
1
2
MH MA
AH AC
= =
(
∆

ABC vuông cân tại A nên AB = AC )
⇒
AH = 2 MH ( 0,25đ)
∆
AMC vuông , ta có AH
2
= MH . HC
⇒
4MH
2
= MH.HC
⇒
HC = 4 MH
( 0,25đ)
Thay vào (1) ta có :
1
2 4 4
BD MH
DC MH
= =

⇒

1
2
BD
DC
=

( 0,25đ)

13
N
E
D
M
C
A
B
F
I
M
D
H
C
B
A
§Ò sè 6
Bài 1 ( 2,0 điểm ) :
Cho biểu thức P =
2
)1(
:
1
1
1
1
2
2233
−
−









−
+
+








+
−
−
x
xx
x
x
x
x
x
x

a) Tìm tập xác định của P rồi rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị là số nguyên.
Bài 2 ( 2,5 điểm ) :
a) Cho biểu thức M =
32
2
2
++ xx
.

Với giá trị nào của x thì M có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ?
b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn
chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó ?
Bài 3 ( 2,5 điểm ) :
a) Cho a ≥ 1 và b ≥ 1 . Chứng minh :
ab
ba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
. Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?

b) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :
mx
xm
mm
mx
m
+
=
−
+−
+
−
1343
22
2

Bài 4 ( 3,0 điểm ) :
Cho ∆ABC vuông ở A, có B = 20
0
. Vẽ phân giác BI của ABC ( I ∈ AC ) và lấy điểm H
∈ AB sao cho ACH = 30
0
:
a) Chứng minh BI
2
< AB . BC ?
b) Vẽ CK là phân giác của HCB, chứng minh CK // IH ?
c) Tính số đo của CHI ?
HD
Bài 1 ( 2,0 điểm )

a) 1,0 điểm
+ Tập xác định x ≠ 1; x ≠ - 1 và x ≠ ±
2
0,25đ
+ Rút gọn P =
x
x 2
2
−
0,75đ
b) 1,0 điểm
+ Viết P = x -
x
2
0,25đ
14
+ Để P có giá trị nguyên thì x là ước của 2 ⇔ x = ± 1 ( loại ) 0,25đ
x = ± 2 ( nhận ) 0,25đ
+ Từ đó các giá trị nguyên của P là 1 và - 1 0,25đ
Bài 2 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
+ Viết M =
2)1(
2
2
++x
0,25đ
+ Vì ( x + 1 )
2
≥ 0 với mọi x ⇒ ( x + 1 )

2
+ 2 ≥ 2 với mọi x 0,25đ
+ Có M ≤
1
2
2
=
nên M có giá trị lớn nhất là M = 1 0,25đ
+ Dấu “ = ” xảy ra khi x = -1 0,25đ
b) 1,5 điểm
Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + 7 (m), điều kiện x > 0 0,25đ
Theo định lý Pi-ta-go thì x
2
+ ( x + 7 )
2
= 13
2
0,25đ
⇔ x
2
+ x
2
+ 14x + 49 = 169
⇔ 2x
2
+ 14x - 120 = 0
⇔ ( x + 12 )( 2x - 10 ) = 0
Vậy x = -12 ( loại ) hoặc x = 5 ( nhận ) 0,5đ
Tính được diện tích của hình chữ nhật S = 60m
2

0,5đ
Bài 3 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
+ Chuyển vế và tách -
ab+1
2
= -
abab +
−
+ 1
1
1
1
0,25đ
+ Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng 0,25đ
+ Đặt nhân tử chung trên tử thức để có :
)1)(1)(1(
)1()(
22
2
abba
abab
+++
−−
0,25đ
+ Vì a ≥ 1 và b ≥ 1 nên phân thức trên ≥ 0 ; từ đó suy ra điều cần c/m 0,25đ
b) 1,5 điểm
+ ĐKXĐ : x ≠ ± m 0,25đ
+ Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) 0,25đ
+ Với m ≠ 1 ta có x = 2m -3 0,25đ

+ Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - 3 ≠ m ⇔ m ≠ 3 và 2m - 3 ≠ - m ⇔ m ≠ 1 0,25đ
Vậy khi m ≠ 1 và m ≠ 3 thì PT đã cho có 1 nghiệm x = 2m - 3 0,25đ
+ Với m = 1, PT có dạng 0.x = 0 ⇒ mọi số thực x ≠ ± 1 đều là nghiệm của PT 0,25đ
15
Bi 4 ( 3,0 im )
a) 1,0 im ( Hỡnh v )
B + Cú BIC > A V BIN = A ( N BC ) 0,25
ABI IBN ( g-g ) 0,25
AB/ BI = BI/ BN BI
2
= AB.BN 0,25
M + Cú BN < BC nờn BI
2
< AB.BC 0.25
K
b) 1,5 im
+ Tớnh c HCB = 40
0
HCK = BCK = 20
0
0,25
H N + Tam giỏc vuụng AHC cú ACH = 30
0
AH = CH/2 0,25 (1)
+ Vỡ CK l phõn giỏc HCB nờn kt hp vi (1)
A I C

