SKKN một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề.
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Trong toán học, giải phương trình là một phần rất quan trọng trong việc
dạy và học ở trường phổ thông. Việc nắm vững các dạng phương trình và rèn
luyện kỹ năng giải các phương trình đơn giản như: phương trình bậc nhất,
phương trình bậc hai là nền tảng và cơ sở để học sinh biết tư duy, biết suy
luận, tìm ra phương pháp giải phương trình vô tỉ.
Phương trình vô tỉ là dạng toán rất đa dạng, phong phú, đòi hỏi học sinh
khi giải phương trình phải có óc quan sát, suy luận, sáng tạo, đồng thời phải biết
vận dụng một cách linh hoạt nhiều kiến thức. Nó giúp cho học sinh phát triển tư
duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ. Cho nên trong các kì thi học sinh giỏi, kì
thi tuyển sinh vào THPT, kì thi đại học thường xuyên có dạng toán này.
Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen với
phương trình vô tỉ ở dạng đơn giản và không đưa ra phương pháp và các bước
làm cụ thể. Vì thế, khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không
biết bắt đầu như thế nào. Chính vì vậy việc tổng hợp, đưa ra những phương pháp
giải cụ thể là rất quan trọng đối với học sinh.
2. Ý nghĩa của giải pháp mới.
Giúp làm tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh
Học sinh biết suy luận theo hướng logic (suy luận theo bản đồ tư duy, suy
luận thao sơ đồ phân tích….)
Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốt
hơn.
Học sinh biết cách trao đổi thông tin với bạn thông qua hoạt động dạy học
hợp tác trong nhóm của giáo viên.
Giúp học sinh nhận dạng được phương trình vô tỉ, đưa ra phương pháp
phù hợp từ đó yêu thích môn học và say mê với môn học, làm giảm những suy
nghĩ tiêu cực trong học sinh.
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

2
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
3. Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm.
Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện nghiên cứu tại trường THCS Đại
Hưng, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên từ năm học 2013 - 2014 đến năm học
2014 - 2015.
Đối tượng cần nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm ở đây là các em học
sinh khối 9 của nhà trường.
Nội dung nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm chính là: "Một số
phương pháp giải phương trình vô tỉ”.
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lý luận.
Giải phương trình nói chung và giải phương trình vô tỉ nói riêng là một vấn đề
lớn, chứa đựng kiến thức sâu, rộng với các phương pháp giải phong phú. Trên
thực tế sách giáo khoa không đưa ra phương pháp giải, song có nhiều tài liệu do
nhiều tác giả viết về các dạng phương trình vô tỉ kèm theo phương pháp làm
nhưng các phương pháp đó chưa được thể hiện rõ.
Qua nghiên cứu chương trình, sách vở, tài liệu và nhất là qua thực tế
giảng dạy tôi nhận thấy việc đưa ra phương pháp cụ thể để giải từng dạng
phương trình vô tỉ là rất cần thiết, nó giúp cho học sinh tiếp thu và vận dụng một
cách dễ dàng hơn.
Trong phạm vi đề tài nhỏ này, tôi mạnh dạn tổng hợp, hệ thống, phân loại
và hướng dẫn một vài phương pháp giải phương trình vô tỉ. Với hy vọng học
sinh khá, giỏi lớp 9 dựa vào đó phát huy tính sáng tạo, khả năng tìm tòi lời giải
có đường lối rõ ràng. Tạo một cơ sở vững chắc trước khi bước vào phổ thông
trung học đồng thời tạo lòng say mê, sáng tạo trong toán học.
2. Cơ sở thực tiễn.
Trong giảng dạy thì một số giáo viên ngại đào sâu kiến thức dẫn tới việc
giảng dạy phần này đa phần là hướng dẫn học sinh giải các dạng đơn giản, cụ
thể từng bài mà không đưa được ra các phương pháp chung.

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
3
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
Học sinh từ việc học thụ động nên việc học tập của các em chưa hiệu quả
dẫn tới một số em chán nản trong việc học. Một số học sinh có khả năng học tập
nhưng rất sợ khi gặp phải dạng toán này.
3. Các biện pháp tiến hành.
Học sinh đã biết phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong dấu
căn. Vì thế muốn giải phương trình thông thường phải biến đổi hoặc làm thế nào
đó để khử căn. Các phép biến đổi yêu cầu phải chuẩn xác và tương đương. Vì
thế khi giảng dạy cho học sinh cần nhấn mạnh:
- Tìm điều kiện để căn thức trong phương trình có nghĩa (đối với căn bậc
chẵn).
- Điều kiện để các phép biến đổi là tương đương và điều kiện để áp dụng
bất đẳng thức.
- Quá trình biến đổi phải chính xác. Đặc biệt chú ý
2
A A=
khi khai căn.
- Khi tìm được giá trị của ẩn phải so sánh với điều kiện ở trên để tìm
nghiệm thích hợp của phương trình.
- Ngoài ra học sinh nắm vững một số kiến thức liên quan cụ thể:
1. Điều kiện để
A
có nghĩa là A ≥ 0
2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
a)
( )
2
2 2

