Bài tập tích phân hàm mũ, logarit có lời giải

Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
Dạng 1: Đổi biến số
Câu 1.
x
x
e
I dx
e
2
1
=
+
∫
•
Đặt
x x x
t e e t e dx tdt
2
2= ⇒ = ⇒ =
.
t
I dt
t
3
2
1
⇒ = =
+
∫

t t t t C
3 2
2
2 2ln 1
3
− + − + +

x x x x x
e e e e e C
2
2 2ln 1
3
= − + − + +
Câu 2.
x
x
x x e
I dx
x e
2
( )
−
+
=
+
∫
•

x
x

x x e
I dx
x e
2
( )
−
+
=
+
∫
=
x x
x
xe x e
dx
xe
.( 1)
1
+
+
∫
. Đặt
x
t x e. 1= +

⇒

x x
I xe xe C1 ln 1= + − + +
.

Câu 3.
x
dx
I
e
2
9
=
+
∫
•
Đặt
x
t e
2
9= +
⇒

dt t
I C
t
t
2
1 3
ln
6 3
9
−
= = +
+

−
∫
x
x
e
C
e
2
2
1 9 3
ln
6
9 3
+ −
= +
+ +
Câu 4.
x
x
x x
I dx
ex e
2
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( )
+
+ +
=

 
+
 
∫
•
Ta có:
x x
I dx
x x
2
2 2
ln( 1) 2011
( 1) ln( 1) 1
 
+ +
 
=
 
+ + +
 
∫
. Đặt
t x
2
ln( 1) 1= + +
⇒

t
I dt
t

1 2010
2
+
=
∫

t t C
1
1005ln
2
= + +
=
x x C
2 2
1 1
ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1)
2 2
+ + + + + +
Câu 5.
e
x
x
xe
J dx
x e x
1
1
( ln )
+
=

+
∫
•

e
x e
e
x
x
d e x e
J e x
e
e x
1
1
( ln ) 1
ln ln ln
ln
+ +
= = + =
+
∫
Câu 6.
x x
x x x
e e
I dx
e e e
ln2
3 2

3 2
0
2 1
1
+ −
=
+ − +
∫
•

x x x x x x
x x x
e e e e e e
I dx
e e e
ln2
3 2 3 2
3 2
0
3 2 ( 1)
1
+ − − + − +
=
+ − +
∫
=
x x x
x x x
e e e
dx

e e e
ln2
3 2
3 2
0
3 2
1
1
 
+ −
−
 ÷
 ÷
+ − +
 
∫

=
x x x
e e e x
3 2
ln2 ln2
ln( – 1)
0 0
+ + −
= ln11 – ln4 =
14
ln
4
Câu 7.

( )
x
dx
I
e
3ln2
2
3
0
2
=
+
∫
•

( )
x
x
x
e dx
I
e e
3ln2
3
2
0
3
3
2
=

+
∫
. Đặt
x x
t e dt e dx
3 3
1
3
= ⇒ =

⇒

I
3 3 1
ln
4 2 6
 
= −
 ÷
 
Trang 26
Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
Câu 8.
x
I e dx
ln2
3
0
1= −
∫

•
Đặt
x
e t
3
1− =

⇒

t dt
dx
t
2
3
3
1
=
+

⇒
I =
dt
t
1
3
0
1
3 1
1
 

−
 ÷
+
 
∫
=
dt
t
1
3
0
3 3
1
−
+
∫
.
Tính
dt
I
t
1
1
3
0
3
1
=
+
∫

=
t
dt
t
t t
1
2
0
1 2
1
1
 
−
+
 ÷
+
− +
 
∫
=
ln2
3
π
+

Vậy:
I 3 ln2
3
π
= − −

Câu 9.
( )
x x
x x x x
e e dx
I
e e e e
ln15
2
3ln2
24
1 5 3 1 15
−
=
+ + − + −
∫
•
Đặt
x x
t e t e
2
1 1= + ⇒ − =
x
e dx tdt2⇒ =
.
( )
t t dt
I dt t t t
t t
t

4 4
2
4
2
3
3 3
(2 10 ) 3 7
2 2 3ln 2 7ln 2
2 2
4
 
−
= = − − = − − − +
 ÷
− +
−
 
∫ ∫
2 3ln2 7ln6 7ln5= − − +
Câu 10.
ln3
2
ln 2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
=

