ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN lần 1

Trờng thpt lơng thế vinh

Hà nội

Năm học 2014 - 2015

đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán
Môn thi: ToánMôn thi: Toán
Môn thi: Toán

-

- Lần thứ 1
Lần thứ 1 Lần thứ 1
Lần thứ 1

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Ngày 8.2.2015


Cõu 1 (2,0 ủim). Cho hm s
(
)
4 2
3 2
y x m x m
= + +
(1), vi
m

l tham s thc.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s (1) khi
1
m
=
.
b) Tỡm
m
ủ ủ th hm s (1) ct trc honh ti bn ủim phõn bit cú honh ủ nh hn 2.
Cõu 2 (1,0 ủim).
a) Gii phng trỡnh
2 2
3cos sin 1 cos sin 2 sin
x x x x x
+ = +
.
b) Gii phng trỡnh
( )
3
27 3
3
1
log log ( 2) 1 log 4 3
2
x x x
+ + = + .
Cõu 3 (1,0 ủim).
Tớnh tớch phõn
2
1

1
ln .
e
x
I xdx
x
+
=


Cõu 4 (1,0 ủim).
a) Cho s phc
z
tha món ủiu kin
( )
1
2 5
1
i
i z i
i

+ + =
+
. Tỡm mụủun ca s phc
2
1
w z z
= + +
.

b) Cú hai thựng ủng tỏo. Thựng th nht cú cú 10 qu (6 qu tt v 4 qu hng). Thựng th hai cú 8
qu (5 qu tt v 3 qu hng). Ly ngu nhiờn mi thựng mt qu. Tớnh xỏc sut ủ hai qu ly ủc cú
ớt nht mt qu tt.
Cõu 5 (1,0 ủim).
Trong khụng gian vi h ta ủ
Oxyz
, cho hai ủim
(1; 1;2), (3;0; 4)
A B

v mt
phng
( ) : 2 2 5 0
P x y z
+ =
. Tỡm ta ủ giao ủim ca ủng thng
AB
v mt phng
( )
P
. Lp
phng trỡnh mt phng
( )
Q
cha ủng thng
AB
v vuụng gúc vi mt phng
( ).
P

Cõu 6 (1,0 ủim).
Cho hỡnh chúp
.
S ABCD
cú ủỏy l hỡnh ch nht,
, 2
AB a AD a
= =
. Tam giỏc
SAB

cõn ti
S
v nm trong mt phng vuụng gúc vi ủỏy. Gúc gia ủng thng
SC
v mt phng
( )
ABCD
bng
0
45
. Gi
M
l trung ủim ca
SD
. Tớnh theo
a
th tớch ca khi chúp
.
S ABCD

v
khong cỏch t ủim
M
ủn mt phng
( )
SAC
.
Cõu 7 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ
,
Oxy
cho hỡnh ch nht
ABCD
cú din tớch bng 15. ng
thng
AB
cú phng trỡnh
2 0
x y
=
. Trng tõm ca tam giỏc
BCD
l ủim
16 13
;
3 3
G



. Tỡm ta ủ

bn ủnh ca hỡnh ch nht bit ủim
B
cú tung ủ ln hn 3.
Cõu 8 (1,0 ủim).
Gii h phng trỡnh
3 2
2
2 3 2 3 2
( , ).
3 0
x y y x y y
x y
x y y

+ + = +



+ + =




Cõu 9 (1,0 ủim).
Cho cỏc s thc
,
a b
khụng õm v tha món:
( ) ( )
(

)
2 2
3 2 1 5
a b ab a b
+ + + +
.
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
(
)
2 2
3 3 2( )
T a b a b a b ab
= + + + +
.