=






=
BK
BC
HK
CH
HK
AH
2
1
2
1
0,25 (2)
+ V KM BC ti M thỡ BMK BAC ( g-g )
BM
AB
BK
BC
=

BM

AB
BK
BC
22
=
0,25
Kt hp vi (2)
HK
AH
BC
AB
BK
BC
==
2
(3) ; vỡ BI l phõn giỏc ABC nờn
BC
AB
IC
IA
=
(4) 0,25
+ T (3) & (4)
HK
AH
IC
IA
=
HI //
CK 0,25

c) 0,5 im Do HI // CK nờn CHI = HCK = 20
0
( 2 gúc so le
trong ) 0,5
Đề 7
Câu 1 (1,5 điểm):
a/ Tính nhanh: 999.1001+99
2
.
b/ Phân tích đa thức thành nhân tử : +/ x
2
-7x+10.
+/ x
2
-2x-y
2
+1.
Câu 2 (2 điểm):
a/ Giải phơng trình:
1 3 4
3 2 4
x x x
=
b/ So sánh A và B biết: A= (1+
1
2
)(1+
2
1
2

)(1+
4
1
2
)(1+
8
1
2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
) và B=2.
Câu 3 (2 điểm):
16
Cho T=
2 2
3 2 2
( 1) 4 ( 4) 5 1
:
2 ( 1) ( 2)
x x x x x x
x x x x x
+ +
+
.

a/ Rút gọn T.
b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2 điểm): Một ngời đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một nửa giờ
sau một ngời đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời đi xe máy 10 phút. Tính vận tốc của
mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy.
Câu 5: (2,5 điểm): Cho
ABC

vuông tại A; H nằm trên đoạn BC ( H không trùng B hoặc C).
Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua AB, AC và HE cắt AB tại P, HF cắt AC tại Q.
a/ Tứ giác HPAQ là hình gì? Tại sao?
b/ Chứng minh: AC.BP=AB.AQ.
c/ Chứng minh ba điểm: E, A, F thẳng hàng.
@
HD
Câu 1 (1,5 điểm):
a/ Tính nhanh: 999.1001+99
2
= (1000-1)(1000+1)+(100-1)
2
=1000
2
-1+100
2
-200+1=
1000000+10000-200=1009800 ( 0,5 điểm)
b/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
+/ x
2
-7x+10 = (x

2
-2x)-(5x-10)= x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5). ( 0,5 điểm)
+/ x
2
-2x-y
2
+1= (x
2
-2x+1)-y
2
= (x-1)
2
-y
2
= (x-1+y)(x-1-y) ( 0,5 điểm)
Câu 2 (2 điểm):
a/ Giải phơng trình:
1 3 4
3 2 4
x x x
=



4( 1) 6(3 4) 3
12 12 12
x x x
=

4(x-1)=6(3x-4)-3x

4x-4=18x-24-3x => x=
20
11
. ( 1 điểm)
b/ Ta có
1
1
2


ữ

A=
1
1
2


ữ

(1+
1
2
)(1+
2
1
2
)(1+
4

1
2
)(1+
8
1
2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
)
= (1-
2
1
2
)(1+
2
1
2
)(1+
4
1
2
)(1+
8
1

2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
) = (1-
4
1
2
)(1+
4
1
2
)(1+
8
1
2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
)

= (1-
8
1
2
)(1+
8
1
2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
) = (1-
16
1
2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
) = (1-
32

1
2
)(1+
32
1
2
) = (1-
64
1
2
)
=> A = 2(1-
64
1
2
) = 2 -
63
1
2
. Do
63
1
2
> 0 => 2 -
63
1
2
< 2 . Vậy A<B ( 1 điểm)
17
Câu 3 (2 điểm): Cho T=

2 2
3 2 2
( 1) 4 ( 4) 5 1
:
2 ( 1). ( 2)
x x x x x x
x x x x x
+ +
+
. TXĐ x

1.
a/ Rút gọn T=
2 2
3 2 2
( 1) 4 ( 4) 5 1
:
2 ( 1). ( 2)
x x x x x x
x x x x x
+ +
+
=
2
3 2 2
( 1) 1
:
2 2 2 2 1
x x
x x x x x

