KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 môn toán lần 4

***
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số:
4 2
1
2 1
2
y x x
= − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi A, B, C lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị (C). Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 2. (1,0 điểm )
a) Giải phương trình
1 sin 2 cos2 0x x
+ + =
.
b) Tìm số phức z biết:
( )
2
1 1 1
1 2
1 2
i
z
i
= −
−
+

Câu 3. ( 0.5 điểm ) Tìm nghiệm thực của phương trình:
4 2 6 3

x x x x
+ = +
Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân:
3
0
1
x
dx
x
+
∫
Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;0) và đường thẳng
( )
1 1
:
2 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d. Tìm tọa độ
hình chiếu H của M lên đường thẳng d.
Câu 6. (0.5 điểm) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ
số khác nhau sao cho trong mỗi số luôn có mặt chữ số 1.
Câu 7. (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
·
·
( )
0 0

90 , , ' ' 30BAC AC B C= =
, khoảng cách
từ AA’ đến mặt phẳng
( )
' 'BCC B
bằng a, diện tích hình
'A'ACC
bằng
2
6a
. Tính theo a thể tích
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
( )
'AB H
.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7)
nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc
đường thẳng
( )
: 2 7 0d x y− − =
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh
C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2.
Câu 9. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

( )
( )
2 2 2
2 2
3 2 5 2 1 2 1 2 2
;

2 2 4 3
x x x x y y y
x y
x y x y

− − + + = + + +

∈

+ = − +


¡

Câu 10. ( 1,0 điểm ) Cho a, b là hai số thực bất kì. Chứng minh rằng:

( )
3 3
6 6 3 3 3 3
2
2
2 1
a b
a b a b a b
− +
≤
+ + + − −


HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 11 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn thi : TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
GỢI Ý GIẢI
Bài 7: Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Từ B’C’//BC ta suy ra .
Kẻ
Tính AB, AC nhờ tam giác vuông AHB và AHC;
tính AA’ nhờ .
3
2 3V a=
b.
( )
( )
3
' '
'
'
1 1 1 3
. . . '.
3 3 2 6
3 3 3 7
, '
1
14
. '
2

ABB H BB H
ABB H
AB H
a
V AH S a BB BH
V V a
d B AB H
S
AH B H
= = =
⇒ = = =

Bài 8:
Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung điểm AM.
Dễ thấy
·
¼
·
0
2 90MIN sd MN MBN= = =

Điểm C ∈ d: 2x-y-7=0. ⇒C(c;2c-7)
Họi H là trung điểm của MN =>H(11/2; 9/2)
Phương trình đường thẳng ∆ trung trực của MN
đi qua H và vuông góc với MN là d: x-5y+17=0
Điểm I∈∆ => I(5a - 17;a)
( ) ( )
2 2
(1; 5) 26
(22 5 ;7 ) 22 5 7

MN MN
IM a a IM a a
= − ⇒ =
= − − ⇒ = − + −
uuuur
uuur

Vì ∆MIN vuông cân tại I và
( ) ( )
2 2
2
26 13 22 5 7 13
5
26 234 520 0
4
MN IM a a
a
a a
a
= ⇒ = ⇔ − + − =
=

⇔ − + = ⇔

=


Với a=5 =>I(8;5) => A(11;9) (loại)
Với a=4 =>I(3;4) => A(1;1) (t/m)
Gọi E là tâm hình vuông nên

1 11
( ; 3) ;5
2 2
c c
E c EN c
+ −
 
− ⇒ = −
 ÷
 
uuur

Vì AC⊥BD 
. 0AC EN
=
uuur uuur

( ) ( )
2
11
( 1). 2 8 . 5 0
2
7( / )
5 48 91 0
13
( )
5
c
c c c
c t m

c c
c loai
−
⇔ − + − − =
=


⇔ − + = ⇔

=

Suy ra: C(7;7) => E(4;4)
Pt BD: x+y−8=0, pt BC:x−7=0 ⇒B(7,1)⇒D(1,7)
Bài 9 :
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
3 2 5 2 1 2 1 2 2 1
2 2 4 3 2
x x x x y y y
x y x y

− − + + = + + +


+ = − +


Lấy (1)-(2) ta được:

( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1x x x y y y+ + = + + + + +

Xét hàm số :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
1; ' 2 1 2 2 0
1
t
f t t t t f t t t t t Cauchy
t
= + + = + + + ≥ + ≥
+

Suy ra
2
2;
3
y y= − =
. Vậy nghiệm hệ là:
( )
5 2
1; 2 ; ;
3 3
 
− −

 ÷
 

10
Chứng minh BĐT…
BPT TĐ . Xét hàm số . Ta có :
.
Ta có BBT




1
Từ BBT suy ra . Thay ta được ĐPCM.
Chú ý: Mọi cách giải khác đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

0982.333.581

By: Thuan TranQuang
Maths_Hanoi National University of Education