Ht

Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh:
www.MATHVN.com

1/4

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Nm hc 2014 2015
đáp án thang điểm
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán

Môn thi: Toán Môn thi: Toán
Môn thi: Toán Lần thứ 1
Lần thứ 1 Lần thứ 1
Lần thứ 1





ỏp ỏn cú 04 trang


Cõu ỏp ỏn im

a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s
4 2
2 1
y x x
= +


Tp xỏc ủnh:
D
=
R
.
lim ; lim
x x
y y
+

= + = +

o hm:
3
' 4 4
y x x
=
;
' 0 0
y x
= =
hoc
1
x
=
.
0,25
Cỏc khong ủng bin:
(
)
(
)
1;0 ; 1;
+
. Khong nghch bin:
(
)
(
)
; 1 ; 0;1

Cc tr: Hm s ủt cc tiu ti
1
x
=
,
0
CT
y
=
; ủt cc ủi ti
0
x
=
, y
C
= 1.
0,25
Bng bin thiờn:
x

-1 0 1
+

y' - 0 + 0 - 0 +

y
+
1

+


0 0

0,25
th: (Hs cú th ly thờm ủim
( 2;9); (2;9)

)
0,25
b)

(1,0 ủim) Tỡm
m
ủ ủ th (1) ct trc honh ti bn ủim phõn bit cú honh ủ nh hn 2.


Phng trỡnh honh ủ giao ủim
(
)
4 2
3 2 0
x m x m
+ + =
(1)
t
(
)
2 2

0 3 2 0
t x t m t m
= + + =
(2)
0,25
(1) cú 4 nghim phõn bit thỡ (2) cú 2 nghim dng phõn bit
0, 0, 0
S P
> > >

2; 1
m m
<
.
0,25
iu kin: Phng trỡnh (2) phi cú nghim tha món ủiu kin
1 2
0 , 4
t t
< <

Phng trỡnh (2) cú
1
1
t
=
(tha món),
2
2
t m

=

0,25
1
(2,0ủ)

iu kin:
2 4 2
m m
< >

ỏp s:
2 2, 1
m m
< <
.
0,25
a)

(0,5 ủim) Gii phng trỡnh
2 2
3cos sin 1 cos sin 2 sin
x x x x x
+ = +
.

Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi
2
2cos cos sin 2sin cos 0
x x x x x

+ =

(
)
(
)
2cos 1 cos sin 0
x x x
=

0,25

( )
cos sin 0 tan 1 ,
4
x x x x k k


= = = +



1
2cos 1 0 cos 2 ,
2 3
x x x k k


= = = +

Vy phng trỡnh ủó cho cú nghim:
, 2 ,
4 3
x k x k k


= + = +

.
0,25
b)

(0,5 ủim)

Gii phng trỡnh

( )
3
27 3
3
1
log log ( 2) 1 log 4 3
2
x x x
+ + = +


2
(1,0ủ)

iu kin:
4
0
3
x
< <
. Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 3 3 3 3
log log 2 log 3 log 4 3 log 2 log 3 4 3
x x x x x x
+ + = + + =


0,25
www.MATHVN.com

2/4

( ) ( )
2
1( )

2 3 4 3 11 12 0
12( )
x tm
x x x x x
x L
=

⇔ + = − ⇔ + − = ⇔

= −


ðáp số:
1
x
=
.
0,25
Tính tích phân

2
1
1
ln .
e
x
I xdx
x
+
=

∫


2
1 1
1 1
ln ln
e e
I xdx xdx A B
x x
= + = +
∫ ∫

1 1
1
ln ln (ln )
e e
A xdx xd x
x
= =
∫ ∫

0,25
2
1 1
ln
1
2 2
e
A x

= =
.
0,25
2
1
1
ln ;
e
B xdx
x
=
∫
ðặt
2
1 1 1
ln ' ; 'u x u v v
x x x
= ⇒ = = ⇒ = −

2
1
1 1 1 1
ln ln
1 1 1
e
e e e
B x dx x
x x x x
= − + = − −
∫

0,25
3
(1,0ñ)

1 1 2 2
1 1
e
B
e e e e
−
 
= − − − = − + =
 
 

1 2 3 4
2 2
e e
I A B
e e
− −
= + = + =
.
( 0,764)
I
∼

(Hs cũng có thể tính ngay
2

1
ln ; '
x
u x v
x
+
= =
)

0,25
a) (0,5 ñiểm)

Cho
( )
1
2 5
1
i
i z i
i
−
+ + = −
+
. Tìm môñun của số phức
2
1
w z z
= + +
.

Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
2 5
i z
+ =
5
2
2
z i
i
⇔ = = −
+
0,25
Từ ñó
2
1 6 5
w z z i
= + + = −
. Suy ra
| | 36 25 61
w = + =
.
0,25
b)

(0,5 ñiểm)

Tính xác suất có ít nhất 1 quả tốt

Gọi
A
là biến cố “Có ít nhất 1 quả tốt”, suy ra
A
là biến cố: “Cả 2 quả ñều hỏng”
Số biến cố ñồng khả năng: 10.8 = 80
Số cách chọn 2 quả hỏng:
1 1
4 3
. 4.3 12
C C
= =

0,25
4
(1,0ñ)

Xác suất của biến cố
A
là:
( )
12 3
80 20
p A = =

Suy ra, xác suất của biến cố
A
là:
( )

( )
3
1 1
20
p A p A
= − = − =
17
20
.
0,25
Cho

(1; 1;2), (3;0; 4)
A B
− −
,
( ) : 2 2 5 0
P x y z
− + − =


5
(1,0ñ)






ðường thẳng

AB
ñi qua ñiểm
A
và có vtcp
(
)
2;1; 6
AB
= −


Phương trình tham số của
AB
là
1 2
1 ( )
2 6
x t
y t t
z t
= +


= − + ∈


= −

R
.

0,25
www.MATHVN.com

3/4

Gọi
(
)
( ) 1 2 ; 1 ;2 6
I AB P I AB I t t t
= ∩ ⇒ ∈ ⇒ + − + −

1
( ) (1 2 ) 2( 1 6 ) 2(2 6 ) 5 0
6
I P t t t t
∈ ⇒ + − − + + − − = ⇒ =

Suy ra tọa ñộ giao ñiểm của
AB
và
( )
P
là ñiểm
4 5
; ;1
3 6
I
 
−

 
 
.
0,25
Mặt phẳng
( )
Q
qua
A
và có vtpt
,
Q P
n AB n
 
=
 
  
, trong ñó
P
n

là vtpt của
( )
P

Ta có
(
)
1; 2;2
P

n = −


0,25
Suy ra
(
)
, 10;10;5
P
AB n
 
=
 
 
. Chọn
(
)
2;2;1
Q
n =


Phương trình mặt phẳng
( ): 2( 1) 2( 1) 1( 2) 0
Q x y z
− + + + − = ⇔
2 2 2 0
x y z
+ + − =
.

0,25
Cho hình chóp
.
S ABCD
có ñáy là hình chữ nhật,
, 2
AB a AD a
= =


Gọi
H
là trung ñiểm của
(
)
AB SH AB SH ABCD
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
,
suy ra
HC
là hình chiếu của
SC
lên
(
)

0
45
ABCD SCH⇒ =
.

2
2
ABCD
S a
=

0,25
2
2
17
4
4 2
a a
SH HC a= = + =

2
.
1 1 17
. . . .2
3 3 2
S ABCD ABCD
a
V SH S a
= = =
3
17
3
a
.
0,25

( ) ( ) ( ) ( )
1 1
,( ) ,( ) ,( ) ,( )
2 2
d M SAC d D SAC d B SAC d H SAC
= = =

Kẻ
(
)
, ( ) ,( )
HI AC HK SI HK AC HK SAC d H SAC HK
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
.
0,25
6
(1,0ñ)

Kẻ
1
2
BE AC HI BE
⊥ ⇒ =
.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 2
4 4
5 5
a a
BE HI

BE BA BC a a a
= + = + = ⇒ = ⇒ =

Từ ñó suy ra
( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 4 89 17
,( )
17 17
89
a
d M SAC
HK HI HS a a a
= + = + = ⇒ = =
1513
89
a
.
0,25
Trong mặt phẳng tọa ñộ
,
Oxy
cho hình chữ nhật
ABCD
có diện tích bằng 15…

Ta có
10 3 10
( , ) . 5 3 5
2

3 5 3 5
d G AB BC AB= ⇒ = = ⇒ =

ðường thẳng
d
qua
G
và vuông góc với
: 2 15 0
AB d x y
⇒ + − =

0,25
Gọi
(
)
6;3
N d AB N
= ∩ ⇒
. Suy ra
1
5
3
NB AB= =

0,25
Gọi
( ) ( )
2 2
2( )

2 ; 5 6 8 0 8;4
4
b L
B b b AB NB b b B
b
=

∈ ⇒ = ⇔ − + = ⇒ ⇒

=


Ta có
(
)
3 2;1
BA BN A= ⇒
 

0,25
7
(1,0ñ)

( )
3
7;6
2
AC AG C= ⇒
 
.

