ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN lần 2

Trờng thpt lơng thế vinh

Hà nội

Năm học 2014 - 2015

đề thi thử
thpt quốc gia

năm 2015

Môn thi: Toán
Môn thi: ToánMôn thi: Toán
Môn thi: Toán

-

- Lần thứ 2
Lần thứ 2 Lần thứ 2
Lần thứ 2



Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


Cõu 1 (2,0 im). Cho cỏc hm s
3 2
3 2
y x mx
= +

(
m
C
),
2 ( )
y x d
= +
, vi
m
l tham s thc.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (
m
C
) khi
1
m
=
.
b) Tỡm cỏc giỏ tr
c

a
m


(
m
C
) cú hai

i

m c

c tr

v kho

ng cỏch t



i

m c

c ti

u c

a (
m
C
)

n

ng
th

ng
( )
d
b

ng
2
.
Cõu 2 (1,0 im).
a) Gi

i ph

ng trỡnh
(
)
(
)
sin 2sin 1 cos 2cos 3
x x x x+ = + .
b) Gii phng trỡnh
(
)
3
log 3 6 3
x
x
=
.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn

( )
2
2
0
sin2
.
sin 2
x
I dx
x

=
+


Cõu 4 (1,0 im).
a) Gi
1 2
,
z z
l hai nghim phc ca phng trỡnh
2
4 9 0
z z
+ =
;
,
M N
ln lt l cỏc im biu din
1 2

,
z z
trờn mt phng phc. Tớnh di on thng
.
MN

b) Mt t cú 7 hc sinh (trong ú cú 3 hc sinh n v 4 hc sinh nam). Xp ngu nhiờn 7 hc sinh ú
thnh mt hng ngang. Tỡm xỏc sut 3 hc sinh n ng cnh nhau.
Cõu 5 (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta
Oxyz
, cho im
(3;6;7)
I
v mt phng
( ): 2 2 11 0
P x y z
+ + =
. Lp phng trỡnh mt cu
( )
S
tõm
I
v tip xỳc vi
( ).
P
Tỡm ta tip
im ca
( )
P
v

( )
S
.
Cõu 6 (1,0 im). Cho hỡnh lng tr
. ' ' '
ABC A B C
cú ỏy
ABC
l tam giỏc vuụng ti
B
;

0
, 30
AB a ACB= = ;
M
l trung
im cnh
AC
. Gúc gia cnh bờn v mt ỏy ca lng tr bng
0
60
.
Hỡnh chiu vuụng gúc ca nh
'
A
lờn mt phng
( )
ABC
l trung im

H
ca
BM
. Tớnh theo
a
th tớch
khi lng tr
. ' ' '
ABC A B C
v khong cỏch t im
'
C
n mt phng
( ').
BMB

Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phng ta
,
Oxy
cho hỡnh thang
ABCD
vuụng ti
A
v
D
; din tớch
hỡnh thang bng 6;
2
CD AB
=

,
(0;4)
B
. Bit im
(3; 1), (2;2)
I K

ln lt nm trờn ng thng
AD
v
DC
. Vit phng trỡnh ng thng
AD
bit
AD
khụng song song vi cỏc trc ta .
Cõu 8 (1,0 im). Gii h phng trỡnh
2
3
2
3
( 3 3) 2 3 1
( , ).
3 1 6 6 2 1
x x x x y y
x y
x x x y

+ + = + + + +

+ = + +




Cõu 9 (1,0 im). Cho cỏc s thc
,
x y
dng v tha món
1 0
x y
+
.
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
2 2
2
2 4
3 2
5 5
x y x y
T
x y
x y
+ +
=
+
+
.

