Học cấu trúc mạng logic markov và ứng dụng trong bài toán phân lớp

Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




Phạm Đình Hiệu



HỌC CẤU TRÚC MẠNG LOGIC MARKOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN PHÂN LỚP



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC






Hà Nội - 2012
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Đình Hiệu


HỌC CẤU TRÚC MẠNG LOGIC MARKOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN PHÂN LỚP
Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán.
Mã số: 60 46 35



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Minh Huyền




Hà Nội - 2012
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
3

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 6
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC 8
1.1 Lý thuyết đồ thị 8
1.2 Logic tân từ cấp một 9
1.2.1 Các khái niệm và ký hiệu 9

1.2.2 Công thức trong logic tân từ cấp một 10
1.2.3 Dạng chuẩn hội 12
1.3 Xác suất – thống kê 13
1.3.1 Các khái niệm 13
1.3.2 Công thức Bayes 15
1.3.3 Cực đại hóa xác suất có điều kiện 16
1.3.4 Xích Markov 17
1.3.5 Xích Markov Monte Carlo 19
1.3.6 Phƣơng pháp lấy mẫu Gibbs 20
CHƢƠNG 2. MẠNG LOGIC MARKOV 21
2.1 Giới thiệu 21
2.2 Mạng Markov 22
2.3 Mạng logic Markov 24
2.4 Suy diễn 29
2.4.1 Suy diễn MAP/MPE 29
2.4.2 Suy diễn điều kiện 32
2.5 Học tham số và học cấu trúc 34
2.5.1 Học tham số 34
2.5.2 Học cấu trúc 39
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG MẠNG LOGIC MARKOV TRONG BÀI TOÁN
GÁN NHÃN VAI NGHĨA
3.1 Bài toán gán nhãn vai nghĩa 46
3.2 Mô tả dữ liệu sử dụng 46
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
4

3.3 Giới thiệu công cụ Thebeast 47
3.4 Các bƣớc thực hiện bài toán 48
3.4.1 Dữ liệu và cấu trúc dữ liệu trong Thebeast 48
3.4.2 Xây dựng dữ liệu huấn luyện 49

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55


Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
5


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hnh 1-1. Đồ thị G 8
Hnh 1-2. Phân phối biên trên biến rời rạc 14
Hnh 1-3. Phân phối biên cho biến liên tục 15
Hnh 2-1. Minh họa cho mạng Markov 22
Hnh 2-2. Mạng Markov nền 26
Hnh 3-1. Biểu diễn cây cú pháp 50
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
6


LỜI NÓI ĐẦU

Trong sự phát triển về Công nghệ thông tin hiện nay vấn đề xử lý, tính toán
không còn thuần túy là tính toán trên các dữ liệu kiểu số biểu diễn dƣới dạng cấu
trúc, bảng biểu hay véc tơ, vv. Nó đã đƣợc phát triển mở rộng xử lý trên dữ liệu
kiểu hnh ảnh, âm thanh, văn bản, đồ thị và nhiều kiểu khác nữa. Trong sự phát triển
đó của Công nghệ, học máy đƣợc xem là một lĩnh vực của trí tuệ nhân tạo với mục
tiêu là nghiên cứu các thuật toán cho phép máy tính có thể học đƣợc các khái niệm.
Thƣờng học máy đƣợc phân làm hai phƣơng pháp: phƣơng pháp quy nạp và phƣơng
pháp suy diễn. Đến nay học máy có ứng dụng rộng khắp trong các ngành khoa học,

