Đề minh họa kỳ thi THPT quốc gia 2015 có đáp án chi tiết

BỘ GIÁO DỤC
ĐỀ THI MINH HỌA THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề
2 x −1
.
x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) , biết tiếp điểm có hồnh độ x = 1 .
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

Câu 2 (1,0 điểm).
tan a
p
3
.
< x

1 + tan 2 a
2
5
b) Giải phương trình log 3 ( x + 2 ) = 1 − log 3 x .
a) Cho góc a thỏa mãn

2

(

)

3
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ 2 x + ln x dx .

1

Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức ( 1 + i) z +( 3 - i) z = 2 - 6i . Tính mơđun của z .
b) Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi
gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một
câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành
cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau.
·
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2a, ACB = 30 0 . Hình
chiếu vng góc H của S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a 2 . Tính theo a thể tích khối
chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) .

Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; 0; 0) và B ( 1;1; - 1) . Viết phương
trình mặt phẳng trung trực ( P ) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O , tiếp xúc với ( P ) .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc đường thẳng
D : 4 x + 3y - 12 = 0 và điểm K ( 6;6) là tâm đường trịn bàng tiếp góc O . Gọi C là điểm nằm trên D sao cho
AC = AO và các điểm C , B nằm khác phía nhau so với điểm A . Biết điểm C có hồnh độ bằng
các đỉnh A, B .
Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình

x2 + x + x - 2 ³

3 ( x 2 - 2 x - 2) .

Câu 9 (1,0 điểm). Xét số thực x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P=

3( 2 x 2 + 2 x +1)
3

+

1

(

2 x2 + 3-

)

3 x +3

+

------------------HẾT-----------------

1

(

)

2x2 + 3 + 3 x +3

.

24
, tìm tọa độ
5

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
1
(2,0 điểm)

Đáp án
a.(1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y =
♥ Tập xác định: D = ¡ \ { −1}
♥ Sự biến thiên:
ￚ Chiều biến thiên: y ' =

2 x −1
.
x +1

Điểm

0.25
3

( x + 1)

2

; y ' > 0, ∀x ∈ D .

Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( - ¥ ; - 1) và ( - 1; +¥ ) .
ￚ Giới hạn và tiệm cận:

lim y = xlim y = 2
x đ- Ơ
đ+Ơ

0.25
ị

tim cn ngang: y = 2

lim y = +¥ ; lim y =- Ơ ị
x đ( - 1)

tim cn ng: x =- 1

x ®( - 1)

-

+

ￚ Bảng biến thiên:
x
y'
y

0.25
- 1

- ¥
+

+¥
+
2

+¥
2

- ¥

♥ Đồ thị:

0.25

b.(1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) , biết tiếp điểm có hồnh độ x = 1 .
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1,0 điểm)

a.(0,5 điểm). Cho góc a thỏa mãn

tan a
p
3
.
< x

1 + tan 2 a

2
5


0.25
0.25

b.(0,5 điểm). Giải phương trình log 3 ( x + 2 ) = 1 − log 3 x .
0.25

0.25
3
(1,0 điểm)

2

(

)

3
Tính tích phân I = ∫ 2 x + ln x dx .
1

0.25

0.25

0.25
0.25

4
(1,0 điểm)

a.(0,5 điểm). Cho số phức z thỏa mãn hệ thức ( 1 + i) z +( 3 - i) z = 2 - 6i . Tính mơđun của z .
0.25

0.25

b.(0,5 điểm). Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí
sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức
giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định
câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất
để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau.
0.25


0.25

5
(1,0 điểm)

·
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2a, ACB = 30 0 . Hình chiếu
vng góc H của S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a 2 . Tính theo a thể
tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) .

0.25

0.25

0.25

0.25

6
(1,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; 0; 0) và B ( 1;1; - 1) . Viết phương trình
mặt phẳng trung trực ( P ) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O , tiếp xúc với ( P ) .


