Rèn kĩ năng giải phương trình toán 8

A- Mở ĐầU
A- Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài:
Bộ môn Toán học đợc coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó đợc vận dụng
và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi trớc hết Toán học
hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và t duy cao,
do đó nếu chất lợng dạy và học toán ở trờng THCS đợc nâng cao thì có nghĩa là chúng
ta đa các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện đại, có ý nghĩa giàu tính
nhân văn của nhân loại.
Đổi mới chơng trình, tăng cờng sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ
thông tin trong dạy học, đổi mới phơng pháp dạy học toán hiện nay ở trờng THCS đã
và đang làm tích cực hoá hoạt động t duy học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển
khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học,
hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống.
Trong chơng trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phơng trình là nội dung
quan trọng, là trọng tâm của chơng trình đại số lớp 8, việc áp dụng của dạng toán này
rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì vậy để giúp học sinh nắm đợc khái niệm về
phơng trình, giải thành thạo các dạng phơng trình là yêu cầu hết sức cần thiết đối với
ngời giáo viên. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng nh qua việc theo dõi kết quả
bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), thì việc giải phơng
trình là không khó, nhng vẫn còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có,
giải phơng trình còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc cha làm đợc, do cha nắm
vững chắc các cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi cha linh hoạt vào từng dạng toán
về phơng trình.
Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phơng pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và
giải quyết những khó khăn, vớng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lợng bộ
môn toán nên bản thân đã chọn đề tài:
"
Rèn kĩ năng giải phơng trình lớp 8"
.

1. Đối tợng nghiên cứu:
Rèn kỹ năng giải phơng trình cho học sinh.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8A, 8B ở trờng THCS Phú Điền
năm học 2009 - 2010.
Đề tài có ý tởng phong phú, đa dạng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua ba dạng
phơng trình phơng trình đa về dạng ax + b = 0, phơng trình tích, phơng trình
chứa ẩn ở mẫu trong chơng trình toán 8 hiện hành.
3. Phơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan.
Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tợng học sinh.
B/.
B/.
NộI DUNG
NộI DUNG
1. Cơ sở lý luận
Với sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, bùng nổ công
nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học và quản lý
giáo dục, toàn cầu hóa nh hiện nay, đã và đang tạo điều kiện thuận lợi cho nền giáo
dục và đào tạo của nớc ta trớc những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ
Trang 1
phát triển mạnh mẽ đó thì giáo dục và đào tạo trớc hết và luôn luôn đảm nhận vai trò
hết sức quan trọng trong việc đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi d ỡng nhân
tài mà Đảng, Nhà nớc đã đề ra, đó là đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết
số 40/2000/QH10 của Quốc hội. Hiện nay ngành Giáo dục tích cực xây dựng nhiều
chơng trình hành động, đa dạng hóa các loại hình học tập, trong đó việc đẩy mạnh sử
dụng công nghệ hiện đại trong dạy học và quản lý là một trong những biện pháp của
quá trình đổi mới giáo dục theo hớng tích cực phù hợp với xu thế hiện nay.

