Rèn kĩ năng giải thành thạo các dạng toán giải phương trình vô tỉ

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU:
Lớp 9 là lớp cuối cấp của bậc THCS, học hết lớp 9, các em có kĩ năng giải
thành thạo các dạng toán đại số và hình học cơ bản như: Tính tỉ lệ, tính diện tích,
tính thể tích, giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn,
thực hành tính toán trong đời sống Nhưng học sinh lại rất lúng túng khi giải
phương trình vô tỉ.
Trong chương trình toán THCS, SGK không đưa ra lí thuyết cụ thể về
phương pháp giải phương trình vô tỉ, nhưng trong hệ thống bài tập lại có đề cập
đến. Các bài toán dạng này có nhiều trong các loại sách phát triển, nâng cao, đề
thi học sinh giỏi, đề thi vào trường chuyên và PTTH Do đó cần phải hướng
dẫn cho học sinh Lớp 9 biết cách giải các bài tập dạng này.
Do vậy trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần thông qua hệ thống bài tập
để học sinh nắm được khái niệm về phương trình vô tỉ, có kỹ năng thành thạo,
vận dụng những kiến thức đã học khi giải chúng, đặc biệt giúp các em tránh
được sai lầm trong khi giải toán loại này.
Để giúp học sinh có kiến thức, có kĩ năng giải thành thạo các dạng toán
giải phương trình vô tỉ, trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã hệ thống lại
các phương pháp và bài tập để vận dụng. Rất mong được sự quan tâm, đóng góp
ý của đồng nghiệp để đề tài mang lại hiệu quả cao trong việc ứng dụng vào
thực tế giảng dạy.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
1, Thực trạng:
- Đa số HS trong lớp là con em gia đình thuần nông, ngoài giờ học trên lớp
các em còn phải lao động phụ giúp gia đình. Do đó các em rất ít thời gian tự học
ở nhà.
- Một số học sinh coi nhẹ việc học, lười học dẫn đến hổng kiến thức ở các lớp
dưới và không nắm vững kiến thức trên lớp.
1
- Một số phụ huynh chưa quan tâm đúng mức đến việc học của con em mình.
- Một số em gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn, không có tài liệu, sách

nâng cao để nghiên cứu. Do đó có ảnh hưởng rất nhiều đến việc học của các
em.
- Đa số học sinh chưa nắm vững khái niệm và kiến thức để giải phương trình
vô tỉ. Học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải phương trình vô tỉ còn
hạn chế, chưa nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỉ. - Với
mỗi bài toán giải phương trình vô tỉ, nhiều học sinh không xác định được cách
làm, không biết áp dụng phương pháp nào.
- Một số ít học sinh nắm được phương pháp giải một vài dạng bài tập về
phương trình vô tỉ nhưng trong quá trình thực hiện còn hay nhầm dấu, sai điều
kiện hoặc không có điều kiện Dẫn đến bài giải chưa hoàn chỉnh.
2, Kết quả của thực trạng trên:.
Qua khảo sát 34 học sinh lớp 9A trường THCS Phúc Thịnh - Ngọc Lặc về
giải phương trình vô tỉ, thu được kết quả như sau:
Tổng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
34 0 0 2 5,88 11 32,35 21 61,77
Từ những thực trạng trên, để việc giảng dạy đạt kết quả tốt hơn, tôi đã mạnh
dạn hệ thống lại các dạng bài tập phương trình vô tỉ và phương pháp giải từng
dạng để học sinh tiếp thu dễ dàng hơn.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
- Sử dụng từng phương pháp để giải quyết trong từng bài toán cụ thể.
- Kết hợp giữa SGK, SBT, SGV và tài liệu tham khảo để giải quyết tiết dạy.
2
- Thông qua các tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo, phân tích so sánh, vận
dụng và thực nghiệm trong các tiết dạy. Từ đó rút ra phương pháp dạy phù hợp
với việc đổi mới SGK hiện nay.
II. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Có nhiều phương pháp giải phương trình vô tỉ, mỗi phương pháp thường
phù hợp với một dạng bài nhất định. Tuy nhiên không loại trừ khả năng một
phương trình chứa căn thức có thể giải theo nhiều cách khác nhau.
Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về giải phương trình vô tỉ, trong quá
trình giảng dạy, tôi đã cho học sinh nắm được một số phương pháp giải phương
trình vô tỉ thông qua nhiều dạng bài tập. Để phù hợp với mọi đối tượng học sinh
trong lớp tôi giới thiệu các phương pháp giải thông qua hệ thống bài tập đã được
sắp xếp từ dễ đến khó và đặc biệt phải cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ
bản sau:
-
A
có nghĩa
⇔
A
≥
0
- Hằng đẳng thức
2
A
=
A