0.25

0.25

0.25

0.25

7
(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc đường thẳng
D : 4 x + 3y - 12 = 0 và điểm K ( 6;6) là tâm đường tròn bàng tiếp góc O . Gọi C là điểm nằm
trên D sao cho AC = AO và các điểm C , B nằm khác phía nhau so với điểm A . Biết điểm C có
24
hồnh độ bằng
, tìm tọa độ các đỉnh A, B .
5
0.25

0.25


0.25

CÁCH KHÁC

♥ Vì C Ỵ D : 4 x + 3y - 12 = 0 và xC =

ỉ
24 12 ư
24
12
÷
÷
nên yC =. Suy ra C ỗ ; ỗ
ữ
ỗ5
ữ
5ứ
ố
5
5

Gi ( T ) là đường trịn bàng tiếp góc O , bán kính của ( T ) là:
R = d ( K , AB ) =

4.6 + 3.6 - 12
4 +3

2

2

=

30
=6
5

♥ Do OA, OB tiếp xúc với ( T ) nên OA, OB là các tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ O
r
Gọi ( D ) là đường thẳng qua O và nhận n = ( a; b) với a 2 + b2 ¹ 0 là VTPT thì
phương trình ( D ) có dạng: ax + by = 0

0.25

0.25


♥ ( D ) là tiếp tuyến với ( T ) Û d ( K , AB ) = 6
Û
Û

6a + 6 b
a 2 + b2

=6

a + b = a2 + b2

0.25

é =0
a
Û ab = 0 Û ê
ê =0
b
ë
· Với a = 0 thì b ¹ 0 , ta chọn a = 0; b = 1 . Phương trình tiếp tuyến là y = 0
· Với b = 0 thì a ¹ 0 , ta chọn a = 1; b = 0 . Phương trình tiếp tuyến là x = 0
Tọa độ A, B là nghiệm của các hệ phương trình:
éx = 0
ì
ï
ï
ê
í
ï
ì 4 x + 3y - 12 = 0 ì 4 x + 3y - 12 = 0 ê y = 4
ï
ï
ï
ỵ
ê
ï
ï
Úí
Û ê
í

ï x =0
ï y=0
ì
ï
êx =3
ï
ï
ỵ
ỵ
ï
ê
í
ï
êy = 0
ï
ỵ
ë
uu
ur
ur
u
3
Giả sử ta chọn A ( 3; 0) , B ( 0; 4) thì AC =- AB nên C , B nằm khác phía so với A
5
♥ Vậy A ( 3;0) , B ( 0; 4) .

0.25

CÁCH KHÁC
♥ Vì C Î D : 4 x + 3y - 12 = 0 và xC =

ỉ
24 12 ư
24
12
÷
÷
nên yC =. Suy ra C ỗ ; ỗ
ữ
ỗ5
ữ
5ứ
ố
5
5

Do A ẻ AB : 4 x + 3y - 12 = 0 nên A ( - 3t; 4 + 4t ) , ta có
AC = OA AC 2 = OA 2
2
2
ổ
24 ử ổ
ữ+ỗ4 + 4t + 12 ö = ( - 3t ) 2 +( 4 + 4t ) 2
ữ
ữ ỗ
ữ
ỗ 3t ỗ
ữ ỗ
ữ
ỗ

ữ
ữ
5ứ è
5ø
è
Û t =- 1

Suy ra: A ( 3;0)
♥ Giải tương tự cách trên tìm B .
8
(1,0 điểm)

Giải bất phương trình

x2 + x + x - 2 ³

3 ( x 2 - 2 x - 2) .
0.25

0.25

0.25
0.25

CÁCH KHÁC
0.25

♥ Điều kiện: x ³ 1 + 3
Khi đó:

( 1) Û ( x

2

- 2 x ) ( x +1) ³ x 2 - 2 x - 2 ( x +1)

♥ Do x +1 > 0 nên chia hai vế của (2) cho x +1 ta được:

(2)
0.25


( 2) Û
Đặt t =

(3)

x2 - 2x
với t ³ 0 , bất phương trình (3) trở thành
x +1
t2 - t - 2 £ 0 Û 0 £ t £ 2