2A B A AB B+ = + +

b)
( )
2
2 2
2A B A AB B− = − +
c)
( ) ( )
2 2
.A B A B A B− = + −
d)
( )
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B+ = + + +
e)
( )
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B− = − + −
g)
( )
( )
3 3 2 2
.A B A B A AB B
+ = + − +
h)
( )
( )

3 3 2 2
.A B A B A AB B
+ = − + +
3. Nếu a
2n
= b
2n
và a > 0, b > 0 => a = b (n∈N
*
)
4. Với ∀ a,b ∈ R nếu a = b => a
2n+1
= b
2n+1
(n∈N)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
4
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
5. Hằng đẳng thức
2
0
A A
A A
A A
≥

= =

− <


neáu 0
neáu

6. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
7. Các phương pháp biến đổi tương đương của phương trình
8. Các phương pháp biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
9. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
10. Các BĐT thông dụng
4. Thời gian tạo ra giải pháp
Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từ
đầu năm học 2013 - 2014 đến năm học 2014 - 2015 đối với các em học sinh lớp
9 của nhà trường.
B - NỘI DUNG
I- Mục tiêu
Từ những vấn đề đã nêu ở trên và với nhiệm vụ là một giáo viên giảng
dạy môn toán ở trường phổ thông thì việc giảng dạy trước hêt phải đảm bảo
đúng và đủ nội dung chương trình SGK do Bộ GD - ĐT quy định còn phải bồi
dưỡng học sinh giỏi tạo lòng cốt cho các em tới đây còn có thể đi thi học sinh
giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đòi hỏi tôi phải tập trung nghiên cứu, đúc rút kinh
nghiệm tổng hợp thành các phương pháp giải phương trình vô tỉ. Sáng kiến này
được đúc rút từ thực tế giảng dạy ở lớp 9, và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường
THCS Đại Hưng từ năm học 2013 - 2014 đến năm học 2014 - 2015. Đây là vấn
đề cấp bách và đòi hỏi liên tục được bổ sung trong những năm tới, tôi sẽ đưa ra
phương pháp và minh hoạ bằng các ví dụ cụ thể đồng thời rút ra những kết luận
chung nhất của các phương pháp giải phương trình vô tỉ.
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
5
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
II- Phương pháp tiến hành
II.1. Mô tả giải pháp của đề tài.

Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp giải phương trình
vô tỉ và một số ví dụ cụ thể.
1. PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA
a. Phương pháp
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Nâng lên cùng một lũy thừa ở hai vế nhằm mục đích mất dấu căn (chú ý
điều kiện để nâng lên lũy thừa và có thể nâng lên lũy thừa nhiều lần).
- Giải phương trình không chứa căn
- Nghiệm của phương trình là những giá trị thuộc tập xác định
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:

1 1x x+ = −
(1)
ĐKXĐ:
1x ≥ −

( )
( )
( )
2
2
1
1 0
1 1
1 3
0
3 0
3 0
1 1

3
x
x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
≥

− ≥

≥ ≥


 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
=

   
− =
− =
+ = −






=



( x = 3 thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3
Lưu ý: ở bài toán này, học sinh thường hay mắc phải sai lầm khi bình
phương hai vế không có điều kiện
1 0x − ≥
. Do đó làm xuất hiện nghiệm ngoại
lai: x = 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
15 2 1x x− − − =
(2)
ĐKXĐ:
2 15x≤ ≤
Ta có (2)
15 2 1x x⇔ − = + +


( )
2
15 2 1x x⇔ − = + +
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
6
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

15 2 2 2 1x x x⇔ − = − + − +

2 2 16 2x x⇔ − = −

2 8x x⇔ − = −

( )
2
8
8 0
6
11
2 8
6
x
x
x
x
x x
x
≤

− ≥

 
⇔ ⇔ ⇔ =
=

 
− = −




=


(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
6x =

Lưu ý: trong ví dụ trên học sinh dễ mắc sai lầm là cứ như vậy bình
phương hai vế khi mà chưa có điều kiện để vế trái không âm.
Ví dụ 3. Giải phương trình:

xxx −=−−+ 1271
(3)
Tương tự ví dụ 2 học sinh dễ dàng làm được như sau:
ĐKXĐ:
7 12x≤ ≤
( )
3 1 12 7x x x⇔ + = − + −


( ) ( )
2 2
1 12 7x x x⇔ + = − + −

( ) ( )
2 7 12 4x x x
⇔ − − = −
(3’)
Với ĐKXĐ thì hai vế của (3’) có giá trị không âm.
Bình phương hai vế của (3’) ta được:

8;
5
44
2'417601764'
0352845
168)8419(4
21
2
22
==⇒
=∆⇒=−=∆
=+−⇔
+−=−+−
xx
xx
xxxx
Với
1 2
44
; 8
5
x x= =
Thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:
8;
5
44
21
==
xx