Để đáp ứng đợc mục tiêu giáo dục một cách toàn diện cho học sinh, con đờng
duy nhất là nâng cao có hiệu quả chất lợng học tập của học sinh ngay từ nhà trờng phổ
thông. Muốn vậy trớc hết giáo viên là ngời định hớng và giúp đỡ học sinh của mình
lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính tự học, tính cần cù, siêng năng,
chịu khó, tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học, yêu thích bộ môn, phát huy t duy sáng
tạo của học sinh, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Học toán không phải chỉ là học nh sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập
hoặc những cách giải do Thầy, Cô đa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu suy nghĩ,
tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra đợc những cách giải hay, những
điều gì bổ ích. Do đó dạng toán giải phơng trình của môn đại số 8 đáp ứng yêu đầy đủ
cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chơng trình sau này, nh giải bất
phơng trình, chơng trình lớp 9 sau này. Tuy nhiên, vì lý do s phạm và khả năng nhận
thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng phơng trình và các phơng
pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải đợc các dạng phơng trình một cách
nhanh chóng và chính xác. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng
cho học sinh những kỹ năng nh quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phơng trình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn.
Tuỳ theo từng đối tợng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học
sinh học tập tốt bộ môn.
2. Cơ sở thực tiễn
Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét, nhận dạng
phơng trình và biến đổi trong thực hành giải toán yếu kém, phần lớn do mất kiến thức
căn bản ở các lớp dới, nhất là cha chủ động học tập ngay từ đầu chơng trình lớp 8, do
chay lời học tập, ỷ lại, cha nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, trong nhờ vào kết
quả ngời khác. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo,
nên khi gặp bài tập, các em thờng lúng túng, không tìm đợc hớng giải thích hợp.
Về giáo viên: Cha thật sự định hớng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen học tập
và lòng yêu thích môn học, cha xây dựng phơng pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán
cho học sinh, dạy học đổi mới cha triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phơng tiện

dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin.
Về phụ huynh: Cha thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình
nh theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối liên lạc với nhà tr-
ờng cha thờng xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con em hầu
nh không có.
3. Nội dung vấn đề
3.1. Những giải pháp mới của đề tài

Đề tài đa ra các giải pháp nh sau:
- Sắp xếp các dạng phơng trình theo các mức độ.
- Xây dựng các phơng pháp giải cơ bản theo từng dạng phơng trình.
- Sửa chữa các sai lầm thờng gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phơng trình.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
Trang 2
Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phơng pháp giải phơng trình đa đợc về dạng ax + b = 0.
+ Phơng pháp giải phơng trình tích.
+ Phơng pháp giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu.
Đối với học sinh đại trà: Phát triển t duy, kỹ năng giải phơng trình
+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phơng, khai thác bài toán.(nâng cao)
+ Đa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phơng trình.
3.2. Các phơng trình thờng gặp.
A. Củng cố kiến thức cơ bản về phơng trình
Phơng trình đa đợc về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).

Dạng1: Phơng trình chứa dấu ngoặc:
Phơng pháp chung:
- Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đa phơng trình về dạng ax = c.

Chú ý: Nếu a

0, phơng trình có nghiệm x =
c
a
Nếu a = 0, c

0, phơng trình vô nghiệm
Nếu a = 0, c = 0, phơng trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phơng trình: 5 (x 6) = 4(3 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 (x 6) = 4(3 2x)

5 x + 6 = 12 8x

x + 8x = 12 11

7x = 1

x =
1
7
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x =
1
7
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x 1) (2x 1) = 9 x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x 1) (2x 1) = 9 x

x 1 2x 1 = 9 x (bỏ dấu ngoặc sai)

x 2x x = 9 2 (chuyển vế không đổi dấu)

2x = 7 (sai từ trên)

x = 7 2 = 5 (tìm nghiệm sai)
Sai lầm của học yếu kém thờng gặp ở đây là:
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2)

x 1 2x + 1 = 9 x


x 2x + x = 9


0x = 7
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phơng pháp thu gọn và
chú ý về cách tìm nghiệm của phơng trình.

Dạng 2: Phơng trình chứa mẫu là các hằng số:
Trang 3
Phơng pháp chung:
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đa phơng trình về dạng 1.
- Thực hiện cách giải nh dạng 1.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:

1 1 1
2
2 3 6
x x x
+ =
(3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
+ =



3( 1) 2( 1) 1 12
6 6
x x x +
=
(sai ở hạng tử thứ ba)


3( 1) 2( 1) 1 12x x x + =
(sai từ trên)


4 18x
=
(sai từ trên)

4,5x =
(sai từ trên)
Sai lầm của học ở đây là:
Sai lầm ở trên là cách đa dấu trừ của phân thức lên tử thức cha đúng.
Lời giải đúng:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
+ =



