Luyện thi vào 10 Chuyên đề Hệ thức lượng

c
b
a
B
A
C
c
b
a
h
B
A
C
H
H
B
A
C
CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. Kiến thức cơ bản:
1) Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Định lí 1: b
2
= a. c’ ; c
2
= a .c’
- Định lí 2: h
2
= b’ .c’
- Định lí 3: b.c = a.h `
- Định lí 4:

2
1
h
=
2
1
b
+
2
1
c
2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.SinB = a.CosC
c = a.SinC = a.CosB
b= c.TgB= c.CotgC
c = b.TgC = b.CotgB
- Nếu biết 1 góc nhọn
α
thì góc còn lại là 90
0
-
α
- Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc
⇒
Tìm góc đó bằng cách tra bảng
- Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn
- Từ hệ thức :
b = a.SinB = a . CosC
⇒
a =

SinB
b
=
CosC
b
c = a. SinC = a . CosB

⇒
a =
SinC
C
=
CosB
C
30 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1: Cho
∆
vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4. Khi đó độ dài các cạnh huyền
là
A. 4 B. 5 C. 6 D. một gía trị khác
Ví dụ2: Với đề bài như bài tập 1 và kẻ đường cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đường
cao là
A. 1,3 B. 2 C. 2,4 D. 1 giá trị khác
Ví dụ3: Cho
∆
có các độ dài các cạnh như sau.
∆
nào là
∆
vuông ?

A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10) C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 )
Ví dụ4: Cho
∆
ABC (
A
ˆ
= 1v), AH
⊥
BC ; AB = 6, AC = 8
Tính AH = ? HB = ? HC = ?
Theo pi ta go :
∆
ABC (
A
ˆ
= 1v)
BC =
22
ACAB +
=
22
86 +
=
100
= 10
- Từ đ/lí 3: AH. BC = AB . AC
1
25
16
B

A
C
H
3
4
B
A
C
H

⇒
AH =
BC
ACAB.
=
10
8.6
= 4,8
Từ đ/lí 1:
AB
2
= BC. HB

⇒
HB =
BC
AB
2
=
10

6
2
= 3,6
AC
2
= BC . HC

⇒
HC =
BC
AC
2
=
10
8
2
= 6,4
Ví dụ5:

∆
ABC(
A
ˆ
= 1v) ; AH
⊥
BC
GT AH = 16 ; HC = 25
KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ?
Hướng Dẫn

- Pi ta go
∆
AHC (
H
ˆ
= 1v)
AC =
22
HCAH +
=
22
2516 +
=
881
= 29,68
Từ đ/lí 1: AC
2
= BC.HC
BC =
HC
AC
2
=
25
)68,29(
2

≈
35,24
Pi ta go

∆
ABC (
A
ˆ
= 1v)
AB =
22
ACBC −
=
22
68,2924,35 −

≈
18,99
Từ đ/lí 2: AH
2
= HB.HC

⇒
HB =
HC
AH
2
=
25
16
2
= 10,24
Ví dụ6:
Cho

∆
ABC (
A
ˆ
= 1v) ; AB = 3 ; AC = 4
a) Tính tỉ số lượng giác của
C
ˆ
b) Từ KQ ( a)
⇒
các tỉ số lượng giác của góc B
Hướng Dẫn
a. Theo Pi ta go
∆
ABC (
A
ˆ
= 1v)
BC =
22
ACAB +
=
22
43 +
=
25
= 5
SinC =
BC
AB

=
5
3
; CosC =
BC
AC
=
5
4
; tgC =
AC
AB
= ;
4
3
CotgC =
AB
AC
=
3
4
Do
B
ˆ
và
C
ˆ
là hai góc phụ nhau
SinB = cosC =
5

4
; cosB = sinC =
4
3
gB = cotgC =
3
4
; cotgB = tgC =
4
3
Ví dụ7: Cho
∆
ABC (
A
ˆ
= 1v) ; AB = 6 ;
B
ˆ
=
α
tg
α
=
12
5
. Tính
a) AC = ?
2
6
α

C
A
B
C
D
A
B
H
K
b) BC = ?
a. tg
α
=
AB
AC
=
12
5

⇒
AC =
AC
AB.5
=
12
5.6
= 2,5 (cm)
b) Pi ta go
∆
ABC (

A
ˆ
= 1v)
BC =
22
ACAB +
=
22
)5,2(6 +
=
25,42
= 6,5 (cm)
Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức
1). 1 – Sin
2

α
= ?
2). (1 - cos
α
).(1+ cos
α
) = ?
3). 1+ sin
2

α
+ cos
2

α
= ?
4). sin
α
- sin
α
.cos
2

α
= ?
5). sin
4

α
+ cos
4

α
+ 2sin
2

α
.cos
2

α
= ?
6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến
nhỏ: Cotg25

0
; tg32
0
; cotg18
0
; tg44
0
; cotg62
0

Gợi ý
a) sin
2

α
+ cos
2

α
= 1 thay vào và thu gọn Đs : cos
2

α
b) Dùng A
2
-B
2
và gợi ý phần a) Đs : = sin
2

α
c) Đs : = 2
d) đặt thừa số chung Đs : sin
3

α

e) HĐT : ( A+B )
2
Đs: = 1
Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 75
0

