Ôn, luyện thi môn Toán chuyên đề Bất đẳng thức-Tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (446.15 KB, 28 trang )
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
1
Chứng minh rằng :
3
4
4
3
4
1
2
2
6
0
1
1. dx
3 2 sin x 2
3 cotg 1
2. dx
12 x 3
1 1
3. dx
2 6
1 x
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π π
π π
π π
π π
−
−−
−
π
ππ
π
−
−−
−
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
4
1
0
2
5 4 3
1
4. ln2 dx
4
1 x x
1
5. dx
x x 1 8
x
6. dx
18 x x x 3
9 3
π
ππ
π
< <
< <
< <
< <
+
++
+
π
ππ
π
+ +
+ +
+ +
+ +
π π
π π
π π
π π
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
1
0
1
0
Bài giải :
3 3
3 3
4 4
4 4
4 4
4 4
2 2 2
2
2
2
3 1 1
1 1
1. x sinx 1 sin x 1 1 2sin x 2 1 3 2 sin x 2 1
4 4 2
2 3 2 sin x
2
1 1 1
dx dx dx dx
2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
−
−−
−
−
−−
−
π π
π π
π π
π π
− −
− −
− −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒
3 3 3
4 4 4
3
4
cotgx 1
3 cotgx 4 3 cotgx 4
2. x
dx dx dx
4
x x
3 1 4
x
3 cotgx 1
dx
12 x 3
π π π
π π π
π π π
π π π
π π π
π π π
π π π
π π π
π
ππ
π
π
ππ
π
π π
π π
π π
π π
π π π π
π π π π
π π π π
π π π π
π π
π ππ π
π π
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫∫
∫
1
3
⇒ ⇒ ⇒
3
⇒
Bài toán này có thể giải theo phương pháp đa
ïo hàm.
1 1
2 2
6 2 2 6 2 6 2 6
6 2 6
0
1
3. 0 x 1 0 x x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
2
1 1 1
1 dx dx
1 x 1 x 1 x
I
< < − − − − − − −
< < − − − − − − −
< < − − − − − − −
< < − − − − − − −
− − −
− − −
− − −
− − −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Với
1
2
2
0
1
I = dx
1- x
∫
Đặt x sint; t ; dx costdt
2 2
π π
π π
π π
π π
= − =
= − =
= − =
= − =
⇒
∈
1 1
2 2
2
0 0
1
x 0
costdt
2
I dt
6
t 0
1 sin t
6
π
ππ
π
= = =
= = =
= = =
= = =
π
ππ
π
−
−−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
⇒
Vậy
1
2
6
0
1 1
dx
2 6
1 x
π
ππ
π
−
−−
−
∫
∫∫
∫
2 2
4. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
⇒ ⇒ ⇒
(
((
( )
))
)
[
[[
[ ]
]]
]
2
1 1 1
1 ; x 0,1
x 1 1 x
1 x x
+ +
+ +
+ +
+ +
+
++
+
⇒ ∀
∈
Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi :
x = 0
x = 1
(1) (1)
(1) (1)
VT VG
x
VG VP
∅
∅∅
∅
⇒
∈
Do đó :
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1 1 dx 1
dx dx ln2 dx
1 x x 1 4
1 x x 1 x x
π
ππ
π
< < < <
< < < <
< < < <
< < < <
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒
Chú ý :
1
2
0
1
dx
1 x 4
π
ππ
π
=
==
=
+
++
+
∫
∫∫
∫
Xem bài tập 5 .
