SKKN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN
***
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:
NGƯỜI THỰC HIỆN:
HẢII DƯƠNG
LỜI NÓI ĐẦU
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụ
quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng cho
học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hành
thường xuyên ở trong các nhà trường phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi
dưỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng
cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một
cách hợp logíc tìm ra được lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí
thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần “ phương trình bậc hai”, “phương trình
quy về phương trình bậc hai” là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức
thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi
vào trung học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn
mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ
về “ phương trình quy về phương trình bậc hai”. Sau khi nghiên cứu khá
nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa ra các
bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm
trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của
giáo viên và của học sinh.
Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn
đưa ra một hệ thống kiến thức nói về “phương trình quy về phương trình bậc
hai” với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi

hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
“Một số phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệ thống
kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về
cách giải của một số loại phương trình đưa được về phương trình bậc hai.như:
Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn;
phương trình vô tỷ… Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải
đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và
những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên
cứu.
Do thời gian hạn hẹp cũng như kinh nghiệm bản thân còn hạn chế,
trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin trân thành cảm ơn!
PHẦN I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
A. MỤC TIÊU NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ
bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai
nhằm:
+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi
+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa
được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy,
sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình
này.
+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử.
B. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về các dạng phương trình, các cách giải phương trình nói
chung và phương trình bậc hai nói riêng.
Nghiên cứu các phương pháp dạy học toán ở trường THCS.
Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và
các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán.

Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
PHẦN 2: NỘI DUNG
A CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Toán học là một môn khoa học trìu tượng, đóng vai trò quan trọng
trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các
em sẽ nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng
tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc
sống.
Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các
nhà trường THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển
tư duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.
Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất
rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu
cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phương trình và
phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được
đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn bị chu đáo để bắt tay
vào dạ bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi người giáo viên phải tự
biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung
bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn
cho người học và người dạy .
Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại
số 9 đã đưa ra cho học sinh một số laọi phương trình quy về phương trình bậc
hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng
phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ
dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các
em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa
đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến
thức “phương trình quy về phương trình bậc hai.
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC VỀ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH:
Khi học về giải phương trình học sinh cần nắm được một số kiến thức
và kỹ năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng,
trừ, nhân, chia…)
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số
+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của
phương trình, tập xác định của một biểu thứcc
+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức.
+ Kỹ năng giải và biện luận phương trình bậc hai nmột ẩn, phương
trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)
C PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. NHẮC LẠI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
1. Định nghĩa:
+ Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát:
ax
2
+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a
≠
0)
+ Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà
khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0.
2. Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai
*) Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0
≠
(a

≠
0) ta cần quan tâm tới biệt số của phương trình:
∆
=b
2
- 4ac
+ Nếu
∆
<0: Phương trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu
∆
=0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép:
x
1
=x
2
=
a
b
2
−
+ Nếu
∆
>0: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
a
b
2

∆±−
Khi b chẵn, hay b=2b
’
(b
’

Ζ∈
) khi đó ta có:
∆
’
=b
’2
- ac
+ Nếu
∆
’
<0: phương trình vô nghiệm
+ Nếu
∆
’
=0: phương trình có nghiệm kép
+ Nếu
∆
’
>0: phương trình có hai nghiệm phân biệt
Chú ý : Nếu a và c trái dấu (tức a.c<0) thì phương trình bậc hai có dạng phân
biệt và trái dấu nhau (vì
∆
>0).
*) Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên)

trong trường hợp phương trình có nghiệm (
∆
>=0) ta có thể dùng định lý Viet
để nhẩm nghiệm của phương trình.
Định lý Vi-et
Nếu phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0) có nghiệm số x
1
;x
2
(
∆
≥
0)
thì:
x
1
+x
2
=
a
b−
x
1
.x
2
=

a
c
Trường hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm là: x1=1; x
2
=
a
c
+ Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm là: x1=-1; x
2
=-
a
c
*)Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phương
trình bậc hai
+ Phương trình bậc hai có cùng dấu khi:
∆
≥
0 hay b
2
-4ac
≥
0
x
1
.x
2
>0
0>
a

c
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi
∆
≥
0 hay b
2
- 4ac
≥
0
x
1
.x
2
>0
0>
a
c
x
1
+x
2
>0
0>
−
a
b
+ Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi:
∆
≥
0 hay b

2
- 4ac
≥
0
x
1
.x
2
>0
0>
a
c
x
1
+x
2
<0
0<
−
a
b
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:
0<
a
c
+ Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi:
x
1
.x
2