-
( )
2
A
= A với mọi A
≥

-

A
= A nếu A
≥
0
- A Nếu A < 0
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(1)
(A - B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(2)
A
2
- B
2
= (A -B)(A + B) (3)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A

2
B + 3AB
2
+ B
3
(4)
(A - B
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
(5)
A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
) (6)
A
3
- B
3

= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
) (7)
1, Phương trình dạng
( )
2
)(xf
= g(x) và
( )
2
)(xf
+
( )
2
)(xh
= g(x):
Cách giải: Đưa phương trình về dạng chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
3
*
( )
=
2
)(xf
g(x)
⇔
)(xf
= g(x) (Phương trình này đã học ở lớp 8).
*

( )
2
)(xf
+
( )
2
)(xh
= g(x)
⇔
)()( xhxf +
= g(x)
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
( )
2
2−x
= 4 (1)
Giải:
( )
2
2−x
= 4
⇔
2−x
= 4




−=−

=−
⇔
42
42
x
x




−=
=
⇔
2
6
x
x
Tập nghiệm của phương trình (1) là: S =
{ }
6;2−
Hình thành cho học sinh phương pháp giải các phương trình chứa căn thức
mà biểu thức dưới dấu căn có dạng của hằng đẳng thức
2
A
thì đưa về phương
trình có ẩn trong giá trị tuyệt đối và giải tiếp như đã làm ở các lớp dưới.
Để học sinh giỏi có thể phát huy khả năng của mình, tôi ra thêm các bài tập
sau:
Ví dụ 2:
Giải phương trình:

96
2
++ xx
= 3x - 1 (2)
Trong bài này đòi hỏi học sinh phải biến đổi biểu thức trong dấu căn thành
dạng bình phương của một nhị thức rồi mới tiếp tục giải như các bài tập trước.
Giải:

96
2
++ xx
= 3x - 1
⇔

2
)3( +x
= 3x - 1
⇔
3+x
= 3x - 1
* Nếu x + 3
≥
0
⇔
x
≥
- 3, ta được: x + 3 = 3x - 1
⇔
x = 2 (TMĐK)
* Nếu x + 3 < 0

⇔
x < - 3, ta được: - x - 3 = 3x -1
⇔
x = - 0,5 không thoã mãn
x < - 3 nên không phải là nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình (2) là: S =
{ }
2
Ví dụ 3:
Giải phuơng trình :
12 −− xx
= 2
1−x
. (3)
4
Giải:
ĐK x
1≥


12 −− xx
= 2
1−x

⇔
( )
2
11 −−x
= 2
1−x

⇔
11 −−x
= 2
1−x
(3’)
* Nếu
11 −−x

≥
0
⇔
x > 2 thì phương trình (3’) trở thành:
1211 −=−− xx

⇔
-1 =
1−x
phương trình vô nghiệm.
* Nếu 1
2≤≤ x
thì phương trình (3’) trở thành :
1211 −=−− xx