Suu tam: tranvanquy_bato
2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1 1
5. 0 1 2 2 2
2 2( 1)
1 1 1 1
;
2 2 1 1
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
=
==
=
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx I dx
x x x x
Đặt
x tgt dx dt ( tg t)dt
cos t
= = = +
= = = +
= = = +
= = = +
2
2
1
1
⇒
π π
π π
π π
π π
+ π π
+ π π
+ π π
+ π π
= = = =
= = = =
= = = =
= = = =
π
ππ
π
+
++
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
4 4
2
2
0 0
0 1 1
1 4 4
0
4
⇒ ⇒
x tg t
I dt dt I
tg t
t
Vậy
π
ππ
π
+ +
+ +
+ +
+ +
∫
∫∫
∫
1
2
0
1
2 8
dx
x x
(
((
( )
))
)
5 3
5 4 3 3 5 4 3 3
4 3
3 5 4 3 3 3 5 4 3 3
3 5 4 3 3
1 1
1
3 3
0 0
6. 0 1 0 2 3 3 3 3
0
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3 3
1
; Đặt
3 3 3 1
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
= = =
= = =
= = =
= = =
+ +
+ +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
°
1 1 1
0 0 0
0
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
I dx dx x
x x
2
0 1
;( 0) 2
0
=
==
=
⇒
1
x
t t dx tdt
t
2
1 1
1
6 3 2
0 0
1 2 2 3 .
3 1 9 ( ) 1
= =
= =
= =
= =
+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
t t dt
I dt
t t
Đặt
= =
= =
= =
= =
3 2
0 1
3
0 1
⇒
t
u t du t dt
u
π
ππ
π
= =
= =
= =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
2
9 1 18
⇒
du
I
u
Kết quả :
π
ππ
π
=
==
=
4
I
(bài tập 5)
π
ππ
π
= =
= =
= =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
2
3
0
°
3
9 3
x
I
x
(tương tự) Vậy
( )
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
1
1
2
5 4 3
0
1
3
⇔
x
I dx I
x x x
π π
π ππ π
π π
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
5 4 3
18 3
9 3
1
0
x
dx
x x x
1,Chứng minh rằng
:
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
2
4 4
0
12
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
∫
∫∫
∫
sin .cos
sin cos
x x
dx
x x
π
ππ
π
π
ππ
π
2.Nếu
:
(
((
( )
))
)
= >
= >
= >
= >
∫
∫∫
∫
4
0
0 , 0 , ;
cos 2 4
∀
∈
t
tg x
I dx t
x
t
π
ππ
π
thì :
(
((
(
)
))
)
2
3
3
3
4
+
++
+
+ >
+ >
+ >
+ >
tg t tgt
tg t e
π
ππ
π
Bài giải
:
1. Ta có
cos x sin x sin x cos x
:
( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
=
==
=
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
2 2 4 4
4 4 4 4 4 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1
sin cos
( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
= +
= +
= +
= +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
4 4
4 4 4 4 4 4
3 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
⇒
x x
x x x x x x
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
3
sin .cos sin .cos sin .cos sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos
sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos
π π
π π
π π
π π
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+
++
+
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
0 0
3
1 2 2
1 1 1 1 1 1 6 1 1
3 1 2 2
1 1 6 1 1
⇒
⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
dx dx dx
x x x x
sin
Đặt sin sin
sin
π
ππ
π
π
ππ
π
= = =
= = =
= = =
= = =
+
++
+
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
2
2
0
2
1
4
0
2
°
2
1
⇒
x
J dx t x dt xdx
x
π
ππ
π
π
ππ
π
⇒ = =
⇒ = =
⇒ = =
⇒ = =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
0
2
0 1 4
1
x
dt
J
t t
(kết quả I=
4
π
bài tập 5)
sin
Đặt cos sin
cos
π
ππ
π
= = = −
= = = −
= = = −
= = = −
+
++
+
∫
∫∫
∫
2
2
2
4
0
2
°
2
1
⇒
x
J dx u x du xdx
x
π
ππ
π
π
ππ
π
= =
= =
= =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
2
2
0
0
2
0 1 4
⇒
1
x
du
J
u u
(kết quả I=
4
π
bài tập 5)
sin .cos
( )
( sin )( cos )
π
ππ
π
+
++
+
+ +
+ +
+ +
+ +
∫
∫∫
∫
2
4 4
0
1
1 1 6
⇒
x x
dx I J
x x
Vậy
sin .cos
( sin )( cos )
π
ππ
π
π
ππ
π
+ +
+ +
+ +
+ +
∫
∫∫
∫
2
4 4
0
1 1 12
x x
dx
x x
2. Đặt
( )
= = + =
= = + =
= = + =
= = + =
+
++
+
2
2
1
1
⇒ ⇒
dt
t tgx dt tg x dx dx
t
4
2 3
3
2
2 2 2
0 0 0
0
2
4
tgt
tgt tgt tgt
t dt t dt 1 1 1 t-1 1 1 tgt-1
I = . = = -t -1+ dt = - t -t- ln = - tg t-tgt- ln
1-t
1+ t 1-t 1-t 3 2 t+1 3 2 tgt+1
1+ t
t
∫ ∫ ∫
Vì
( )
>
>>
>
0
I
t
nên
3
1 1 tgt-1
: - tg t-tgt- ln > 0
3 2 tgt+1
ln ln
+
++
+
− π π
− π π− π π
− π π
= + > + + >
= + > + + >
= + > + + >
= + > + + >
+
++
+
3
3
3
1 1 1 1
2 1 2 4 3 4
2
3
⇔
⇒
tg t tgt
tgt
tg t tg t tgt tg t e
tgt
2
n
x
1. I =
x +1
Chứng minh
:
( )
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
+ +
+ +
+ +
+ +
∫
∫∫
∫
1
0
1 1
2 1 1
n
I dx
n n
và
lim
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
=
==
=
0
n
n
I dx
(
)
-
n x
n
2. J = x 1+ e
Chứng minh
:
n
J dx
n
<
<<
<
+
++
+
∫
∫∫
∫
0
1
2
0
1
và
n
n
lim J dx 0
→+∞
=
Bài giải
:
.
+
++
+
+
++
+
1 1
1 0 1 1 1 2 1
2 1
⇒ ⇒
x x
x
;
n n n
n n n
x x x
x x dx dx x dx
x x+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 1 1
0 0 0
1
2 1 2 1
⇒
(
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
n n nn
x x x x
dx dx
n x n n x n
+
++
+
+
++
+
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1
1
1
1
0
0
0
0
11
1
2 1 1 1 1 1
1
⇒ ⇒
2 +1
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
4
Ta có :
(
((
( )
))
)
1
0
2 1
0
1
1
0
1
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
+
+
+
n
n
n
n
lim
n
lim
x
lim
n
x
⇒
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
0
1
0 0 0
1
1
2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2
2
0 1 2 0 1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
= + + +
= + + +
= + + +
= + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
++
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
.
.
⇒ 0 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
n n n n n
n x n n
x x
x
x
x
x e e e x x e x hay x e x
x e dx x dx x e dx
n
Ta có :
(
((
( )
))
)
2
0 1 0
1
−
−−
−
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞ →∞
= + =
= + =
= + =
= + =
+
++
+
n x
x e dx
n
lim lim
⇒
n n
Chứng minh rằng
:
2
2
3
4
4
2
1
0
4 6
0
-
1. cosx(4 3 cosx)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 l
nx 2 lnx)dx 8(e 1)
2 49
3. sinx(1 2 sinx)(5 3 sinx)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx
3 64
243
5. sin x.cos xdx
6250
π
π
π
π
π
π
− + ≤ π − − ≤ −
π π
+ − < − ≤
π
≤
∫ ∫
∫ ∫
∫
Bài giải
:
Đặt
f(x) = cosx(4-3 cosx)(2 cosx + 2)
cosx cosx cosx
f(x)
f(x)dx dx cosx( cosx)( cosx )dx
2 2 2
2 2 2
3
4 3 2 2
8
3
8 4 3 2 2 8
− − −
⇒ ⇒
cauchy
π π π
π π π
+ − + +
=
− + π
∫ ∫ ∫
2. Đặt
( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )
9 3 2 3 3 2
f x x x x x x x
= − − = + −
ln ln ln
( )
( ) ln ( ln ln ) ( )
1 1 1
3
3 3 2
8
3
8 9 3 2 8 1
⇒ ⇒
e
e e
x x x
f x
f x dx dx x x x dx e
+ + + −
=
− − −
∫ ∫ ∫
3. Đặt
( ) sin ( sin )( sin )
1 2 5 3
f x x x x
= + −
;
sinx sinx sinx
f(x)
3
1 2 5 3
8
3
+ + + −
Đẳng thức
sinx sinx sinx
x
sinx sinx sinx
= + = −
= + = −
= + = −
= + = −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
= − =
= − == − =
= − =
1 2 1
5 3 4 5
f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sinx)dx
3 3 3
4 4 4
2
8 8 1 2 5 3
3
π π π
π π π
π
⇒ < ⇒ < ⇒ + − <
∫ ∫ ∫
4. Đặt
f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)
1
7 4 4 7 4
4
= − = −
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
5
( )
( )
2
0 0 0
4 4 4
4 7 4
1 49
( )
4 2 16
49 49
7 4
16
16
x
tgx tgx
f x
f dx dx tgx tgx dx
∏ ∏ ∏
+ −
≤ =
∏
⇒ ⇒ −
∫ ∫ ∫
4 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 6 4 6
0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1
(2 2 cos )(1 cos ).cos .cos .cos
2
1 2 2 cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243
sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
− + − + + +
≤
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤
∏
∫
Chứng minh rằng
:
(
)
2 2 2 2
2
3
5 2
1. cos 3sin sin 3cos
3
x x x x dx
−
∏
∏
∏
+ + +
∫
(
)
( )
2 2
1
2. 3 2 ln 5 2ln 4 1
e
x x dx e+ + − −
∫
2
3 cos sin
3.