3( 1) 2( 1) ( 1) 12
6 6
x x x +
=



3 3 2 2 1 12x x x + + =



4 16x =

4x =
Vậy: S =
{ }
4
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu
khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
Chú ý: ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác nh sau:
Cách 1: (3)


1 1 1
( 1) 2
2 3 6
x

+ =
ữ




4
( 1) 2
6
x =



1 3x

=


x = 4
Vậy: S =
{ }
4
Cách 2: Đặt t = x -1
(3)


2
2 3 6
t t t
+ =


3 2 2.6t t t+ =


3t
=


1 3x
=


x = 4 Vậy: S =
{ }

4
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
2 1 2
0,5 0,25
5 4
x x
x
+
= +
(4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4)


4(2 ) 20 0,5 5(1 2 ) 20 0, 25x x x+ ì = + ì



8 4 10 5 10 5x x x+ = +


4x = 2


x = 0,5
Vậy: S =
{ }
0,5
Trang 4

ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác nh sau:
Cách 2: Chuyển phơng trình về phân số
(4)


2 1 2 1
5 2 4 4
x x x+
= +


2 1
5 2 2
x x x+
=



2 1
5 2
x+
=

Cách 3: Chuyển phơng trình về số thập phân
(4)


0,2 (2 ) 0,5 0, 25 (1 2 ) 0, 25x x xì + = ì +

0,4 0, 2 0,5 0,5 0,5x x x+ =

0,2 0,1x =
Phơng trình tích
Phơng pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) = 0

A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) = 0. Ta thờng biến đổi nh sau:
Bớc 1: Đa phơng trình về dạng tích.
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bớc 2: Giải phơng trình tích nhận đợc và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phơng trình (3x 2)(4x + 5)

= 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x 2)(4x + 5)

= 0

3x 2 = 0 hoặc 4x + 5

= 0

3x = 2 hoặc 4x

= 5

x =
2

3
hoặc x

=
5
4


Vậy S =
2 5
;
3 4




Chú ý: ở ví dụ trên Giáo viên hớng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
(3x 2)(4x + 5)

= 0

3 2 0
4 5 0
x
x
=


+ =

(



ky ựhieọu thay cho chử ừhoaởc)
* Tuy nhiên trong giải toán ta thờng gặp phải những phơng trình bắt buộc ta phải biến
đổi để đa phơng trình đã cho về phơng trình tích.
Ví dụ 6: Giải phơng trình x
2
x = 2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thờng biến đổi nh sau:
(6)

x
2
x + 2x 2 = 0

x
2
+ x 2 = 0 đây là phơng trình rất khó chuyển về
phơng trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định h-
ớng cho học sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6)

x
2
x + 2x 2 = 0

x(x 1) + 2(x 1) =
0


(x 1)(x + 2) = 0
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
Cách 2: (6)

x(x 1) = 2(x 1)

x(x 1) + 2(x 1) = 0

(x 1)(x + 2) = 0


1 0 1
2 0 2
x x
x x
= =



+ = =


Trang 5

⇔

1 0 1
2 0 2
x x
x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 

VËy S =
{ }
1 ; 2 −
VËy S =
{ }
1 ; 2 −
VÝ dơ 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 2)(3 – 4x) = x
2
+ 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
- Trong vÝ dơ trªn häc sinh th«ng thêng biÕn ®ỉi nh sau: Bá dÊu ngc, chun vÕ c¸c
h¹ng tư, thu gän hai vÕ ph¬ng tr×nh.
(7)
⇔
–4x
2
– 5x + 6 – x
2
– 4x – 4 = 0

⇔
–5x
2
– 9x + 2 = 0 ®©y lµ ph¬ng tr×nh rÊt khã chun vỊ ph¬ng tr×nh
tÝch. Gi¸o viªn ®Þnh híng gỵi ý c¸ch ph©n tÝch hỵp lý.
Gi¶i: (7)
⇔
(x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)
2