Hướng Dẫn
Kẻ AH ; BK
⊥
CD
Ta có : AB = KH = 12 (cm)
⇒
DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6
DH =
2
6
= 3 (cm)
AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196
S
ABCD
=
2
).( AHDCAB +

=
2
196,11).1812( +
= 167,94 (cm)
Ví dụ9: Cho
∆
ABC có góc A = 20
0
;
B
ˆ
= 30
0
; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt
AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm
a) AP ? ; BP ?
b) CP ?
Hướng Dẫn
3
60
C
B
A
P
H
a) Kẻ AH
⊥
BC ;
∆
AHB

⊥
tại H

⇒
AH = AB . SinB
= 60.Sin30
0
= 60.
2
1
= 30
∆
AHC (
H
ˆ
= 1v)
AH = AC. Cos40
0


⇒
AC =
0
40Cos
AH
=
7660,0
30
= 39,164
∆

APC có (
P
ˆ
= 1v)
AP = AC.Cos 20
0

= 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP
= 60 – 36,802 = 23, 198
b)
∆
APC (
P
ˆ
= 1v)
CP = AC. Sin20
0

= 39,164 . 0,342 = 13, 394
4
60
C
B
A
P
x
?
9
20

H
C
B
A
x
2x
8cm
60
°
H
C
B
A
10
cm
1cm
D
C
B
A
x
4
10
4
D
C
B
A
HỆ THỨC LƯỢNG
CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ

(Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9)
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm.
Tính độ dài AH.
Lời giải sơ lược:
Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được:
AB
2
= BH. BC hay 20
2
= x(x + 9).
Thu gọn ta được phương trình : x
2
+ 9x – 400 = 0
Giải phương trình này ta được x
1
= 16; x
2
= –25 (loại)
Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm
Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.
Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu
Bài 2: Cho tam giác ABC ,
µ
0
60B =
, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải sơ lược:
Kẻ AH
⊥

BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và
AH = x
3
; HC = 8 – x
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H
Ta có: AC =
( )
( )
2
2
3 8x x+ −
=
2
4 16 64x x− +
Do AB + AC = 12 nên 2x +
2
4 16 64x x− +
= 12
Giải PT trên ta được : x = 2,5
AB = 2.2,5 = 5cm
Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
Diện tích tam giác ABC =
10 3
cm.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm;
BD =
10
cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
Bài giải sơ lược
Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.

Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC =
2
9x −
.
Do AD = 1 nên DC =
2
9x −
– 1 x
Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :

AB AD
BC DC
=
hay
2
3 1
9 1
x
x
=
− −
. Từ đó ta được phương trình 8x
2
– 6x – 90 = 0
Xử dụng máy tính tìm được x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác . Biết AD = 4cm;
BD =
4 10
cm . Tính diện tích tam giác ABC.

(Nhập kết quả dưới dạng phân số)
- Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả
theo yêu cầu.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường
5
10cm
X
X
H
K
D
C
B
A
2x
12
15,6
//
//
K
H
C
B
A
cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của
hình thang cân đó.
Bài giải sơ lược:
Kẻ AH
⊥
CD ; BK

⊥
CD. Đặt AH = AB = x
⇒
HK = x

∆
AHD =
∆
BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra : DH = CK =
10
2
x−
.
Vậy HC = HK + CK = x +
10
2
x−
=
10
2
x +
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
Ta có : AH
2
= DH . CH hay
2
10 10
.
2 2

x x
x
− +
=

⇔
5x
2
= 100
Giải phương trình trên ta được x =
2 5
và x = –
2 5
(loại)
Vậy : AH =
2 5
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
Bài giải sơ lược:
Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
Áp dụng định lí Pitago tính được AC =
2 2
15,6 x+
Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:

BC KB
AC AH
=
hay
2 2

2 12
15,6
15,6
x
x
=
+
Đưa về phương trình 15,6
2
+ x
2
= 6,76x
2
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :
A = cos
2
1
0
+ cos
2
2
0
+ cos
2
3
0
+ . . . . + cos
2

87
0
+ cos
2
88
0
+ cos
2
89
0
–
1
2
Hướng dẫn:
α
+
β
= 90
0

⇒
sin
α
= cos
β
; cos
α
= sin
β
; và cos45

0
=
2
2
ta được:
A = cos
2
1
0
+ cos
2
2
0
+ cos
2
3
0
+ . . . . + cos
2
87
0
+ cos
2
88
0
+ cos
2
89
0
–

1
2
= (cos
2
1
0
+ cos
2
89
0
) + (cos
2
2
0
+ cos
2
88
0
) + +(cos
2
44
0
+ cos
2
46
0
)+cos
2
45
0

–
1
2

= (cos
2
1
0
+ sin
2
1
0
) + (cos
2
2
0
+ sin
2
2
0
) + + (cos
2
44
0
+ sin
2
44
0
) +
2

2
2
 
 ÷
 ÷
 
–
1
2

= 1.44 = 44
Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) B = sin
2
1
0
+ sin
2
2
0
+ sin
2
3
0
+ . . . . + sin
2
87
0
+ sin
2

88
0
+ sin
2
89
0
–
1
2
.
b) C = tg
2
1
0
. tg
2
2
0
. tg
2
3
0
. . . . tg
2
87
0
. tg
2
88
0

. tg
2
89
0
.
c) D = (tg
2
1
0
: cotg
2
89
0
) + (tg
2
2
0
: cotg
2
88
0
) + . . . . + (tg
2
44
0
: cotg
2
46
0
) + tg

2
45
0
.
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm
2
. Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi
của hình chữ nhật ABCD ?
6
y
x
108 cm
2
108cm
2
D
C
B
A
=
=
//
//
F
E
D
C
B
A
b

c
a
//
//
2
1
1
M
D
I
C
B
A
Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy
ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y)
Cách 1: Ta có S
ABCD
= x.y hay x.y = 108
Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)
2
= 9 hay (x + y)
2
– 4xy = 9 (1)
Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)
2
= 441
⇒
x + y = 21
Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm

Cách 2: Từ x – y = 3
⇒
y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình:
x (x – 3) = 108
⇔
x
2
– 3x – 108 = 0 (1)

⇔
x
2
– 12x + 9x – 108 = 0

⇔
( x – 12)(x + 9) = 0
Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả.
Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn.
Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm
2
.
Biết AB – AC = 47dm.
Tính độ dài AB và AC.
Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trình:
x
2
– 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63
Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC =
3 5

cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có
D
∈
AB , E
∈
BC , F
∈
AC. Biết AB > AC và
4
9
ADEF ABC
S S=
. Tính AB ; AC.
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x
2
+ y
2
=
( )
2
3 5
= 45. (1)
Hình vuông ADEF có cạnh bằng 2 nên
4
ADEF
S =
Mà
4
9
ADEF ABC

S S=
nên S
ABC
= 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)
2
= 81 và (x – y)
2
= 9
Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3
Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác ,
M là trung điểm BC. Cho biết
·
0
90BIM =
.
Tính BC : AC : AB ?
Hướng dẫn: Chú ý
·
0
90BIM =
; I là giao điểm các đường phân giác
ta tính được
·
0
45DIC =
, từ đó chứng minh được BC = 2CD
và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD
kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa

ba cạnh tam giác.
Lời giải:
Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI
I
AC .

µ
µ
µ
2 1 1
I B C= +
(góc ngoài tam giác BIC)
=
·
·
( )
1
2
ABC ACB+
=
0 0
1
.90 45
2
=
(do BI và CI là phân giác của các góc B và C và
∆
ABC
vuông ở A); kết hợp với giả thiết
·

0
90BIM =
ta được
µ
0
1
45I =
. Vậy
∆
CIM =
∆
CID (g.c.g)
Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1)
7
A
/
/
//
//
6
9
N
M
C
B
//
//
10
13
K

H
C
B
A
BD là phân giác của tam giác ABC nên
AB AD
BC DC
=
hay
AB BC
AD CD
=
= 2.
Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2)
Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)
Mà a
2
– c
2
= b
2
hay (a – c)(a + c) = b
2
kết hợp với a + c = 2b ta được a

– c =
2
b
(4)
Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a =

5
2
b
. Vậy a =
5
4
b
. Do đó c =
3
4
b
.
Vậy a : b : c =
5 3
: :
4 4
b b
b
=
5 3
:1:
4 4
= (
5
.4
4
): (1.4) : (
3
4
.4) = 5 : 4 : 3

Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3
Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có
sửa
đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm.
Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và
BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
Hướng dẫn:
Đặt AB = x ; AN = y
⇒
AC = 2y.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A
Ta được: x
2
+ 4y
2
= 144 (1) và x
2
+ y
2
= 81
⇔
y
2
= 81 – x
2
(2)
Thay (2) vào (1) ta được phương trình :
x

2
+ 4( 81 – x
2
) = 144
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x
2
= 180
Nghiệm dương của phương trình : x =
2 5
Trả lời: AB =
2 5
cm
Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A .
Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân
và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm
Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được
CK =
50
13

⇒
AK =
119
13
Vậy cos A =
AK
AB
=
119
13

: 13 =
119
169
Trả lời: cos A =
119
169

CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH 9
CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
• Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A- Nhắc lại lí thuyết :
Cho tam giác ABC có Â = 90
0
, gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau:
8
c
b
c'
h
b'
b
2
= ab'
c
2
= ac'

bc = ah
h
2

= b'c'

1
h
2
=
1
b
2
+
1
c
2
H
B
C
A
B- Một số bài tập áp dụng:
BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông
là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh góc của
tam giác này?
HD:
b
a
c
c-1=a;a+b-c=4; a
2
+b
2
=c

2
Suy ra b =5 ; Thay a = c-1 & b =5
→
(c-1)
2
+5
2
=c
2
A
B
C
Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm
và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC
HD: Gọi chu vi
, ,AHB CHA CAB∆ ∆ ∆
lần lượt là p
1
,p
2
, p
3
AHB
∼

CHA
→

p

1
p
2
=
AB
AC
=
3
4
= =
BC
5
Suy ra
AB
3
=
AC
4
=
BC
5
&
AHB
∼

CHA
∼
CAB
H
B

C
A
Từ đó tính được chu vi
ABC∆
bằng 50 cm.
BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4
cm. Tính các cạnh của tam giác ABC ?
HD: Theo tính chất của đường phân giác trong thì
2 2 2
3 49
4 3 4 9 16 25 25
AB DB AB AC AB AC BC
suyra
AC DC
= = = = = = =
. Từ đó tính được AB, BC, AC .
Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm
BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng minh:
CD
2
+ BE
2
= CB
2
+ DE
2
.
HD: Áp dụng Pytago cho các tam giác ADC, ABE
9
F

E
H
B
C
A
CD
2
=AD
2
+AC
2
& BE
2
= AB
2
+AE
2
CD
2
+B
E
2
=AD
2
+ A
C
2
+AB
2
+AE

2
ma A
C
2
+A
B
2
=B
C
2
& A
D
2
+AE
2
=DE
2
C
A
B
E
D
BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với
AB, AC. Chứng minh rằng:
a)
3
FB AB
FC AC
 
=

 ÷
 
b) BC . BE . CF = AH
3
HD: Hình vẽ bên
a) Trong
AHB∆
có HB2 = BE . BA (1) ;
AHC∆
có HC2 = CF . CA (2 )
Từ (1) và (2) có :
2
2
.
HB BE AB
HC FC AC
=
. Trong
ABC∆
có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC .
BC suy ra
2 4
2
2
HB AB HB AB
HC AC HC AC
   
= ⇔ =
 ÷  ÷
   

Vậy
3
EB AB
FC AC
 
=
 ÷
 
.
b)
BE BH
ABC EBH
BA BC
∆ ∆ → =:
. Thay
2 3
2
AB AB
BH BE
BC BC
= → =
(3)
Tương tự ta cũng có
3
2
AC
CF
BC
=
( 4) . tỪ (3) VÀ (4) Ta có

BE .CF =
3 3
4
.AB AC
BC
. Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = AH
3
• VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
KHÔNG VUÔNG.
A- Lí thuyết
Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù
cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông .
Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông )
+S =
1
2
bc . sin A =
1
2
ca. sinB =
1
2
ab .sin C (1)
+S =
( )( )( )p p a p b p c− − −
(2) Công thức Heron ; p là nửa chu vi tam giác
+S =
4
abc
R

(3)
10
+ S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác
+ Nếu a
2
< b
2
+ c
2
thì góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập )
+ a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA ; b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac.cosB ; c
2
= b
2
+ a
2
– 2ba.cosC

+Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thì trong
AHB∆
có AH = c.sin B.
Do đó diện tích
ABC∆
là :
S =
1
2
AH . BC =
1
2
c.sinB . a =
1
2
ac. sinB
Hay S =
1
2
ac.sinB . Đối với các góc khác thì tương tự
c
b
c
A
B
C
H
BT1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm.
a) Chứng minh các góc B và C nhọn ?
b) Tính AB, AC ?

Hướng dẫn:
14cm
b
c
12cm
A
B
C
H
a) Ta có c > 12 mà c + b = 28
suy ra b <16
→
b
2
< 16
2
= 256 = 14
2
+12
2
< a
2
+ c
2
.Hay b
2
< a
2
+ c
2

Do đó góc B nhọn
b) Ta có b
2
– c
2
= HC
2
– HB
2

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
28(28 2 ) 14(14 2 ) 2 21
b c b c HC HB HC HB
b c b c c HC HB HC HB HB
c HB HB c
⇔ + − = + −
⇔ + + − = + + −
⇔ − = − ⇔ = −

Ta còn có HB
2
+ AH
2
= c
2

( )
2

2
2 21 144c c⇔ − + =
Giải phương trình này ta có c
1
= 15 , c
2
= 13 . Từ đó tính được b.
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng
minh:
11
a)
1 1 2
AB AC AD
+ =
b)
1 1 2
AB AC AE
− =
2
4
3
1
E
D
B
C
A
Hình vẽ trên: Ta có S
ABC
= S

ABD
+S
ADC

( )
0 0
1 1 1
. . . .sin 45 . . .sin 45
2 2 2
1
. . .
2
2 1 1
.
AB AC AB AD AC AD
AB AC AD AB AC
AB AC
AD AB AC AB AC
⇔ = +
⇔ = +
+
⇔ = = +
b) Tưương tự như câu a nhưng S
ABC
= S
AEC
– S
AEB
. Học sinh tự chứng minh và xem như bài
tập nghiên cứu.

BT 3: Cho tam giác nhọn ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c ( như cách gọi thông thường ) .Tính
diện tích tam giác theo a,b,c ?
HD: Vẽ đường cao AH vuông góc BC, gọi BH = x thì HC = a – x . Áp dụng Pytago cho tam
giác AHB và AHC ta có :
b
c
x
h
a-x
H
B
A
C
AH
2
= c
2
– x
2
= b
2
– ( a – x )
2
Trong
AHB∆
có AH
2
= AB
2
– HB

2

2 2 2
AH c x⇔ = −
(1) và
Trong
AHC
∆
có AH
2
= AC
2
– HC
2

( )
2
2 2
AH b a x⇔ = − −
(2) . Từ (1) và (2) ta có c
2
– x
2
=
b
2
– a
2
+ 2ax – x
2

suy ra x =
2 2 2
2
c a b
a
+ −
= k ( tạm gọi vậy )
Từ đó có AH
2
= c
2
– k
2
= c
2
–
2
2 2 2
2
c a b
a
 
+ −
 ÷
 
. Do đó diện tích tam giác ABC là
S=
1
.
2

AH BC
=
2 2
1
. .
2
c k a−
. sau khi thay k vào và rút gọn ta được
S =
( )
2 2 2 2 2
4
1
. .
2 2
a c a b c
a
a
− + −
. (HS có thể về nhà rút gọn đẹp hơn )
12
a
b
c
x
a-x
A
B
C
H

Gợi ý: Hay ta cũng có S
2
=
1
.
4
BC
2
.AH
2
=
( )
2
2 2 2 2 2
4
16
a c a b c− − +
Tử có thể biến đổi tử thành (2ab)
2
– ( a
2
+ b
2
– c
2
)
2
= ( 2ab + a
2
+ b

2
– c
2
)( 2ab – a
2
– b
2
+c
2
)=
( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c c a b c a b+ + + − + − − + =
= 2p( 2p – 2c) (2p – 2b )( 2p – 2a) = 16 p (p – c )( p – b )( p – a )
Vậy S
2
= p(p – c )( p – b )( p – a ). Trong đó 2p = a+ b + c
Đây chính là công thức Heron
BT 4: Cho tam giác ABC có
µ
µ
0
90C B− =
, AH là đường cao kẻ từ A. Chứng minh AH2 = HB .
HC ?
HD: Ta nhận thấy góc C tù .Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HC . Ta có
ACD∆
cân tại A nên
µ
µ
2

1
A A=
2
1
B
A
C
D
H
·
µ
·
µ
·
µ
0 0 0
1 1
90 90 & 90ACB A ACB A ACB B= + → − = − =

Suy ra
µ
µ
µ µ
µ
0
1 2 2
& 90B A A DoA D= = + =
. Từ đó ta có
BAD∆
vuông tại A, với AH là đường

cao ứng với cạnh huyền , vậy AH2 = HB . HD = HB . HC
+ cách 2 : ứng dụng tam giác đồng dạng ( HS về nhà nghiên cứu )
Hình vẽ gợi ý
1
B
A
C
H
Để ý rằng
HAC HBA∆ ∆:
BT 5: Cho tam giác ABC biết a = 3 +
3
,
µ
0
45B =
;
µ
0
60C =
.
a) Tính độ dài đườnh cao AH?
b) Tính  ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC?
c) Từ các kết quả trên, tính cos 75
0
?
HD:
13
60
45

C
H
A
B
∆
AHB vuông cân ,dễ thấy AH = BH = x ( do ta đặt ). Trong
∆
AHC có CH = xcotgC = x.
3
3
suy ra a = BH + CH = x.
3 3
3
+

3 3
3 3 .
3
x
+
⇔ + =
.
Do đó x = 3.
b) Có đường cao rồi thì các em tính dược tất cả .
ĐS: c =
3 2
; b =
2 3
; Â = 75
0

; S
ABC
=
( )
3
. 3 3
2
+
c) Do góc A nhọn . áp dung công thức a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccos A
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
3 3 2 3 3 2 2.3 2.2 3. os75c⇔ + = + −
Từ đó có cos75
0
=
18 6 3 3 3
12 6 2 6
− −
=
• Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác
Áp dụng cho hình thang. Ta có thể vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường thẳng
vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông
BT1 : ( Trích Đề thi của PGD Đức Phổ năm 2007 )Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là

3cm và 14 cm. Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm. Tính diện tích hình thang ABCD ?
HD: Cần vẽ thêm BE // AC , để có hình bình hành ABEC
8cm
3cm
14cm
15cm
15cm
3cm
E
D
A
C
B
Lúc này ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 15 cm; AB = CE = 3 cm , do đó DE=17
cm .Áp dụng Pytago đảo thấy
BDE∆
vuông tại B ( HS tự thử lại . Lại ve thêm đường cao
BH, áp dụng hệ thức lượng cho
BDE∆
thì BH == BD. BE : DE = 8.15 : 17 =
120
17
. Từ đó
có diện tích hình thang ABCD là
S =
( )
2
1 120
. 3 14 . 60
2 17

cm+ =
14
BT 2 : Cho hình thang ABCD có AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai
đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tính diện tích hình thang ABCD ?
HD: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thì tam giác BDE vuông tại B
BT 3: Cho hình bình hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, góc BAD = 125
0
. Các đường
phâb giác của góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q.
a) Chứng minh
APB∆
và
CQD∆
là những tam giác vuông?
b) Tính AP, BP , PQ ?
HD: Hình vẽ
K
M
H
L
Q
P
A
D
B
C
K
M
H
L

Q
P
A
D
B
C
a)Để ý rằng
µ µ
2
A B+
= 90
0
, do đó
APB∆
vuông tại P. Tương tự
CQD∆
vuông tại Q.
b) Trong
APB∆
có AP = AB. cos
·
PAB
= 25. cos 62
0
30’= … (HS tự tính được )
và BP = AB. sin
·
PAB
= 25. sin 62
0

30’ =…. ( HS tự tính được )
Vẽ thêm PH
⊥
AD ; PK
⊥
AB; PM
⊥
BC QL
⊥
BC , từ đó chứng minh được LC = AH =
AK , BM = BK
Ta có PQ = BC – ( MB + LC ) = BC – ( BK + KA ) = BC – AB = 35 – 25 = 10 cm
Đáp số : PA
≈
11,54 cm; PB
≈
22,17 cm ; PQ =10 cm
BT 4 : Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chu vi và diện tích
hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm.
HD:
14cm
50cm
H
B
C
D
A
Do tính chất hình thang cân , vẽ thêm AH vuông góc với CD; BK vuông góc với CD, ta có HD
= ( 50 – 14 ) : 2 = 18 cm
Ta tính tiếp được HC = 32 cm, AH = 24 cm, AD = 30 cm.

ĐS: Chu vi hình thang bằng 124 cm, diện tích hình thang bằng 768cm
2
BT 5: Cho hình thang ABCD có AB // CD . Gọi AB = a , CD = b, AD =d , BC = c .Chứng
minh AC
2
+ BD
2
= c
2
+ d
2
+ 2ab
15
HD : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Áp dụng tính chất trung tuyến của tam
giác ABC ta có a
2
+ c
2
= 2BM
2
+
1
2
AC
2

Tương tự áp dung tính chất trung tuyến cho tam giác ADC ta có
b
2
+ d

2
= 2DM
2
+
1
2
AC
2
.
a
b
d
c
N
M
A
D
B
C
Cộng từng vế ta có a
2
+b
2
+c
2
+d
2
=m (BM
2
+ DN

2
) + AC
2
.(1)
Ta lại có BM
2
+ DM
2
= 2MN
2
+
1
2
BD
2
= 2( b – a / 2)2 +
1
2
BD
2
. Thay vào (1)
A
2
+b
2
+c
2
+d
2
= (b – a)

2
+ BD
2
+AC
2

Tđ BD
2
+ AC
2
= c
2
+d
2
+ 2ab
Chú ý : Hệ thức về trung tuyến trong tam giác như sau:
m
a
A
B
C
H
M
a
b
c
m
a
A
B

C
H
M

2
2 2 2
2
2
a
a
b c m+ = +
HS công nhận hệ thức này ( sẽ được chứng minh ở lớp 10 – sau khi học vectơ và độ dài đại số -
hệ thức Chasles )
16
Ngày soạn :……… /………./ 2009
Ngày giảng:…… /……… / 2009
CHỦ ĐỀ 2 :
Sự xác định đường tròn
Đường kính và dây của đường tròn
I./ Mục tiêu:
* Giúp học sinh tiếp tục củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác
vuông, các tỉ số lượng giác.
* Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển
nâng cao
* Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo.
*Củng cố về cách xác định đường tròn
*Vận dụng kt vào chứng minh bài tập về đường kính và dây của ( 0 )
*Rèn luyện kĩ năng vẽ hìng và chứng minh hình học
II/ Nội dung
I. Kiến thức cơ bản:

1) Sự xác định đường tròn – t/ c của đường tròn
- Định nghĩa :
- Kí hiệu : ( 0; R ) hoặc ( 0 )
*Các cách xđ đường tròn : Biết
+ Tâm và R
+ Một đoạn thẳng là đường kính của nó
+ Ba điểm không thẳng hàng
*Tâm đối xứng : Là tâm đường tròn đó
* Trục đối xứng : Là đường kính
2) vị trí tương đối của hai đương tròn
1) Hai đường tròn cắt nhau: R-r < OO’ < R + r
2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
a. Tiếp xúc ngoài : OO’ = R + r
b. Tiếp xúc trong : OO’ = R – r > 0
3) Hai đường tròn không giao nhau:
a. Hai đường trong ở ngoài nhau: OO’ > R + r
b. Hai đường tròn đựng nhau: OO’ < R – r
3) Các Ví Dụ minh hoạ:
Ví dụ1: ABCD là hình vuông. O giao 2 đường chéo , OA =
2
cm . Vẽ ( A; 2 ) trong 5 điểm
A,B, C, D , O. Điểm nào năm bên trong, bên ngoài đường tròn ?
Hướng Dẫn
OA =
2

〈
2 = R
⇒
O nằm bên trong (A)

AB = AD = 2 = R
⇒
B , D nằm trên (A)
AC = 2
2

〉
2 = R
⇒
C nằm ngoài (A)
17
H
0
A
D
B
C
H
0
A
C
B
Ví dụ2:

∆
ABC cân nội tiếp (O)
GT AH
⊥
BC ; BC= 24; AC = 20
a) AD là đường kính

KL b) sđ ACD
c) AH ? R ?
Hướng Dẫn
a)
∆
ABC cân tại A (gt)
AH
⊥
BC (gt)
⇒
AH là trung trực của BC (1)

⇒
AD là trung trực của BC (2)
Vì O nằm trên trung trực của BC
Nên O nằm trên trung trực của AD
Vậy : AD là đường kính (O)
b)
∆
ACD có CO là trung tuyến ứng với cạnh AD
⇒
OC =
2
1
AD
⇒
ACD = 90
0

c) Ta có : BH = HC =

2
BC
=
2
24
= 12
Pi ta go :
∆
AHC(
H
ˆ
= 1v)
AH
2
= AC
2
– HC
2
= 20
2
– 12
2
= 256

⇒
AH =
256
= 16
Đ/lí 1: b
2

= a.b’
AC
2
= AD .AH
⇒
AD =
AH
AC
2
=
16
20
2
= 25
⇒
R =
2
AD
=
2
25
= 12,5
Ví dụ3 : Cho (O) có bán kính OA = 3cm ; Dây BC của đường tròn
⊥
OA tại trung điểm của
OA . Tính BC ?
Hướng Dẫn
Gọi H là trung điểm OA
Có : OH = HA (gt)
Và BC

⊥
OA tại H
⇒

∆
OBA cân tại B
⇒
OB = BA = R (1)
Mà OB = OA = R (2)
Từ (1) và (2)
⇒

⇒
OB = BA = OA = R
⇒

∆
OBA là
∆
đều
⇒

O
ˆ
= 60
0
(đpcm)
HB = OB.Sin
O
ˆ

= 3.Sin60
0
= 3.
2
3
Vậy : BC = 2.BH = 2.
2
33
= 3
3
(cm)
Ví dụ4: Cho nửa (O) đường kính AB và dây E F không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là
chân các đường
⊥
kẻ từ A, B đến E F
CMR: IE = KF
18
0
B
A
E
F
I
K
H
0
B
A
C
D

M
H
N
0
M
A
N
C
Hướng Dẫn
Kẻ OH
⊥
E F
Ta có : tứ giác AIKB là hình thang
OB = OA = R (1)
AI // BK (2)
⇒
OH là đường trung bình
⇒
HI = HK (2)
Mà HE = H F Đ/lí đường kính dây cung (3)
Từ (1) , (2) và (3)
⇒
IE = F K ( đpcm)
Ví dụ5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Dây CD , các đường
⊥
với CD tại C và D
t/ứng cắt AB ở M,N
CMR: AB = BN

Hướng Dẫn

Từ O kẻ OI
⊥
CD
⇒
IC = ID ( đ/lí đường kính)
Tứ giác CDNM là hình thang có IC = ID (1)
OI // CM // DN
⇒
OI là đường TB
⇒
OM = ON ( 1) mà OA = OB = R (2)
Từ (1) và (2)
⇒
AM = BN (đpcm)
Ví dụ6: Cho (O) , A nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (M,N là tiếp điểm)
Chứng minh: OA
⊥
MN
Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng : MC//AO
Tính độ dài các cạnh
∆
AMN biết OM = 3cm ; OA = 5 cm
Chứng minh:
a) Chứng minh: OA
⊥
MN
∆
AMN cân tại A ( vì MA = NA ; t/c t
2
)

OA là p/giác
A
ˆ
(t/c tiếp tuyến)
⇒
OA là đường cao nên OA
⊥
MN
b) H là giao điểm MN và OA
Có ON = OC = R
HM = NM ( OA là trung tuyến )
⇒
HO là đường trung bình
∆
MNC
⇒
HO // MC
Pi ta go
∆
vuông AON
AN =
2222
35 −=− ONOA
=
416 =
Từ hệ thức lượng : AN.ON = AO . HN
Hay : 4.3 = 5 HN
⇒
HN =
5

12
= 2,4
Mà HM = HN
⇒
MN= 2.HN = 2. 2,4 = 4,8
AM = AN = 4 cm
19
d
0
B
A
E
F
C
H
H
0
A
D
C
Ví dụ 7: Cho nửa (O) Đường kính AB , qua C
∈
nửa đường tròn . Kẻ tiếp tuyến d của nửa
đường tròn . Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d , gọi H là chân
đường vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh rằng
a) CE = CF
b) AC là tia p/giác của BAE
c) CH
2
= AE.BF

Chứng minh:
a) Ta có: AE
⊥
d ; BF
⊥
d
⇒
AE // BF
⇒
Tứ giác AEFB là hình thang
Mà : OA = OB = R
OC // AE // BF
⇒
CE = CF ( Đ/ lí đường TB )
b)
∆
AOC có :
OC = OA = R
⇒

∆
AOC cân tại O
1
ˆ
C
=
2
ˆ
A
1

ˆ
A
=
1
ˆ
C
( so le vì AE // OC )
⇒

1
ˆ
A
=
2
ˆ
A
Nên AC là phân giác B
A
ˆ
C
c)
∆
CAE (
E
ˆ
= 1v) và
∆
CAH (
H
ˆ

= 1v) có
AC ( cạnh huyền chung )
1
ˆ
A
=
2
ˆ
A

⇒

∆
CAE =
∆
CAH
⇒
AE = AH
Tương tự : BF = BH
∆
ABC có : OC =
2
1
AB là trung tuyến AB
⇒

∆
ACB
⊥
tại C

Theo hệ thức lượng :
CH
2
= HA . HB
= AE . BF ( đpcm)
Ví dụ 8: Cho (O) ; bán kính OA , dây CD là trung trực của OA
a) Tứ giác OCAD là hình gì ? tại sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C tiếp tuyến này cắt OA tại I . Tính độ dài CI , biết OA = R
Chứng minh:
a) Gọi H là giao điểm của OA và CD
Ta có : OA
⊥
CD ( gt)

⇒
HC = HD ( đ/lí 2)
Mà tứ giác OCAD có : OH = HA ( gt)
HC = HD ( Cm trên)
⇒
OCAD là hình bình hành
Mà OA
⊥
CD
⇒
OCAD là H ình Thoi
b)
∆
AOC có : OC = CA ( cạnh H. Thoi)
OC = OA = R
⇒

OC = CA = OA nên
∆
AOC đều
Do đó : C
O
ˆ
A = 60
0

Mà
∆
OCI
⊥
tại C vì OC
⊥
CI (gt)
CI = OC . tg60
0
= R
3
20
M
N
I
B
A
M
0
0'
A

C
D
Ví dụ 9: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Vẽ các đường tròn (I ; IA) và (B ; BA)
a) (I) và (B) có các vị trí tương đối như thế nào ? vì sao ?
b) Kẻ một đường thẳng đi qua A , căt các (I) và (B) theo thứ tự tại M và N . So sánh các độ dài
AM và MN ?
Chứng minh:
a) IB = BA – IA = R – r
nên (I) và (B) tiếp xúc trong tại A
b)
∆
AMB có : OA = OB = r
nên MI là đường trung tuyến của AB

⇒
∆
AMB vuông tại M
⇒
AMB = 90
0

Mà
∆
ABN cân tại B ( BA = BN = R )
Có BM là đường cao , nên là đường trung tuyến
⇒
AM = MN
Ví dụ 10: (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường
tròn ( C
∈

(O) ; D
∈
(O’) )
a) Tíng sđ góc CAD
b) Tính độ dài CD . Biết OA = 4,5 cm , OA = 2cm
chứng minh:
a) Kẻ tiếp tuyến chung tại A , Cắt CD tại M
Ta có : MA = MC
MA = MD
( Theo t/c tiếp tuyến)
⇒
MA = MC = MD
Nên
∆
ACD có đường trung tuyến ứng với cạnh CD
⇒
AM =
2
1
CD
⇒

∆
ACD vuông tại A
⇒
CAD = 90
0

b)Ta có MO , M0’ làtia phân giác hai góc kề bù AMC và AMD

⇒
OMO’ = 90
0
Nên
∆
OMO’ vuông tại M
Nên MA là đường cao
Theo hệ thức lượng :
MA
2
= OA.O’A = 4,5 . 2 = 9
⇒
MA =
9
= 3
Vậy CD = 2.M = 2.3 = 6 (cm)
15 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN ( TỰ LUYỆN)
B i 1à : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi H là
21
D
C
B
O
H
K
A
M
trực tâm của tam giác .
a) Tính số đo góc ABD
b) Tứ giác BHCD là hình gì? Tại sao?

c) Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh 2OM = AH.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt
đường tròn ở điểm D.
a) AD có phải là đường kính của đường tròn (O) không ? Tại sao?
b) Chứng minh: BC
2
= 4AH . DH
c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm. Tính bán kính của đường tròn (O).
Bài tập 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây
CD vuông góc với OA tại H.
1. Tứ giác ACOD là hình gì? Tại sao?
2. Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều.
3. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng.
4. Chứng minh đẳng thức CD
2
= 4 AH. HB .
Bài tập 4. Hình bên cho biết AB = CD. Chứng minh rằng:
1. MH = MK.
2. MB= MD .
3. Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân.
Bài 5. Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách tâm O một
khoảng bằng 3 cm.
1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O).
2. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B. Tính độ dài dây AB.
3. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tính độ dài BC và số đo
·
CAB
(làm
tròn đến độ).
4. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tính độ dài BM.

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở
M. Gọi H là giao điểm của BM và CN.
1. Tính số đo các góc BMC và BNC.
2. Chứng minh AH vuông góc BC.
3. Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH.
Bài 7.Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho
0
60
ˆ
=BAM
Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.
1. Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM):
2. Chứng minh MN
2
= 4 AH .HB .
3. Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.
4. Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.
Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng.
Bài 8. Cho đường tròn (O) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới
đường tròn (B là tiếp điểm).
1. Tính số đo các góc của tam giác OAB.
2. Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trên
đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3. AO cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.
22
Bài 9. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là
hai tiếp điểm) . Gọi H là giao điểm của OA và BC.
1. Chứng minh OA
⊥
BC và tính tích OH. OA theo R

2. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD // OA.
3. Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE.
Chứng minh K là trung điểm CE.
Bài 10. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C
là các tiếp điểm). Kẻ BE
⊥
AC và CF
⊥
AB ( E
,AC F AB∈ ∈
), BE và CF cắt nhau tại H.
1. Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.
2. Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.
3. Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O).
Bài 11. Cho đường tròn (O ; 3cm) và điểm A có OA = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến AB
và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC
1. Tính độ dài OH.
2. Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt
AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tính chu vi tam giác ADE.
3. Tính số đo góc DOE.
Bài 12. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông
góc với AB( Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng
bờ AB). Qua điểm M bất kì thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.
1. Tính số đo góc MON.
2. Chứng minh MN = AM + BN.
3. Tính tích AM. BN theo R. (sách bài tập toán 9- trang 135)
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình
chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.
1. Chứng minh AD. AB = AE. AC
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M; MD) và (N; NE).
3. Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH.Giả sửAB = 6cm,
AC = 8 cm . Tính độ dài PQ.
Bài 14 . Cho hai đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn ( với
C
∈
(O) và D
∈
(O
’
) ).
1. Tính số đo góc CAD.
2. Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O
’
A = 2 cm.
Bài 15. Cho hai đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O
’
). Gọi P là điểm đối xứng với M
qua OO
’
, Q là điểm đối xứng với N qua OO
’
. Chứng minh rằng :
1. MNQP là hình thang cân.

2. PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường tròn (O) và (O
’
) .
3. MN + PQ = MP + NQ.
23