Ví dụ 4. Giải phương trình:
1 4 9x x x x+ + + = + +
(4)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
7
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ: x ≥ 0
( )
( ) ( )
2 2
4 1 4 9x x x x⇔ + + + = + +

( ) ( ) ( )
2x 5 2 1 4 2x 9 2 9x x x x⇔ + + + + = + + +


( ) ( ) ( )
1 4 2 9x x x x⇔ + + = + +
Hai vế không âm, bình phương hai vế và thu gọn ta có:
2
9x x x+ = −
(4’)
Với điều kiện: x ≤ 0, bình phương hai vế của (4’) ta được:
09
22
=⇔=+
xxxx
(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0
Lưu ý: ở bài toán này, sau khi biến đổi đến (4’):

xxx
−=+
9
2
ta có thể
lập luận như sau:
Vì
09
2
≥+
xx
nên –x ≥ 0 hay x≤ 0
Kết hợp với ĐKXĐ => x = 0 (thỏa mãn phương trình (4))
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0
Lời bình: Trong phương pháp này khi nâng lên luỹ thừa đặc biệt là căn
bậc chẵn thì giáo viên cần nhấn mạnh đến điều kiện để hai vế không âm. Thông
thường ta chỉ áp dụng cho phương trình có chứa 4 dấu căn trở xuống đồng thời
chỉ là căn thức bậc hai hoặc căn bậc ba. Kết hợp với biểu thức trong căn chỉ là
những biểu thức đơn giản.
c. Bài tập tự giải
Giải các phương trình sau:
1)
2
7 12 2 6x x x− + = −
( x = 3)
2)
2 1x x− − =
(Vô nghiệm)
3)
1 5 1 3 2x x x− − − = −

(vô nghiệm)
4)
1 4 3x x− + + =
( x = 0; x = - 3)
2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
2.1. Sử dụng hằng đẳng thức A
n
= B
n
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
8
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
a. Phương pháp
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình
+ Áp dụng các hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng:

( ) ( )
n n
A x B x=
(*)
- Nếu
( )
*
2n k k= ∈¥
thì (*)
( ) ( )
A x B x⇔ = ±
- Nếu
( )
*

2 1n k k= + ∈¥
thì (*)
( ) ( )
A x B x⇔ =
+ Giải phương trình:
( ) ( )
A x B x=
hoặc
( ) ( )
A x B x= −
được nghiệm x rồi
so sánh với điều kiện và kết luận.
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình :
2
3 3x x+ + =

ĐKXĐ:
3x ≥ −

Ta có:
2 2
1 1
3 3 3 3
4 4
x x x x x x+ + = ⇔ + + = + − + +

2 2
1 1
3

2 2
x x
   
⇔ + = + −
 ÷  ÷
   


1 1
3 (1)
2 2
1 1
x 3 (2)
2 2
x x
x

+ = + −


⇔
 

+ = − + −
 ÷

 


Giải phương trình (1) ta được

1x =
là nghiệm
Giải phương trình (2) ta được
1 13
2
x
−
=
là nghiệm
Lời bình :
Khi gặp bài toán này học sinh sẽ nghĩ đến việc bình phương hai vế nếu
giáo viên không khéo léo hướng dẫn gợi ý. Nếu bình phương hai vế sẽ gặp phải
phương trình bậc 4 rất khó gải quyết về sau . Khi áp dụng cách giải quyết này
thì đã giải quyết được vấn đề đó. Điều khéo léo ở đây là phải biết chuyển vế,
thêm bớt để làm xuất hiện bình phương. Bài này còn nhiều cách giải khác .
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
9
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2
4 5 2 2 3x x x+ + = +
(2)
ĐKXĐ:
3
2
x ≥ −

(2)
2
6x 9 2 3 2 2 3 1x x x⇔ + + = + + + +

( )
( )
2
2
3 2 3 1x x⇔ + = + +


( )
3 2 3 1
3 2 3 1
x x
x x

+ = + +

⇔

+ = − + +


Giải phương trình
3 2 3 1x x+ = + +
ta được x = - 1 là nghiệm
Giải phương trình
( )
3 2 3 1x x+ = − + +
vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1

Lời bình:
Ở bài toàn này nếu ta bình phương hai vế thì bài toán trở lên rất phức
tạp. Ở đây ta đã khéo léo thêm vào hai vế 2x + 4 nhằm mục đích xuất hiện các
biểu thức có dạng bình phương của (1) ở cả hai vế, đưa phương trình về dạng
A
2
(x)=B
2
(x). Từ đó giúp ta tìm nghiệm của phương trình một cách dễ dàng hơn.
Ở ví dụ này ta có thể giải phương trình bằng cách khác là:
2 2
4 5 2 2 3 4 5 2 2 3 0x x x x x x+ + = + ⇔ + + − + =

( )
( )
2
2 1 2 3 2 2 3 1 0x x x x⇔ + + + + − + + =

( )
( )
2
2
1 2 3 1 0x x⇔ + + + − =


( )
( )
1 2 3 1 0x x⇔ + = + − =

1x = −

(thỏa mãn ĐKXĐ)
Ví dụ 3. Giải phương trình:

3
7 15 2 3x x x− = −
(3)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
10
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
Với bài toán này, khi học sinh gặp phải các em rất lúng túng không định
hướng được cách làm. Vì thế tôi cho các em nhận xét thấy
3
x
, x,
x
có mối
quan hệ với bậc của a, b trong hằng đẳng thức (a
±
b)
3
sau khi khai
triển. Đồng thời hướng dẫn các em làm như sau:
ĐKXĐ: x ≥ 0
( )
3 7 15 2 3x x x x⇔ − = −

8 12 6 1 3 3 1x x x x x x x x⇔ − + − = + + +


( ) ( )

3 3
2 1 1x x⇔ − = +


2 1 1x x⇔ − = +

2 4x x⇔ = ⇔ =
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4
Ví dụ 4. Giải phương trình:
( )
3
2
3
7 6 12 8 4x x x
= − + −
Đối với bài toán này ta thấy các hệ số có liên quan rất chặt chẽ tới hằng
đẳng thức (a – b)
3
. Vì thế tôi đã hướng dẫn học sinh như sau:
3
2
3
(4) 8 6 12 8x x x
x
⇔ = − + −

3 3
3 3
3 3

3
(2 ) ( 2)
2 2
2 8
x x
x x
x x
⇔ = −
⇔ = −
⇔ = − ⇔ = −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = - 8
2.2. Sử dụng đẳng thức dạng đặc biệt:
a) Phương pháp
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Sử dụng đẳng thức để đưa về dạng tích
( ) ( )
1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − =

( ) ( )
. 0au bv ab uv u b v a+ = + ⇔ − − =

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
11
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
- Giải phương trình tích nhận được
b) Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
3 2
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +

(1)
ĐKXĐ: R
Ta có
( ) ( )
2
3 2 1 2x x x x+ + = + +
nên
(1)
( ) ( )
3 3
1 1 2 1 0x x⇔ + − + − =


( )
( )
3
3
1 1 0
0
1
2 1 0
x
x
x
x

+ − =
=



⇔ ⇔


= −

+ − =


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0; x = - 1.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
(2)
ĐKXĐ:
1x ≥ −

(2)
( ) ( )
3 2 1 2 1 3x x x x x x
⇔ + + + = + + +

( ) ( )
3 2 . 1 1 0x x x⇔ + − + − =
từ đó ta tìm được
1
0
x
x
=



=

(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1; x = 0.
Lời bình: Trong hai ví dụ trên học sinh chỉ cần quan sát tinh mắt sẽ thấy chúng
thuộc dạng đẳng thức đặc biệt do đó ta sử dụng đẳng thức đó đưa về phương
trình tích rồi từ đó giải phương trình dễ dàng.
2.3. Bài tập áp dụng: '
Giải các phương trình sau:
a)
2
9 9x x+ + =
(x =
2
331+−
; x =
2
371−
)
b)
02225
2
=++− xxx
( x = 2)
c)
2
7 2 3 6 0x x x− + + =
(x = 3)
d)

3 2 3 2
3 3
1x x x x x+ + = + +
( x = 1)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
12
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
e)
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
(x = 1)
3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a. Phương pháp
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình
+ Biến đổi phương trình về dạng:
mxDxBxA
mxDxBxA
=+++⇔
=+++
)( )()(
)( )()(
222
+ Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta tìm được nghiệm của
phương trình (là những giá trị thuộc tập xác định).

b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
4 4 8x x x− + = −
(1)
ĐK:
8x ≤

( ) ( )
2
1 2 8x x⇔ − = −

2 8x x⇔ − = −


( )
( ) ( )
2 8 1'
2 8 2'
x x
x x
− = −
⇔

− = − −



Giải phương trình (1’) ta được x = 5 (thỏa mãn)
Giải phương trình (2’) ta được 0x = - 6 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5
Lời bình: Trong bài toán trên học sinh có thể giải bằng cách bình phương hai
vế của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình:

2 1 2 1 2x x x x
+ − + − − =
(2)
ĐKXĐ: x ≥ 1
(2) 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x
⇔ − + − + + − − − + =
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
13
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

( )
2 2
( 1 1) ( 1 1) 2
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1'
x x
x x
x x
⇔ − + + − − =
⇔ − + + − − =
⇔ − + − − =
Nếu x > 2 thì:
21111
1111)'1(
=⇒=−⇔=−⇔

=−−+−⇔
xxx
xx
x = 2 không thuộc khoảng đang xét
Nếu 1≤ x ≤ 2 thì:
1111)'1(
=−−+−⇔
xx
(luôn đúng)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1≤ x ≤ 2
Lời bình:
Ở bài toán này ta đã thêm bớt các số hạng ở biểu thức trong căn
nhằm mục đích xuất hiện hằng đẳng thức (a
±
b)
2
, từ đó có thể dễ dàng đưa
được biểu thức ra ngoài dấu căn. Đó là hướng làm đúng đắn cho dạng phương
trình này. Tuy vậy, việc thêm bớt thế nào cho hợp lý còn phải phụ thuộc vào óc
quan sát và kỹ năng biến đổi của học sinh.
Lưu ý : Ở dạng toán này học sinh thông thường khi đưa biểu thức ra ngoài
dấu căn mà không kèm theo dấu giá trị tuyệt đối từ đó dẫn đến việc mất nghiệm
hoặc làm xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình.
Cụ thể, bài toán trên học sinh thường biến đổi như sau:
211
11
21111
2)11()11()1(
22
=⇔=−⇔

=−⇔
=−−++−⇔
=−−++−⇔
xx
x
xx
xx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 dẫn đến thiếu nghiệm của phương
trình. Đây là một sai lầm ta thường gặp ở học sinh
c. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
2
) 6x 9 5a x x− + = −
(x = 4)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
14
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

) 2 3 4 2 3 4 2b x x x x+ + + + − + + =
(x = - 2)
) 3 4 1 8 6 1 5c x x x x+ + − + + − − =
(
1 10x≤ ≤
)
4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
a. Phương pháp
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Đặt ẩn phụ thích hợp nhằm hữu tỉ hóa phương trình(chú ý tìm điều kiện
cho ẩn phụ nếu có )
b. Các ví dụ

4.1. Dùng ẩn phụ dưa về phương trình hữu tỷ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2 2
3 21 18 2 7 7 2x x x x+ + + + + =
(1)
ĐKXĐ:
2
7 7 0x x
+ + ≥
Đặt:
( )
2 2 2
7 7 0 7 7x x y y x x y
+ + = ≥ ⇒ + + =
Phương trình (1) trở thành:
2 2
3 3 2 2 3 2 5 0y y y y− + = ⇔ + − =
(1’)
Phương trình (1’) có a + b + c = 0 ⇒ y
1
=1(nhận); y
2
=
5
3
−
(loại)
Với y =1 thì
2 2 2
7 7 1 7 7 1 7 6 0x x x x x x+ + = ⇔ + + = ⇔ + + =

Do đó x
1
= - 1 (thỏa mãn ĐKXĐ); x
2
= - 6 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = -1 hoặc x = -6
Lời bình:
Trong bài toán này ta thấy xuất hiện cả trong và ngoài dấu căn biểu
thức x
2
+7x+7. Do vậy ta đặt
)0(77
2
≥=++ yyxx
để đưa phương trình đã cho
về phương trình không chứa căn đối với ẩn y.
Ví dụ 2. Giải phương trình:

3
2 1 3x x
− + + =
(2)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
15
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ: x ≥ -1
Đặt:
2
1 ( 0) 2 3x y y x y
+ = ≥ ⇒ − = −

Khi đó:
( )
2
3
2 3 3y y
⇔ − = −

2
6 15 0y y⇔ − + >

(
)
( )
3
3
2
3
3 3y y− = −

⇔

2 2 3
3 27 27 9y y y y− = − + −

( )
( )
2
2 6 15 0y y y
⇔ − − + =

2 0y⇔ − =
(vì
2
6 15 0y y− + >
)
Do đó y = 2 ( Thoả mãn)
Thay trở lại ta được:
321
=⇒=+
xx
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3
4.2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình hữu tỷ
Ví dụ 3. Giải phương trình:

3
3
1 2 2 1x x+ = −

(3)

Đặt
3
2 1y x= −
khi đó ta có hệ:
3
3
1 2 (1')
1 2 (2')

x y
y x

+ =


+ =



Lấy vế trừ vế của (1’) cho (2’) rồi biến đổi ta có x = y
Khi đó ta có
( )
( )
3 2
3
2 1 2 1 0 1 1 0x x x x x x x= − ⇔ − + = ⇔ − + − =

Do dó x =1;
1 5 1 5
;
2 2
x x
− + − −
= =
Vậy phương trình có ba nghiệm như trên.
Lời bình :
Lời giải bài toán trên có được là nhờ vào việc phải nhận biết được tính
đối xứng của biểu thức trong và ngoài dấu căn , từ đó mà tìm cách đặt ẩn phụ
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

16
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
để đưa về hệ phương trình đối xứng. Để giải được cách này thì học sinh phải
được cung cấp cách giải hệ phương trình đối xứng.
Ví dụ 4. Giải phương trình:

2 2 3 2
3
(3 1) (3 1) 9 1 1x x x
+ + − + − =
(4)
Với bài toán này học sinh dễ nhận thấy mối quan hệ giữa các biểu thức.
Vì vậy các em dễ định hướng và thấy được:
Đặt:
33
13;13
−=+=
xvxu
Phương trình (4) trở thành:
2 2
3 3
1
2 2
2
u v uv
u v u v
u v

+ + =
⇒ − = ⇔ = +


− =

Do đó:

2 2
2
2
(2 ) ( 2) 1
3 6 3 0
3( 1) 0
1 1
v v v v
v v
v
v u
+ + + + =
⇔ + + =
⇔ + =
⇔ = − ⇒ =
Vậy ta có:
3
3
3 1 1
0
3 1 1
x
x
x


+ =

⇒ =

− = −


Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
c. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau :
a)
2
1 2 2 2 13 2x x x x x+ + − + − − = −
(x = 3)
b)
2 2
2 3 2 3 9 33x x x x+ + + + =
(x = 3; x =
9
2
−
)
c)
1 2 1 5x x− + − =
(x = 5)
d)
8 x 5 x 5+ + − =
( x = 1)
e)
2

2 x 2 x 4 x 2− + + + − =
(x =
2
±
)
5. PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
17
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
5.1. Liên hợp để xuất hiện nhân tử chung
a. Phương pháp
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Nhân với biểu thức liên hợp (có thể thực hiện đối với từng phân thức) để
làm xuất hiện thừa số chung.
- Đưa về dạng A(x).B(x) = 0
- Giải phương trình tích nhận được
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:

2 2
2 3 5 2 3 5 3 (1)x x x x x+ + + − + =
ĐK: x > 0
Nhân hai vế của (1) với biểu thức liên hợp của vế trái ta có :
( ) ( )
(
)
2 2 2 2
2 3 5 2 3 5 3 2 3 5 2 3 5x x x x x x x x x+ + − − + = + + − − +

(

)
2 2
6 3 2 3 5 2 3 5x x x x x x⇔ = + + − − +

2 2
2 3 5 2 3 5 2x x x x⇒ + + = − + +
(do x > 0)
Bình phương hai vế ta có:

2353
2
22 −=+− xxx
Bình phương hai vế ta có:
2 2
8 12 20 9 12 4x x x x− + = − +


⇔
x
2
=16
⇒
x = 4 (do x > 0)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4
Ví dụ 2: Giải phương trình

2 2
12 5 3 + 5x x x+ + = +
(2)
ĐKXĐ: R

(2)
2 2
12 5 3 5x x x⇔ + − + = −

Đề phương trình có nghiệm ta thấy VT > 0 do đó
5
3
x >

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
18
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2 12 4 3x 6 5 3x x⇔ + − = − + + −

( )
2 2
2 2
4 4
3 2
12 4 5 3
x x
x
x x

− −
⇔ = − +
+ + + +


( )
2 2
2 2
2 3 0
12 4 5 3
x x
x
x x
 
+ +
⇔ − − − =
 ÷
+ + + +
 

Ta có với
5
3
x >
thì
2 2
2 2
3 0
12 4 5 3
x x

x x
+ +
− − <
+ + + +
do đó x – 2 = 0 nên
x = 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2
Lời bình: Trong ví dụ này ta có thể nhẩm được phương trình có nghiệm x = 2
do đó ta có thể đưa phương trình về dạng
( ) ( )
2 . 0x A x− =
cho nên ta tách
phương trình thành các nhóm để khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung x –
2.
5.2. Đưa về hệ tạm
a) Phương pháp
Nếu phương trình vô tỉ có dạng
A B C+ =
, mà
A B C
α
− =
(trong đó
C có thể là hằng số hoặc biểu thức chứa biến). Ta có thể làm như sau:
A B
C A B
A B
α
−
= ⇒ − =

−
khi đó ta có
A B C
A B
α

+ =


− =



b. Ví dụ:
Ví dụ. Giải phương trình:
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +

Ta có:
( ) ( )
( )
2 2
2 9 2 1 2 4x x x x x
+ + − − + = +
x = - 4 không phải là nghiệm
Xét
4x ≠ −
Trục căn thức vế trái ta có:
2 2
2 2

2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
+
= + ⇒ + + − − + =
+ + − − +

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
19
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
Do dó ta có hệ phương trình:
2 2
2 2
2 9 2 1 2
2 9 2 1 4
x x x x
x x x x x

+ + − − + =


+ + + − + = +



2
0

2 2 9 6
7
8
x
x x x
x
=


⇒ + + = + ⇔

=

(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x =
7
8

5.3. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
a)
2238232238)1(
222
++−+++++ xxxxxx
(x = -1)
b)
1 1 1
1
3 2 2 1 1x x x x x x
+ + =

+ + + + + + + +
(x = 1)
c)
4 3 10 3 2x x− − = −
(x = 3)
d)
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
(x = 2)
6. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
a. Phương pháp
- Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là
hằng số)
Nghiệm của phương trình là các giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và
g(x) = a
- Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m = const) mà ta luôn có h(x)
≥ m hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị x làm cho dấu đẳng
thức xảy ra.
Để biến đổi được về các dạng như trên thì cần biến đổi lịnh hoạt dựa
vào tính chất hàm số, dựa vào các bất đẳng thức đặc biệt là áp dụng bất đẳng
thức Cauchy, Bunhiacôpxki.
b. Các ví dụ:
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
20
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

6.1. Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế là rời nhau khi đó phương trình vô
nghiệm
Ví dụ 1. Giải phương trình:

1 5 1 3 2x x x− − − = −
(1)
ĐKXĐ:
1x ≥

Với
1x ≥
ta có
5 1 5 1 1 5 1x x x x x x< ⇔ − < − ⇔ − < −
do đó VT < 0
mà VP > 0 nên không có giá trị của x để hai vế bằng nhau do đó phương trình
(1) vô nghiệm.
Lời bình: Với bài này ta có thể giải theo phương pháp nâng lên lũy thừa .
Nhưng nếu ta hướng dẫn học sinh đi chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau
thì lời giải bài toán sẽ hấp dẫn hơn và sẽ gây được hứng thú học tập, tìm tòi,
khám phá của học sinh.
6.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 2.
Giải phương trình

2 2 2
2 5 2 10 2 4x x x x x x+ + + + + = − − +
ĐKXĐ: R
Ta có
( ) ( )
2 2

2
2 5 1 4 4 1 4 4x x x x+ + = + + ≥ ⇒ + + ≥

hay
( )
2
1 4 2x + + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi x = - 1.
Tương tự:
( )
2
2
2 10 1 9 3x x x+ + = + + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi x = - 1
Do đó VT
5≥
. Dấu “=” xảy ra khi x = - 1
Mặt khác
( )
2
2
2 4 1 5 5x x x− − + = − + + ≤
. Dấu “=” xảy ra khi x = - 1
Từ đó suy ra để phương trình có nghiệm thì VT = VP = 5. Khi đó x = - 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 1.
6.3. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng đối với bất đẳng thức .
Ví dụ 3. Giải phương trình:

2 2 2
3 4 ( 2 3)( 4 5)x x x x x x

− + = − + − +
(3)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
21
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ: R
Ta có:
2
)54()32(
43
01)1(54
02)1(32
22
2
22
22
+−++−
=+−
>+−=+−
>+−=+−
xxxx
xx
xxx
xxx
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:
32
2
+−
xx
và

54
2
+−
xx
ta có:
)54)(32(43:
)54)(32(
2
)54()32(
222
22
22
+−+−≥+−
+−+−≥
+−++−
xxxxxxhay
xxxx
xxxx
Dấu “=” xảy ra khi
1225432
22
=⇔=⇔+−=+−
xxxxxx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
Ví dụ 4. Giải phương trình:

3 5 4 2 4 5 3 9x x x+ + + = +
(4)
ĐKXĐ:
2x ≥ −

Theo bất đẳng thức BunhiaCôpxki cho cặp số (3;4) và
( )
5; 2 4x x+ +

ta có:
93542453:
)425)(43()42453(
222
+≤+++
++++≤+++
xxxhay
xxxx
Dấu “=” xảy ra ⇔
4
42
3
5 +
=
+ xx
( ) ( )
16 5 9 2 4x x⇔ + = +

16 80 18 36x x⇔ + = +

2 44 22x x⇔ = ⇔ =
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 22
Lời bình: Trong hai ví dụ trên ta đã sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT
Caychy và BunhiaCôpxki để chỉ ra nghiệm của phương trình.

c. Bài tập tự giải
Giải các phương trình sau
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
22
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
) 2 3 2 5 1a x x x− − − = −
(vô nghiệm)
2
) 2 10 12 40b x x x x− + − = − +
(x = 6)
4 1
) 2
4 1
x x
c
x
x
−
+ =
−
(x =
2 3±
)
d)
2
1 3 4 6x x x x− + − = − +
(x = 2)
7. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT.
a) Phương pháp.
B1: Tính nhẩm một nghiệm của phương trình

B2: Chứng minh đó là ngiệm duy nhất .
b) Ví dụ:
Ví dụ. Giải phương trình:
3
2 1 3x x
− + + =
ĐKXĐ:
1x ≥ −

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng với phương trình
Với x > 3 thì
12
3
>−
x
và
21
>+
x
nên
312
3
>++− xx
Với -1
≤
x <3 thì
12
3
<−
x

và
21
<+
x
nên
312
3
<++− xx
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Lời bình:
Ngoài cách đặt ẩn phụ cho bài toán như đã làm ở phần trước tôi còn
hướng dẫn các em cách chứng minh nghiệm duy nhất như trên. Đây là phương
pháp để áp dụng cho một số phương trình mà ta có thể thử trực tiếp để thấy
nghiệm của chúng rồi chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra phương trình
không còn nghiệm nào nữa.
c. Bài tập tự giải
a)
2
7
8 2 2 1
1
x
x x
x
+
+ = + −
+
( x = 2)
b)
3 5

4
3 5 5 7 13 7 11 8x x x x− + − + + + + =
(x = 3)
c)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − + − − −
(x = 2)
d)
6 8
6
3 x 2 x
+ =
− −
(x =
3
2
)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
23
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
II.2. Phạm vi áp dụng
* Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm này:
- Những yêu cầu đó đòi hỏi giáo viên phải có thời gian, kinh phí, tâm
huyết, yêu nghề, yêu trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo. Giáo viên cũng cần rèn
cho học sinh ý thức, thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm
việc theo sự hướng dẫn của giáo viên. Đối với học sinh cần phải có tinh thần học
tập bộ môn những bạn học khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có
như vậy giờ học mới đảm bảo đúng tiến độ của giờ lên lớp.
* Đối tượng
Đề tài có thể tùy theo mức độ, yêu cầu đối tượng học sinh mà giáo viên có

thể sử dụng toàn bộ hay ít nhiều. Đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ cho
các em một số phương pháp, kỹ năng trên là cần thiết và rất có ích.
* Phạm vi
Tất cả các giáo viên giảng dạy bộ môn toán đều có thể áp dụng vào giảng
dạy cho học sinh lớp 9 khi ôn thi tuyển sinh hoặc ôn thi học sinh giỏi
II.3. Hiệu quả.
Tôi có làm một bài tập khảo sát với thời gian làm bài 60 phút với hai
nhóm học sinh của hai lớp: Lớp thực nghiệm 9A (lớp được giảng dạy theo sáng
kiến kinh nghiệm) và lớp đối chứng 9C (không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm)
với đề bài như sau:
Đề bài:
Giải các phương trình sau:
Câu 1(2đ).
3 17x x+ = −

Câu 2(2đ).
3 1 2x x+ + − =

Câu 3(2đ).
2
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +

Câu 4(2đ).
2 3
2 5 1 7 1x x x
+ − = −
Câu 5(2đ).
2
3 1 5 4 3x x x x+ + + = + +
Đáp án và biểu điểm:

Câu 1(2điểm).
3 17x x+ = −
(1)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
24
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ:
3x ≥ −
(0,25đ)
(1)
( )
2
17 0
3 17
x
x x
− ≥


⇔

+ = −


(0,25đ)
*
17 0 17x x− ≥ ⇔ ≤
(0,25đ)
*
( )

2
3 17x x+ = −
2
3 289 34x x x⇔ + = − +
(0,25đ)
2
35 286 0x x⇔ − + =
(0,25đ)
1
22x⇔ =
(không thỏa mãn);
2
13x =
(thỏa) mãn) (0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 13 (0,25đ)
Câu 2(2điểm).
3 1 2x x+ + − =
(2)
ĐKXĐ:
1x ≥
(0,25đ)
(2)
( )
2
3 1 4x x⇒ + + − =
( ) ( )
2x 2 2 3 . 1 4x x
⇔ + + + − =

( ) ( )

3 . 1 1x x x
⇔ + − = −
(0,5đ)
( ) ( ) ( )
2
1
3 . 1 1
x
x x x
≤


⇔

+ − = −


(0,25đ)
*
( ) ( ) ( )
2
3 . 1 1x x x+ − = −
( ) ( ) ( )
2
3 . 1 1 0x x x⇔ + − − − =
(0,25đ)
( )
4 1 0 1x x⇔ − = ⇔ =
(thỏa mãn) (0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 (0,25đ)

Câu 3(2điểm).
2
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
(3)
ĐKXĐ:
1x ≥ −
(0,25đ)
(3)
( ) ( )
1 2 1 1 . 2x x x x⇔ + + + = + + +
(0,5đ)
( ) ( )
1 1 . 2 1 0x x⇔ + − + − =
(0,5đ)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
25
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
1 1 0 0
1
2 1 0
x x
x
x

+ − = =

⇔ ⇔


= −

+ − =



(thỏa mãn) (0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0, x = - 1 (0,25đ)
Câu 4(2điểm).
2 3
2 5 1 7 1x x x
+ − = −
(4)
ĐKXĐ:
1x ≥
(4)
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 1 3 1 7 1 1x x x x x x⇔ + + + − = − + +
(0,25đ)
Đặt
1x a− =
,
2
1x x b+ + =
ta có phương trình:
2 2
2 3 7b a ab+ =

2 2
3 - 6 2 0a ab ab b⇔ − + =


( ) ( )
3 2 0a b a b⇔ − − =
(0,5đ)

3a
2
b
a b
=

⇔

=

(0,25đ)
*Với b = 3a ta có phương trình:
2
1 3 1x x x+ + = −

giải phương trình được:
x
1
= 4 +
6
(t/m); x
2

=
4 6−
(không t/m) 0,5đ)
*Với a = 2b ta có phương trình:
2
1 2 1x x x− = + +
(vô nghiệm) (0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4 +
6
(0,25đ)
Câu 5(2đ).
2
3 1 5 4 3x x x x+ + + = + +
(5)
ĐKXĐ:
1
3
x
−
≥

(5)
2
3 1 ( 1) 5 4 ( 2) ( ) 0x x x x x x⇔ + − + + + − + − − =
(0,25đ)

2
3 1 ( 1) . 3 1 ( 1) 5 4 ( 2) . 5 4 ( 2)
3 1 ( 1) 5 4 ( 2)
x x x x x x x x

x x
x x x x
       
+ − + + + + + − + + + +
       
⇔ + = −
+ + + + + +

2 2
2
( ) ( )
( ) 0
3 1 ( 1) 5 4 ( 2)
x x x x
x x
x x x x
− − − −
⇔ + − − =
+ + + + + +
(0,5đ)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
26