♥ Với 0 £ t £ 2 thì

9
(1,0 điểm)

x2 - 2x x2 - 2x
³
- 2

x +1
x +1

x2 - 2x
£ 2 Û x2 - 6x - 4 £ 0 Û 3x +1

0.25

13 £ x £ 3 + 13

0.25

♥ Do điều kiện x ³ 1 + 3 nên tập nghiệm của bất phương trình là
S = é + 3;3 + 13 ù
1
ê
ú
ë
û
Xét số thực x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P=

3( 2 x 2 + 2 x +1)
3

+

1

(

2 x2 + 3-

)

3 x +3

+

1

(

)

2x2 + 3 + 3 x +3

.
0.25

0.25

0.25

0.25


CÁCH KHÁC
♥ Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản trong SGK ĐS10 NC
1 1

4
♦ Với a, b > 0 ta có + ³
a b a +b

(1)

♦ Với hai cặp số thực ( a, b) và ( x; y ) ta có ( ax + by ) £ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) (2)
2

Ta có
3( 2 x 2 + 2 x +1)

P=

3
3( 2 x 2 + 2 x +1)

³

3

1

+

(

)

2 x2 + 3-

3 x +3

+

1

(

)

2x2 + 3 + 3 x +3

4

+

(

)

2x2 + 3-

0.25

(

)

3 x +3 + 2x 2 + 3 + 3 x +3

[do (1)]

Mặt khác

(

2x2 + 3-

)

(

)

3 x + 3 + 2 x 2 + 3 + 3 x + 3 £ 2 ( 4 x 2 + 6 x + 6)

[do (2)]

Suy ra:
P³

³

3( 2 x 2 + 2 x +1)
3
3( 2 x 2 + 2 x +1)
3

4

+

0.25

2 ( 4 x 2 + 6 x + 6)
4

+

2.3( 2 x 2 + 2 x +1) + 6

2
2
(Do 2 ( 4 x + 6 x + 6) £ 2.3( 2 x + 2 x +1) + 6 )

=Q

[chú ý bảo đảm điểm rơi x = 0 ]

2

ỉ 1ư 3
♥ Đặt t = 3( 2 x + 2 x +1) = 6 ỗx + ữ+
vi t
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ố 2ứ 2
2

6
. Xột hm s:
2

t
4
f ( t) = +
3
2t 2 + 6
1
Ta có: f '( t ) = 3 f '( t ) = 0 Û

8t

( 2t

2

( 2t

2

+ 6)

0.25
;

3

3

3

+ 6) = 24t Û ( 2t 2 + 6) = ( 24t )

2

Û 8( t 2 - 3)( t 4 +12t 2 - 9) = 0
é2 = 3
t
Û ê2
Û t= 3
ê
t =- 6 ± 3 5
ê
ë
♥ Bảng biến thiên
t
f '( t )

0
-

3
0

f ( t)

+
0.25

3
Dựa vào BBT ta suy ra: Q ³
Do đó: P ³

+¥

3 khi t = 3

3 khi x = 0 . Vậy min P = 3


BÀI VIẾT CĨ LIÊN QUA ĐẾN CÂU BPT VƠ TỶ

GIỚI THIỆU MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
Đề thi thử Đại học Vinh lần 1 năm 2015 có bài tốn sau
Bài tốn: Giải bất phương trình

(

x 2 + 5x < 4 1 + x3 + 2 x 2 - 4 x

)

(1)

Bài giải
é 1- 5 £ x £ 0
x3 +2x2 - 4x ³ 0 Û ê
♥ Điều kiện:
ê
ê ³ - 1+ 5
x
ë
Khi đó: ( 1) Û 4 x ( x 2 + 2 x - 4) > x 2 + 5 x - 4
Û 4 x ( x 2 + 2 x - 4) > 3 x + x 2 + 2 x - 4

(2)

♥ Trường hợp 1: Với x ³ - 1 + 5 thì

( 2) Û
Đặt t =

4

x2 +2x - 4
x2 +2x - 4
>3+
x
x

x2 +2x - 4
x

( t ³ 0)

(3)

thì (3) trở thành:

t 2 - 4t + 3 < 0 Û 1 < t < 3
Suy ra:
x2 +2x - 4
1<
<3 Û
x
♥ Trường hợp 2: Với - 1-

