Công thức tính đạo hàm tích phân logarit mũ

GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934
Trang 1
TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TÍCH LỚP 12
A. CÔNG THỨC HÀM SỐ MŨ- LOGARIT
I. Công thức
Hàm số mũ Hàm số logarit
( )
( )
.
1
;
1
. ;
. . ;
m
nn m
n
n
m
m n m n m n
n n m
n
m m n
m
m
m
m m
m
a a a
a
a

a a a a
a a
a a
a a
a b a b
b b
−
+ −
−
= =
= = =
=
 
= =
 
 

(
)
( )
( ) ( )
( )
( )
log , 0 1, 0
log 1 0; log 1; log
1
log .log ; log .log ; log .
log
log . log log ; log
n n

M
a
m
a a a
m m
a a a a
a a
a a a a
x M x a a x
a a m
m
b m b b b b b
n n
b
b c b c
c
= ⇔ = < ≠ >
= = =
= = =

= +


log log log
log log
;
log
1
log log .log ; log
log log

b b a
a a
c a b
c
a a c a
c b
b c
a c a b
b
b c b b
a a

= −


= =
= = =

(
)
, 0 1
M N
a a M N a
= ⇔ = < ≠

(
)
log log , 0 1
a a
M N M N a

= ⇔ = < ≠

1
0 1
M N
M N
a a a M N
a a a M N
> ⇒ > ⇔ >
< < ⇒ > ⇔ <

1 log log
0 1 log log
a a
a a
a M N M N
a M N M N
> ⇒ > ⇔ >
< < ⇒ > ⇔ <

II. Một số giới hạn đặc biệt
( )
( ) ( )
1
0
0 0
1 1
1. lim 1 2. lim 1
3. lim ln
1 log 1

4. lim 5. lim log
x
x
x
x x x
a
a
a
x x
a
e x e a
x x
x x
a e
x x
→∞ →∞ →
→ →
−
 
+ = + = =
 
 
+ +
= =

GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934
Trang 2
B. BẢNG ĐẠO HÀM- NGUYÊN HÀM
Bảng đạo hàm Bảng nguyên hàm
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
2
1
' ' '
' ' '
' '
'
' 0
' .
1 1
'
1
'
2
sin ' cos
cos ' sin
1
tan '
cos
1
cot '
sin
1

'
.
' .ln
'
1
log '
.ln
1
ln '
n n
n
n
n
x x
x x
a
u v u v
uv u v v u
u u v v u
v v
C
x n x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x

x
x
n x
a a a
e e
x
x a
x
x
−
−
± = ±
= +
−
 
=
 
 
=
=
 
= −
 
 
=
=
= −
=
= −
=

=
=
=
=

(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
2
2
1
' . . '
1 '
'
'
'
2
sin ' '.cos
cos ' '.sin

'
tan '
cos
'
cot '
sin
'
'
.
' .ln . '
' '.
'
log '
.ln
'
ln '
n n
n
n n
u u
u u
a
u n u u
u
u u
u
u
u
u u u
u u u

u
u
u
u
u
u
u
u
n u
a a au
e u e
u
u
u a
u
u
u
−
−
=
 
= −
 
 
=
=
= −
=
= −
=

=
=
=
=

1
2
3
2
2
1
ln | |
1
2
2
3
sin cos
cos sin
tan
cos
cot
sin
ln
n
n
x
x
x x
dx x C
x

x dx C
n
dx
x C
x
dx
C
x x
dx
x C
x
x
xdx C
xdx x C
xdx x C
dx
x C
x
dx
x C
x
a
a dx C
a
e dx e C
+
= +
= +
+
= +

= − +
= +
= +
= − +
= +
= +
= − +
= +
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

1
2
3
2
2
1
ln | |
1

2
2
3
sin cos
cos sin
tan
cos
cot
sin
ln
n
n
u
u
u u
u
u du C
n
du
u C
u
du
C
u u
du
u C
u
u
udu C
udu u C

udu u C
du
u C
u
du
u C
u
a
a du C
a
e du e C
+
= +
+
= +
= − +
= +
= +
= − +
= +
= +
= − +
= +
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫

Chú ý công thức tính vi phân:
(
)
y f x
=

(
)
(
)
'
dy d f x f x dx
⇒ =   =
 

(
)
( )
'
d f x
dx
f x
 
 

⇒ =


Nguyên hàm của hàm số chứa
biểu thức bậc nhất.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
2
2
1
.
1
1
.
1
.ln | |
1
sin .cos( )
1
cos .sin
1
.tan
cos