⇔

3
1
1 =−x
. Hai vế đều không âm, bình phương hai vế
ta được: x - 1 =

9
1

⇔
x =
9
10
. Thoã mãn 1
2≤≤ x
.
Tập nghiệm của phương trình (3) là: S =






9
10
Để giải được phương trình (3) này đòi hỏi học sinh phải sáng tạo trong việc
biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một biểu thức đó là thêm
bớt cùng một lượng. Cũng qua bài tập lưu ý học sinh việc đặt điều kiện cho các
biểu thức có nghĩa.
Ví dụ 4:
Giải phương trình :
27522522 =−−−+−+− xxxx
(4)
Yêu cầu học sinh nhận xét về phương trình (4), nó có gì giống và khác với
phương trình (3). Có thể áp dụng cách giải phương trình (3) để giải được
không ? Việc biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương có gì khó

khăn ?
Nếu học sinh không tự giải được giáo viên giúp đỡ các em bằng gợi ý. Nhân
hai vế của phương trình (2 ) với
2
.
Giải: Với x
2
5
≥
ta có (3)
⇔
145224252242 =−−−+−+− xxxx
14152152 =−−++−⇔ xx
(4
'
)
5
* Nếu x > 3 thì phương trình (3
'
)
14522 =−⇔ x
27
=⇔
x
thoả mãn x > 3
* Nếu
3
2
5
≤≤ x

thì (3' )
12520 =−⇔ x

⇒
Vô nghiệm
Tập nghiệm của phương trình (4) là: S = {27}
Qua ví dụ này lưu ý học sinh cần linh hoạt trong quá trình biến đổi biểu thức
dưới dấu căn về dạng bình phương một biểu thức đôi khi phải thêm bớt hoặc
nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ 5:
Giải phương trình:
24444
2
=++++− xxxx
. ĐK : x
0
≥
(5)

222 =++−⇔ xx

222 =++−⇔ xx
(5’)
* Nếu x
2≥
thì (5’)
02 =+−⇔ xx
Đến đây học sinh có thể giải phương trình này bằng cách đặt ẩn phụ
0≥= Xx
để đưa về phương trình bậc hai hoặc phân tích vế trái thành tích đưa

về phương trình tích và giải được x = 1 ( loại ).
* Nếu 0
x≤
< 2 thì (5’ )
402 =⇔=+−⇔ xxx
(loại).
Vậy phương trình (5) vô nghiệm.
2, Phương trình dạng
)(xf
= g(x);
)(xf
+
)(xg
= h(x) và
)(xf
+
)(xg
=
)(xh
:
Cách giải: Nâng lên luỹ thừa.
*
)(xf
= g(x)
⇔
[ ]



=

≥
2
)()(
0)(
xgxf
xg
*
)(xf
+
)(xg
= h(x) và
)(xf
+
)(xg
=
)(xh
. Tìm điều có nghĩa của
phương trình:





≥
≥
≥
0)(
0)(
0)(
xh

xg
xf
.
6
Giải phương trình rồi đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm không thích
hợp. Nghiệm thích hợp là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 6:
Giải phương trình:
)2(2 +x
= 6 (6)
Giải:
ĐK: x
≥
- 2.
)2(2 +x
= 6
⇔
2(x + 2) = 6
2

⇔
x = 16 TMĐK
Tập nghiệm của phương trình (6) là: S = {16}
Đây là phương trình có chứa căn thức dưới dấu căn, không có dạng bình
phương một biểu thức nên ta biến đổi chúng bằng cách bình phương hai vế của
phương trình. Khi bình phương hai vế cần chú ý đặt điều kiện để căn thức có
nghĩa và điều kiện để bình phương hai vế không âm. Có thể khắc sâu điều này
bằng ví dụ sau:
Ví dụ 7:
Giải phương trình:

53 −=− xx
(7)
Nếu chỉ đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa tức x
≥
3. Sau khi bình phương
hai vế và giải ta được : x - 3 = ( x - 5 )
2