Ht
Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
www.MATHVN.com
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………… ; Số báo danh: ………………………
www.MATHVN.com

1/4

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Nm hc 2014 2015
đáp án thang điểm
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán
Môn thi: Toán Môn thi: Toán
Môn thi: Toán Lần thứ
Lần thứ Lần thứ
Lần thứ 2
22
2





ỏp ỏn cú 04 trang

Cõu ỏp ỏn im

a) (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s
3 2
3 2
y x x
= +


Tp xỏc nh:
D
=
R
.
lim ; lim
x x
y y
+
= = +

o hm:
2
' 3 6
y x x
=
;
' 0 0
y x
= =
hoc

2
x
=
.
0,25
Khong ng bin:
(
)
(
)
;0 ; 2;
+
. Khong nghch bin:
(
)
0;2

Cc tr: Hm s t cc tiu ti
2
x
=
,
2
CT
y
=
;
t cc i ti
0
x

=
, y
C
= 2.
0,25
Bng bin thiờn:
x

0 2
+

y' + 0 - 0 +

y 2
+



-2

0,25
th: (Hs cú th ly thờm im
( 1; 2); (1;0); (3;2)

).
0,25
b) (1,0 im)
Tỡm cỏc giỏ tr ca
m
(

m
C
) cú k/c im cc tiu ca (
m
C
) n
( )
d
bng
2
.

2
' 3 6 3 ( 2 )
y x mx x x m
= = .
' 0 0; 2
y x x m
= = =

iu kin hm s cú hai cc tr l
0
m

.
0,25
Ta hai im cc tr:
(0;2)
A
v

3
(2 ;2 4 )
B m m

.
0,25

0:
m
<

A
l

i

m c

c ti

u. Khi

ú
( , ) 0 2
d A d =
(lo

i).
0,25
1

(2,0

)


0:
m
>

B
l

i

m c

c ti

u. Khi

ú:
3
3
3
2 1 1( )
( , ) 2 | 2 | 1
1( )
2 1
m m m tm
d B d m m

m ktm
m m

= =

= =


=
=




ỏp s

:
1
m
=
.
0,25
a)

(0,5 im)
Gi

i ph

ng trỡnh

(
)
(
)
sin 2sin 1 cos 2cos 3
x x x x+ = +
.

Ph

ng trỡnh

ó cho t

ng

ng v

i
( )
2 2
1 3
sin 3cos 2 cos sin sin 3cos 2cos2 sin cos cos2
2 2
sin sin 2 .
3 2
x x x x x x x x x x
x x

= = =

=



0,25
2
(1,0

)



( )
5 2
2 2 ,
3 2 18 3
x x k x k k


= + = +

.


( )
5
2 2 2 ,
3 2 6
x x k x k k

= + + = +

.
V

y ph

ng trỡnh

ó cho cú nghi

m:
5 2 5
, 2 ,
18 3 6
x k x k k


= + = +

.
0,25
www.MATHVN.com

2/4

b) (0,5 điểm) Giải phương trình
(

)
3
log 3 6 3
x
x
− = −


Điều kiện:
3
log 6
x
>
. Phương trình đã cho tương đương với
3
27
3 6 3 3 6
3
x x x
x
−
− = ⇔ − =
. Đặt
2
27
3 0 6 6 27 0
x
t t t t
t
= > ⇒ − = ⇔ − − =

0,25
9
3( )
t
t l
=

⇔

= −

Với
9 3 9 2
x
t x
= ⇒ = ⇔ =
(tmđk).
Đáp số:
2
x
=
.
0,25
Tính tích phân
( )
2
2
0
sin 2

.
sin 2
x
I dx
x
π
=
+
∫


( ) ( )
2 2
2 2
0 0
sin 2 2sin cos
.
sin 2 sin 2
x x x
I dx dx
x x
π π
= =
+ +
∫ ∫

Đặt
sin cos
t x dt xdx
= ⇒ =

.
0 0;
x t
= ⇒ =

1.
2
x t
π
= ⇒ =

0,25
( )
1
2
0
2
2
tdt
I
t
=
+
∫
( ) ( )
1 1 1
2 2
0 0 0
2 2
2 2 4

2
2 2
t dt dt
dt
t
t t
+ −
= = −
+
+ +
∫ ∫ ∫
.
0,25
1 1
1
2ln( 2) 4
0 0
2
I t
t
= + +
+

0,25
3
(1,0
đ
)

1 1

2(ln3 ln2) 4
3 2
I
 
= − + − =
 
 
3 2
2ln
2 3
−
.
( 0.144)
I
≈
.
0,25
a) (0,5 điểm) Cho
2
4 9 0
z z
− + =
. M, N biểu diễn
1 2
,
z z
. Tính độ dài đoạn MN.

