Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015 môn toán Trường THPT Ngô Gia Tự Bắc Ninh

Câu 1. (2 đi
ểm) Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + +
(C
m
)
a. Khả
o sát sự
bi
ến thiên và v
ẽ
đồ
thị
hàm số
khi
m = 2.
b. Tìm
m

để

đồ

th
ị
hàm s
ố
(
C
m
) có c
ự
c tr
ị

đồ
ng th
ờ
i hoành
độ
c
ự
c ti
ể
u nh
ỏ
h
ơ
n 1.
Câu 2. (1
đ
i
ể

m
)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
sin 2 2 2(sinx+cosx)=5
x
−

Câu 3. (1
đ
i
ể
m
)
Gi
ả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
2 2
1 1
5 5 24
x x
+ −
− =

Câu 4. (1
đ
i
ể
m
)

a) Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh

( )
2
2 2
log 2 3 2log 4
x x
− − =

b) Có bao nhiêu s
ố t
ự nhiên có 7 ch
ữ s
ố khác nhau t
ừng
đôi m
ột, trong

đó ch
ữ s
ố 2
đứ
ng
liền giữa hai chữ s
ố 1 và 3.
Câu 5. (1 điể
m) Trong mặ
t phẳng vớ
i hệ tọ
a độ
Oxy, cho đường tròn
(
)
2 2
: 2 4 2 0
C x y x y
+ − + + =
. Vi
ế
t phươ
ng trình
đườ
ng tròn (
C') tâm
M
(5, 1) bi
ết (
C'

) c
ắ
t
(
C) t
ạ
i các đ
i
ểm
A
, B
sao cho
3
AB =
.
Câu 6. (1 đi
ểm) Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông, g
ọi M là trung đ
iểm của
AB.
Tam giác SAB cân tại S và n
ằm trong m
ặt phẳ
ng vuông góc vớ
i đáy (
ABCD), bi
ết
2 5
SD a

=
, SC

t
ạo v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy (
ABCD
) m
ộ
t góc
60
°
. Tính theo
a
th
ể
tích kh
ố
i chóp
S.ABCD
và kho
ả
ng cách
gi
ữ

a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
DM
và
SA
.
Câu 7. (1 điểm)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ

Oxy
cho hình ch
ữ
nh
ậ

t
ABCD
có di
ệ
n tích
b
ằ
ng 12, tâm
I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
0
3:
1
=
−
−
y
xd
và
0

6:
2
=
−
+
yx
d
. Trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a m
ộ
t c
ạ
nh là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
d
1
v
ớ
i tr

ụ
c
Ox
. Tìm to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Câu 8. (1 điểm)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình :

3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 2 0
x y y x

x x y y

− + − − =


+ − − − + =



Câu 9. (1 điểm)
Cho
x
,
y
,
z
là ba s
ố
th
ự
c th
ỏ
a mãn
5 5 5 1
x y z− − −
+ + =
. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng :

25 25 25 5 5 5
5 5 5 5 5 5 4
x y z x y z
x y z y z x z x y+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +


Hết


S
Ở
GD&
Đ
T B
Ắ
C NINH
TR
ƯỜ
NG THPT NGÔ GIA T
Ự

KÌ THI TH
Ử
THPT QU
Ố

C GIA
N
Ă
M H
Ọ
C 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN
Th
ời gian làm bài: 180 phút, không k
ể th
ờ
i gian giao đề




ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Câu Ý Nội dung Điểm

1.
Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + +
(C
m
)
200
a.

.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
1,00
Với m = 2 ta được y = x
3
– 3x
2
+ 4
Tập xác định : D = R.
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞

0,25
Có
2
' 3 6y x x= −
;
0 4
' 0
2 0
x y
y
x y
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ =



BBT

Vậy hàm số đồng biến trên
( )
;0−∞
và
( )
2;+∞
; hàm số nghịch biến trên (0;2)
y
CĐ
= 4 tại x = 0; y
CT
= 0 tại x = 2
0,5
Đồ thị :
+ Lấy thêm điểm .
+ Vẽ đúng hướng lõm và vẽ bằng mực cùng màu mực với phần trình bầy