02811
2
=+−⇔ xx
4;7
21
==⇔ xx
. Nhưng x
2
= 4 không phải là nghiệm của phương trình (7)
Thật vậy : Với x = 4 , vế trái bằng 1 còn vế phải bằng -1.
Do vậy để tránh sai lầm trên ta có thể làm theo hai cách. Thử lại các kết quả
tìm được hoặc đặt điều kiện để hai vế không âm rồi mới bình phương.
Đối với học sinh khá nên cho học sinh tìm hiểu vì sao xuất hiện nghiệm
ngoại lai x
2
= 4 ? Phương trình nào là phương trình hệ quả ? Bài tập trên nên
giải như sau :

53 −=− xx
(7)
Điều kiện để căn thức có nghĩa với x
5

≥
thì phương trình (7)
2
)5()3( −=−⇔ xx
giải ra ta được:
x
1
= 7 thoả mãn ĐK x
5
≥
. `
7
x
2
= 4 không thoả mãn ĐK x
5≥
nên bị loại.
Tập nghiệm của phương trình là: S =
{ }
7
Sau khi khắc sâu cho học sinh những vấn đề trên, cho học sinh luyện tập bằng
những ví dụ khác ở mức độ khó hơn.
Ví dụ 8:
Giải phương trình
1132 =+−+ xx
. ĐK x
1−≥
(8)
Nếu tiến hành bình phương 2 vế ngay thì học sinh sẽ vấp phải khó khăn đó là
đặt điều kiện cho 2 vế không âm tương đối phức tạp để đơn giản nên chuyển

1+− x
sang vế phải, lúc bấy giờ ta có phương trình với hai vế đều không âm:
(8)
1132 ++=+⇔ xx

112132 ++++=+⇔ xxx

121 +=+⇔ xx
đk: x
1−≥

)1(412
2
+=++⇔ xxx
x
2
- 2x - 3 = 0



=
−=
⇔
3
1
1
x
x
.
Tập nghiệm của phương trình là: S = {-1; 3}

Ví dụ 9:
Giải phương trình:
xxx =−−+ 7212
. (9)
Giải:
ĐK:
2
7
0
072
012
≥⇔





≥
≥−
≥+
x
x
x
x
xxx =−−+ 7212
xxx +−=+⇔ 7212
⇔
2x + 1 = 2x - 7 + x + 2
)72(2 −x
⇔

8 - x = 2
)72(2 −x
(9’)
* Nếu 8 - x < 0 hay x > 8 phương trình vô nghiệm.
8
* Nếu 7/2
≤
x
≤
8 thì cả hai vế của (9’) đều không âm, bình phương hai vế ta
có: 64 - 16x + x
2
= 4x(2x - 7)
⇔
7x
2
- 12x - 64 = 0
Giải phương trình này ta được:
x
1
= 4 thoả mãn đk x
2
7
≥
.
x
2
= -
7
16

không thoả mãn đk

x
2
7
≥
(loại).
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất: x = 4.
Qua hai bài tập trên học sinh thấy, đôi khi nâng lên luỹ thừa hai lần mới khử
hết căn. Cần lưu ý nâng luỹ thừa bao giờ cũng phải đặt điều kiện để hai vế
phương trình không âm.
Cần lưu ý học sinh có những bài đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa
tương đối phức tạp, trong những trường hợp đó ta cần giải từng điều kiện rồi
kết hợp chúng trên trục số.
Ví dụ 10:
Giải phương trình:
221682
22
+=−+++ xxxx
(10)
Điều kiện là các giá trị của x thoả mãn hệ :






≥+
≥−
≥++

022
01
0682
2
2
x
x
xx












−≥



≥
−≤



−≥

−≤
⇔
1
1
1
3
1
x
x
x
x
x

1≥⇔ x
hoặc x = -1
Bình phương hai vế đưa phương trình về :