ì x2 + x - 4 > 0
ï
ï
Û - 1 + 17 < x < 7 + 65
í 2
ï x - 7x - 4 < 0
2
2
ï
ỵ

2
5 £ x £ 0 thì x + 5 x - 4 < 0 nên (2) ln thỏa

é
♥ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = ê 1ë

æ 1 + 17 7 + 65 ử
ữ
ỗữ
5; 0ự ỗ
ẩỗ
;
ữ
ỳ ỗ
ữ
ỷ ố
2
2 ứ
ữ


GIỚI THIỆU MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CĨ LIÊN QUAN
a .P ( x ) +b.Q ( x ) +g P ( x ) .Q ( x ) = 0

.
( a .ba ¹ 0)

 Phương trình (*) gọi là phương trình đẳng cấp đối với

(*)
P ( x ) và

Q( x)

CÁCH GIẢI
1) Xét Q ( x ) = 0 Þ P ( x ) = 0

2) Xét Q ( x ) ¹ 0 . Chia hai vế của phương trình cho Q ( x ) ta được phương trình dạng
a.

Đặt ẩn phụ t =

P ( x)
Q ( x)

P ( x)
Q( x)

+g

P ( x)
Q( x)

+b= 0

(1)

, phương trình (2) trở thành: at 2 +gt +b= 0

(2)

3) Giải phương trình (2) tìm t . Từ đó sẽ suy ra được nghiệm của phương trình (*).
Chú ý:
Hồn tồn bình đẳng ta có thể chia hai vế của phương trình cho P ( x ) hoặc

P ( x ) .Q ( x ) .

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 ( x 2 - 3 x + 2) = 3 x 3 + 8

(1)

Bài giải
♥ Điều kiện: x 3 + 8 ³ 0 Û x ³ - 2
♥ Biến đổi tương đương phương trình (1) về dạng (*)
(1) Û 2 ( x 2 - 3 x + 2) = 3

Ta có:

( x + 2) ( x

2

Û 2 ( x 2 - 2 x + 4) - 2 ( x + 2 ) = 3

- 2 x + 4)

( x + 2) ( x

2

- 2 x + 4)

(2)

♥ Do x =- 2 không phải là nghiệm của (2) và x + 2 > 0 nên chia hai vế pt (2) cho x + 2 ta được
2 - 2.

♥ Đặt t =

x +2
x +2
=3 2
x - 2x +4
x - 2x +4
2

x +2
với t ³ 0 , phương trình (3) trở thành
x - 2x +4
2

é 1
ê=
t
2 - 2t = 3t Û 2t + 3t - 2 = 0 Û ê 2
ê
ê =- 2
t
ë
2

2

(3)


♥ Với t =

1
ta được phương trình:
2

{

♥ Vậy S = 3 ± 13

}

x +2
1
= Û x 2 - 6 x - 4 = 0 Û x = 3 ± 13 [thỏa điều kiện]
x - 2x +4 2
2

Ä
HƯỚNG DẪN

2
2
Cách phân tích biểu thức 2 ( x - 3 x + 2) = 2 ( x - 2 x + 4) - 2 ( x + 2) thực hiện như sau:
2
2
Đặt 2 ( x - 3 x + 2) = a ( x + 2) + b( x - 2 x + 4) và biến đổi để cân bằng hệ số đồng bậc tìm a , b.

LƯU Ý
Từ VD 1 ta có thể tạo ra bài tốn giải bất phương trình sau
Bài tốn: Giải bất phương trình 2 ( x 2 - 3 x + 2) > 3 x 3 + 8

(1)

Cách giải: (Sử dụng cách giải tương tự VD 1 với vài thay đổi nhỏ)
♥ Điều kiện: x 3 + 8 ³ 0 Û x ³ - 2

(*)

♥ Biến đổi tương đương bất phương trình (1) về dạng
2 ( x 2 - 2 x + 4) - 2 ( x + 2 ) > 3

( x + 2) ( x

2

- 2 x + 4)

(2)