− + −
∫
•
Đặt t =
x
e 2−

⇒

x
e dx tdt
2
2=

⇒
I = 2
t tdt
t t
1
2
2
0
( 2)
1
+
+ +
∫
= 2
t
t dt

t t
1
2
0
2 1
1
1
 
+
− +
 ÷
+ +
 
∫
=
t dt
1
0
2 ( 1)−
∫
+
d t t
t t
1
2
2
0
( 1)
2
1

+ +
+ +
∫

=
t t
1
2
0
( 2 )−
+
t t
1
2
0
2ln( 1)+ +
=
2ln3 1−
.
Câu 11.
x x
x x
e e
I dx
e e
ln3
3 2
0
2
4 3 1

−
=
− +
∫
•
Đặt
x x x x x x
t e e t e e tdt e e dx
3 2 2 3 2 3 2
4 3 4 3 2 (12 6 )= − ⇒ = − ⇒ = −

x x
tdt
e e dx
3 2
(2 )
3
⇒ − =
tdt
I dt
t t
9 9
1 1
1 1 1
(1 )
3 1 3 1
⇒ = = −
+ +
∫ ∫

t t
9
1
1 8 ln5
( ln 1) .
3 3
−
= − + =
Câu 12.
∫
−=
3
16
ln
3
8
ln
43 dxeI
x
•
Đặt:
x x
t
t e e
2
4
3 4
3
+
= − ⇒ =

tdt
dx
t
2
2
4
⇒ =
+
t dt
I dt dt
t t
2 3 2 3 2 3
2
2 2
2 2 2
2
2 8
4 4
⇒ = = −
+ +
∫ ∫ ∫

( )
I
1
4 3 1 8= − −
, với
dt
I

t
2 3
1
2
2
4
=
+
∫
Tính
dt
I
t
2 3
1
2
2
4
=
+
∫
. Đặt:
t u u2tan , ;
2 2
π π
 
= ∈ −
 ÷
 

dt u du
2
2(1 tan )⇒ = +
Trang 27
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
I du
3
1
4
1 1
2 2 3 4 24
π
π
π π π
 
⇒ = = − =
 ÷
 
∫
. Vậy:
I 4( 3 1)
3
π
= − −
Câu 13.
x
x
e
I dx
e

ln3
3
0 ( 1)
=
+
∫
•
Đặt
x x x
x
tdt
t e t e tdt e dx dx
e
2
2
1 1 2= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ =
tdt
I
t
2
3
2
2 2 1⇒ = = −
∫
Câu 14.
x
x
e
I dx
e

ln5
2
ln2 1
=
−
∫
•
Đặt
x x
x
tdt t
t e t e dx I t d t
e
2
2
3
2 2
1
1
2 20
1 1 2 ( 1) 2
3 3
 
= − ⇔ = − ⇒ = ⇒ = + = + =
 ÷
 
∫
Câu 15.
x
I e dx

ln2
0
1= −
∫
•
Đặt
x x x
x
td td
t e t e tdt e dx dx
e t
2
2
2 2
1 1 2
1
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = =
+

t
I dt dt
t t
1 1
2
2 2
0 0
2 1 4
2 1
2
1 1

π
 
−
⇒ = = − =
 ÷
+ +
 
∫ ∫
Câu 16.
x x
x x
I dx
2
1
2 2
4 4 2
−
−
−
=
+ −
∫
•
Đặt
x x
t 2 2
−
= +

⇒

x x x x 2
4 4 2 (2 2 ) 4
− −
+ − = + −

⇒

1 81
ln
4ln 2 25
=I
Câu 17.
1
0
6
9 3.6 2.4
=
+ +
∫
x
x x x
dx
I
•
Ta có:
x
x x
dx
I

1
2
0
3
2
3 3
3 2
2 2
 
 ÷
 
=
   
+ +
 ÷  ÷
   
∫
. Đăt
x
t
3
2
 
=
 ÷
 
.
dt
I
t t

3
2
2
1
1
ln3 ln2
3 2
=
−
+ +
∫
ln15 ln14
ln3 ln2
−
=
−
Câu 18.
e
x
I x x dx
x x
2
1
ln
3 ln
1 ln
 