sản xuất, đặc biệt những ngành cần phân tích khối lƣợng dữ liệu khổng lồ. Một số
ứng dụng thƣờng thấy: Rôbốt, trò chơi, phân tích thị trƣờng chứng khoán, phát hiện
gian lận tài chính, phân tích ảnh thiên văn, phân loại chuỗi gene, quá trnh hnh
thành gene, phân tích ảnh X-quang, các hệ chuyên gia chẩn đoán tự động, tm kiếm,
nhận dạng hay nhiều ứng dụng liên quan tới xử lý ngôn ngữ tự nhiên.
Học quan hệ thống kê cũng là một trong các lĩnh vực của học máy, nó hƣớng
tới sự kết hợp giữa học theo quan hệ và học theo thống kê nhằm xử lý các dữ liệu
không chắc chắn với cấu trúc quan hệ phức tạp. Có nhiều mô hnh đƣợc phát triển
gần đây cho học quan hệ thống kê nhƣ mô hnh quan hệ xác suất (Probabilistic
Relational Model) sử dụng logic kết hợp với các mạng Bayes hay Markov. Trong
đó các mạng MLN (Markov Logic Network) mang tính tổng quát cao nhất, có thể
chuyển đổi sang các mô hnh khác và ngày càng có nhiều nghiên cứu về các mạng
này. Mạng logic Markov có thể đƣợc xem nhƣ là một sự kết hợp hữu cơ giữa học
logic và học thống kê. Mục đích của MLN là mô tả một minh họa cho trƣớc với một
tập các công thức logic có trọng số. Nó cho phép sử dụng những ƣu điểm của logic
tân từ cấp một là khả năng biểu diễn tri thức và các mối quan hệ phức tạp của tri
thức, cùng với ƣu điểm của mạng Markov có thể xử lý một cách hiệu quả sự không
chắc chắn và giải quyết tri thức một cách đối lập và thiếu thông tin.
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
7

Mục tiêu của luận văn là tm hiểu các mạng MLN và phƣơng pháp học cấu
trúc cho mạng MLN. Luận văn cũng triển khai một ứng dụng giải quyết bài toán
phân lớp với mạng MLN sử dụng phần mềm Thebeast. Cụ thể ở đây là bài toán gán
nhãn vai nghĩa trong lĩnh vực xử lý ngôn ngữ. Xử lý ngôn ngữ chính là xử lý thông
tin khi đầu vào là dữ liệu ngôn ngữ, tức là dữ liệu kiểu văn bản hay tiếng nói. Các
dữ liệu liên quan đến ngôn ngữ viết (văn bản) và tiếng nói đang dần trở nên kiểu dữ
liệu chính con ngƣời có và lƣu trữ dƣới dạng điện tử. Việc xây dựng ngữ liệu mẫu
cho bài toán gán nhãn vai nghĩa tƣơng đối phức tạp, nên bƣớc đầu thực hiện chúng
tôi chỉ dùng giới hạn bài toán ở 2 vai nghĩa “tác thể” và “bị thể” trong câu.

Bố cục luận văn đƣợc chia làm 3 chƣơng:
Chƣơng I: Cơ sở toán học
Trong chƣơng này sẽ trnh bày về một số kiến thức cơ bản đƣợc sử dụng trong
luận văn liên quan tới lý thuyết đồ thị, logic và xác suất thống kê.
Chƣơng II: Mạng logic Markov
Chƣơng này sẽ trnh bày các kiến thức về mạng Markov, mạng logic Markov
và một số vấn đề về học máy với mạng logic Markov nhƣ suy diễn, học tham số và
đặc biệt là học cấu trúc.
Chƣơng III: Ứng dụng mạng logic Markov trong bài toán gán nhãn vai
nghĩa
Chƣơng này sẽ trnh bày về bài toán gán nhãn vai nghĩa, vấn đề xây dựng dữ
liệu huấn luyện trong công cụ Thebeast cho bài toán gán nhãn vai nghĩa và đánh giá
kết quả.
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
8

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Lý thuyết đồ thị
Định nghĩa 1.1.1. Đồ thị là cặp , trong đó A là tập đỉnh, F là ánh xạ
từ [3].
Ta cũng có thể định nghĩa đồ thị là cặp: , trong đó là tập đỉnh và
là tập cung. Về thực chất đồ thị là một tập hợp các đối tƣợng
đƣợc biểu diễn bằng các đỉnh và giữa các đối tƣợng có quan hệ (nhị nguyên) biểu
diễn bằng các cung[3].
Cho đồ thị . Nếu có th ta nói rằng là một cung và
gọi là đỉnh đầu, gọi là đỉnh cuối của cung đó.
Hai đỉnh kề nhau là hai đỉnh của cùng một cung. Đỉnh nút là đỉnh kề với chính
nó.
Định nghĩa 1.1.2. Đồ thị với đƣợc gọi là đồ thị con của
đồ thị nếu [3].