⇔
(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)
2
= 0

⇔
(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0

⇔

2
2 0
1
5 1 0
5
x
x
x
x

= −

+ =


⇔


− + =
=



VËy S =
1
2 ;
5
 
−
 
 
Gi¸o viªn cđng cè cho häc sinh kinh nghiƯm khi ®a ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng tÝch:
NÕu nhËn thÊy hai vÕ ph¬ng tr×nh cã nh©n tư chung th× ta biÕn ®ỉi ph¬ng tr×nh
vµ ®Ỉt ngay nh©n tư chung Êy.
NÕu nhËn thÊy mét trong hai vÕ cđa ph¬ng tr×nh cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc th× ta
sư dơng ngay ph¬ng ph¸p h»ng ®¼ng thøc ®Ĩ ph©n tÝch thµnh nh©n tư.
Khi ®· chun vÕ mµ ta thÊy kh«ng thĨ ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tư th× nªn
rót gän råi t×m c¸ch ph©n tÝch thµnh nh©n tư.
 Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
Ph¬ng ph¸p chung

Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa ph¬ng tr×nh.
Bíc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cđa ph¬ng tr×nh vµ khư mÉu.
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®ỵc.
Bíc 4: (KÕt ln). Trong c¸c gi¸ tr× t×m ®ỵc ë bíc 3, c¸c gi¸ trÞ tháa m·n ®iỊu
kiƯn x¸c ®Þnh chÝnh lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dơ 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2 1 2
2 ( 2)
x
x x x x
+
− =
− −
(8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
Khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu häc sinh thêng m¾c c¸c sai lÇm sau:
Lêi gi¶i sai: §KX§: x
≠
2 ; x
≠
0
(8)
⇔

( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
+ − −
=
− −

⇔
x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dïng ký hiƯu
⇔
lµ kh«ng chÝnh x¸c)
⇔
x
2
+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔
x(x + 1) = 0
⇔

0
0 (
1 0
1
x
x
x
x
=
 =

⇔



+ =
= −


không kiểm chứng với điều kiện)
VËy S =
{ }
0 ; 1 −
(kÕt ln d nghiƯm)
Trang 6
Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu

không chính xác
Không kiểm tra các nghiệm tìm đợc với điều kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x

2 ; x

0
(8)


( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
+
=

x(x + 2) 1(x 2) = 2 (8)

x
2
+ 2x x + 2 = 2

x
2
+ x = 0

x(x + 1) = 0


0 0 (
1 0
1 (
x x
x
x
= =





+ =
=


khoõng thoỷa ủieu kieọn)

thoỷa ủieu kieọn)
Vậy S =
{ }
1

Giáo viên cần củng cố ở học:
Khi khử mẫu ta chỉ thu đợc phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho, nên ta
dùng ký hiệu

hay nói cách khác tập nghiệm của phơng trình (8) cha chắc là tập
nghiệm của phơng trình (8).
Kiểm tra các nghiệm tìm đợc với điều kiện rồi mới kết luận.
Ví dụ 9: Giải phơng trình
1 3
3
2 2
x
x x

+ =

(9) (BT 30a)-Sgk-tr23)
- Trớc hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phơng trình trớc, tìm mẫu thức chung
của phơng trình, rồi tìm ĐKXĐ.
- Lu ý quy tắc đổi dấu, bớc khử mẫu của phơng trình và kiểm tra nghiệm.
Giải: ĐKXĐ: x

2
(9)

1 3( 2) 3
2 2
x x
x x
+
=




1 + 3(x 2) = 3 x


1 + 3x 6 = 3 x


4x = 8


x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phơng trình vô nghiệm
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:
- Tìm ĐKXĐ của phơng trình:
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0)
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu
thức bằng 0)
- Khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phơng trình nên cho
học sinh tìm trớc mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác
định (ĐKXĐ) của phơng trình.

- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bớc giải phơng trình, kỹ năng về phân
tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu nh quy tắc đổi dấu, quy tắc
dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trớc.
- Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phơng trình có mẫu là các đa thức dạng x
2
+ 1; 3x
2
+ 2; x
2
+ x + 3; hoặc là bình phơng thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn d-
ơng với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần
phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0.
Trang 7
Ví dụ 10: Giải phơng trình
2
3 2
1 2 5 4
1 1 1
x
x x x x

+ =
+ +
(10) (BT 41c)-SBT-tr10)
Lời giải: ĐKXĐ: x

1 ; x
2
+ x + 1 > 0
(10)

2 2
2 2
1 2 5 4( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x
+ + +
=
+ + + +


3x
2
+ x 4 = 4x 4

3x
2
3x = 0

3x(x 1) = 0


3 0 0 (
1 0
1 (khụng
x x
x
x

= =





=
=


thoỷa ủieu kieọn)
thoỷa ủieu kieọn)

Vậy S =
{ }
0
B. Phát triển t duy và kỹ năng giải phơng trình
Ví dụ 11: Giải phơng trình
3 4
3
5
5
2
1
15 5
x
x
x
x
x

= +
(11) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.
Lần 1: Mẫu chung là 15
Lần 2: Mẫu chung là 10
Hớng dẫn: (11)


3 4 9 3
15 15 15
5 2
x x
x x x

= +


10 2(3 4) 5(9 3 ) 150x x x = +
(học sinh giải tiếp)
Ví dụ 12: Giải phơng trình
1 2 3 4
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
(12) (BT 53-Sgk-tr34)
- Thông thờng học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu nh sau:

Cách 1: (12)


56.( 1) 63.( 2) 72.( 3) 84.( 4)x x x x+ + + = + + +


56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336


37x = 370


x = 10
Vậy S =
{ }
10
- Với cách giải này thì ta không thể khai thác đợc gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải
bài toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó
giáo viên cần định hớng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải
tổng quát cho các bài tập có dạng tơng tự.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x + 10
Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều
cùng bằng một phân thức
x + 2 + 8 = x + 10
x + 3 + 7 = x + 10
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải nh sau:
Phơng pháp thêm vào hai vế của phơng trình cho cùng một hạng tử:
Cách 2: (12)

1 2 3 4
1 1 1 1
9 8 7 6
x x x x+ + + +

+ + + = + + +
ữ ữ ữ ữ




10 10 10 10
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
Trang 8



1 1 1 1
( 10) 0
9 8 7 6
x

+ + =
ữ

x + 10 = 0


x = 10 Vậy S =
{ }
10
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tơng tự. Do đó
giáo viên cần hớng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta
đề xuất các bài tập có dạng tơng tự, phức tạp hơn.
- Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
1)
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x+ + + +
+ = +
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
2)
1 2 3 4
2006
2011 2012 2013 2014
x x x x
x

+ + + = +
3)
1 2 3 2009 2010
2010

2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + =
Hớng dẫn: 2)
1 2 3 4
1 1 1 1 2006 4
2011 2012 2013 2014
x x x x
x

+ + + + + + + = + +


2010 2010 2010 2010 ( 2010)
0
2011 2012 2013 2014 1
x x x x x+ + + + +
+ + + =
3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + =


2011 2011 2011 2011 2011
0
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +

+ + + + + =
Phơng pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phơng trình (x + 2)(2x
2
5x) x
3
= 8 (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x
3
và 8
Hớng dẫn: (13)