<0
0<
a
c
x
1
+x
2
=0 hay
0=
−
a
b
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có trị
tuyệt đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0>
−
a
b
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0<
−
a

b
*) Nhờ định lý Viet, ta có thể tính được tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa
bậc n hai nghiệm của phương trình: x
nn
x
21
±
(Với n
)Z∈
Ví dụ:
Phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 có hai nghiệm x
1
;x
2
thì:
x
2
2
2
21
2
21
2
2
2
1
2
.2)(2)(

a
acb
a
c
a
b
xxxxx
−
=−
−
=−+=+
x
22
2
21
22
2
2
1
4
2
4
1
)(2)
2
()(2)(
a
c
a
acb

xxxxx −
−
=−+=+
II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy
về phương trình bậc hai sau:
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở
mẫu thức của phương trình.
a) Cách giải:
+ Tìm tập xác định của phương trình
+ Quy đồng, khử mẫu
+ Biến đổi phương trình, đưa phương trình về dạng ax
2
+bx+c=0
+ Giải phương trình dạng ax
2
+bx+c=0
+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm
được không thuộc tập xác định của phương trình).
b ) ví dụ :
Ví dụ 1:
Giải và biện luận theo a và b phương trình:
2=
−
+
− ax
b
bx
a

(1)
Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải Điều kiện: x
:, bxa ≠≠
Ta có: (1)
)()())((2 bxbaxabxax −+−=−−⇔
02)(32
222
=++++−⇔ abbaxbax
0)()(32
22
=+++−⇔ baxbax
2
)( ba +=∆
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
bax +=
1
2
2
ba
x
+
=
*
0
1
≠⇔≠ bax
0
1
≠⇔≠ abx

*
⇔≠ ax
2
babx ≠⇔≠
2
Vậy với a
0,0; ≠≠≠ bab
thì (1) có hai nghiệm phân biệt
0
32
1
672
4
4
1
12832
4
2223
=
+
+
++
−
−
−
−−+
x
xxxxxx
Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
(**)

0
32
1
)32)(2(
4
)2)(2(
1
)32)(2)(2(
4
=
+
+
++
−
+−
−
++−
⇔
xxxxxxxx
TXĐ: x-2
0≠
2±≠x
x+2
0
≠
⇒
2
3−
≠x
2x+3

0≠
Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2)
0484324
2
=−++−−−⇔ xxx
056
2
=+−⇔ xx
Giải phương trình : x
2
-6x+5=0 ta được 2 nghiệm: x
1
=1, x
2
=5
Đối chiếu với TXĐ ta thấy x
1
= 1 và x
2
= 5 là 2 nghiệm của pt (**)
c. Nhận xét:
+ Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ
thông.
+ Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn
với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình.
2. Phương trình bậc ba
Phương trình bậc ba (một ẩn số) là phương trình có dạng tổng quát:
ax
3

+bx
2
+cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a,b,c,d là các hệ số: a
0≠
a) Cách giải
Để giải một phương trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thường
phải biến đổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử
bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có
kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x
3
+7x
2
+7x+2=0 (*)
Giải
(*)
⇔
(2x
3
+2)+(7x
2
+7x)=0
⇔
2(x
3
+1)+7x(x+1)=0
⇔
2(x+1)(x

2
-x+1)+7x(x+1)=0
⇔
(x+1)(2x
2
+5x+2=0
⇔
x+1=0 (1)
2x
2
+5x+2=0 (2)
Phương trình (1) cho nghiệm x=-1
Phương trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=-
2
1
Vậy phương trình (8) có nghiệm S= -
2
1
;2;1 −−
Ví dụ 2:
Cho phương trình x
3
-(2a+1)x
2
+(a
2
+2a-b)x-(a
2
-b)=0 (1)
Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phương trình đã cho.

Giải:
(1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x
1
=1. Do đó (1) có thể viết:
(x-1)(x
2
-2ax+a
2
-b)=0.
Xét phương trình bậc hai:
x
2
-2ax+a
2
-b=0 (2)
∆
’
=b
* Nếu b<0
⇔
(2) vô nghiệm
(1) có nghiệm duy nhất x=1
* Nếu b=0
⇔
(2) có nghiệm kép: x=a
(1) có hai nghiệm: x=1;x=a
* Nếu b>0
⇔
(2) có hai nghiệm phân biệt:
(1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+

∆
; x=a-
∆
;
c. Nhận xét:
Giải phương trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa
thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi đó, ta
có một hệ thống hai phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và
một phương trình bậc hai.
+ Ta cần chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc ba:
ax
3
+bx
2
+cx+d=0
• Nếu a+b+c+d=0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu
sẽ có nghiệm là x=1.
• Nếu a-b+c-d=0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu
sẽ có một nghiệm là:x=-1.
Khi biết trước một nghiệm, ta chia vế trái của phương trình cho đa thức
x-1 hoặc x+1 để phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử.
+ Với phương trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên
thì nghiệm nguyên đó phải là ước số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự
tồn tại nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên).
3. Những phương trình bậc cao quy được về phương trình bậc hai
3-1 Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax
4
+bx
2