Định nghĩa 1.1.3. Hai đỉnh gọi là liên thông với nhau nếu chúng trùng nhau
hoặc có xích nối với nhau[3].
Đồ thị đối xứng gọi là đồ thị vô hƣớng tức là ta luôn có
.
Định nghĩa 1.1.4. Đồ thị vô hƣớng đƣợc gọi là đầy đủ nếu hai đỉnh bất kỳ đều
có cung nối với nhau[3].
Định nghĩa 1.1.5. Clic (Clique) của đồ thị là một đồ thị con đầy đủ[3].



Hnh 1-1. Đồ thị G
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
9


Clic cực đại là một clic với số nút là lớn nhất, không thể thêm bất kỳ nút nào
nữa để cho nó vẫn còn là một clic.
Ví dụ: Cho đồ thị nhƣ hnh vẽ:


Ví dụ trong hnh trên các clique cực đại là {(3; 4; 6); (3; 1); (1; 2); (2; 4); (2; 5); (5;
6)}
1.2 Logic tân từ cấp một
1.2.1 Các khái niệm và ký hiệu
Logic tân từ cấp một là một ngôn ngữ rất mạnh để biểu diễn những thông tin
có quan hệ phức tạp, cho phép ta mô tả thế giới với các đối tƣợng, các thuộc tính
của đối tƣợng và các mối quan hệ giữa các đối tƣợng[9].
Một cơ sở tri thức xây dựng trên logic tân từ cấp một (KB) là một tập các câu
hay các công thức trong logic tân từ cấp một. Công thức đƣợc xây dựng bằng cách
sử dụng 4 loại ký hiệu: hằng, biến, hàm và vị từ[9], [12].

 Ký hiệu hằng: dùng để chỉ các đối tƣợng trên một miền (Ví dụ miền chỉ
ngƣời: Nga, Hùng,…).
 Ký hiệu biến: dùng để biểu diễn các đối tƣợng trong miền (ví dụ x, y).
 Ký hiệu vị từ: biểu diễn mối quan hệ giữa các đối tƣợng trong miền (ví dụ
Bạn(x,y) biểu diễn quan hệ x là bạn của y) hay là thuộc tính của các đối
tƣợng (ví dụ Hútthuốc(x) biểu diễn thuộc tính có hút thuốc của đối tƣợng x
(x có hút thuốc)).
 Các ký hiệu phép toán logic: (hội), (tuyển), (kéo theo), (phủ định),
(tƣơng đƣơng).
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
10

 Các ký hiệu lƣợng từ: (với mọi), (tồn tại).
 Các ký hiệu ngăn cách: Dấu phẩy, dấu mở ngoặc, dấu đóng ngoặc.
1.2.2 Công thức trong logic tân từ cấp một
Các hạng thức là các biểu thức mô tả các đối tƣợng. Các hạng thức xác định
đệ quy nhƣ sau:
 Các hằng, biến là hạng thức.
 Nếu là các hạng thức và là hàm th là hạng thức.
Một hạng thức không chứa biến đƣợc gọi là một hạng thức nền. Ví dụ: Nga là
ký hiệu hằng, MotherOf là ký hiệu hàm một biến, th MotherOf (Nga) là một hạng
thức nền.
Một công thức nguyên tử đƣợc định nghĩa là:
Nếu P là vị từ n biến và là các hạng thức th là
công thức nguyên tử.
Các công thức đƣợc xây dựng một cách đệ quy từ các công thức nguyên tử
bằng cách sử dụng các phép toán logic và các lƣợng từ. Nếu và là các công
thức th những ký hiệu sau đây cũng là công thức: : F1, F1^F2, F1 F2, F1 F2,
F1 F2, F1 và F1[9].
Mức ƣu tiên:

1. Các lƣợng từ có mức ƣu tiên cao nhất.
2. Phép phủ định có mức ƣu tiên cao hơn các phép toán logic khác.
3. Phép hội có mức ƣu tiên cao hơn phép tuyển.
Ta có thể sử dụng các dấu ngoặc đơn để thực thi các mức ƣu tiên.
Ví dụ:
1. Nga và anh trai cô ấy không có bạn chung:

2. Tất cả con chim đều bay:

Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
11



Công thức đóng:
Một biến nằm trong phạm vi của lƣợng từ gọi là biến ràng buộc. Ví dụ là
biến ràng buộc trong .
Một biến nằm ngoài phạm vi của bất kỳ lƣợng từ nào gọi là biến tự do. Ví dụ :
là biến tự do trong .
Một công thức đƣợc gọi là công thức đóng nếu nó không chứa biến tự do nào.
Ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới các công thức đóng.
Một literal dƣơng (Positive literal) là một công thức nguyên tử, một literal âm
(negative literal) là một công thức nguyên tử ở dạng phủ định. Các công thức trong
cơ sở tri thức KB (knowledge base) kết nối với nhau bởi phép hội, v vậy một KB có
thể đƣợc coi là một công thức đơn lớn.
Một hạng thức nền (hay hạng thức cụ thể) (ground term) là một hạng thức
không chứa biến. Một công thức nguyên tử nền (ground atom) là một công thức
nguyên tử mà tất cả các tham biến của nó đều là các hạng thức nền.
Không gian Herbrand (Herbrand universe) U(C) của tập các mệnh đề C là
tập các hạng thức cụ thể đƣợc xây dựng từ hàm và hằng trong C (hoặc nếu C không

chứa hằng th cũng coi nhƣ nó chứa một hằng bất kỳ, giả sử là A). Nếu C chứa các
hằng th U(C) là hữu hạn. (Ví dụ: Nếu C chỉ chứa duy nhất một hàm và không
chứa hằng, U(C) =
Một minh họa (interpretation) là một ánh xạ giữa các hằng, vị từ và hàm
trong ngôn ngữ và các đối tƣợng, các hàm và các mối quan hệ trong miền. Một
minh họa có thể là phép gán giá trị chân lý cho các vị từ. Cùng với một minh họa,
nó gán một giá trị chân lý tới mọi công thức nguyên tử, và v vậy tới mọi công thức
trong cơ sở tri thức.
Một công thức là thỏa được nếu và chỉ nếu tồn tại ít nhất một minh họa làm cho nó
đúng. Vấn đề suy diễn cơ bản trong logic tân từ cấp một là xác định cơ sở tri thức
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
12

KB có suy dẫn ra một công thức F hay không? Nghĩa là nếu F đúng với mọi minh
họa khi KB đúng (ký hiệu KB ). Ta có thể viết lại: KB dẫn ra F nếu và chỉ nếu
KB F là không thỏa đƣợc. Mọi cơ sở tri thức trong logic tân từ cấp một đều có
thể chuyển sang dạng mệnh đề (clausal form). Dạng mệnh đề cho cơ sở tri thức
trong logic tân từ cấp một là hội của các mệnh đề, trong đó mỗi biến đều có các
lƣợng từ toàn thể. Việc chuyển đổi này bao gồm việc xóa hết tất cả các lƣợng từ tồn
tại bằng phƣơng pháp Skolem. Trong miền hữu hạn một công thức có lƣợng từ tồn
tại có thể thay thế bởi một phép tuyển của các thay thế của nó.
1.2.3 Dạng chuẩn hội
Mọi công thức trong logic tân từ cấp một có thể chuyển thành một công thức
tƣơng đƣơng trong dạng chuẩn hội (CNF) , trong đó Q là
lƣợng từ, là biến và là hội của các mệnh đề.
Ví dụ:
Logic tân từ cấp một
Biến đổi trong logic tân từ cấp một
“Bạn của bạn là bạn”

“Hút thuốc dẫn đến ung thƣ”



“Nếu hai ngƣời là bạn th họ cùng hoặc
không cùng hút thuốc”



)

Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
13

1.3 Xác suất – thống kê
1.3.1 Các khái niệm
Định nghĩa 1.3.1. Xác xuất của biến cố A là một số không âm bằn trong
khoảng [0;1], ký hiệu là P(A), biểu thị khả năng xảy ra biến cố A và đƣợc xác định
nhƣ sau:

Trong đó là số trƣờng hợp thuận lợi cho , là số trƣờng hợp có thể có khi
phép thử thực hiện .
Định nghĩa 1.3.2. Xác suất có điều kiện của biến cố với điều kiện biến cố
đã xảy ra là một con số không âm, đƣợc ký hiệu là , nó biểu thị khả năng
xảy ra của biến cố trong tnh huống biến cố đã xảy ra khi đó:

Định nghĩa 1.3.3. Biến ngẫu nhiên: Một biến nhận các giá trị của nó ứng với
một xác suất nào đấy gọi là biến ngẫu nhiên[1].