+ +
=
2
2
( 1) 1
.
( 1)( 2 2) 1
x
x x x x

+ +
=
2
1
( 1) 1x + +
( 1 điểm)
b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì
2
( 1) 1x +
nhỏ nhất mà (x+1)
2
+1>1 .
Vậy x=-1 thì T=1 là lớn nhất. ( 1 điểm)
Câu 4 (2 điểm): Gọi vận tốc của ngời đi xe máy là x km/h (x > 0)
=> vận tốc của ngời đi xe ô tô là 1,5x km/h . (0,5 điểm )
thời gian ngời đi xe máy là:
80
x
(h) , thời gian ngời đi xe ô tô là:

80
1,5x
( h) (0,5điểm )
theo bài ra ta có pt:
80
x
-
80
1,5x
=
2
3
(ô tô đi trớc 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) =
2
3
(h)
giải pt trên đợc x= 40. (0,5điểm )
Vậy vận tốc của ngời đi xe máy là 40 km/h,
vận tốc của ngời đi xe ô tô là 60 km/h (0,5điểm )
Câu 5: (2,5 điểm) HS vẽ hình, ghi giả thiết đúng đợc (0,25 điểm )
a/ Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông
ã
PAQ
= 90
0
;
ã
HPA
= 90
0

;
ã
HQA
= 90
0
(0,75 điểm )
b/ Do HP// AC =>
PBH
:

ABC
=>
PB PH
AB AC
=

AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ (0,75 điểm )
c (0,75 điểm )
Đề 8
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
A
B
C

H
E
P
Q
18
F
Bài 2: (2điểm)
Giải phơng trình:
1.
2
3 2 1 0x x x + + =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Bài 3: (2điểm)
1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(
9)
111
++
cba

2. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa thức
2
10 21x x+ +
.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy điểm D sao
cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng.
Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
19
Bài
1
Câu Nội dung Điểm
1.
2,0
1.1

(0,75 điểm)
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + +

( ) ( )
1 6x x= + +
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + +
0,25
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + +
0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + +
0,25
2.
2,0
2.1
2
3 2 1 0x x x + + =
(1)
+ Nếu

1x
: (1)
( )
2
1 0 1x x = =
(thỏa mãn điều kiện
1x
).
+ Nếu
1x <
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = =

1; 3x x = =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
0,5
0,5
2.2
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1

8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
0x
(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ



( ) ( )
2
2 2
2

2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x = =
và
0x
.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x
=
0,25
0,5
0,25
20
3
2.0
3.1 Ta có:
A=
111)
111
)(( ++++++++=++++
b
c
a
c

c
b
a
b
c
a
b
a
cba
cba
=
)()()(3
c
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
++++++
Mà:
2+
x
y
y

x
(BĐT Cô-Si)
Do đó A
.92223 =+++
Vậy A
9
0,5
0,5
3.2 Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + +
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t= + + = +
Do đó khi chia
2
2 1993t t +
cho t ta có số d là 1993
0,5

0,5
4
4,0
4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng
dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
ã
ã
0
135BEC ADC= =
(vì tam giác AHD vuông
cân tại H theo giả thiết).
Nên
ã
0
45AEB =
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
1,0
0,5
4.2
Ta có:
1 1

2 2
BM BE AD
BC BC AC
= ì = ì
(do
BEC ADC :
)
mà
2AD AH=
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA :
)
Do đó
BHM BEC :
(c.g.c), suy ra:
ã
ã
ã
0 0
135 45BHM BEC AHM= = =
0,5

0,5
0,5
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= = =:
0,5
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= = =
+ + +
0,5
Đề số 9
Môn thi : Toán 8 .
(Thời gian làm bài :120 .)
21
Câu 1 : ( 2,5 đ) . Cho biểu thức : A =
933
33
23
23

+++
+
xxx
xxx
a. Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A .
b. Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên .
Câu 2 : ( 2 đ )Giải các phơng trình .
a.
1010
996 x
+
1035
971 x
=
1060
946x
-3 .
b. x
3
7x 6 = 0 .
Câu 3 : ( 3 đ ) Trên các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lợt lấy các điểm P và Q sao cho BP
= CQ . Gọi M , I lần lợt là trung điểm của PQ và BC . Dựng các hình bình hành BPMK và CQMH .
a. Chứng minh rằng K , I , H là 3 điểm thẳng hàng .
b. Chứng minh MI là phân giác của góc HMK .
c. Khi P , Q chạy trên AB và AC thì M chạy trên đờng nào ? Vì sao ?
Câu 4 : ( 1,5 đ ) Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác , biết :
a
3
+ b
3

+ c
3
3abc = 0 . Hỏi tam giác đó là tam giác gì ?