+c=0.
Trong đó: x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a
0≠
Cách giải
Với loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đặt ẩn phụ x
2
=t
≥
0. Từ đó ta có một phương trình bậc hai trung gian: at
2
+bt+c=0, giải
phương trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x
2
=t (Nếu những giá
trị của t tìm được thoả mãn t
≥
0), ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình
ban đầu.
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x
4
– x
2
– 6 = 0 (**)
Giải:
Đặt x
2
=t
≥
0 phương trình (**) trở thành:

t
2
– t – 6 = 0
Giải phương trình t
2
-t-6=0 ta được t
1
=-2;t
2
=3
+ Với t=-2(loại vì t<0)
+ Với t=3
3±=⇒ x
Vậy phương trình (**) có hai nghiệm: S = -
3;3
Ví dụ 2:
Giải phương trình
x
4
-2(m-1)x
2
-(m-3)=0 (***)
Với giá trị nào của tham biến m thì phương trình trên
a) Có 4 nghiệm phân biệt.
b) Có 3 nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm
d) vô nghiệm.
Giải:
Đặt x
2

=t
≥
0 khi đó phương trình (***) được quy về một phương trình bậc
hai:
t
2
-2(m-1)t-(m-3)=0 (****)
∆
’
=(m-1)
2
+(m-3)=m
2
-m-2
a) Để (***) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (***) phải có 2 nghiêm
dương phân biệt tương đương với:
∆
’
>0 m
2
-m-2>0
x
1
+x
2
>0 hay m-1>0
x
1
x
2

>0 m-3<0
(m+1)(m-2)>0 m-2>0
m>1
⇔
m>1 (do m>1)
m<3 m<3
m>2
m>1 do đó 2<m<3
m<3
Khi 2<m<3 thì phương trình (****) có hai nghiệm dương phân biệt, do
vậy phương trình (***) có 4 nghiệm phân biệt (Là hai cặp số đối nhau và
khác nhau).
b) Phương trình (***) có 3 nghiệm khi phương trình (****) có nghiệm x=0
và nghiệm số thứ hai là số thực dương.
Do vậy, trước hết phương trình (***) có dạng:
ax
4
+ bx
2
= 0 (c=0)
Do đó m-3=0
⇒
m=3.
Với m=3 thì phương trình (***) trở thành
x
4
- 4x
2
= 0
⇔

x
2
(x
2
-4)=0
Phương trình (***) có nghiệm: x
1
=2; x
2
=-2 và một nghệm kép x
3
= 0
c) Điều kiện để phương trình (***) có hai nghiệm:
*) Hoặc phương trình (****) có nghiệm kép dương.
*) Hoặc phương trình (****) có 2 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có một
nghiệm dương, nghệm còn lại là âm.
d) phương trình (***) vô nghiệm khi:
*) phương trình (****) vô nghiệm.
*) Hoặc phương trình (****) có hai nghiệm âm.
Như vậy: Phương trình (****) vô nghệm khi
∆
’
<0
hay m
2
- m - 2 < 0
⇔
(m+1)(m-2)<0
Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2)
Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng

biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y=ax+b (a
≠
0)
Ta thấy nghiệm của bất phương trình (m+1)(m-2)<0 là -1<m<2
Vậy phương trình (****) vô nghiệm khi -1<m<2
Phương trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi
0
'
≥∆
m
2
-m-2
0≥
0>
a
c
hay -(m-3)>0
0<
−
a
b
2(m-1)<0
Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất phương trình m
2
-m-2
0≥
cho nghiệm m
2;1 ≥−≤ m
Bảng xét dấu:
m -

∞
-1 2
∞+

m+1 - 0 + 1 +
m-2 - 1 - 0 +
(m+1)(m-2) + 0 - 0 +
Vậy hệ tương đương với m
1−≤
m
2≥
m<3
m<1
Kết hợp với điều kiện này ta được: m
≤
-1
Vậy phương trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi m
≤
-1
*) Tóm lại: Phương trình (***) vô nghiệm khi -1 <m <2 hoặc m
≤
-1.
d) Nhận xét:
Nghiên cứu về số nghiệm của phương trình trùng phương:
ax
4
+bx
2
+c=0 (a
0≠

) ta có nhận xét
+ Phương trình vô nghiệm khi:
*) Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm: (
∆
<0)
*) Hoặc phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm
sảy ra khi:
0≥∆
0>
a
c
0<
−
a
b
+ Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi:
*) Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dương
Xảy ra khi:
0=∆
0
2
>
−
a
b
*) Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm
dương, một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi
0<
a
c

+ Phương trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x=0)
Xảy ra khi at
2
+bt+c=0 có hai nghiệm t
1
=0;t
2
=
0>
−
a
b
Muốn vậy ta phải có: c=0
0>
−
a
b
Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là: x=0; x=
a
b
−±
+ Phương trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phương trình bậc hai
trung gian có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó nghiệm của phương trình
trùng phương là hai cặp số đối nhau, khác nhau.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t=0 (xảy ra khi
b=c=0) thì phương trình có nghiệm x=0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).
+ Khi nói đến nghiệm số của phương trình trùng phương là số lẻ thì
trong đó phải có nghiệm số kép.
3-2. Phương trình dạng: (x+a)
4