8
6
4
2
-2
-4
-6
-8

-15
-10
-5
5
10
15

0,25
b.
Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
1,00

Có
( ) ( )
2
' 3 2 1 2 2
y x m x m
= + − + −

Để hàm số có cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi
dấu qua hai nghiệm đó
( ) ( )
2
3 2 1 2 2 0
x m x m
⇔ + − + − =
có hai nghiệm phân
biệt

⇔

' 2
4 5 0m m
∆ = − − >
⇔
m < - 1 hoặc m >
5
4
(1)

0,25


0,25
Khi
đ
ó gi
ả
s
ử
y’=0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
x
1
,
x

2
v
ớ
i
x
1
<
x
2
thì
x
2
là
đ
i
ể
m c
ự
c
ti
ể
u. Theo
đề
bài có x
1
< x
2
< 1
7
5

m
⇔ <
(2)
0,25
K
ế
t h
ợ
p (1) và (2) ta
đượ
c…
Đ
áp s
ố

(
)
; 1
m
∈ −∞ −
5 7
;
4 5
 
∪
 
 


0,25

2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
sin 2 2 2(sin cos )=5
x x x
− +
.
1,00
Đặ
t sinx + cosx = t (
2
t
≤
).
⇒
sin2x = t
2
- 1
0,25
⇔
2
2 2 6 0
t t
− − =
⇔
2
t

= −
(t/m)
0,25
+Gi
ả
i
đượ
c ph
ươ
ng trình sinx + cosx =
2
−
…
⇔

os( ) 1
4
c x
π
− = −

+ L
ấ
y nghi
ệ
m
0,25

K
ế

t lu
ậ
n :
5
2
4
x k
π
π
= +
( k
∈
Z
) ho
ặ
c d
ướ
i d
ạ
ng
đ
úng khác .
0,25
3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng
trì

nh:
2 2
1 1
5 5 24
x x
+ −
− =

1,00
Pt
2
2
5
5.5 24 0
5
x
x
⇔ − − =
Đặt
( )
2
5 1 ,
x
t t= ≥
, pt trở thành:
5
5 24 0t
t
− − =

0,5
2
5
5 24 5 0
1
5
(t/m)
(loai)
t
t t
t
=


⇔ − − = ⇔

= −


0,25

V
ớ
i t = 5 ta có
2
2
5 5 1 1
x
x x
= ⇔ = ⇔ = ±

0,25
4.

1,00
a.

Đ
k:
3
0
2
x
< ≠


2 2
2
2log 2 3 2log 4
2 3
log 2
pt x x
x
x
⇔ − − =
−
⇔ =

2 3
4

3
2
2 3 4
1
2
3
0
2
2 3 4
x
x
x
x x
x
x
x x
−
⇔ =


>





− =


⇔ ⇔ =




< <





− + =








0,25







0,25

1
TH

:
S
ố
ph
ả
i tìm ch
ứ
a b
ộ
123
:
L
ấ
y 4 ch
ữ
s
ố

∈
{
}
0;4;5;6;7;8;9
: có
4
7
A
cách
Cài b
ộ
123 vào v

ị
trí
đầ
u,ho
ặ
c cu
ố
i,ho
ặ
c gi
ữ
a hai ch
ữ
s
ố
li
ề
n nhau trong 4 ch
ữ

s
ố
v
ừ
a l
ấ
y: có 5 cách

→
có 5

4
7
A
= 5.840 = 4200 s
ố
g
ồ
m 7 ch
ữ
s
ố
khác nhau trong
đ
ó ch
ứ
a b
ộ
123
Trong các số trên, có 4
3
6
A
= 4.120 = 480 số có chữ số 0 đứng đầu
→
Có 5
4
7
A
- 4
3

6
A
= 3720 s
ố
ph
ả
i tìm trong
đ
ó có m
ặ
t b
ộ
123

2
TH
:
S
ố
ph
ả
i tìm có m
ặ
t b
ộ
321
(l
ậ
p lu
ậ

n t
ươ
ng t
ự
)
Có 3720 s
ố
g
ồ
m 7 ch
ữ
s
ố
khác nhau , có m
ặ
t 321







0,25
b
K
ế
t lu
ậ
n:

có 3720.2 = 7440 s
ố
g
ồ
m 7 ch
ữ
s
ố
khác nhau
đ
ôi m
ộ
t,trong
đ
ó ch
ữ

s
ố
2
đứ
ng li
ề
n gi
ữ
a hai ch
ữ
s
ố
1 và 3

0,25

5.

Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

Oxy
, cho
đườ
ng tròn
(
)
2 2
: 2 4 2 0
C x y x y
+ − + + =
. Vi
ế
t ph

ươ
ng trình
đườ
ng tròn (
C'
) tâm
M
(5, 1)
bi
ế
t (
C'
) c
ắ
t (
C
) t
ạ
i các
đ
i
ể
m
A
,
B
sao cho
3
AB
=

.

1,00

Đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2)
3R
=

Có IM = 5.
Đườ
ng tròn (C') tâm M c
ắ
t
đườ
ng tròn (C) t
ạ
i A, B nên AB
⊥
IM t
ạ
i trung
đ
i
ể
m
H c

ủ
a
đ
o
ạ
n AB.
Ta có
3
AB IA IB
= = =
nên
ABC
∆
đề
u
3 3
.
2 2
IH AB
⇒
= =

TH1:
I
và
M
n
ằ
m khác phía v
ớ

i
AB
thì
HM
=
IM
–
IH
=
7
2

2
2 2
13
2
AB
AM HM
 
⇒
= + =
 
 
( ) ( ) ( )
2 2
' : 5 1 13
C x y
⇒
− + − =

TH2:
I
và
M
n
ằ
m cùng phía v
ớ
i
AB
thì
HM
=
IM
+
IH
=
13
2

2
2 2
43
2
AB
AM HM
 
= + =
 
 

( ) ( ) ( )
2 2
' : 5 1 43
C x y
⇒
− + − =



0,25


0,25





0,25




0,25

6.

Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy

ABCD
là hình vuông, gọi
M
là trung điểm của
AB
. Tam giác SAB cân và n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
đ
áy (
ABCD
),
biết
2 5SD a=
,
SC
tạo với mặt đáy (
ABCD
) một góc
60
°
. Tính theo
a th
ể

tích
kh
ố
i chóp
S.ABCD
và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
DM
và
SA
.

1,00


Theo gi
ả
thi
ế
t ta có
(
)
SM ABCD

⊥

MC là hình chi
ế
u c
ủ
a SC trên (ABCD) nên góc gi
ữ
a SC v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(ABCD) là

60
SCM
= °

Trong tam giác vuông SMC và SMD ta có :
2 2
.tan60
SM SD MD MC
= − = °
mà ABCD là hình vuông nên MC = MD
2 2 2
3 5
SD MC MC MC a

⇒
− =
⇒
= 15
SM a
⇒
=
L
ạ
i có
2
2
2 2
5
2
2 4
AB BC
MC BC BC a
 
= + =
⇒
=
 
 
2
4
ABCD
S a
⇒
=

V
ậ
y
3
.
1 4 15
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V SM S
= =

*) D
ự
ng hbh AMDI ta có AI // MD nên
( )
( )
( )
( )
( )
,
, ,
DM SA
DM SAI M SAI
d d d
= =

K
ẻ

MH AI
⊥
và
MK SH
⊥
. Ch
ứ
ng minh
( )
( )
,
M SAI
d MK
=

Tính
đượ
c
2 2 15
5 79
a a
MH MK
=
⇒
=
.KL…

0,25



0,25



0,25

0,25

7.

Trong m

ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ

Oxy
cho hình ch
ữ
nh
ậ
t
ABCD
có di
ệ
n
tích b
ằ
ng 12, tâm
I
là giao
đ

i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
0
3
:
1
=
−
−
y
x
d
và
0
6
:
2
=
−
+
y
x
d

. Trung
đ
i
ể
m c
ủ
a m
ộ
t c
ạ
nh là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
d
1
v
ớ
i tr
ụ
c
Ox
.
Tìm to
ạ

độ

các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.