= +
 ÷
+

 
∫
•

e e
x
I dx x xdx
x x
2
1 1
ln
3 ln
1 ln
= +
+
∫ ∫
=
2(2 2)
3
−
+
e
3
2 1
3
+
=
e
3
5 2 2 2

3
− +
Câu 19.
e
x x
I dx
x
3
2
1
ln 2 ln+
=
∫
Trang 28
Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
•
Đặt
t x
2
2 ln= +

⇒

x
dt dx
x
2ln
=

⇒

I tdt
3
3
2
1
2
=
∫

( )
3
3
4 4
3
3 2
8
= −
Câu 20.
e
e
dx
I
x x ex
2
ln .ln
=
∫
•

e e
e e
dx d x
I
x x x x x
2 2
(ln )
ln (1 ln ) ln (1 ln )
= =
+ +
∫ ∫
=
e
e
d x
x x
2
1 1
(ln )
ln 1 ln
 
−
 ÷
+
 
∫
= 2ln2 – ln3
Câu 21.
x
x x

e
I dx
e e
ln6
2
ln4
6 5
−
=
+ −
∫
•
Đặt
x
t e=
.
I 2 9ln3 4ln2
= + −
Câu 22.
e
x
I dx
x x
3
2
2
1
log
1 3ln
=

+
∫
•

e e e
x
x
x xdx
I dx dx
x
x x x x x
3
3
2
2
3
2 2 2
1 1 1
ln
log
ln2
1 ln . ln
.
ln 2
1 3ln 1 3ln 1 3ln
 
 ÷
 
= = =
+ + +

∫ ∫ ∫
Đặt
dx
x t x t x tdt
x
2 2 2
1 1
1 3ln ln ( 1) ln .
3 3
+ = ⇒ = − ⇒ =
.
Suy ra
I t t
2
3
3 3
1
1 1 4
3
9ln 2 27ln 2
 
= − =
 ÷
 
.
Câu 23.
e
x x x
I dx
x x

1
( 2)ln
(1 ln )
+ −
=
+
∫
•

e e
x
dx dx
x x
1 1
ln
2
(1 ln )
−
+
∫ ∫
=
e
x
e dx
x x
1
ln
1 2
(1 ln )
− −

+
∫
Tính J =
e
x
dx
x x
1
ln
(1 ln )+
∫
. Đặt
t x1 ln
= +

⇒

t
J dt
t
2
1
1
1 ln2
−
= = −
∫
.
Vậy:
I e 3 2ln2= − +

.
Câu 24.
e
e
x x x x
I dx
x x
3
2
2 2
2 ln ln 3
(1 ln )
− +
=
−
∫
•

e e
e e
I dx xdx
x x
3 3
2 2
1
3 2 ln
(1 ln )
= −
−
∫ ∫

e e
3 2
3ln2 4 2= − − +
.
Câu 25.
e
x x
I dx
x
2
2 2
2
1
ln ln 1− +
=
∫
•
Đặt :
dx
t x dt
x
ln= ⇒ =

⇒

t t t t
t t t t t
I dt dt dt dt I I
e e e e

2
2 2 1 2
1 2
0 0 0 1
2 1 1 1 1− + − − −
= = = − + = +
∫ ∫ ∫ ∫
+
t
t t t t
tdt dt dt dt
I te
e
e e e e
1
1 1 1 1
1
0 0 0 0
0
1
−
 
 
= − − = − − + − =
 ÷
 ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫
+
t t

t t t t
tdt dt dt dt
I te te
e
e e e e e
2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 2
1 1
1 2
− −
= − = − + − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
Trang 29
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Vậy :
e
I
e
2
2( 1)−
=
Câu 26.
5
2
ln( 1 1)
1 1
− +
=

− + −
∫
x
I dx
x x
•
Đặt
( )
t xln 1 1= − +
⇒

dx
dt
x x
2
1 1
=
− + −

⇒

I dt
ln3
2 2
ln2
2 ln 3 ln 2= = −
∫
.
Câu 27.
3

3
1
ln

1 ln
=
+
∫
e
x
I dx
x x
•
Đặt
dx
t x x t tdt
x
2
1 ln 1 ln 2= + ⇒ + = ⇒ =
và
x t
3 2 3
ln ( 1)= −
⇒

t t t t
I dt = dt t t t dt
t t t
2 2 2
2 3 6 4 2

5 3
1 1 1
( 1) 3 3 1 1
( 3 3 )
− − + −
= = − + −
∫ ∫ ∫
15
ln2
4
= −
Câu 28.
e
x
I dx
x x
1
3 2ln
1 2ln
−
=
+
∫
•
Đặt
t x1 2ln= +
⇒

e
I t dt

2
1
(2 )= −
∫
=
3
524 −
Câu 29.
e
x x
I dx
x
3
2
1
ln 2 ln+
=
∫
•
Đặt
t x
2
2 ln= +