Định nghĩa 1.3.4. Hai biến ngẫu nhiên và là độc lập nếu
và .
Định nghĩa 1.3.5. Phân phối đồng thời (joint distribution): Cho hai biến
ngẫu nhiên và đƣợc định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, phân phối
đồng thời của và là xác suất của các biến cố đƣợc định nghĩa trong véc tơ ngẫu
nhiên của và .
Định nghĩa 1.3.6. Phân phối biên (marginal distribution): Cho hai biến ngẫu
nhiên và , và là phân phối đồng thời của chúng. Phân phối biên của là
phân phối của mà đƣợc bỏ qua.
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
14


Các công thức cho phân phối đồng thời:
 Trƣờng hợp cho các biến rời rạc:


 Trƣờng hợp cho các biến liên tục:

trong đó và là phân phối điều kiện của khi biết
và của khi biết . và là phân phối biên của và .

Phân phối đồng thời cho các biến độc lập:
 Trƣờng hợp cho các biến rời rạc:

 Trƣờng hợp cho các biến liên tục:

Các công thức cho phân phối biên:
 Trƣờng hợp cho các biến rời rạc:

trong đó .
Minh họa bằng hnh vẽ:
Hnh 1-2. Phân phối biên trên biến rời rạc
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
15


 Trƣờng hợp cho các biến liên tục:


Minh họa bằng hnh vẽ:







1.3.2 Công thức Bayes
Cho biến cố và các biến cố sao cho[8]:
- Có tập rời nhau từng đôi một.
-
Th ta có công thức tổng:

Công thức Bayes [1]:

Trong đó:
 A
1
, …, A

n
là hệ đầy đủ : A
1
+ …+ A
n
= Ω - không gian mẫu.
Hnh 1-3. Phân phối biên cho biến liên tục
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
16

 là xác suất xảy ra biến cố A
k

 : Xác suất để biến cố B xảy ra. P(B)>0.
 P(B| A
i
) là xác suất để B xảy ra biết rằng A
i
đã xảy ra rồi ( tỉ lệ xảy ra B
trong A
i
)
1.3.3 Cực đại hóa xác suất có điều kiện
Với một tập giả thiết có thể , hệ thống học sẽ tm giả thiết có thể xảy ra nhất
đối với các dữ liệu quan sát đƣợc . Giả thiết này đƣợc gọi là giả thiết cực
đại hóa xác suất có điều kiện (maximum a posteriori – MAP) [6].

theo định lý Bayes
và là nhƣ nhau đối với mọi giả thiết.
Ví dụ: Tập bao gồm giả thiết : Anh ta chơi tennis, : Anh ta không chơi

tennis. Tính giá trị của hai xác suất có điều kiện và , trong
đó là tập dữ liệu về thông tin về thời tiết nhƣ: trời nắng hay mƣa, nhiệt độ,
độ ẩm, sức gió,…
Giả thiết có thể nhất nếu , ngƣợc lại th
. V là nhƣ nhau đối với cả hai giả
thiết nên có thể bỏ qua đại lƣợng . V vậy chỉ cần tính hai biểu thức
và và đƣa ra kết quả tƣơng ứng.
 Nếu , th kết luận anh ta chơi tennis.
 Ngƣợc lại th kết luận anh ta không chơi tennis.
Giả sử trong phƣơng pháp ƣớc lƣợng hợp lý cực đại (hay đánh giá khả năng
xảy ra cao nhất – maximum likelihood estimation – MLE) tất cả các giá trị đều có
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
17

giá trị xác suất tiên nghiệm nhƣ nhau : P( th phƣơng pháp MLE
tm giả thiết cực đại hóa giá trị trong đó gọi là khả năng xảy ra của
dữ liệu đối với .