Phương trình đã cho có
2

' 4 9 5 5
i
∆ = − = − =
nên có hai nghiệm
1,2
2 5
z i
= ±
.
0,25
Từ đó
(2; 5), (2; 5) 2 5
M N MN− ⇒ =
.
Đáp số:
2 5
MN =
.
0,25
b) (0,5 điểm) Tính xác suất có 3 học sinh nữ cạnh nhau.
Gọi
A
là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”
+ Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7!
+ Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau:
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5! cách sắp xếp.
Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy có 5!.3! cách sắp xếp.
0,25
4
(1,0đ)

+ Xác suất của biến cố
A
là:
( )
5!.3!
7!
p A
= =
1
7
.
( ( ) 0.14)
p A
≈
.
(Cách 2: - - - - - - - 7 vị trí. Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)…(567). Mỗi cách xếp lại có 3! cách
hoán vị 3 nữ. Có 4! cách hoán vị 4 nam. Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! = 1/7)
0,25
Cho
( ): 2 2 11 0
P x y z
+ + − =
,
(3;6;7)
I


Mặt cầu
( )

S
tâm
I
có bán kính
|3 12 14 11|
( ,( )) 6
3
R d I P
+ + −
= = =
.
0,25
Phương trình mặt cầu
2 2 2
( ):( 3) ( 6) ( 7) 36
S x y z
− + − + − =
.
0,25
5
(1,0đ)






Đường thẳng
( )
d

qua
I
và vuông góc với
( )
P
có phương trình
3
6 2 ( )
7 2
x t
y t t
z t
= +


= + ∈


= +

R
.
0,25
www.MATHVN.com

3/4

Giả sử
( ) ( ) (3 ) (12 4 ) (14 4 ) 11 0 9 18 0 2
M d P t t t t t

= ∩ ⇒ + + + + + − = ⇔ + = ⇔ = −

⇒

(1;2;3)
M
.
0,25
Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
;

0
, 30
AB a ACB= =
;


' ( ) '
A H ABC A H
⊥
⇒
là đường cao của hình lăng trụ.
AH
là hình chiếu vuông góc của

'
AA
lên
( )
ABC


0
' 60
A AH⇒ =

. ' '
' .
ABC A BC ABC
V A H S
=
0,25
3 3
2 , '
2 2
a a
AC a MA MB AB a AH A H= = = = ⇒ = ⇒ =
.
2
1 1 3
. . . . 3
2 2 2
ABC
a
S BA BC a a= = =

.
2
. ' '
3 3
.
2 2
ABC A BC
a a
V
⇒ = =
3
3 3
4
a
.
0,25
( ) ( ) ( )
. '
'
3
',( ') ,( ') ,( ')
A BMB
BMB
V
d C BMB d C BMB d A BMB
S
= = =
.
3
. ' '. . ' '

1 3
6 8
A BMB B ABM ABC A BC
a
V V V= = =
.
0,25
6
(1,0đ)

Do
( ')
BM AHA
⊥
nên
' '
BM AA BM BB
⊥ ⇒ ⊥

⇒

'
BMB
∆
vuông tại
B

2
'
1 1 3

'. . 3.
2 2 2
BMB
a
S BB BM a a⇒ = = =
.
Suy ra
( )
3 2
3 3 3
',( ') :
8 2
a a
d C BMB
= =
3
4
a
.
(Cách 2:

0
3 3
( ,( ')) .sin .sin60
2 4
a a
d A BMB AE AH AHE
= = = =
).
0,25

Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

,
Oxy
cho hình thang
ABCD
vuông t
ạ
i
A
và
D
; di
ệ
n tích hình
thang b
ằ
ng 6;
2
CD AB
=
,
(0;4)

B
.
(3; 1), (2;2)
I K
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng AD.