⇒

I
3
3
4 4

3
3 2
8
 
= −
 
Câu 30.
1
1
( ln )
+
=
+
∫
e
x
x
xe
I dx
x e x
•
Đặt
x
t e xln= +

⇒

1
ln
+

=
e
e
I
e
.
Trang 30
Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
Dạng 2: Tích phân từng phần
Câu 31.
inx
I e xdx
2
s
0
.sin2
π
=
∫
•

inx
I e x xdx
2
s
0
2 .sin cos
π
=
∫

. Đặt
x x
u x du xdx
dv e xdx v e
sin sin
sin cos
cos
 
= =
⇒
 
= =
 

x x x
I xe e xdx e e
2
sin sin sin
2 2
0 0
0
2sin .cos 2 2 2
π
π π
⇒ = − = − =
∫
Câu 32.
I x x x dx
1
2

0
ln( 1)= + +
∫
•
Đặt
x
du dx
u x x
x x
dv xdx
x
v
2
2
2
2 1
ln( 1)
1
2

+
=



= + +
+ +
⇒
 
=



=


x x x
I x x dx
x x
1
1
2 3 2
2
2
0
0
1 2
ln( 1)
2 2
1
+
= + + −
+ +
∫
x dx
x dx dx
x x x x
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1 1 2 1 3

ln3 (2 1)
2 2 4 4
1 1
+
= − − + −
+ + + +
∫ ∫ ∫
3 3
ln3
4 12
π
= −
Câu 33.
x
I dx
x
8
3
ln
1
=
+
∫
•
Đặt
u x
dx
du
dx
x

dv
v x
x
ln
2 1
1


=
=
 
⇒
 
=
 
= +
+


( )
x
I x x dx J
x
8
8
3
3
1
2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2
+

⇒ = + − = − −
∫
+ Tính
x
J dx
x
8
3
1+
=
∫
. Đặt
t t
t x J tdt dt dt
t t
t t
3 3 3
2
2 2
2 2 2
1 1
1 .2 2 2
1 1
1 1
 
= + ⇒ = = = + −
 ÷
− +
− −
 

∫ ∫ ∫
t
t
t
8
3
1
2 ln 2 ln3 ln2
1
 
−
= + = + −
 ÷
+
 
Từ đó
I 20ln2 6ln3 4
= − −
.
Câu 34.
e
x
x x x
I e dx
x
2
1
ln 1+ +
=
∫

•

e e e
x
x x
e
I xe dx xe dx dx
x
1 1 1
ln= + +
∫ ∫ ∫
. + Tính
e e
e
x x x e
I xe dx xe e dx e e
1
1
1 1
( 1)= = − = −
∫ ∫
+Tính
e e e
x x
e
x x e
e e
I e xdx e x dx e dx
x x
2

1
1 1 1
ln ln= = − = −
∫ ∫ ∫
.
Vậy:
e
x
e
I I I dx
x
1 2
1
= + +
∫
=
e
e
1+
.
Trang 31
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Câu 35.
e
x
I x dx
x x
2
1
ln

ln
1 ln
 
= +
 ÷
+
 
∫
•
Tính
e
x
I dx
x x
1
1
ln
1 ln
=
+
∫
. Đặt
t x1 ln= +

⇒

I
1
4 2 2
3 3

= −
.
+ Tính
e
I xdx
2
2
1
ln=
∫
. Lấy tích phân từng phần 2 lần được
I e
2
2= −
.
Vậy
I e
2 2 2
3 3
= − −
.
Câu 36.
2
3
2
1
ln( 1)x
I dx
x
+