1,00

Ta có:
I
d
d
2
1
=
∩
. To
ạ

độ
c
ủ
a I là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
:




=
=
⇔



=
−
+
=
−
−
2/3
y
2/9
x
0
6
y
x
0
3
y
x
. V
ậ
y







2
3
;
2
9
I

Do vai trò A, B, C, D nên gi
ả
s
ử
M là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh AD
Ox
d
M
1
∩
=

⇒

Suy ra M( 3; 0)
Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
2
2
=






+






−==

Theo gi
ả

thi
ế
t:
2
2
2
3
12
AB
S
AD
12
AD
.
AB
S
ABCD
ABCD
=
=
=
⇔
=
=

Vì I và M cùng thu
ộ
c
đườ
ng th

ẳ
ng d
1

AD
d
1
⊥
⇒

Đườ
ng th
ẳ
ng AD
đ
i qua M ( 3; 0) và vuông góc v
ớ
i d
1
nh
ậ
n
)1;1(n làm VTPT
nên có PT:
0
3
y
x
0
)0

y(1
)3
x(1
=
−
+
⇔
=
−
+
−
. L
ạ
i có:
2
MD
MA
=
=

To
ạ

độ
A, D là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

PT:
( )





=
+
−
=
−
+
2
y
3
x
0
3
y
x
2
2

( ) ( )



±=
−

−=
⇔



=
−
+
−
+
−=
⇔



=
+
−
+
−
=
⇔
1
3
x
x3y
2
)x
3(
3

x
3
x
y
2
y
3
x
3
x
y
2
2
2
2




=
=
⇔
1
y
2
x
ho
ặ
c




−
=
=
1
y
4
x
. V
ậ
y A( 2; 1), D( 4; -1)
Do






2
3
;
2
9
I
là trung
đ
i
ể
m c

ủ
a AC suy ra:



=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
2
1
3
y
y2
y
7
2
9
x
x2
x
A
I
C

A
I
C

T
ươ
ng t
ự
I c
ũ
ng là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD nên ta có B( 5; 4)
V
ậ
y to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh

ậ
t là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)





0,25








0,25







0,25




0,25

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0 (1)
1 3 2 2 0 (2)
x y y x
x x y y

− + − − =


+ − − − + =



1,00
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2

2
1 0 1 1
0 2
2 0
x x
y
y y

− ≥ − ≤ ≤


⇔
 
≤ ≤
− ≥




0,25
Đặ
t
t
=
x
+ 1
⇒

t
∈

[0; 2]; ta có (1)
⇔

t
3

−
3
t
2
=
y
3

−
3
y
2
.
Hàm s
ố

f
(
u
) =
u
3

−

3
u
2
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
đ
o
ạ
n [0; 2] nên:
(1)
⇔

y
=
t

⇔

y
=
x
+ 1
0,25
⇒
(2)
⇔

2 2
2 1 2 0
x x
− − + =

Đặt
2
1v x= −
⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v
2
+ 2v − 1 =2
2
1
2 3 0
3
(t/m)
(loai)
v
v v
v
=

⇔ + − = ⇔

= −

.
0,25

8.

V
ớ
i v = 1 ta có x = 0
⇒ y = 1. V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m (x;y) = (0;1)
0,25
9.
Cho
x
,
y
,
z
là ba s
ố
th
ự
c th
ỏ
a mãn
5 5 5 1
x y z
− − −
+ + =

. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :

25 25 25 5 5 5
5 5 5 5 5 5 4
x y z x y z
x y z y z x z x y+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +

1,00
www.MATHVN.com FB.com/ThiThuDaiHoc

Đặ
t 5
x
= a , 5
y
=b , 5
z
= c . T
ừ
gi
ả
thi
ế

t ta có : ab + bc + ca = abc
B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh có d
ạ
ng :
2 2 2
4
a b c a b c
a bc b ca c ab
+ +
+ + ≥
+ + +
(*)

( *)
⇔
3 3 3
2 2 2
4
a b c a b c
a abc b abc c abc

+ +
+ + ≥
+ + +


⇔

3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
+ +
+ + ≥
+ + + + + +

Ta có
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c
a
a b a c
+ +
+ + ≥
+ +
( 1) (B
ấ
t
đẳ
ng th

ứ
c Cô si)
T
ươ
ng t
ự

3
3
( )( ) 8 8 4
b b c b a
b
b c b a
+ +
+ + ≥
+ +
( 2)

3
3
( )( ) 8 8 4
c c a c b
c
c a c b
+ +
+ + ≥
+ +
( 3) .
Cộ
ng v

ế v
ớ
i vế
các b
ất
đẳ
ng thứ
c ( 1) , ( 2) , (3) suy ra đ
i
ều ph
ả
i chứ
ng minh


0,25





0,25




0,25


0,25

Tổ
ng : 10,00


Lư
u ý: Các cách giả
i khác đ
úng cho đ
iể
ng đương t
ừng ph
ần.
m tươ