Vì
AD
không song song các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
nên g
ọ
i véc t
ơ
pháp tuy
ế

n c
ủ
a
AD
là
(1; ), 0;
n b b
= ≠

suy ra: Phương trình
:1( 3) ( 1) 0
AD x b y
− + + =
.
Phương trình
: ( 4) 0
AB bx y
− − =
.
0,25
3 3
. . . ( , ). ( , )
2 2 2
ABCD
AB CD AB
S AD AD d B AD d K AB
+
= = =

2 2

3 | 3 5 | |2 2|
. .
2
1 1
b b
b b
− + +
=
+ +
.
0,25
2
2 2
1
| 3 5 | | 1| 5
6 3 . 6 | 5 3|.| 1| 2( 1)
3
1 1
1 2 2
7
ABCD
b
b b
S b b b b
b b
b


=


− + +

= ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ = −

+ +

− ±

=


.
0,25
7
(1,0đ)

Đáp số:
2 0;3 5 14 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0
x y x y x y x y
+ − = − − = − + − − = − − + − =
.
0,25
8
(1,0đ)

Giải hệ phương trình
2
3
2
3

( 3 3) 2 3 1 (1)
( , ).
3 1 6 6 2 1 (2)
x x x x y y
x y
x x x y

+ − + = + + + +

∈

− − − + = + +


ℝ


A
C
A'
C'
B
B'
M
H
A
C
A'
C'
B

B'
M
H
Q
P
E
I
K
A
B
D
C
www.MATHVN.com

4/4

Điều kiện:
1 3 3; 3 3; 3
x x y
≤ ≤ − ≥ + ≥ −

( )
3
3
3 3
(1) 1 ( 1) 1 2 2 1
x x y y
⇔ − + − + = + + + +

0,25

Xét hàm
3
( ) 1, 1
f t t t t
= + + ≥ −
. Ta có
2
3
3
'( ) 1 0 1
2 1
t
f t t
t
= + > ∀ > −
+
, suy ra
( )
f t
đồng biến
1
t
∀ ≥ −
, suy ra
3
1 2
x y
− = +
.
0,25

Thay vào (2) ta có
2 2
3 1 6 6 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 4( 1) 1 3 1
x x x x x x x x
− − − + = − + ⇔ − + + − − − + = −

Do
1
x
=
không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho
1 0
x
− >
ta được:
1 1
1 1 4 3
1
1
x x
x
x
− + + − − + =
−
−
.
Đặt
2 2
2 2
3

1 5
1 2 6 3 6 3
2
6 (3 )
1
t
t x t t t t t
t t
x
≤

= − + > ⇒ + − = ⇒ − = − ⇔ ⇔ =

− = −
−

.
0,25
Với
5 62
1 2
5 1 5
1
5 127
1
2 2
1
1
4 64
2

x y
x
t x
x y
x
x

= ⇒ =

− =


= ⇒ − + = ⇒ ⇔


= ⇒ = −
−
− =



.
Đáp số
5 127
( ; ) (5;62),( ; )
4 64
x y = −
.
0,25
Cho

, 0 : 1 0
x y x y
> − + ≤
. Tìm max:
2 2
2
2 4
3 2
5 5
x y x y
T
x y
x y
+ +
= −
+
+
.


Ta có
2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 0
4 2 4
x
x y
y y y y
 

≤ − ⇒ < ≤ − = − − ≤
 
 
. Đặt
2
1
0
4
x
t t
y
= ⇒ < ≤

0,25
Ta có
2 2
2 2
2
2
3 2 1
1 3 1 2 1
. ( ) .
5 5 1
1
1
1
x x
t t
y y
T T f t

x
t
t
x
y
y
+ +
+ +
= − ⇒ = = −
+
+
 
+
+
 
 
với
1
0
4
t
< ≤
.
( )
( )
2
3
2
1 3 1 1
'( ) .

5
1
1
t
f t
t
t
−
= −
+
+

Nhận xét:
( )
( )
3
3
2
3
2
1 1 17 17 17 1 3 4
0 1 3 ; 1
4 4 16 16 16
17
1
17
16
t
t t t
t

−
 
< ≤ ⇒ − ≥ + ≤ = ⇒ ≥
 
 
+

Và
2
1 1 1
.
5 ( 1) 5
t
− > −
+
. Do đó
4 1
'( ) 0
5
17
17
16
f t
> − >
.
0,25
Từ đó
( )
f t
đồ

ng bi
ế
n
1 1 13 6
(0; ] ( )
4 4 25
17
t f t f
 
∀ ∈ ⇒ ≤ = −
 
 
.
0,25
9
(1,0đ)

Đáp số:
1
(0; ]
4
13 6 1
1; 2
25 4
17
t
MaxT t x y
∈
= − ⇔ = ⇔ = =
.

0,25

Hết

www.MATHVN.com