ĐÊ THI HSG CẤP TRƯỜNG TOÁN 8

Phßng GD&§T Chpr«ng
Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh
§Ị thi Häc sinh giái Líp 8
N¨m häc :2010-2011
M«n: To¸n
Thêi gian :90 phót
Điểm Lời phê của giáo viên
ĐỀ
Câu1 (2điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.
4
x 4+
b. x
3
– 5x
2
+ 8x – 4
Câu 2 (2 điểm).
a. chøng minh r»ng : a)
2
22
22






+
≥

+ baba
b. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
C©u 3: (4 điểm).
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ; BC = a ; AC = b .
VÏ c¸c ®êng ph©n gi¸c BD, CE
a. Chøng minh r»ng DE // BC
b. TÝnh DE tõ ®ã suy ra
baDE
111
+=
C©u 4 (2 điểm). :
a. T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n x
2
= y
2
+ 2y +13
b. Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số ngun liên tiếp chia hết cho 9.
ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM
Câu 1 a) x
4
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ 4 - 4x
2

= (x
4
+ 4x
2
+ 4) - (2x)
2
= (x
2
+ 2 + 2x)(x
2
+ 2 - 2x)
b) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
-4x
2
+ 4x – x
2
+4x – 4
= x( x
2
– 4x + 4) – ( x
2
– 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 )
2

( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
Câu 2:
a) Ta xÐt hiÖu:
2
22
22






+
−
+ baba
=
( )
4
2
4
2
2222
bababa ++
−
+
=
( )

abbaba 222
4
1
2222
−−−+
=
( )
0
4
1
2
≥−ba
.
VËy
2
22
22






+
≥
+ baba
; DÊu b»ng x¶y ra khi a = b.
b) Từ: a + b + c = 1
⇒

1 b c
1
a a a
1 a c
1
b b b
1 a b
1
c c c

= + +



= + +



= + +



1 1 1 a b a c b c
3
a b c b a c a c b
3 2 2 2 9
     
⇒ + + = + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     

≥ + + + =
Dấu bằng xảy ra
⇔
a = b = c =
1
3
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
Câu 3:
Vẽ hình đúng
a)
à
à
1 2
B B=


a
b
BC
BA
DC
AD
==
(1)
à
à
1 2

C C=



AE CA b
EB CB a
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
AD AE
DC EB
=


DE//BC
b)

DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có
DE AD
BC AC
=
hay
x b x
a b

=
=> ax +bx =ab ; x =
ab
a b+

= DE
Suy ra
1 1 1a b
DE ab a b
+
= = +


0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 4
a) -HS biến đổi đợc
x
2
= y
2
+ 2y +13

x
2
= (y + 1)
2
+ 12

(x + y + 1)(x - y - 1) = 12
Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y

N
*
nên
(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai số
nguyên dơng chẵn.
Mà 12 = 2.6

Chỉ xảy ra một trờng hợp
(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2

x = 4 và y = 1
b) Gi 3 s nguyờn liờn tip l n-1; n; n+1 ( n

Z )
Ta cú ( n-1)
3
+n
3
+ ( n+1)
3
= 3n
3
+6n
= 3n
3
-3n +9n = 3n(n
2

-1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n
Vỡ
9 9
3 ( 1)( 1) 9
n
n n n


+

M
M


3n (n-1) (n+1) + 9n
M
9
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
x
2
1
2
1
x
A
B

C
D
E