( ) ( )( )
113122
2
2
−=−++ xxxx

( ) ( )( ) ( ) ( )
222
111318 +−=−++⇔ xxxxx

⇔
( x + 1)
2

(x - 1)(7x + 25) = 0
9

⇔







−=
−=
=
7
25
1
1
x
x
x
; x = -
7
25
loại vì không thoả mãn x
1;1 −=≥ x
(loại)
Tập nghiệm của phương trình (10) là: S = {-1; 1}
3, Một số dạng phương trình vô tỉ khác thường gặp:
Cách giải: Đặt ẩn phụ hoặc đưa về dạng giải hệ phương trình hoặc kết

hợp cả hai cách.
Ví dụ 11:
Giải phương trình:
( )
6555
22
=−−− yy
(11)
Giải:
Điều kiện :




≥
−≤
⇔≥
5
5
5
y
y
y
Nếu đặt
05
2
≥=− xy
thì phương trình (11) có dạng :
x
2

- 5x - 6 = 0



=
−=
⇔
6
1
x
x
; x = - 1 loại vì ĐK x
0
≥
Với x = 6 ta có




−=
=
⇔=−
41
41
65
2
y
y
y
Tập nghiệm của phương trình (11) là: S = {

41
; -
41
}
Trên cơ sở học sinh có khái niệm về phương pháp đặt ẩn phụ, cần cho học
sinh làm một số bài tập khác đòi hỏi sự sáng tạo trong qua trình đặt ẩn phụ.
Ví dụ 12:
Giải phương trình: 2x
2
- 8x - 3
54
2
−− xx
= 12 (12)
Giải:
Ta viết phương trình (12) dưới dạng: 2(x
2
- 4x - 5) - 3
54
2
−− xx
- 2 = 0
Đặt t =
54
2
−− xx

≥
0. Ta có phương trình: 2t
2

- 3t - 2 = 0
Giải phương trình ta được: t
1
= 2 (TMĐK), t
2
= - 1/2 (loại)
Với t
1
= 2, ta giải phương trình:
54
2
−− xx
= 2
⇔
x
2
- 4x - 9 = 0
10
Phương trình có hai nghiệm: x
1
= 2 +
13
, x
2
= 2 -
13
Ví dụ 13:
Giải phương trình:
277218213

22
=+++++ xxxx
(13)
Giải:
ĐK :
077
2
≥++ xx
.
Đặt
077
2
≥=++ yxx
77
22
++=⇒ xxy
.
Phương trình (12) trở thành 3y
2
+ 2y - 5 = 0





−=
=
⇔
3
5

1
y
y
; y
3
5
−=
< 0 loại
Với y = 1 ta có



−=
−=
⇔=++⇔=++
6
1
067177
22
x
x
xxxx
Bây giờ ta phải kiểm tra xem các giá trị x = - 1 ; x = - 6 có thoả mãn đk căn
thức có nghĩa hay không. Cách kiểm tra :
* Với x = - 1 ta có x
2
+ 7x +7 = (-1)
2
+ 7(-1) + 7 = 1 > 0 (TMĐK)
* Với x = - 6 ta có x

2
+ 7x +7 = 1 > 0 (TMĐK)
Tập nghiệm của phương trình (13) là: S = {- 6; -1}
Ví dụ 14:
Giải phương trình:
312
3
=++− xx
(14)
Giải:
Điều kiện :
1≥x
Đặt
01;2
3
≥=+=− YxXx

3
2 Xx =−⇔
và x + 1 = Y
2

321
32
=+−+=−⇒ xxXY
Phương trình (13) trở thành hệ phương trình:







≥
=−
−=
⇔





≥
=−
=+
0
3
3
0
3
3
3232
Y
XY
XY
Y
XY
YX

066
23

=−+−⇒ XXX
11

( )
( )
061
2
=+−⇔ XX
Do X
2
+ 6 > 0 với mọi x, nên X = 1
2
=⇒
Y
thoả mãn
ĐK Y
0
≥
.
* Với Y = 2 ta có
321 =⇔=+ xx
thoả mãn
1
−≥
x
Tập nghiệm của phương trình (14) là: S = {3}.
Ngoài cách giải như trên bài tập này còn có cách giải bằng phương pháp bất
đẳng thức tức là sử dụng tính đối nghịch ở hai vế của phương trình.
Cụ thể : Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình. Bây giờ ta chứng
minh x > 3 và -1

3
<≤
x
đều không phải là nghiệm của phương trình.
Thật vậy : Với x > 3 thì
12
3
>−x
và
21 >+x
suy ra vế trái lớn hơn 3 còn vế
phải bằng 3 suy ra phương trình vô nghiệm.
Với -1
3
<≤
x
thì
12
3
<−x
và
22 <+x
suy ra vế trái nhỏ hơn 3; vế phải
bằng 3 . Vậy phương trình vô nghiệm.
Do đó x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (14).
Phương pháp này tương đối khó đối với học sinh, do đó ta có thể cho các em
làm thêm một vài bài tập tương tự để giúp học sinh hiểu rõ hơn về phương pháp
này.
Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hệ phương trình dùng để giải
được nhiều dạng phương trình vô tỉ như dạng 1 và dạng 2 đã nêu ở trên. Vì

vậy, khi giảng dạy, giáo viên nên khuyến khích học sinh lựa chọn cách giải
nhanh gọn nhất.
Ví dụ 15:
Giải phương trình:
5121 =−+− xx
(15)
Ngoài cách giải nâng lên luỹ thừa như ở dạng 2, ta giải như sau:
Giải:
Đặt u =
≥−1x
0 và v =
≥−12x
0
Phương trình (14) trở thành: u + v = 5. Ta lại có: v
2
- 2u
2
= 1.
Vậy ta có hệ phương trình:



=−
=+
12
5
22
uv
vu
12

Giải hệ, ta được: u
1
= 2 (TMĐK), u
2
= - 12 (loại).
Với u
1
= 2 ta giải phương trình:
1−x
= 2 (x
≥
1)
⇔
x = 5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 5.
C. KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Với những kinh nghiệm như vừa trình bày ở trên, sau khi nghiên cứu và
áp dụng giảng dạy ở bộ môn Toán 9, bản thân và đồng nghiệp thấy trình độ học
sinh được nâng lên rõ rệt. Học sinh đã nhận dạng thành thạo phương trình chứa
căn thức và đứng trước một phương trình chứa căn thức các em đã biết lựa chọn
phương pháp giải phù hợp. Mức độ đạt được cụ thể là:
Tổng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
34 3 8,8 7 20,6 20 58,8 4 11,8
II. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT:
Với những kiến thức về phương trình vô tỉ được đề cập trong SGK Toán 9
không đáp ứng được đầy đủ nhu cầu của các em. Vì vậy, để HS học tốt phần

này, cần phải kết hợp các tài liệu, sách báo tham khảo. Đặc biệt là hình thành
cho HS thói quen nhìn nhận bài toán, từ đó có phương pháp giải phù hợp. Do
đó, bản thân tôi có một số kiến nghị đề xuất sau:
- Thư viện cần tăng cường bổ sung thêm sách tham khảo, sách nâng cao để đáp
ứng nhu cầu học tập của HS .
- Cung cấp đầy đủ tranh ảnh, đồ dùng trực quan, dụng cụ đo đạc đối với bộ môn
toán nói riêng và các bộ môn khác nói chung.
- Lắp đặt hệ thống máy chiếu sử dụng trong các tiết dạy để đạt hiệu quả tốt hơn.
13
Do năng lực bản thân có hạn và do một số khó khăn mang lại, chắc chắn đề
tài tôi nghiên cứu còn nhiều thiếu xót và hạn chế. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến chân thành của đồng nghiệp và các cấp lãnh đạo.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
14