+ (x+b)
4
= c
(Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số)
a) Cách giải:
Ta biến đổi t = x +
2
ba +
tức là: x+a=t+
2
ba −
x+b=t-
2
ba −
Phương trình đã cho trở thành
2t
4
+12
0
2
2
2
4
2
2
=−







−
+






−
c
ba
t
ba
(Đây là phương trình trùng phương ẩn t- Ta đã biết cách giải)
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
( ) ( )
253
44
=+++ xx
(*)
Giải:
Đặt t=
4
2
53
+=⇒
+

xt
Khi đó: x + 3 = t - 1
x + 5 = t + 1
Phương trình (*) có dạng: (t-1)
4
+(t+1)
4
=2
06
22122
24
24
=+⇔
=++⇔
tt
tt
Phương trình t
4
+ 6t
2
= 0 có nghiệm kép t = 0
Ta có x + 4 = t
⇒
x + 4 = 0
⇒
x = - 4
Vậy phương trình (*) có nghiệm kép x = - 4
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 6)
4
+ (x - 4)

4
= 82 (**)
===============================
Giải
Đặt t=x+
1
2
46
+=
−
x
⇒
x + 6 = t + 5
x – 4 = t – 5
Phương trình (**) có dạng: (t+5)
4
+ (t-5)
4
=82
⇔
2t
4
+ 300t
2
+ 1250 = 82
⇔
t
4
+ 150t
2

+ 584 = 0 (***)
Giải phương trình (***)
Đặt t
2
= v
0≥
Thay vào phương trình (***) ta có:
v
2
+ 150v + 584 = 0
715041
50415845625
'
'
==∆
=−=∆
Ta có v
1
= - 75+71=-4
⇒
Không thoả mãn điều kiện v
0≥
v
2
=-75 -71 =-146
⇒
Không thoả mãn điều kiện v
0≥
Vậy phương trình (***) vô nghiệm
⇒

phương trình (**) vô nghiệm.
c) Nhận xét:
Bằng phép đổi biến t=x+
2
ba +
ta đưa được phương trình (x+a)
4
+
(x+b)
4
=c về một phương trình trùng phương (trung gian) có dạng tổng quát:
t
4
+Bt
2
+C=0
Qua phép biến đổi t
2
=X (với x
0≥
) Ta đưa được phương trình về một phương
trình bậc hai trung gian:
X
2
+ BX + C=0
Số nghiệm của phương trình (x+a)
4
+(x+b)
4
=c phụ thuộc vào số nghiệm

của phương trình bậc hai trung gian X
2
+BX +C=0
*) Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì
phương trình trùng phương t
4
+Bt +C=0 vô nghiệm và do đó phương trình
đầu vô nghiệm.
*) Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X
0

thì phương
trình đầu có nghiệm:
x=t
0
-
2
ba +
ở đó t
0
=
0
X
t
0
= -
0
X
Lưu ý rằng số nghiệm của phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm
của phương trình trùng phương và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của

phương trình bậc hai trung gian.
Như vậy: Nếu phương trình bậc hai trung gian X
2
+BX+C=0
+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phương trình đầu vô
nghiệm.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương, một
nghiệm âm thì phương trình đầu có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dương (phân biệt)
thì phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương và một
nghiệm bằng 0 thì phương trình dầu có 3 nghiệm
+ nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dương thì
phương trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt.
4.3 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (X+A)(X+B)(X+C)(X+D)=M.
Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng
nhau, chẳng hạn: a+d=b+c
a) Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)
Khai triển tích đó đưa về phương trình dạng:
x
2
+(a+d)x+ad
Do a+d=b+c nên ta đặt x
2
+(a+d)x+k=t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý).
Khi đó, ta sẽ đưa được phương trình về dạng:
At
2
+Bt +C =0 (A=1)

Giải phương trình này ta tìm được nghiệm của t (khi phương trình có
nghiệm). Giải tiếp phương trình: x
2
+(a+d)x+ad=t ta sẽ có kết luận về nghiệm
của phương trình ban đầu.
Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đương nhiên
phương trình ban đầu vô nghiệm.
b)Ví dụ:
Giải phương trình:
(x+4)(x+5)(x+8)=4 (1)
Giải:
Nhận xét: Ta thấy 4+8=5+7=12
Ta biến đổi phương trình (1)
[ ]
)8)(4( ++ xx
[ ]
4)7)(5( =++ xx
4)3512)(3212(
22
=++++⇔ xxxx
(*)
Đặt x
2
+12x+32=t
⇒
x
2
+12x+35=t+3
Thay vào (*) ta có: t(t+3)=4 hay t
2