Vẫn với ví dụ trên, tập bao gồm hai giả thiết : Anh ta chơi tennis, : Anh
ta không chơi tennis. lúc này là tập dữ liệu mà trong đó biết trời nắng, gió mạnh.
Giả sử ta có , vậy
hệ thống sẽ kết luận rằng anh ta sẽ không chơi tennis.
1.3.4 Xích Markov
Xét một hệ nào đó đƣợc quan sát tại những thời điểm rời rạc 0, 1, 2,…Giả sử
các quan sát đó là Khi đó ta có một dãy các đại lƣợng ngẫu nhiên
(ĐLNN) ( trong đó là trạng thái tại thời điểm của hệ. Giả thiết rằng mỗi
là ĐLNN rời rạc. Ký hiệu là tập giá trị của các . Khi đó là
một tập hữu hạn hay đếm đƣợc, các phần tử của nó đƣợc ký hiệu là Ta gọi
là không gian trạng thái của dãy.
Định nghĩa 1.3.7. Ta nói rằng dãy các ĐLNN ( là một xích Markov nếu

với mọi và với mọi
.
Ta coi thời điểm là tƣơng lai, là hiện tại còn là quá khứ.
Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện của một sự kiện nào đó trong tƣơng lai nếu biết
hiện tại và quá khứ của hệ cũng giống nhƣ xác suất có điều kiện của nếu biết
trạng thái hiện tại của hệ. Đó chính là tính Markov của hệ. Đôi khi tính Markov của
hệ còn phát biểu dƣới dạng : Nếu biết trạng thái hiện tại của hệ thì quá khứ và
tương lai độc lập với nhau.
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
18

Giả sử là xác suất để xích tại thời điểm ở trạng thái
sau bƣớc, tại thời điểm chuyển sang trạng thái . Đây là một con số nói
chung phụ thuộc vào . Nếu đại lƣợng này không phụ thuộc ta nói xích
là thuần nhất[7].
Ma trận xác suất chuyển
Giả sử là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Nói một cách
chính xác là: Giả sử ( là không gian xác suất, là biến (đại lƣợng)
ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập đếm đƣợc là không gian trạng thái. Khi đó,
tính Markov và tính thuần nhất của có nghĩa là:

không phụ thuộc vào .
đƣợc gọi là ma trận xác suất chuyển sau một bƣớc, là xác suất
có điều kiện để hệ tại thời điểm (hiện tại) ở trạng thái , chuyển sang trạng thái
tại thời điểm (tƣơng lai).
Xác suất chuyển sau bƣớc đƣợc định nghĩa theo công thức:

Rõ ràng rằng . Ta quy ƣớc:

và đặt . Đó là ma trận xác suất chuyển sau bƣớc.

Phân phối dừng
Phân phối của hệ tại thời điểm đƣợc cho bởi công thức sau :
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
19


Đặt và gọi là phân phối ban đầu của hệ.
Ta có . Và đƣợc gọi là phân phối dừng nếu

1.3.5 Xích Markov Monte Carlo
Tích phân Monte Carlo
Tiếp cận đầu tiên của Monte Carlo là một phƣơng pháp phát triển bởi các nhà
vật lý sử dụng phép sinh số ngẫu nhiên để tính toán. Giả sử rằng ta phải tính toán
tích phân rất phức tạp:

Nếu ta có thể phân tích hàm về dạng tích của một hàm và một hàm
mật độ đƣợc định nghĩa trong khoảng .

Tích phân có thể hiểu nhƣ là một kỳ vọng của hàm qua hàm mật độ
.
V vậy nếu ta sinh một số lƣợng lớn các biến ngẫu nhiên từ hàm
mật độ th:

Công thức này gọi là tích phân Monte Carlo.
Ví dụ:

Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
20

Trong đó , khi suy ra

Một vấn đề khi áp dụng tích phân Monte Carlo là việc thu các mẫu từ các
phân bố xác suất phức tạp . Phƣơng pháp giải quyết vấn đề này là phƣơng pháp
Markov chain Monte Carlo (MCMC). Ý tƣởng đơn giản của MCMC là: Cho một
phân phối xác suất trên tập , ta phải sinh ngẫu nhiên các phần tử của với phân
phối . MCMC thực hiện việc này bằng cách xây dựng một xích Markov với phân
phối dừng và mô phỏng xích này. Thuật toán sinh đƣợc dùng là phƣơng pháp lấy
mẫu Gibbs đƣợc trnh bày dƣới đây.
1.3.6 Phƣơng pháp lấy mẫu Gibbs
Cho tập các biến . Giả thiết trạng thái hiện tại là
.
 Chọn một giá trị mới
cho từ ). Đặt là giá trị mới đó.
 Tiếp theo chọn một
giá trị mới cho từ , rồi từ
.
 Tiếp tục tƣơng tự với
đến khi có một trạng thái mới .
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
21



CHƢƠNG 2. MẠNG LOGIC MARKOV
2.1 Giới thiệu
Logic tân từ cấp một là ngôn ngữ rất mạnh để biểu diễn những thông tin có
quan hệ phức tạp, cho phép chúng ta mô tả một cách đầy đủ rộng lớn của tri thức.
Xác suất là một cách thức thông thƣờng để biểu diễn những sự kiện hoặc kiến
thức không chắc chắn.