♥ Với x =- 2 thì (2) thỏa, suy ra x =- 2 là một nghiệm của bpt (1)
♥ Xét x >- 2 Û x + 2 > 0 , chia hai vế bpt (2) cho x + 2 ta được
2 - 2.
♥ Đặt t =

x +2
x +2
>3 2
x - 2x +4
x - 2x +4

(3)

2

x +2
với t ³ 0 , bất phương trình (3) trở thành
x - 2x +4
2

2 - 2t 2 > 3t Û 2t 2 + 3t - 2 < 0 Û 0 £ t <
♥ Với 0 £ t <

1
2

1
ta được bất phương trình:
2
x +2
1
< Û x2 - 6x - 4 > 0 Û x <3x - 2x +4 2
2

é
♥ Vậy S = ê 2;3 ë

13 ù é + 13; +¥
È3
ú ê
û ë

)

13 Ú x > 3 + 13

Ä

NHẬN XÉT:
 Dựa vào cách đã giải phương trình ta có thể áp dụng để giải bất phương trình tương ứng.
 Bài thi thử của Đại học Vinh được giải quyết theo phương pháp như phương pháp giải phương trình (*).


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình sau
1) 2 x 2 - 5 x + 2 = 5

( x + 4) ( x

2

- 4 x - 5)

ì 5 ± 61
ï
ï
7ü
ï
ï
;8; ỏp s: S = ớ
ý

ù
2
4ù
ù
ù
ợ
ỵ
2) 2 x 2 + 5 x - 1 = 7 x 3 - 1

{

Đáp số: S = 4 ± 6

}

3) x 2 + 8 x + 3 = 6 x 3 + 3 x

{

}

Đáp số: S = 8 ± 61
4) x 2 - 3x +1 =-

3
x 4 + x 2 +1
3

Đáp số: S = {1}
5)

x2 + x - 6 +3 x - 1 -

ì 23 341 ỹ
ù
ù
ù
ù
ỏp s: S = ớ
ý
ù
ù
2
ù
ù
ợ
ỵ

3 x 2 - 6 x +19 = 0 .


MỘT CÁCH GIẢI KHÁC
ĐẶT HAI ẨN PHỤ CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN DẠNG TÍCH SỐ
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 ( x 2 - 3 x + 2) = 3 x 3 + 8

(1)

Cách giải
♥ Điều kiện: x 3 + 8 ³ 0 Û x ³ - 2
♥ Biến đổi tương đương phương trình (1) về dạng (*)

(1) Û 2 ( x 2 - 3 x + 2) = 3

Ta có:

( x + 2) ( x

2

Û 2 ( x 2 - 2 x + 4) - 2 ( x + 2 ) = 3
♥ Đặt hai ẩn phụ

x 2 - 2 x + 4 = a và

- 2 x + 4)

( x + 2) ( x

{

}

é = 2b
a
ê
ê
ê =- b
a
ê
2
ë

(phân tích tam thức ra thừa số)

x 2 - 2 x + 4 = 2 x + 2 Û x 2 - 6 x - 4 = 0 Û x = 3 ± 13

Ä

ÁP DỤNG CÁCH GIẢI TRÊN CHO CÁC BÀI SAU
Giải các phương trình
1) 2 x 2 - 6 x - 4 +

( x +1) ( x

2

+1) = 0

ỡ 9 161 ỹ
ù
ù
ù
S =ù
ỏp s:
ớ
ý
ù
ù
8
ù
ù

ợ
ỵ
2) 6 x 2 - 28 x + 2 = 11

( x - 2) ( x

2

(2)

(Xem vế trái là một tam thức bậc hai theo a )

ổ bử
ữ
2 ( a - 2b) ỗa + ữ 0
=
ỗ
ỗ
ữ
ố 2ữ
ứ

Vy S = 3 13

- 2 x + 4)

x + 2 = b với a, b ³ 0 , phương trình (2) trở thành

2a 2 - 2b2 = 3ab Û 2 a 2 - 3ba - 2 b2 = 0

♥ Với a = 2b ta được phương trình:

2

- 1)

ì 37 ± 1641 ü
ï
ï
ï
S =ï
Đáp s:
ớ
ý
ù
ù
8
ù
ù
ợ
ỵ
----------------Ht--------------