4 4
4
x x
dx
x
∏ + ∏
−
+
∫
Bài giải
:
1. Đặt
2 2 2 2
( )
1 cos 3sin 1. sin 3cos
x
f x x x x
= + + +
( )
(
)
( )
( )
(
)
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 3
2
2 cos 3sin 3cos sin 2 2
5 2
2 2 cos 3sin sin 3cos
3
x
x
x
f x x x x f
f dx dx x x x x dx
∏ ∏
− − −
∏ ∏ ∏
∏
+ + + ⇒
∏
⇒ ⇒ + + +
∫ ∫ ∫
2. Đặt
( )
2 2
1 3 2ln 1 5 2 ln
x
f x x
= + + −
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2ln 4
4 3 2ln 5 2ln 4 1
x x
x
e e
e
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −
∫ ∫ ∫
( )
2 2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin
3 cos sin 3 cos sin
2
2
4 4 4 4
x x x x
x x x x
dx
x x x x
+ ≤ + +
+ +
⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + +
∫ ∫
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
6
Đặt
(
)
2
2 2 1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
(
)
( )
2
2
2
0 0 0
2
2
0
0
4 4
2
2
2
2 1
0 1 1
4 2 8
4 1
0
4
3 cos sin
3 cos sin
4 4 4 4 4
tg t
x dx
dt dt
x
tg t
t
x x
x x
dx dx
x x
∏ ∏
+
∏
⇒ = = =
∏
+
+
+
∏ ∏ + ∏
⇒ ⇒ −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ
CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN
Chứng minh rằng
:
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
4
4
1. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 1
3.
1
xdx xdx
xdx xdx
x x
dx dx
x x
∏ ∏
∏
∏
≤
− −
<
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2
2
0
2 2
2
1 1
0 0
4 4
sin sin
4
5. (ln ) ln
6. sin cos
x x
dx dx
x x
x dx xdx
xdx xdx
∏
∏
∏
∏ ∏
>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Bài giải
:
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 1
1. 0; 2sin .cos 2cos
0 cos 1
4
sin2 2cos sin2 2 cos
x
x x x x
x
x x xdx xdx
≤ ≤
∏
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
≤ ≤
⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
7
∏ ∏
0 0
2 2
cos 1
2. 0; 2sin2 .cos 2sin
0 sin
2
sin2 2sin sin2 2 sin
x
x x x x
x
x x xdx xdx
≤
∏
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
≤
⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
[
]
3. 1;2
x
∀ ∈
Xét hiệu :
2
-1 2 1 1
0
1 ( 1)
x x x x
x x x x
− − + −
− = <
+ +
1 1
2 2
1 2 1 1 2 1
1 1
x x x x
dx dx
x x x x
− − − −
⇒ < ⇒ <
+ +
∫ ∫
4. Đặt
- -
x u dx du
= ∏ ⇒ =
∏
∏
∏
0
∏
∏
∏
∏
0
2
2
2
sin sin( ) sin
2
( )
0
2
1 1
0 0
2
x
x u x
dx du dx
x u x
u
x x x
x x
∏−
⇒ = − =
∏− ∏−
∏
< < ⇒ < < ∏− ⇒ <
∏−
∫ ∫ ∫
Vì :
∏ ∏
∏
0
2 2
sin sin sin sin
sin 0
x x x x
x dx dx
x x x x
> ⇒ < ⇒ <
∏− ∏−
∫ ∫
∏
∏
∏
2
2
0
sin sin
x x
dx dx
x x
⇒ >
∫ ∫
5. Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] n
ên y = g(x) = (lnx)
2
cũng liên tục trên [1,2]
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<
∫ ∫
∈
Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x
0
= 1⊂
⊂⊂
⊂
[1,2]
0
∏
∏
∏ ∏
⇒ ⇔
⇔ ⇔
0
4
4
sin
6. 0 0 1 1
4 4 cos
sin cos sin cos
x
x tgx tg
x
x x xdx xdx
< < < < = <
< <
∫ ∫
Chứng minh rằng
:
2
x
1
0
1
0
1
0
1
8
25
3
0
3
1. 2 4 5
1 1
2. 1
2
1
1 1
3.
26
26 2
1
dx
dx
x
x
dx
x
+
+
+
∫
∫
∫
<
2
8
∏
∏ ∏
1
0
2
1
2 3
0
1
3
.sin
4. 1 ln2
1 .sin
.sin
5.
12
1
6.
6
4
x
x x
dx
x x
e x
dx
e
x
dx
x x
−
−
+
+
− −
∫
∫
∫
0
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
8
Bài Giải
:
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
1 1 1 1
2
2
0 0 0 0
1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5
2 4 5 2 4 5
x x x x
dx x dx dx x dx
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
8 8
8
8
1 1 1 1
0 0 0 0
8
8
2. 0 1 0 1 1 1 2
1 1
0 1 2 1
2
1
1 1
1
2 2
1 1
x x x
x
x
dx dx
dx dx
x x
≤ ≤ ⇒ + ⇒ +
⇒ ⇔
+ +
⇒ ⇒
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
3
10 10
3
25 25
25
3 3
3 3
10 10
25
25
1 1 1 1
25
25
3
3
0 0 0 0
3
3
10
10
3. 0 1 1 1 2 1 1 2
1 1
1
2 2
1 1
1
1 1
26
2 26 2
1 1
x x x
x x
x
x x
x x
x dx dx x dx dx
x x
4. Trước hết ta chứng minh :
[ ]
sin
;(1) 0,1 .
1 sin 1
x x x
x
x x x
∀
+ +
∈
Giả sử ta có : (1).
[ ]
(1) ⇔ ∀ ⇔
1 1 1 1
1 1 ; 0.1
1 sin 1 1 sin 1
x
x x x x x x
− −
+ + + +
⇔ ⇔1 1 .sin (1 sin ) 0
x x x x x
+ + −
đúng
[
]
∀
0,1x ∈
Vậy (1) đẳng thức đúng , khi đó:
( )
⇔
⇔
⇒
1 1 1
0 0 0
1
1
0
0
1
0
sin 1
(1)
1
sin 1 1
.sin
ln 1 1 ln2
1 sin
.sin
1 ln2.