+3t-4=0 (2)
Phương trình (2) có nghiệm t
1
=1; t
2
=-4 (Vì a+b+c=0)
+ Với t=1 Ta có x
2
+12x+32=1 hay x
2
+12x+31=0
5
'
=∆
⇒
x
1
=-6+
5
; x
2
=- 6-
5
;
+ Với t=-4 Ta có x
2
+12x+32=-4 hay x
2
+12x+36=0
0

'
=∆
⇒
Phương trình có nghiệm kép x
3,4
=-6
Vậy phương trình ban đầu cho ta các nghiệm: S =
{ }
656;56 −−−+−
Ví dụ 2:
Giải phương trình:
(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19 (3)
Giải:
Ta thấy 1+4=7-2=5
Ta biến đổi phương trình (3) ta được:
[ ][ ]
19)2)(7()4)(1( =−+++ xxxx
19)145)(45(
22
=−+++⇔ xxxx
(*)
Đặt x
2
+5x-14=t
⇒
x
2
+5x+4=t+18
Thay vào phương trình (*) có: t(18+t)=19
⇔

t
2
+18-19=0
Do 1+19-19=0 nên t
1
=1; t
2
=-19
+) Với t=1 thay vào x
2
+5x-14=t
Ta có x
2
+5x-15=0
Ta có
5858605
2
=∆⇒=+=∆
Vậy x
1
=
2
855 +−
x
1
=
2
855 −−
+) Với t=-19 Thay vào x
2

+5x-14=t
ta có x
2
+5x-14=-19
055
2
=++⇔ xx
Ta có
552025 =∆⇒=−=∆
Vậy x
3
=
2
55 +−
x
3
=
2
55 −−
Vậy phương trình(3) có 4 nghiệm đơn:
S=






+−−−+−−−
2
55

;
2
55
;
2
855
;
2
855
c) Nhận xét:
Với loại phương trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái được phương
trình bậc 4 đầy đủ
⇒
ta sẽ khó giải bởi THCS chưa học. Bằng việc nhóm hợp
lý 2 đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đưa được về phương
trình bậc hai trung gian.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm
⇒
phương trình ban
đầu vô nghiệm.
+ Khi giải phương trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm được
giá trị ta trả biến và giải phương trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của
phương trình này (nếu có) là nghiệm của phương trình đầu.
3-4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng tổng quát: ax
4
+ bx
3
+ cx
2

+dx+e=0 (I)
Trong đó x là ẩn số,a;b;c;d;e là hệ số; a
0
≠
và
2






=
d
b
a
e
với e
≠
0
Khi
1=
a
e
hay e=a thì d=
b
±
thì phương trình (I) có dạng:
ax
4

+ bx
3
+ cx
2

±
bx +a=0
+ Vì e
0≠
nên x=0 không phải là nghiệm của phương trình (I) chia cả
hai vế của phương trình (I) cho x
2
ta được phương trình tương đương
ax
2
+bx+c+
0
2
=+
x
e
x
d
(II)
Nhóm
0
2
2
++







++






+ c
x
d
bx
x
e
ax
Hay a
0
2
2
=+







++






+ c
bx
d
xb
ax
e
x
Đổi biến: x+
2
22
2
2
.2 t
b
d
xb
d
xt
bx
d
=++⇒=
(do
a

e
b
d
=
2
2
)
Nên x
b
d
t
ax
e 2
2
2
2
−=+
Ta có phương trình: a
0
2
2
=++






− cbt
b

d
t
Ta được phương trình trung gian: at
2
+bt+c=0
Giải phương trình at
2
+bt+c=0 tìm được nghiệm (sau trả biến và giải
phương trình x+
t
bx
d
=
) Sau đó ta biện luận về nghiệm của phương trình
(I)
c) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x
4
+3x
3
-16x
2
+3x+2=0 (*)
Giải:
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (*) nên chia cả hai
vế cho x
2
ta được phương trình tương đương:
2x

3
+3x-16+
0
23
2
=+
x
x
Suy ra
016
1
3
1
2
2
2
=−






++







+
x
x
x
x
(**)
Đặt x
t
x
=+
1
thì
2
1
2
2
2
−=+ t
x
x
Phương trình (*) trở thành 2
( )
01632
2
=−+− tt
02032
2
=−+⇒ tt
Giải phương trình:
02032

2
=−+ tt
Ta được
4
4
133
1
−=
−−
=t
5,2
4
133
2
=
+−
=t
+) Với t=-4 ta có x+
4
1
=
x
(x
0
≠
)
014
2
=++⇔ xx
Giải phương trình

014
2
=++ xx
Ta được: x
1
=-2+
;3
x
2
=-2-
;3
(Thoả mãn x
0
≠
)
+)Với
5,2=t
ta có
5,2
1
−=+
x
x
(x
0
≠
)
015,2
2
=+−⇔ xx

Giải phương trình
015,2
2
=+− xx
Ta được:
;
2
5,15,2
3
−
=x
;
2
5,15,2
4
+
=x
(Thoả mãn x
0
≠
)
Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm:
s
{ }
2;5,0;32;32 −−+−=
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2x
4
-12x
3

+74x
2
-105x+50=0 (***)
Giải:
Vì x=0 không là nghiệm của phương trình
Chia 2 vế của phương trình (***) cho x
2
ta được
0
50105
74212
2
2
=+−+−
x
x
xx
074
105
21
50
2
2
2
=+







+−






+
x
x
x
x
074
5
21
25
2
2
2
=+






+−







+
x
x
x
x
Đặt
t
x
x =+
5
thì
10
25
2
2
2
−=+ t
x
x
Phương trình (****) trở thành:
07421)10(2
2
=+−− tt
054212
2
++−⇔ tt

Giải phương trình: 2t
2
-21t+54+0 ta được: t
1
=6; t
2
=4,5
+) Với t=6 ta có x+
6
5
=
x
(x
0
≠
)
056
2
=+−⇔ xx
Giải phương trình
056
2
=+− xx
ta có: x
1
=1; x
2
=5 thoả mãn (x
0≠
)

Với t=4,5 Ta có x+
5,4
5
=
x
(x
0
≠
)
055,4
2
=+−⇔ xx
Giải phương trình x
055,4
2
=+− x
ta có: x
3
=2;x
4
2,5 (thoả mãn x
0
≠
)
Vậy phương trình (***) có 4 nghiệm:
S=
{ }
5,2;2;5;1
c) Nhận xét:
+ Giải phương trình đối xứng: bằng phép biến đổi tương đương và đổi

biến đưa về phương trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của
phương trình đối xứng ban đầu.
+ về số nghiệm của phương trình đối xứng:
- Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm
⇒
phương trình đầu vô
nghiệm.
- Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t
1
,t
2
nhưng các phương trình
1
t
bx
d
x =+
;
2
t
bx
d
x =+
vo nghiệm
⇒
phương trình
đầu cũng vô nghiệm.
- Nếu các phương trình
1
t

bx
d
x =+
;
2
t
bx
d
x =+
có bao nhiêu nghiệm thì
phương trình đầu có bấy nhiêu nghiệm.
3-5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
( )
[ ]
( )
0
2
=++ cxbfxfa
(1)
(Trong đó
0≠a
; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phương trình)
a) Cách giải:
- Tìm tập xác định cảu phương trình bằng phép đổi biến f(x)=t
- Đưa phương trình về dạng: at
2
+bt+c=0 (2)
- Nếu phương trình (2) có nghiệm t=t
0
, ta giải tiếp phương trình

f(x)=t
0
(*)
- Nghiệm của phương trình (*) thoả mãn điều kiện)
⇒
là nghiệm của
phương trình đã cho.
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x
6
-9x
3
+8=0 (*)
Giải: Đặt x
3
=y: (*) trở thành y
2
-9y+8=0 với nghiệm số y
1
=1 và y
2
=8. Từ đó
ta có hai phương trình: x
3
=1 và x
3
=8
Suy ra (*) có hai nghiệm x
1
=1; x

2
=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (*)
Giải:
TXĐ:
Rx ∈∀
Buến đổi vế trái: x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0
= x
4
+6x
3
+9x
2
-12x+3
= (x
2
+3x)

2
-4(x
2
+3x)+3
Phương trình (*) trở thành: (x
2
+3x)
2
-4(x
2
+3x)+3=0
Đặt x
2
+3x=t
Thay vào (x
2
+3x)
2
-4(x
2
+3x)+3=0
Ta có phương trình bậc hai trung gian: t
2
-4t+3=0
Do 1-4+3=0
⇒
t
1
=1; t
2

=3
Trả biến:
+) Với t=1 thì x
2
+3x=1
⇔
x
2
+3x-1=0
Giải ra ta được: x
1,2
=
2
133 ±−
+) Với t=3 thì x
2
+3x=3
⇔
x
2
+3x-3=0
Giải ra ta được: x
3,4
=
2
213 ±−
Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm (vì đều thoả mãn điều kiện)
S =







+−−−+−−−
2
213
;
2
213
;
2
133
;
2
133
Ví dụ 3: Giải phương trình:
36
13
2
1
1
1
22
=







+
+






+ xx
(**)
Giải:
TXĐ:
;1−≠x
2
−≠
x
Thêm vào 2 vế của (**) biểu thức:
2
1
.
1
1
.2
++
−
xx
Ta được phương trình tương đương:
2
1

.
1
1
.2
36
13
2
1
.
1
1
.2
2
1
1
1
22
++
−=
++
−






+
+







+ xxxxxx
Hay
)2)(1(
2
36
13
2
1
1
1
2
++
−=






+
−
+ xxxx
0
36
13

)2)(1(
2
)2)(1(
1
2
=−
++
+






++ xxxx
(***)
Đặt ẩn phụ:
t
xx
=
++ )2)(1(
1
Thay vào phương trình (***) ta có
0
36
13
2
2
=−+ tt
0137236

2
=−+⇔ tt
Giải phương trình:
0137236
2
=−+ tt
Ta được t
1
=
;
6
13
t
2
=
6
1
+) Với t=
6
13
ta có
6
13
)2)(1(
1
=
++ xx
0323913
2
=++⇒ xx

Phương trình này vô nghiệm.
+) Với
6
1
=t
ta có
( )( )
6
1
21
1
=
++ xx
043
2
=−+⇒ xx
Giải phương trình
043
2
=−+ xx
Ta được x
1
=1; x
2
=-4 (thuộc TXĐ)
Vậy phương trình (**) có 2 nghiệm: S = 1; -4
3-6 Vài phương trình bậc cao khác:
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x

5
+ 2x
4
– 5x
3
-10x
2
+4x+8=0 (*)
Giải:
Đây là phương trình bậc 5, ta biến đổi đưa về dạng phương trình tích
Dễ thấy phương trình (*) có nghiệm x=-1.
Chia vế trái của phương trình (*) cho x+1, ta được:
(x+1)(x
4
+x
3
-6x
2
-4x+8)=0 (**)
Đa thức f(x) = x
4
+x
3
-6x
2
+8 có nghiệm x=1 (vì f(1) =0).
Ta chia tiếp f(x) cho x-1. Khi đó, phương trình (**) có dạng:
(x+1)(x-1)( x
3
-2x

2
-4x-8)=0
Hay (x+1)(x-1)(x+2)(x
2
-4)=0
⇒
x+1=0
⇒
x=-1
x-1=0
⇒
x=1
x+2=0
⇒
x=-2
x
2
-4=0
⇒
x=
2±
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là:
S = -1; 1; -2; 2
Ví dụ 2:
Giải phương trình
x
4
+4x
3
+3x

2
+2x-1=0 (*)
Ta nhóm các số hạng lại thì được: (x
4
+4x
3
+4x
2
)-(x
2
-2x+1)=0
(x
2
+2x)
2
-(x-1)
2
=0
(x
2
+x+1)(x
2
+3x-1)=0
⇔
x
2
+x+1=0 (1)
x
2
+3x-1=0 (2)

phương trình (1) vô nghiệm
phương trình (2) có hai nghiệm
x
1,2
=
2
133 ±−
Vậy (*) có hai nghiệm:
x
1,2
=
2
133 ±−
Ví dụ 3:
Giải phương trình: x
4
-4x
3
-10x
2
+37x-14=0
Giải:
Giả sử phân tích vế trái của phương trình thành (x
2
+px+q)(x
2
+rx+s)
Trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định. Ta có:
x
4

-4x
3
-10x
2
+37x-14=(x
2
+px+q)(x
2
+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng
nhất thức ta có hệ phương trình sau:
p + r= - 4
s + q + pr= - 10
ps + qr= 37
qs = - 14
Giải hệ phương trình trên với nghiệm nguyên ta được:
p=-5; q=2; r=1; s=-7
Do đó phương trình đã cho trở thành:
(x
2
-5x+2)(x
2
+x-7)=0
Ta chỉ còn phải giải hai phương trình sau:
x
2
-5x+2=0; x
2
+x-7=0 và
được tập nghiệm là: S =







±−±
2
291
;
2
175
b) Nhận xét:
Qua các ví dụ ta có cách giải các phương trình bậc cao trên:
+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0
+ Phân tích thành nhân tử đưa phương trình về hệ thống phương trình
bậc nhất và bậc hai (đã biết cáhc giải)
+ Số nghiệm của phươngt rình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của phương
trình ban đầu).
4.1 Phương trình vô tỷ:
Dạng thường gặp: *)
Mxfa =)(
*) af(x)+b
cxg =)(
(M là hằng số hoặc đa thức)
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x=
17 −+x
(1)

Giải:
Điều kiện:
7
−≥
x
: (1)
⇔
x+1=
7+x
(2)
Bình phương hai vế (2) ta được: (x+1)
2
=
( )
2
7+x
712
2
+=++⇔ xxx
06
2
=−+⇔ xx
Giải phương trình
06
2
=−+ xx
ta có x
1
=-3; x
2

=2
Thay x=-3 vào phương trình (1) ta thấy không thoả mãn.
Thay x=2 vào phương trình (1) ta thấy thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình
2x+
163 =−x
(2)
Giải:
Điều kiện:
3≥x
Đặt
tx =− 3
(*)
xt =+ 3
2
t
0≥
(2)
⇔
2t
2
+6+t=16
t
0≥
⇔
2t
2
+ t - 10 = 0
⇔

t
1
=2
t
0
≥
t
2
=
2
5−
(loại)
t
0≥
Thay gia trị của t vào (*) ta có:
23 =−x
43 =−⇒ x
⇒
x=7 (Thoả mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x=7
b) Nhận xét:
+ Khi giải phương trình vô tỷ ta cần chủ ý tìm TXĐ của phương trình
+ Tiến hành giải (3 cách)
• Cô lập căn thức, rồi bình phương hai vế để khử căn bậc hai
(hai vế của phương trình không âm)
Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
)()(
2
xgxf
k

=
⇒
f(x)=
[ ]
k
xg
2
)(
(1)
g(x)
0
≥
(2)
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:
+ Nhận định số nghiệm của phương trình:
Phương trình vô nghiệm nếu phương trình bậc hai trung gian vô
nghiệm
Phương trình vô nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung
gian không thoả mãn điều kiện của phương trình đầu.
Phương trình có nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung
gian thuộc TXĐ của phương trình đầu.
5.Một số phương trình đặc biệt
Ví dụ:
Ví dụ 1: giải phương trình:
(x
2
+3x-4)
3
+(2x
2

-5x+3)
3
=(3x
2
-2x-1)
3
Ta thấy (x
2
+3x-4)+(2x
2
-5x+3)=(3x
2
-2x-1)
Tư đó đặt a=x
2
+3x-4; b=2x
2
-5x+3 thì phương trình đã cho có dạng
a
3
+b
3
=(a+b)
3
mà (a+b)
3
=a
3
+3ab(a+b)+b
3

suy ra 3ab(a+b)=0 từ đó suy ra:
- Hoặc a=x
2
+3x-4=0 (có hai nghiệm là 1 và -4)
- Hoặc b=2x
2
-5x+3=0 (có hai nghiệm là 1 và 3/2)
- Hoặc a+b=3x
2
-2x-1=0 (có hai nghiệm là 1 và -1/3)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = (1; -4; 3/2; -1/3)
Ví dụ 2:
Giải phương trình: x
4
+y
4
+
44
11
yx
+
=4
Giải: Do
2
1
;2
1
44
4
≥+≥+

y
y
x
x
nên vế trái
4≥
. Dấu bằng sảy ra khi
x
4
4
4
4
1
;
1
y
y
x
==
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm x=
1;1 ±=± y
Ví dụ 3: Giải phương trình: (1+t
2
)
2
=4t(1-t
2
)
Giải: Ta có (1+t
2

)
2
=(1-t
2
)
2
-4t
2
phương trình đã cho trở thành
(1-t
2
)
2
– 4t(1-t
2
) + 4t
2
=0 hay
( )
[ ]
021
2
2
=−− tt
hay
012
2
=−+ tt
có nghiệm là
21;210

21
+−=−= tt
b) Nhận xét:
Với các phương trình đặc biệt, mỗi phương trình có một cách giải riêng
nó đòi hỏi tư duy rất cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp một
cách hết sức linh hoạt
KẾT LUẬN
Phát triển tư duy toán học và nhận thức sáng tạo cho các em học sinh là
một việc làm khó. Để làm được điều này người giáo viên phải là người có
kiến thức, có phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương yêu học sinh và hơn
nữa là cần phải kỳ công với các bài giảng của mình.
Sau một thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu kết quả học tập của học
sinh các lớp bồi dưỡng học sinh kgá giỏi, qua trao đổi với các đồng nghiệp tôi
thấy. Khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức về những phương
trình quy về phương trình bậc hai theo những nội dung của đề tài. các em đều
có sự tiến bộ rõ rệt. Thể hiện, các có cái nhìn toàn diện hơn về mảng kiến
thức này, không còn lúng túng trong khi giải các dạng phương trình đã học.
Đối với giáo viên, việc thực hiện giảng dạy các kiến thức này trở nên
dễ dàng hơn rất nhiều, các đồng nghiệp của tôi đều đánh gái rất cao hệ thống
kiến thức này và coi đó là tài liệu chính cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá,
giỏi lớp 9.(Mảng kiến thức về phương trình)
Với những thnàh công đó, tôi mạnh dạn viết lại hệ thống kiến thức này
mong phổ biến rộng rãi hơn, góp phần vào việc bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh khá giỏi. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm bản thân còn hạn
chế, chắn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong thầy cô và đồng nghiệp
chỉ ra giúp.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Khải đã giúp em hoàn
thành đề tài này.
Hải dương, ngày… tháng… năm 2006
Xác nhận của nhà trường THCS Người thực hiện đề tài

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số 9 - NXB Giáo dục
2. Bài tập Đại số 9- NXB Giáo dục
3. Một số vấn đề phát triển đại số 9 - NXB Giáo dục
4. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số - NXB Giáo dục
5. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS-NXB ĐHSP Hà Nội
6. Phương pháp dạy học môn toán - NXB Giáo dục
7. Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp hai-NXB trẻ
TPHCM
8. Đại số sơ cấp tậo II-NXB Giáo dục 1978
9. 162 bài toán chọn lọc cấp II-NXB trẻ 1997