KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn Toán.
Thời gian 180 phút
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3
3 2 0x x m− + − =
Câu 2(1,0 điểm)
1. Giải phương trình
2
2sin 3sin 2 2 0x x+ − =
2. Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình:
2
2 10 0z z
+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức A =
2 2
1 2
z z
+
Câu 3 (0, 5 điểm) Giải bất phương trình
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)x x− ≥ −
Câu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau:
xx
x
1
1
1
−−−
>
x
x 1−
.
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân
( )
.
1
0
2
∫
+= xdxexI
x
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a. Tam giác
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABCD) bằng 45
0
. Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15.
Đường thẳng AB có phương trình
2 0x y− =
. Trọng tâm của tam giác BCD là điểm
16 13
;
3 3
G
÷
.
Tìm tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật biết điểm B có tung độ lớn hơn 3.
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(- 4;1;3) và đường thẳng d:
1 1 3
2 1 3
x y z+ − +
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm
tọa độ điểm B thuộc d sao cho
3 3AB =
Câu 9 (0,5 điểm) Một túi đựng 6 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu vàng có kích thước và trọng
lượng như nhau. Lấy ngẩu nhiên ra 5 viên bi. Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 viên bi màu vàng.
.
Câu 10 (1,0 điểm) Cho
2a b+ ≥
. Chứng minh rằng:
4 4 3 3
a b a b+ ≥ +
/ Hết /
HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Điểm
1
a)
b)
a)
+ TXĐ :
D R=
+
2
' 3 3y x= −
1
' 0
1
x
y
x
=
= ⇔
= −
+ Giới hạn :
x
Lim y
→−∞
= −∞
;
x
Lim y
→+∞
= +∞
+ Bảng biến thiên :
x
−∞
-1 1
+∞
'y
+ 0 – 0 +
y
4
+∞
−∞
0
+ Chiều biến thiên :
- Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;+∞
.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
.
+ Cực trị:
- Hàm số đạt CĐ tại
D
1, ( 1) 4
C
x y y= − = − =
- Hàm số đạt CT tại
1, (1) 0
CT
x y y= = =
+ Điểm đặt biệt :
- Giao điểm với trục tung
( )
0;2
- Giao điểm với trục hoành
( ) ( )
1;0 , 2;0−
+ Đồ thị :
f(x)=x^3-3x+2
-2 2
2
4
x
y
b)
3 3
3 2 0 3 2x x m x x m− + − = ⇔ − + =
.
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d)
y m=
. Dựa vào đồ thị ta có:
0.25 đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
+ Khi
4
0
m
m
>
<
thì (d) cắt (C) tại một điểm. Phương trình có 1 nghiệm.
+ Khi
4
0
m
m
=
=
thì (d) cắt (C) tại một điểm và tiếp xúc tại một điểm. Phương trình có
2 nghiệm.
+ Khi
0 4m< <
thì (d) cắt (C) tại ba điểm. Phương trình có 3 nghiệm.
0.25đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25đ
2
a)
b)
2
2sin 3sin 2 2 0 3sin 2 cos2x 1
1
sin 2 sin 2 sin
6 2 6 6
2 2
6 6
6
5
2 2
6 6
2
x x x
x x
x k
x k
x k
x k
π π π
π π π
π
π
π π
π
π
π
+ − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ − =
÷ ÷
− = +
= +
⇔ ⇔
− = +
= +
Ta có:
∆
= 1
2
- 10 = -9 = 9i
2
Phương trình có các nghiệm: z
1
= - 1 - 3i; z
2
= - 1 + 3i
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2
1 2
1 3 1 3 20z z
+ = − + − + − + =
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
3
ĐK:
2
1 0
1
1 0
x
x
x
− >
⇔ >
− >
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0
1 5
( 1)( 1) 1 1 0 ( 1)
2
PT x x x x
x x x x x x Do x
⇔ − ≥ − − ⇔ − + − ≥
+
⇔ − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥ >
Vậy tập nghiệm
1 5
;
2
S
+
= +∞
÷
0.25đ
0.25đ
4 Ta thấy, x = 1 không phải là nghiệm pt.
ĐK :
01 ≤≤− x
hoặc x > 1
0
1
>
−
⇒
x
x
Chia mỗi vế của pt cho
x
x 1−
ta được pt :
x
x
x
x
x
x
1
11
1
11
−
+>−⇔
−
>−−
(2)
)1(0 −≥<∀ xx
đều không phải là nghiệm bpt (2) vì VT < 1, VP > 1
1>⇒ x
(2)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
)1(
1
2
1
11
−
>+−⇔
−
+
−
+>+⇔
x > 1
0
1
,01 >>−⇔
x
x
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Theo côsi ta có :
x
x
x
x
1
2
1
)1(
−
≥+−
Dấu = xảy ra
2
511
1
+
=⇔=−⇔ x
x
x
Vậy bpt đã cho có nghiệm x > 1 với
.
2
51+
≠∀x
0.25đ
5
.
3
1
|
3
;
1
0
3
1
0
2
1
0
2
1
0
2
==+=
∫∫∫
x
dxxdxxedxxI
x
Đặt u = x ⇒ du = dx;
2 2
1
2
x x
dv e dx v e= ⇒ =
∫∫
+
=−=−=⇒
1
0
2
1
0
2
2
21
0
2
1
0
2
4
1
|
4
1
22
1
|
2
e
e
e
dxee
x
dxxe
xxxx
Vậy
.
12
73
2
+
=
e
I
0,25 đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
6
Gọi H là trung điểm của AB
( )SH AB SH ABCD⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Suy ra hình chiếu của SC lên (ABCD) là SH
0
( ,( )) ( , ) 45SC ABCD SC HC SCH⇒ = = =
2
2
ABCD
S a=
0.25đ
2 2
1 17
4
4 2
a
SH HC a a= = + =
3
2
1 1 17 17
. .2 .
3 3 2 3
SABCD
a a
V B h a= = =
0.25
1 1
( ,( )) ( ,( )) (B,( )) ( ,( ))
2 2
d M SAC d D SAC d SAC d H SAC= = =
Kẻ
, ( ) ( ,( ))HI AC HK SI HK AC HK SAC d H SAC HK⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
0.25
Kẻ
1
2
BE AC HI BE⊥ ⇒ =
2 2 2
1 1 1 2
5 5
a a
BE HI
BE BA BC
= + ⇒ = ⇒ =
Suy ra
2 2 2
1 1 1 17 17
( ,( ))
89 89
a a
HK d M SAC
HK HI HS
= + ⇒ = ⇒ =
0.25
7
Ta có
10 3 10
( , ) . 5 3 5
2
3 5 3 5
d G AB BC AB= ⇒ = = ⇒ =
Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với (AB)
( ) : 2 15 0d x y⇒ + − =
0.25
Gọi
1
(6;3) 5
3
N d AB N NB AB= ∩ ⇒ ⇒ = =
0.25
2 2
2( )
(2 ; ) 5 6 8 0 (8;4)
4
b l
B b b AB NB b b B
b
=
∈ ⇒ = ⇔ − + = ⇔ ⇒
=
0.25
3 (2;1)
3
(7;6). (1;3)
2
BA BN A
AC AG C CD BA D
= ⇒
= ⇒ = ⇒
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
0.25
8
Đường thẳng d có VTCP là
( )
2;1;3u = −
r
Vì
( )
P d⊥
nên (P) nhận
( )
2;1;3u = −
r
làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng (P) là -2(x+4) + 1(y – 1) + 3(z – 3) = 0
2 3 18 0x y z⇔ − + + − =
Vì
B d
∈
nên B(-1-2t;1 + t; -3+ 3t)
3 3AB =
( ) ( )
2 2
2 2 2
27 3 2 6 3 27 7 24 9 0AB t t t t t⇔ = ⇔ − + + − + = ⇔ − + =
3
3
7
t
t
=
⇔
=
Vậy B(- 7;4;6) hoặc
13 10 12
; ;
7 7 7
B
− −
÷
0.25 đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
9
Không gian mẫu lấy 5 viên bi trong 10 viên bi là n(
)Ω
: C
5
10
= 252 phần tử.
Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất 3 viên bi vàng”
Ta có 2 trường hợp:
• 3 bi vàng và 2 bi đỏ thì số cách là:C
3
4
.C
2
6
= 60
• 4 bi vàng và 1 bi đỏ thì số cách là:C
4
4
C
1
6
= 6
0.25đ
Cho nên số phần tử biến cố A là n(A): 60+6=66
Vậy xác suất cần tìm là:P(A)=
)(
)(
Ωn
An
=
252
66
=26,19
0
0
0.25đ
10 Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
4 4 3 3
3 3
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1 0
1 1 1 1 2 0
1 1 1 1 2 0
1 1 1 1 2 0 *
a b a b
a a b b
a b b a b a b
a a b b a b
a a a b b b a b
+ ≥ +
⇔ − + − ≥
⇔ − + − − − − − + + − ≥
⇔ − − + − − + + − ≥
⇔ + + − + + + − + + − ≥
Mà
( )
2 2 0a b a b+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇒ *
đúng
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Chú ý: Nếu HS giải cách khác vẫn đúng, căn cứ vào thang điểm của hướng dẫn chấm để
cho điểm hợp lý ./.