(x + 2)(2x
2
5x) (x
3
+ 8) = 0

(x + 2)(2x
2
5x) (x + 2)(x
2
2x + 4) = 0

(x + 2)(2x
2
5x x
2
+ 2x 4) = 0

(x + 2)(x
2
+ x 4x 4) = 0

(x + 2)(x + 1)(x 4) = 0 (học sinh giải tiếp)
- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử khác để đa về dạng tích mà các em đã học.
Bài toán tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax
2
+ bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành
b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Trong thực hành ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm tích ac.
Bớc 2: Phân tích ac thành tích của hai tha số nguyên bằng mọi cách.
Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Chú ý trờng hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a b + c = 0
Trang 9
Ví dụ 14: Giải phơng trình
3 2 1

( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)x x x x x x
+ =

(14) (BT.31.b/23)
Hớng dẫn: ĐKXĐ: x

1; x

2; x

3
(14)

3(x 3) + 2(x 2) = x 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phơng trình đối với các em là dễ dàng. Nhng vấn đề ở đây
không phải là việc giải đợc mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh
khác thì việc giải phơng trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán sau phức tạp sau:
1) Ta có: (14)


2 2 2
3 2 1
3 2 4 3 6 5x x x x x x
+ =
+ + +

* Ta có bài toán tơng tự nh sau:
2)

4 3 2 1
0
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 4) ( 1)( 3)( 4) ( 2)( 3)( 4)x x x x x x x x x x x x
+ + + =

3)
1 1 1 1 1 1
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 10x x x x x x x x x x
+ + + + =

(*)
Hớng dẫn:
1 1 1
( 1)( 2) 2 1x x x x
=

;
1 1 1
( 2)( 3) 3 2x x x x
=

;
(*)

1 1 1
6 1 10x x
=

Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phơng trình

2
2
3 1
3 4 0x x
x x
+ + =
(15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phơng
trình là vô cùng khó khăn (phơng trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hớng dẫn học sinh
có cách nhìn tổng quát tìm hớng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x

0
(15)

2
2
1 1
3( ) 4 0x x
x x
+ + + =
Đặt
1
x y
x
+ =



2 2

2
1
2x y
x
+ =
Phơng trình trở thành y
2
3y + 2 = 0

(y 1)(y 2) =0

y = 1 hoặc y = 2
Khi đó
1
1x
x
+ =


x
2
x + 1 = 0 (vô nghiệm)

1
2x
x
+ =

x
2

2x + 1 = 0

(x 1)
2


x = 1 (nhận)
Vậy S =
{ }
1
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những mắc
mứu trong quá trình giải phơng trình. Vì thời gian có hạn nên không đi sâu vào một số
phơng trình khác nh phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,
3.3. Biện pháp và kết quả thực hiện
Biện pháp
Để thực hiện tốt kỹ năng giải phơng trình của học sinh, giáo viên cần cung cấp
cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
Trang 10
Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc
ở các lớp 6, 7.
Ngay từ đầu chơng trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm
vững chắc kiến thức về nhân, chia đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng
thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử nhằm mục đích thực hiện các phép tính ở hai vế của phơng trình, đa ph-
ơng trình về dạng tích không sai sót.
Khi học về phân thức ở chơng II, giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm vững
các tìm giá trị của ẩn để phân thức chứa mẫu thức đợc xác định nhằm giúp học sinh
tìm đợc ĐKXĐ của phơng trình chứa mẫu thức sau này không sót và chính xác. Cần
chú ý khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu có thể nên cho học sinh tìm mẫu thức chung
trớc để việc tìm ĐKXĐ của phơng trình sẽ tiện hơn và không sót điều kiện.

Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng ph-
ơng trình, tìm phơng trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán
trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh
tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác.