1
.cot
sin
n
n
ax b ax b
ax b
ax b dx C
a n
e dx e C
a
dx
ax b C
ax b a
ax b dx ax b C
a
ax b dx ax b C
a
dx
ax b C
ax b a
dx
ax b C
ax b a
+
+ +
+
+ = +
+
= +

= + +
+
+ = − + +
+ = + +
= + +
+
= − + +
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫






GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934
Trang 3
C. MỘT SỐ CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN
I. Đổi biến số
ST
T
Nguyên hàm chứa Cách tính
1
ln

x
và
1
x

Đặt
ln
t x
=

2
2 2
a x
−

Đặt
.sin .cos
x a t x a t
= ∨ =

3
2 2
x a
−

Đặt
sin cos
a a
x x
t t

= ∨ =

4
2 2
x a
+

Đặt x=a.tant
5
(
)
2 1
sin cos
n
g x xdx
+
∫

Đặt
sin
t x
=

6
(
)
2 1
cos sin
n
g x xdx

+
∫

Đặt
cos
t x
=

7
( )
2
tan
cos
dx
g x
x
∫

Đặt
tan
t x
=

8
( )
2
cot
sin
dx
g x

x
∫

Đặt
cot
t x
=

9
2
sin
n
xdx
∫
hay
2
cos
n
xdx
∫

Hạ bậc
2 2
1 cos2 1 cos2
sin , cos
2 2
x x
x x
− +
= =

10
2 1
sin
n
xdx
+
∫
hay
2 1
cos
n
xdx
+
∫

Đặt
cos
t x
=
hay
sin
t x
=

11 Hàm chẵn đối với sin và cos Đặt
tan
t x
=

12
2 2
tan
n
xdx
+
∫

2 2 2 2 2
2
1
tan tan .tan tan 1
cos
n n n
xdx x xdx x dx
x
+
 
= = −
 
 
∫ ∫ ∫
tan
t x
⇒
=

13
2 2
cot

n
xdx
+
∫

2 2 2 2 2
2
1
cot cot .cot tan 1
sin
n n n
xdx x xdx x dx
x
+
 
= = −
 
 
∫ ∫ ∫
cot
t x
⇒
=

14
2 1
tan
n
xdx
+

∫

Đặt
cos
t x
=

15
2 1
cot
n
xdx
+
∫

Đặt
sin
t x
=

16
2
sin
n
dx
x
∫

2 2 2 2
1

. cot
sin sin sin
n n
dx dx
t x
x x x
−
= ⇒ =
∫ ∫

17
2
cos
n
dx
x
∫

2 2 2 2
1
. tan
cos cos cos
n n
dx dx
t x
x x x
−
= ⇒ =
∫ ∫

18
2 1
sin
n
dx
x
+
∫

2 1 2 2
sin .
cos
sin sin
n n
dx x dx
t x
x x
+ +
= ⇒ =
∫ ∫

19
2 1
cos
n
dx
x
+
∫

2 1 2 2
cos .
sin
cos cos
n n
dx x dx
t x
x x
+ +
= ⇒ =
∫ ∫

20
sin cos
dx
a x b x c
+ +
∫

Đặt
tan
2
x
t
 
=
 
 
2
2

1
dt
dx
t
⇒ =
+
và
2
2 2
2 1
sin , cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +

21
( )( )
n
ax b cx d dx
+ +
∫

Đặt
t cx d
= +

22 Nếu f(x) là hàm lẻ
( ) 0
a
a
f x dx
−
=
∫

23 Nếu f(x) là hàm chẵn và tính
( )
1
a
x
a
f x dx
b
−
+
∫

Đặt
t x
= −

24 Nguyên hàm chứa
x
e
Đặt t=
x

e

25
, ,
sin .sin cos .cos
dx dx
mx nx mx nx
∫ ∫
,
sin .cos
dx
mx nx
∫

Biến đổi lượng giác
GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934
Trang 4
II. Nguyên hàm từng phần.
. . .
u dv u v v du
= −
∫ ∫

STT

Dạng Cách đặt
1
( )
(
)

( )
sin
. cos .
ax b
ax b
P x ax b dx
e
+
 + 
 
+
 
 
 
∫

Đặt:
(
)
( )
( )
sin
cos
ax b
u P x
ax b dx
dv ax b dx
e dx
+
 =


 + 

 

= +
 

 

 


2
(
)
(
)
.ln
n
P x ax b dx
+
∫

Đặt
(
)
( )
ln
n

u ax b
dv P x dx

= +


=



3
(
)
(
)
sin , cos
ax b ax b
e cx d dx e cx d dx
+ +
+ +
∫ ∫

Tích phân truy hồi