(
)
1;3
CD BA D= ⇒
 

ðáp số:
(
)
(
)
(
)
(
)
2;1 , 8;4 , 7;6 , 1;3
A B C D
.
0,25
A
D
B
C
S
H
E
I
K
I
G

A
B
D
C
K
N
www.MATHVN.com

4/4

Giải hệ phương trình

3 2
2
2 3 2 3 2 (1)
( , ).
3 0 (2)
x y y x y y
x y
x y y

− + + = +

∈

− + + =


ℝ

ðiều kiện:
(
)
2
3 4
0,(1) 2 2 3 2 ( 3) 3
y x x y y y y y y y y x
≥ ⇒ − + = + − + + = + − =

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
4 3 2 2 2 2
2 2 0 2 0 2 0
x x x y y x y x x y x x y x y
⇒ − + − = ⇔ − − − = ⇔ − + − =

0,25
•
2
y x

=
:
2 2
(2) 3 2
x x
⇔ + =

4 2 2
4 3 0 1 ( ; ) (1; 1),( 1; 1)
x x x x y⇔ − − = ⇔ = ⇒ = −
.
0,25
•
2
2 :
y x x
= −
(3)
( )
2
2
(2) 3 2 2
x x x
⇔ + − =

3 2
4 3 3 2
0 1
( 1)( 3 3 3) 0
4 3 0 3 3 3 0

x x
x x x x
x x x x x
≥ =
 
⇔ ⇒ − − − − = ⇔


− + = − − − =
 

0,25
8
(1,0ñ)

1 1.
x y
= ⇒ =

3 2 2
3 3 3 0 ( 3) 3 3 0
x x x x x x
− − − = ⇔ − − − =
(4)
Từ (3) suy ra
2
2 0 0 2
x x x
− ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒
(4) vô nghiệm.

ðáp số:
( ; ) (1; 1),( 1; 1).
x y
= −

0,25
( ) ( )
(
)
2 2
, 0 : 3 2 1 5
a b a b ab a b
≥ + + + ≥ +
. Tìm max:
(
)
( )
2 2
3 3 2
T a b a b a b ab
= + − + + + −


Ta có
(
)
(
)
(
)

2 2
2 2
3( ) 2( 1) 5( ) 2 3 3 2
a b ab a b a b a b a b
+ + + ≥ + ⇔ + + − ≤ + +

Vì
(
)
2
3 0 ,
a b a b
− ≥ ∀
(
)
(
)
2
2 3 2
a b a b
⇒ + ≤ + +

ðặt
2
1
0 2 3 2 0 2
2
t a b t t t
= + ≥ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤
. Vì

0 0 2
t t
≥ ⇒ ≤ ≤
.
0,25
Ta có
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
3 2 1 1 3 1
2
a b
T ab a b a b a b a b a b
+
 
= + + − + + − + − ≤ + + − + +
 
 

[ ]
2
3
3 1 ( ), 0;2
4
T t t f t t⇒ ≤ − + + = ∈

0,25
Ta có

3 3 3 1
'( ) .
2 2
2
t t
f t t
t t
−
= − + = −
'( ) 0 1
f t t
= ⇔ =

0,25
9
(1,0ñ)

13
(0) 1; (1) ; (2) 3 2 2
4
f f f
= = = −

Từ ñó:
[ ]
0;2
13 1
1 .
4 2
t

MaxT t a b
∈
= ⇔ = ⇔ = =

0,25

Hết

Lưu ý:
- Học sinh làm theo cách khác, nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña.
- Học sinh trình bày khác, song vẫn ñủ ý, không có dấu hiệu làm tắt thì không trừ ñiểm.
www.MATHVN.com