Câu 5 : ( 1 đ ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E =
1
2
x
x
với x > 1 .
Đáp án .
Câu 1 : Mỗi ý trả lời a,b đúng đợc (1,25 đ) .
a. Biến đổi : x
3
+3x
2
+3x +9 = ( x+ 3 ) ( x
2
+3 ) . ( 0,25 đ) .
Vì x
2
+ 3 > 0 đ k : x

- 3 ( 1 ) . ( 0,25 đ ) .
Biến đổi và rút gọn đợc A =
3
1
+

x

x
(0,75)
b.Biến đổi đợc : A = 1 -
3
4
+
x
. (0,25 đ ) .
Lập luận ( x + 3 ) =
{ }
4;2;1

( 0,25 đ ) .
(0,5đ)
Kết luận đợc : với x

{ -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 } thì A

Z . ( 0,25 đ ) .
Câu 2 : GPT :Mỗi bài a , b đúng đợc 1 điểm .
a.
1010
996 x
+
1035
971 x
=
1060
946x
- 3 .

+

1
1010
996 x
+






+

1
1035
971 x
+

+

1
1060
946 x
= 0 . ( 0,25 đ ) .
0
1060
2006
1035
2006
1010
2006
=

+

+


xxx
. ( 0,25 đ ) .
x+3 -4 -2 -1 1 2 4
x -7 -5 -4 -2 -1 1
22
( )
0
1060
1
1035

1
1010
1
2006 =






++ x

02006
=
x
( 0,25 đ ) .

2006
=
x
. ( 0,25 đ ) .
b. x
3
-7x 6 = 0 .
( )
( )
066
3
=+ xxx
. ( 0,25 đ ) .

( )
1+x
( )
6
2
xx
= 0 ( 0,25 đ ) .
( )( )( )
0321 =++ xxx
( 0,25 đ ) .
3;2;1 === xxx
( 0,25 đ ) .
Câu 3 :
a. Chỉ ra đợc :
HC//= BK ( =
PQ
2
1
) ( 0,50 đ ) .
Suy ra tứ giác BKCH là hình bình hành ( 0,25 đ ) .
Suy ra KH là đờng chéo đi qua trung điểm I của BC ( 0,25 đ ) .
b. Chỉ ra đợc :
MI là trung tuyến của tam giác KMH . ( 0,25 đ ) .
Và tam giác KMH cân ( vì KM = MH = BP = CQ ) . ( 0,50đ ) .
Suy ra MI cũng là phân giác của góc KMH ( 0,25 đ ) .
c. Chỉ ra đợc :
Góc BAC = góc KMH ( góc có cạnh tơng ứng song song ) . ( 0,25 đ ) .
Suy ra Ax là phân giác của góc BAC cũng song song với MI . ( 0,25 đ ) .
Vì Ax không đổi ; khi PQ thay đổi . Suy ra điểm M chạy trên đờng thẳng d song song với Ax và d đi

qua I. ( 0,25 đ ) .
Do M nằm trên PQ suy ra M chỉ chạy trên đoạn IN . ( 0,25 đ ) .
Câu 4 : a
3
+ b
3
+ c
3
3abc =0 . ( 0,75 đ ) .
( )
( )
( )
( )
[ ]
0
2
2
2
=++++ accbbacba
. ( 0,75 đ ) .
Vì a, b , c là độ dài ba cạnh của tam giác
cba
++
>0 . ( 0,25 đ ) .
cba
accbba
==
===
0
Suy ra tam giác là tam giác đều . ( 0,5 đ ) .

Câu 5 : Ta có : E =2+ ( x-1 ) +
1
1
x
( 0,5 đ ) .
Theo Cauchy : ( x- 1 ) +
2
1
1

x
( 0,25 đ ) .
Suy ra E
4
E nhỏ nhất là 4 khi x-1 =
1
1
x
Vì x>1 x =2 . ( 0,25 đ ) .
23
24
Đề số 10- Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
- 7x - 6
b/ Giải phơng trình: x

4
- 30x
2
+ 31x - 30 = 0
Câu 2 (2 điểm)
a/ Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị
nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
12
2
68
2
3
+
+
xx
xx
Câu 3 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)

(ax + by)
2
b/ Chứng minh rằng: x
3m+1
+ x
3n+2
+ 2 chia hết cho x
2
+ x + 1 với mọi số tự nhiên m,n.
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số dơng a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
9

111
++
cba
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Câu 1
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
3
- 7x - 6 = x
3
- 4x - 3x - 6
= x(x
2
- 2
2
) - 3(x + 2) (1/2 điểm)
= x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2)
= (x + 2)(x
2
- 2x - 3)
= (x + 2)(x
2
- 1 - 2x - 2)
= (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 điểm)
b/ x
4
-30x

2
+ 31x - 30 = 0 <=> (x
2
- x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*)
Vì x
2
- x + 1 = (x - 1/2)
2
+ 1/4 > 0 (1/2 điểm)
=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=>






=
=

=+
=
6
5
06
05
x
x
x
x
(1/2 điểm)

25