Một số lu ý khi giải phơng trình, học sinh cần nhận xét:
Quan sát đặc điểm của phơng trình:
Nhận xét quan hệ giữa các biểu thức trong trong phơng trình từ đó đa ra cách
biến đổi thích hợp.
Nhận dạng phơng trình:
Xét xem phơng trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phơng pháp cho phù hợp
từng dạng phơng trình đó.
Kinh nghiệm trong biến đổi phơng trình:
Khi đã thu gọn hai vế của phơng trình, nếu biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố
gắng tìm cách chuyển phơng trình đó về dạng phơng trình tích.
Khi biến đổi phơng trình nếu nhận thấy hai vế của phơng có nhân tử chung hoặc
hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ấy.
Khi khử mẫu hai vế của phơng trình ta cần lu ý đây là phơng trình hệ quả của ph-
ơng trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra.
Khi biến đổi phơng trình cần chú ý tính chất đặc biệt của tử và mẫu của phơng
trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý nh nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, cho thích
hợp.
Kết quả
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phơng trình này đã góp phần nâng cao chất lợng
học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà.
Kết quả kiểm tra về giải phơng trình đợc thông kê, đánh giá qua hai lớp 8A, 8B ở
năm học 2009 2010 nh sau:
a) Cha áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II TS

HS
Trung bình trở lên
Số lợng Tỉ lệ (%)
Khảo sát (cha áp dụng giải pháp) 45 30 66,67%
* Nhận xét: Đa số học sinh cha nắm đợc kỹ năng phân tích, nhận dạng phơng
trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, cha áp dụng đợc các hằng
đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử,
b) áp dụng giải pháp
Trang 11
Kết quả khảo sát (kiểm tra 1 tiết)
Thời gian học kỳ II TS
HS
Trung bình trở lên
Số lợng Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2) 45 42 93,33%
* Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc về các dạng phơng trình, vận dụng thành
thạo các kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các yếu tố quan trọng, đặc điểm của
phơng trình, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành
nhân tử, trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu,
kém cha thực hiện tốt.
Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phơng pháp giải, phân loại từng dạng toán,
chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ năng xử lý nhanh các bài toán có dạng tơng tự, đặt
ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.
Tóm lại:
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phơng pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững
kiến thức hơn, hiểu rõ các dạng phơng trình, đặc điểm của từng cách giải cho các dạng
phơng trình. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm chắc về
cách giải phơng trình, vận dụng và rèn luyện kỹ năng thực hành theo hớng tích cực
hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập về
phơng trình đợc sắp xếp theo các mức độ nhận thức của học sinh. Bên cạnh đó còn

giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phơng pháp giải khác,
các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự
học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
C/. KếT LUậN
C/. KếT LUậN
Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho
phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục đợc củng cố và sửa chữa sai lầm,
khuyết điểm, cần rèn luyện ở học sinh các kỹ năng thực hành theo trình tự các bớc giải
phơng trình. Từ đó học sinh có khả năng nắm đợc phơng pháp vận dụng tốt các cách
giải phơng trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tơng tự, bài tập từ
đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung sách giáo
khoa.

Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng
phơng trình phơng pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong việc
vận dụng các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả năng tự
học, gợi sự suy mê hứng thú niềm vui trong học tập, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi,
chủ động chiếm lĩnh kiến thức.

Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phơng pháp giải cơ bản, ta
cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phơng pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập
dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tơng tự hoá vấn đề
để việc giải phơng trình tốt hơn. Qua đó tập ở học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi
sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển t duy một cách
toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.

Đối với giáo viên: Giáo viên thờng xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng

của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chơng trình
đại số 8 đã đề cập ở trên.
Trang 12
Nếu thực hiện tốt phơng pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất l-
ợng học tập bộ môn của học sinh sẽ đợc nâng cao hơn, đào tạo đợc nhiều học sinh khá
giỏi, đồng thời tạo sự hứng thú và niềm vui trong học tập.
Hớng phổ biến áp dụng
Đề tài đợc triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chơng trình đại số lớp 8,
cho các năm học sau, cho những đơn vị trờng cùng loại hình.
Hớng nghiên cứu phát triển
Đề tài sẽ đợc nghiên cứu tiếp tục ở các phơng pháp giải khác, phơng pháp giải ph-
ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc vận dụng giải phơng trình vào các bài toán
thực tế.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Trang 13