1 .sin
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
dx x x
x x
x x
dx
x x
= −
+ + +
− + = −
+
−
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
( )
( )
2
2
2 2 2
1 1 1
3 3 3
1 1
0
sin 1
5. 1, 3 0, 0
1
1
0 sin 1
sin 1 1
0
;
1 1 1
x
x
x
x
e
e x
x
e
e
x
e x
x
e x dx dx
dx I I
e e
x x x
−
−
−
< =
⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <
+
+
< <
⇒ < < = =
+ + +
∫ ∫ ∫
∈
Đặt
2
2
1
(1 )
cos
x tgt dx dt tg t dt
t
= ⇒ = = +
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
9
(
)
3 3
2
3
2
4
4 4
1
1 3
1 12
4
tg t
x
dt dt t
tg t
t
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = = =
∏ ∏
+
∫ ∫
4
Vậy
2
1
3
sin
0
12
1
x
e x
dx
e
x
−
∏
< <
+
∫
3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2 3 2
1 1 1
0 0 0
2 2 3 2
6. 0 1 0 0
4 2 4 4
4 2 4 4
1 1 1
4 2 4 4
1 1 1
4 4 4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
I dx dx dx J
x x x x
⇒ ⇒ − −
⇒ − − − −
⇒ − − − −
⇒
− − − −
⇒ =
=
− − − −
∫ ∫ ∫
Đặt
2sin 2 cos
x t dx tdt
= ⇒ =
( )
2
0 0
6 6
0 1 2 cos
6
0
4 2sin
6
x tdt
I dt
t
t
∏ ∏
∏
⇒ = = =
∏
−
∫ ∫
Đặt
2 sin 2 cos
x t dx tdt
= ⇒ =
0 1
0
4
x
t
∏
( )
4
0
2
0
4
2 cos 2 2
2 8
4 2 2 sin
tdt
J
t
∏
∏
∏
⇒ = = =
−
∫
1
0
2 3
2
6 8
4
dx
x x
∏ ∏
⇒ ≤ ≤
− −
∫
Chứng minh rằng
:
2
2
1
0
sin
2
0
1
1. 1
2.
2 2
x
x
e
e dx
e
e dx e
−
∏
−
∏ ∏
∫
∫
2
2
0
1
4
0
1 6
3. 1 sin .
2 2 4
1
4. 0.88 1
1
x dx
dx
x
∏
∏ ∏
≤ + ≤
< <
+
∫
∫
Bài giải
:
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
10
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0
1. 0 1 0 1 0
1 1
1
0 1 1 2
x x
x x
x
x
x x
x x x e e
e e
e
e
e e e
− −
−
⇒ ⇒ <
⇒ ⇔
⇒ = ⇒
2
°
°x
Từ (1) và (2) suy ra
2
: 1
x x
e e
− −
2 2
2
1 1 1 1
0 0 0 0
1
1
x x
x
e
e dx e dx dx e dx
e
− −
−
−
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
2
2 sin
2 2 2 2
sin
sin
0 0 0 0
2. 0 sin 1 1
.
2 2
x
x
x
x e e
dx e dx e dx e dx e
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
2 2
2 2
2
2
0 0
0 0
1 1 1 3
3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin
2 2 2 2
1 3 1 6
1 sin 1 sin .
2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx
∏ ∏
∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏
⇒ + ⇒ +
∫ ∫ ∫ ∫
4.
Cách 1
:
(
)
0,1
x
∀
∈
thì
4 2 4 2
4 2
1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
< ⇒ + < + ⇒ >
+ +
( )
1
2
4 2
0
1 1
ln 1 ln 1 2 0,88
1 1
dx dx x x
x x
1 1
0 0
⇒ > = + + = + >
+ +
∫ ∫
Mặt khác :
1
4
4 4
0
1 1
1 1 1 1
1 1
x dx
x x
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
∫
Vậy :
1
4
0
1
0,88 1
1
dx
x
< <
+
∫
Chú ý
: học sinh tự chứng minh
2 2
2 2
1
ln
dx x x a C
a x
= + + +
+
∫
bằng phương pháp tích phân từng
phần .
Cách 2
:
(
)
4 2 2
1
4 2 4
0
0,1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x x
dx I
x x x
4
⇒ < ⇒1+ < +
⇒ > ⇒ >
+ + +
∫
∈
Với :
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Đặt
( )
2
2
1
1
cos
x tgt dx dt tg t dt
= ⇒ = = +
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
11
(
)
( )
4 4
4
2
0 0
2
2
0
1
0 1 1
cos
0
1
4
cos
1 sin
tg t
x
I dt dt
t
t
tg t
t
I dt
t
∏ ∏
∏
+
= =
∏
+
=
−
∫ ∫
∫
Đặt
0
4
sin cos
0
t
u t du tdt
u
∏
= ⇒ =
1
2
( )( )
2
0 0
0
1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2 1 2 1
du u u
I du du
u u u u u
u
du du
u u u
1 1
2 2
1 1
2
2
1
2
− + +
= = = +
− − + + −
+
= + =
+ − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 2 2 1
ln 0,88 0,88
2
2 2
1
I dx
x
1
0
+
= > ⇒ >
−
+
∫
Mặt khác
4
4
1
:1 1 1
1
x
x
+ > ⇒ <
+
( )
4
1
1 2
1
dx dx
x
1 1
0 0
⇒ < =
+
∫ ∫
Từ (1) và (2) suy ra :
1
4
0
1
0.88 1
1
dx
x
< <
+
∫
Chứng minh rằng
:
4
2
0
1
0
3
2
1
1. 0
32
cos
2. ln 2
1
.sin
3.