Kết hợp logic tân từ cấp một và xác suất sẽ cho phép xây dựng các mối quan
hệ dựa trên xác suất phức tạp của dữ liệu nằm trong miền đƣợc quan tâm. Vấn đề
này đƣợc quan tâm và phát triển trong một số năm gần đây trong các nghiên cứu về
học quan hệ thống kê, khai phá dữ liệu nhiều quan hệ, vv.
Mô hình đồ họa: Là mô hnh biểu diễn sự kết hợp giữa lý thuyết xác suất và
lý thuyết đồ thị. Nó cung cấp một công cụ tự nhiên để giải quyết hai vấn đề xảy ra
trong toán học ứng dụng và trong kỹ thuật: Không chắc chắn và phức tạp. Đặc biệt
nó đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và thiết kế các thuật toán học máy.
Về mặt cơ bản th ý tƣởng của mô hnh đồ họa là dựa vào khái niệm của mô đun:
Một hệ thống phức tạp đƣợc xây dựng bằng việc kết nối các phần đơn giản hơn. Về
phía lý thuyết đồ thị cung cấp cả giao diện trực quan mà con ngƣời có thể mô hnh
các tập hợp của các biến cũng nhƣ cấu trúc dữ liệu để thiết kế các thuật toán mục
đích chung hiệu quả.
Chƣơng này sẽ giới thiệu một mô hnh kết hợp xác suất với logic tân từ cấp
một, mới đƣợc đƣa ra năm 2004[16]. Đó là mạng logic Markov, mô hnh biểu diễn
cơ sở tri thức dựa trên logic tân từ cấp một với một trọng số kèm theo cho mỗi công
thức và nó có thể đƣợc coi nhƣ là một mẫu cho việc xây dựng các mạng Markov.
Nội dung trnh bày bao gồm: Mạng Markov, mạng logic Markov, suy diễn trên
mạng logic Markov, học tham số và đặc biệt là học cấu trúc cho mạng logic
Markov.
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
22

2.2 Mạng Markov
Mạng Markov[12] (hay còn gọi là trƣờng ngẫu nhiên Markov) là mô hnh cho
phân phối đồng thời (joint distribution) của một tập hợp các biến
. Nó bao gồm một đồ thị vô hƣớng và một tập các hàm tiềm
năng . Đồ thị có một nút cho mỗi biến, và có một hàm tiềm năng cho mỗi clique
trong đồ thị. Hàm tiềm năng là hàm giá trị thực không âm xác định cho từng trạng
thái của các clique. Phân phối đồng thời đƣợc biểu diễn bởi mạng Markov cho bởi

công thức sau:
(2.1)
Trong đó là trạng thái của clique thứ (nghĩa là trạng thái của các biến
mà xuất hiện trong clique). Z đƣợc gọi là hàm phân hoạch (partition function), cho
bởi công thức .
Ví dụ: Hnh 2-1 cho bảng giá trị của 4 clique tƣơng ứng(X
1
, Y
1
), (X
1
, Y
2
),
(X
2
, Y
1
), (X
2
, Y
2
).


Hnh 2-1. Minh họa cho mạng Markov

Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
23

Giả sử ta muốn tính xác suất:

Ta có:

Ta có bảng sau:





1
1
1
1
0.012
1
1
1
0
0.0036
1
1
0
1
0.0024
1
1
0
0
0.0072

1
0
1
1
0.021
1
0
1
0
0.014
1
0
0
1
0.0054
1
0
0
0
0.0036
0
1
1
1
0.0336
0
1
1
0
0.0252

0
1
0
1
0.0192
0
1
0
0
0.0144
0
0
1
1
0.0588
0
0
1
0
0.0098
0
0
0
1
0.0432
0
0
0
0
0.0072

=0.269
Chi tiết tính xác suất
Vậy:

Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
24

Thông thƣờng mạng Markov đƣợc biểu diễn qua mô hnh log tuyến tính (
, với mỗi hàm tiềm năng đƣợc thay thế bởi hàm mũ của tổng trọng số
của các đặc trƣng của trạng thái:

Mỗi đặc trƣng là một hàm giá trị thực bất kỳ của trạng thái. Phần này sẽ tập
trung vào các đặc trƣng nhị phân, Nếu chuyển trực tiếp từ dạng hàm
tiềm năng (phƣơng trnh 2.1), ta sẽ có một đặc trƣng tƣơng ứng với mỗi trạng thái
có thể của mỗi clique, với trọng số của nó là . Số đặc trƣng này là
hàm mũ của kích thƣớc các clique. Tuy nhiên chúng ta có thể dùng một số lƣợng
nhỏ hơn các đặc trƣng (chẳng hạn hàm logic của trạng thái của clique), cho phép
biểu diễn gọn hơn dạng hàm tiềm năng, đặc biệt là khi có các clique kích thƣớc lớn.
Mạng logic Markov sẽ tận dụng khả năng này.
2.3 Mạng logic Markov
Cơ sở tri thức (KB- knowledge base) dựa trên logic tân từ cấp một đƣợc xem
nhƣ là tập các ràng buộc chặt trên tập các minh họa có thể: Nếu một minh họa chỉ vi
phạm một công thức th nó có xác suất bằng không. Ý tƣởng đơn giản trong mạng
logic Markov là để nới lỏng ràng buộc này: Khi một minh họa vi phạm một công
thức trong cơ sở tri thức th nó có xác suất thấp, nhƣng không phải là không thể có.
Càng ít công thức mà minh họa đó vi phạm th xác suất xảy ra của minh họa đó
càng lớn. Mỗi công thức có một trọng số kèm theo phản ánh hạn chế đó mạnh nhƣ
thế nào: trọng số càng cao th sự khác biệt trong xác suất giữa một minh họa thỏa
mãn công thức và một minh họa không thỏa mãn càng lớn.
Định nghĩa 2.2.1. Một mạng logic Markov là một tập các cặp , trong

đó là công thức trong logic tân từ cấp một và là một số thực. Cùng với tập hữu
hạn các hằng số , nó định nghĩa một mạng Markov nhƣ
sau:
Luận văn thạc sĩ Phạm Đình Hiệu
25

a. chứa một nút nhị phân cho mỗi công thức nguyên tử nền có thể của
mỗi vị từ xuất hiện trong . Giá trị của nút đó bằng 1 nếu công thức
nguyên tử nền là đúng và bằng 0 nếu ngƣợc lại.
b. chứa một đặc trƣng cho mỗi công thức nguyên tử nền có thể của mỗi
công thức xuất hiện trong L. Giá trị của đặc trƣng này là 1 nếu nhƣ công
thức nguyên tử đúng và sai nếu ngƣợc lại. Trọng số của đặc trƣng đó là
tƣơng ứng với trong L.
Một mạng logic Markov đƣợc xem nhƣ là một mẫu cho việc xây dựng các
mạng Markov. Cho các tập hằng khác nhau th sẽ cho ra các mạng khác nhau và các
mạng này có thể có kích thƣớc rất lớn, nhƣng tất cả chúng đều có những quy tắc
nào đó trong cấu trúc và các tham biến cho bởi mạng logic Markov (ví dụ tất cả các
công thức nền sẽ có cùng một trọng số). Chúng ta gọi mỗi một mạng Markov này là
mạng Markov nền để phân biệt nó với mạng logic Markov. Luận văn này sẽ tập
trung vào mạng logic Markov mà các công thức của nó là các mệnh đề không có
hàm (function free clause) và nó cũng đƣợc giả thiết trên miền đóng đảm bảo rằng
các mạng Markov đƣợc sinh ra là hữu hạn. Trong trƣờng hợp này các công thức nền
đƣợc xác định bằng cách thay thế các biến của nó bằng tất cả các hằng có thể[12],
[16], [17].
Ví dụ: Để xây dựng minh họa này, giả sử ta xây dựng mạng Markov nền từ tập
gồm hai công thức[17]:
, hay với trọng số
hay
với trọng số .
Áp dụng với tập hằng C= {A, B}, ta thu đƣợc mạng Markov nhƣ hnh 2-2: