Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Long An năm học 2014-2015 môn Toán (chuyên)

SỞ GD&ĐT LONG AN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức
:
x x y y
xy
P xy
x y x y
   



   
   

   
với điều kiện
, 0,x y x y
.
a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên

,xy
để
3P 
.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình
2
0x x m  
. Tìm tất cả giá trị của tham số
m
để phương trình có hai
nghiệm phân biệt
12
,xx
sao cho
12
2xx
.
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình
22
4 7 ( 4) 7x x x x    
.
Câu 4 (2,5 điểm)

Gọi
 
O
là đường tròn tâm
O

, đường kính
AB
. Gọi
H
là điểm nằm giữa
A
và
O
, từ
H
vẽ
dây
CD
vuông góc với
AB
. Hai đường thẳng
BC
và
DA
cắt nhau tại
M
. Gọi
N
là hình
chiếu vuông góc của
M
lên đường thẳng
AB
.
a) Chứng minh: tứ giác

MNAC
nội tiếp.
b) Chứng minh:
NC
là tiếp tuyến của đường tròn
 
O
.
c) Tiếp tuyến tại
A
của đường tròn
 
O
cắt đường thẳng
NC
tại
E
. Chứng minh đường
thẳng
EB
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
CH
.
Câu 5 (1,0 điểm)
Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa
phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên
lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn
Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho các số thực

, , ,a b c d
sao cho
1 , , , 2a b c d
và
6a b c d   
.
Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2 2
P a b c d   
.
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật
ABCD
với
,AB a AD b
. Trên các cạnh
, , ,AD AB BC CD
lần
lượt lấy các điểm
, , ,E F G H
sao cho luôn tạo thành tứ giác
EFGH
. Gọi
P
là chu vi
của tứ giác
EFGH
. Chứng minh:
22
2P a b

.


HẾT
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……………………….Số báo danh:…………….Chữ ký…… ……
Chữ ký giám thị 1:………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN LONG AN
LONG AN NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
Ghi chú:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm .


CÂU

NỘI DUNG

ĐIỂM
Câu 1a
(0,75 điểm)

 
2
x x y y
xy x y
xy


  



0,25
xy
xy
xy




0,25
P x y

0,25
Câu 1b
(0,75 điểm)

Vì
P x y
và
3P 
nên
0 3;0 3xy   

0,25
Suy ra
0 9;0 9xy   

0,25
,xy
cần tìm là :
0 9 1 4
, , ,
9 0 4 1
x x x x
y y y y
   
   
   
   
   

0,25
Câu 2
(2,0 điểm)

14m  


0,25
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1
4
m

0,25
1
1 1 4

2
m
x



0,25
2
1 1 4
2
m
x



0,25
Vì
12
2xx
nên
1 1 4
2
2
m


0,25
Suy ra
1 4 3m

0,25
Suy ra
2m 

0,25
Giá trị của
m
cần tìm là
1
2
4
m  

0,25
Câu 3
(1,0 điểm)




22
4 7 ( 4) 7x x x x    
2 2 2
7 7 4 4 7 0x x x x x       

0,25






22
7 4 7 0x x x     

0,25
2
2
7 4 0
70
x
xx

  



  


0,25
3
3
x
x







0,25

Câu 4a
(0,75 điểm)

I
E
N
M
C
D
B
O
A
H


Ta có :
0
90MNA 
(giả thiết)
0,25

Ta có
0
90ACB 
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Suy ra
0

90ACM 

0,25
Vì tứ giác
MNAC
có
0
180ACM MNA
nên nội tiếp
0,25
Câu 4b
(0,75 điểm)





Vì
MNAC
nội tiếp và
MN
song song
CD
nên
ACN ADC
(*)
0,25
Vì
ADBC
nội tiếp nên

ADC ABC
(**)

0,25
Từ (*) và (**) suy ra
ACN ABC
.Vậy
NC
là tiếp tuyến của
 
O


0,25
Câu 4c
(1,0 điểm)
Gọi
I
là giao điểm cùa
BE
và
CH

Ta có
AB CD AC AD ECA ACD    

Suy ra
CA
là phân giác trong của tam giác
ECI

0,25
Ta có
CB CA


CB là phân giác ngoài của tam giác ECI

(1)
BI CI
BE CE



0,25
Ta có
IH
song song
EA
(cùng
AB
)
(2)
IH BI
AE BE



0,25

Mặt khác:
AE CE
(3) (
,AE CE
là tiếp tuyến )
Từ (1), (2) và (3) suy ra
CI IH

Vậy
BE
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
CH
.
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm
0,25
Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau (từ 5 điểm đến
10 điểm)
0,25
Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa phương
0,25
Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán và đến từ cùng
một địa phương
0,25

Câu 6
(1,0 điểm)

Ta có
12a
suy ra
  
1 2 0aa  

0,25
Suy ra
2
32aa

0,25
Suy ra
 
2 2 2 2
3 8 10a b c d a b c d        

0,25
Giá trị lớn nhất của
P
là 10 (
10P 
với
2, 2, 1, 1a b c d   
hoặc các hoán
vị )
0,25
Câu 7
( 1,0 điểm)

K
M
I
C
A
B
D
E
F
G
H


Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI=
1
.
2
EF

Tương tự MC=
1
.
2

GH
.


0,25










IK là đường trung bình của

EFG nên IK=
1
.
2
FG
. Tương tự KM=
1
.
2
EH


0,25

P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

0,25
Ta có: AI + IK + KM + MC

AC
Suy ra P

2AC=
22
2 ab

0,25

HẾT