Đề + Đáp án hk2 Toan 11 năm 2010-2011

Trường THPT Nguyễn Quang Diêu
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 LỚP 11
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 90 PHÚT
Câu 1: Tinh
2 2
1 4 2
lim
3
n n n
n
+ − − −
+
(1điểm)
Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục tại
0
1x = −

2
3
5 4
1
1
( )
1
1
2
x x
khi x
x

f x
a khi x

+ +
≠ −


+
=


+ = −


(1điểm)
Câu 3: Chứng minh phương trình
3
6 1 2 0x x+ + − =
có nghiệm dương. (1điểm)
Câu 4: Tính
'( 1)f −
biết
2
4
3
( ) 2
3
x
f x x
 

= +
 ÷
 
(1điểm)
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1y x= +
. Biết rằng tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng
:6 2 1 0d x y+ − =
(1điểm)
Câu 6: Xác định giá trị của a để
'( ) 0f x x> ∀ ∈¡
.

3 2
( ) ( 1) (1 ) 1f x x a x a x= + − + − +
(1điểm)
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD, SA vuông góc với mặt đáy và
3SA a=
. Biết ABCD là
hình vuông cạnh
3a
.
a) Chứng minh
( )BD SAC⊥
và
( ) ( )SAB SAD⊥
(1.5 điểm)
b) Tính góc giữa SB và (SAC) (0.5 điểm)
c) Tính khoảng cách giữa SA và CD (1điểm)

d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Gọi K là giao điểm của (AEF)
với SC. Chứng minh
AI EF⊥
(0.5 điểm)
(Hình vẽ 0.5 điểm)
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – KHỐI 11 – NĂM HỌC 2010-2011
Câu Đáp án Điểm
1)
1điểm
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 4 2
lim
3
1 4 2
lim
3
1 1 2
1 4
lim
3
1
1 0 0 4 0
1 0
1
n n n
n

n n n
n n n n n
n
n n
n n n
n
+ − − −
+
+ − − −
=
+
+ − − −
=
+
+ − − −
=
+
= −
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
1điểm
0
1
( ) ( 1)
2
f x f a= − = +
0

2
3 2 2
1 1 1
5 4 ( 1)( 4) ( 4)
lim ( ) lim lim lim 1
1 ( 1)( 1) ( 1)
x x x x x
x x x x x
f x
x x x x x x
→ →− →− →−
+ + + + +
= = = =
+ + − + − +
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì
0
0
1
( ) lim ( )
2
x x
f x f x a
→
= ⇔ =
0.25
0.5
0.25
3)
1điểm
3 3 3

6 1 2 0 6 1 2 6 3 0x x x x x x+ + − = ⇔ + + = ⇔ + − =
Đặt
3
( ) 6 3f x x x= + −
,
( )f x
liên tục trên
[ ]
0;1

(0) 3
(0). (1) 0
(1) 4
f
f f
f
= −

⇒ <

=

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong (0;1) hay nghiệm dương.
0.25
0.25
0.25
0.25
4)
1điểm
/

4 4 4 3
3 3 3 2
4 3
3 2
4
'( ) 2 2 . 2 2 2 6
3 3 3 3
( 1) 4( 1) 140
'( 1) 2 2( 1) 6( 1)
3 3 9
x x x x
f x x x x x
f
      
= + + = + +
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
  
− − −
⇒ − = − + − + =
 ÷ ÷
  
0.25
0.25
0.25
0.25
5)
1điểm
Ta có:
(2 1)' 1

'( )
2 2 1 2 1
x
f x
x x
+
= =
+ +
0.25
0 0
1
6 2 1 0 3
3
1
'( ).( 3) 1 '( )
3
x y y x
Suy ra f x f x
+ − = ⇔ = − +
− = − ⇔ =
Từ đó ta được:

0 0
0
0
1 1
2 1 3 4
3
2 1
2.4 1 3

x x
x
Suy ra y
= ⇒ + = ⇔ =
+
= + =
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
1 5
'( ).( )
3 3
y y f x x x y x− = − ⇒ = +
0.25
0.25
0.25
6)
(1điểm)
2
'( ) 3 2( 1) (1 )f x x a x a= + − + −
Để thỏa yêu cầu bài toán thì
2 2
3 0
0
0
( 1) 3(1 ) 0 2 0hay a a a a
>

⇔ ∆ <

∆ <


− − − < ⇔ + − <
( )
2;1Suy ra a ∈ −
thì thỏa yêu cầu bài toán.
0.25
0.25
0.25
0.25
7)
0.5điểm
0.5
7a)
1.5điểm
Ta có:
( )
( ( ))
( )
BD AC gt
BD SA SA ABCD
BD SAC
⊥


⊥ ⊥

⇒ ⊥
Ta có:
( )
( ( ))

( ) (1)
( ) (2)
AB AD gt
AB SA SA ABC D
AB SAD
AB SAB
⊥


⊥ ⊥

⇒ ⊥
⊂
Từ (1) và (2) suy ra
( ) ( )SAB SAD⊥
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
7b)
0.5điểm
Ta có:
BD AC⊥
và
BD AC O∩ =

nên O là hình chiếu của B lên (SAC)
Suy ra:

·
BOS
là góc cần tìm
Mặt khác:
6SB SD BD a= = =
nên tam giác SBD là tam giác đều.
Suy ra
·
0
30BOS =
0.25
0.25
0.25
0.25
7c)
1điểm
Ta có:
( ( ))AD SA SA ABCD⊥ ⊥

AD CD
⊥
(ABCD là hình vuông)
Suy ra: AD là đoạn vuông góc chung.
Vậy khoảng cách giữa SA và CD là
3AD a=
0.25
0.25
0.25
0.25
7d)

1điểm
( )EF BD EF SAC⇒ ⊥P
Mặt khác:
( )AI SAC⊂
Suy ra:
EF AI⊥

0.25
0.25