=
∫
•
Đặt
x
du
u x
x
dx
dv
v
x
x
2
2
3
2
2
ln( 1)
1
1
2


=
= +

 
+
⇒

 
=
 
= −



. Do đó I =
x dx
x x x
2
2
2 2
1
2
ln( 1)
1
2 ( 1)
+
− +
+
∫
x
dx
x
x
2
2
1
ln2 ln5 1

2 8
1
 
= − + −
 ÷
+
 
∫
dx d x
x
x
2 2
2
2
1 1
ln2 ln5 1 ( 1)
2 8 2
1
+
= − + −
+
∫ ∫
x x
2
2
ln2 ln5 1
ln | | ln | 1|
2 8 2
1
 

= − + − +
 ÷
 
=
5
2ln2 ln5
8
−
Câu 37.
x
I = dx
x
2
2
1
ln( 1)+
∫
•
Đặt
dx
u x
du
dx
x
dx
I x
dv
x x x
v
x

x
2
2
1
ln( 1)
1 3
2
1
ln( 1) 3ln2 ln3
1 1
( 1) 2


= +
=


+
⇔ ⇒ = − + + = −
 
=
+
 
= −


∫
Câu 38.
x
I x dx

x
1
2
0
1
ln
1
 
+
=
 ÷
−
 
∫
•
Đặt
du dx
x
u
x
x
x
dv xdx
v
2
2
2
1
ln
(1 )

1
2

=

+

 
=
−
⇒
 
−
 
=

=



⇒

x
I x x dx
x
x
1
2
2 2
2

0
1
1 1 2
ln
2
2 1
1
0
 
 
   
+
 
= −
 ÷  ÷
−
 
−
   
 
 
∫
x
dx dx
x x
x
1 1
2
2 2
2

0 0
ln3 ln3 1 ln3 1 1 2
1 ln
8 8 ( 1)( 1) 8 2 2 3
1
 
= + = + + = + +
 
− +
−
 
∫ ∫
Câu 39.
I x x dx
x
2
2
1
1
.ln
 
= +
 ÷
 
∫
•
Đặt
u x
x
dv x dx

2
1
ln

 
= +

 ÷

 

=


⇒

I
10 1
3ln3 ln2
3 6
= − +
Câu 40.
I x x dx
1
2 2
.ln(1 )
0
= +
∫
•

Đặt
u x
dv x dx
2
2
ln(1 )


= +

=



⇒

I
1 4
.ln2
3 9 6
π
= + +
Trang 32
Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
Câu 41.
x
I dx
x
3
2

1
ln
( 1)
=
+
∫
•
Đặt
u x
dx
dv
x
2
ln
( 1)

=


=

+


⇒

I
1 3
ln3 ln
4 2

= − +
Câu 42.
2 2
1
ln ( ln )
.
1
+ +
=
+
∫
e
x x
x
x e e x
I dx
e
•
Ta có:
e e
x
x
e
I x dx dx H K
e
2
2
1 1
ln .
1

= + = +
+
∫ ∫
+
e
H x dx
2
1
ln .=
∫
. Đặt:
u x
dv dx
2
ln

=

=


⇒

e
H e x dx e
1
2ln . 2= − = −
∫
+
e

x
x
e
K dx
e
2
1
1
=
+
∫
. Đặt
x
t e 1= +

⇒

e
e
e
e
e
t e
I dt e e
t
e
1
2
1
1 1

ln
1
+
+
− +
⇒ = = − +
+
∫
Vậy:
e
e
e
I e
e
1
–2 ln
1
+
= +
+
Câu 43.
2
1
1
2
1
( 1 )
+
= + −
∫

x
x
I x e dx
x
•
Ta có:
2 3
1 1
1 1
2 2
1
+ +
 
= + − = +
 ÷
 
∫ ∫
x x
x x
I e dx x e dx H K
x
+ Tính H theo phương pháp từng phần I
1
=
2
2
1 1
5
2
1

1
2
2
1 3
2
+ +
 
= − − = −
 ÷
 
∫
x x
x x
H xe x e dx e K
x
5
2
3
.
2
I e⇒ =
Câu 44.
4
2
0
ln( 9 )= + −
∫
I x x dx
•
Đặt

( )
u x x
dv dx
2
ln 9


= + −

=


⇒

( )
x
I x x x dx
x
4
4
2
2
0
0
ln 9 2
9
= + − + =
+
∫
Trang 33