1 12
x
x tgx dx
nx
dx
x
e x
dx
x e
∏
−
∏
< <
+
∏
<
+
∫
∫
∫
( )
200
100
3
2
1
1
1
1
0
cos
4.
1 12
cos 1
5.
200
1 1 1
6. 1 1
1 2 1 2
1
x
x
n
n
n
e x
dx
x e
x
dx
x
e e
dx
n n
x
∏
∏
−
−
−
∏
<
+
∏
− −
− −
+
∫
∫
∫
Bài giải
:
1. 0 0 1 0 1 0
4
x tgx tgx x tgx x
∏
⇒ ⇒ ⇒
Xét
: 0
4
x
α β
∏
< < < <
ta có :
4 4
0 0
0 1
0
0
4
tgx
x tgx x
x
I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx
α β
α β
∏
∏
< <
⇒ <
∏
< <
= = + +
∫ ∫ ∫ ∫
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
12
Ta có :
4 4
4 4
4
0 0
0 0
2
0
0
0 0
0
0
32
x tgx dx xdx
x tgx dx xdx x tgx dx xdx
x tgx dx xdx
x tgx dx
α α
β β
α α
β β
∏ ∏
∏ ∏
∏
< < ⇒ <
∏
⇒ < <
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
Chú ý :
(
)
[
]
, ,
a b
α β
⊂
thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
x x x x
a b
f dx f dx f dx f dx
α β
α β
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tuy nhiên nếu :
( )
x
m f M
thì :
( )
( )
( )
( )
b b b b
x
x
a a a a
m dx f dx M dx m b a f dx M b a
⇒ − −
∫ ∫ ∫ ∫
Nhưng
( )
[
]
, ,a b
α β
⊂
thì
( ) ( )
b b b
x x
a a a
m dx f dx M f dx< <
∫ ∫ ∫
(Đây là phần mắc phải sai lầm phổ biến nhấ
t )Do chưa hiểu hết ý nghóa hàm số
( )
x
f
chứa
(
)
,
α β
liên
tục
[
]
,
a b
mà
(
)
,
α β
⊂
[
]
,
a b
)
1 1 1 1
1
0
0 0 0 0
1
0
cos
cos cos 1
2. ln 1 ln 2
1 1 1 1
cos
ln 2
1
nx
nx nx
dx dx dx x
x x x x
nx
dx
x
= = + =
+ + + +
⇒
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
1
3 3 3
2 2 2
1
1
1
3. 1 3
sin 1
1
.sin .sin
1 1 1
x
x x
e e
e
x
x
e x e x
e
dx dx dx
x x x
− −
− −
=
⇒
⇒
+ + +
∫ ∫ ∫
3
2
1
.sin 1
.
1
x
e x
dx I
x e
−
⇒
+
∫
với
3
2
1
1
1
I dx
x
=
+
∫
Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
(
)
3 3
4 4
2
2
1
1 3
1 12
4 3
tg t
x
dt dt
tg t
t
∏ ∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = =
∏ ∏
+
∫ ∫
( )
3
1
.sin
*
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
⇒
+
∫
(Cách 2 xem bài 4 dưới đây )
Đẳng thức xảy ra khi :
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
13
1
1
, 1, 3
sin 1
sin 1
x
x
e e
x x
x
x
− −
=
=
⇔ ⇒ ∅ ∀
=
=
∈ ∈
Vậy
3
2
1
.sin
:
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+
∫
Xem lại chú ý trên , đây là phần sai lầm th
ường mắc phải không ít người đã vội kết lua
än đẳng thức (*)
đúng . Thật vô lý
3 3 3
2 2 2
1 1 1
cos cos
4.
1 1 1
x x x
e x e x e
dx dx dx
x x x
− − −
+ + +
∫ ∫ ∫
Do
x
y e
−
=
giảm
( )
1
1
max
x
e e
e
− −
⇒ = =
3 3
2 2
1 1
cos 1 1
1 1 12
x
e x
dx dx
x e x e
−
∏
⇒ =
+ +
∫ ∫
;do I bài 3
Dấu đẳng thức :
1
1
, 1, 3
cos 1
cos 1
x
x
e e
x x
x
x
− −
=
=
⇔ ⇔ ∅ ∀
=
=
∈ ∈
Vậy
3
2
1
cos
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+
∫
5. Đặt
2
1
1
cos
sin
du dx
u
x
x
dv xdx
v x
= −
=
⇒
=
=
200
200
200
2
100
100
100
200
200 200
2
100 100
100
cos 1 sin
sin
cos 1 1 1
200
x x
dx x dx
x x x
x
dx dx
x x x
∏
∏
∏
∏
∏
∏
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒ = +
⇒ = − =
∏
∫ ∫
∫ ∫
Vậy
200
100
cos 1
200
x
dx
x
∏
∏
∏
∫
Bài toán này có thể giải theo phưong pháp đạo hàm .
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
6. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
.
1 1
1
x
x
n n n
x
n n n
n
n
x
n
e e
x e e
x x x
e
dx dx e dx
x x x
x x
e
dx e
n n
x
−
−
⇒ ⇒
+ + +
⇒
+ + +
+ +
⇔
− −
+
∫ ∫ ∫
∫
Vậy
( )
1
1
1
0
1 1 1
: 1 1 ; 1
1 2 1 2
1
x
n
n
n
e e
dx n
n n
x
−
−
− − >
− −
+
∫
Bài toán này có thể giải theo phương pháp nh
ò thức Newton .
Chứng minh rằng
: nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục và
x xác đònh trên [a,b] , thì ta có :
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
. . .
b b b
x x x x
a a a
f g dx f dx g dx
∫ ∫ ∫
Cách 1
:
Cho các số
1
α
, tuỳ ý
(
)
1,
i n
∈
ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1
n n
n n
α α α β β β α β α β α β
+ + + + + + + + +
Đẳng thức (1) xảy ra khi :
1 2
1 2
n
n
α
α α
β β β
= =
Thật vậy : phân hoạch [a,b] thành n đoạn nhỏ
bằng nhau bởi các điểm chia :
a = x
0
< x
1
< x
2
< …. <x
n
= b và chọn :
[ ]
1 1
, ,
i i
b a
x x i i n
n
ξ
−
−
= ∀
∈ ∈
Do f và g liên tục , ta có :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
1
2 2
1
lim 2
lim 3
n
b
i
x
a
n
i
n
b
i
x
a
n
i
n
b a
f dx f
n
b a
g dx g
n
ξ
ξ
→+∞
=
→+∞
=
→∞
−
=
−
=
∑
∫
∑
∫
Khi đó (1)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
lim . lim .
lim . . 4
n n
i i
n n
i i
n
i i
n
i
b a b a
f g
n n
b a
f g
n
ξ ξ
ξ ξ
→+∞ →+∞
= =
→+∞
=
− −
⇔
−
∑ ∑
∑
Từ (4) ta cũng có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
. .
n n n n
i i i i
i i i i
f g f g
ξ ξ ξ ξ
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑
5
Đẳng thức xảy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) =
k.g(x)
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
15
Từ (5)
(
)
2
2 2
( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
⇒
∫ ∫ ∫
Cách 2
:
t R
+
∀
∈
ta có :
[
]
2
2 2 2
2 2
2
0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0
b b b
a a a
tf x g x t f x t f x g x g x
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
− = − +
⇒ = − +
∫ ∫ ∫
h(t) là 1 tam thức bậc 2 luôn không âm nên c
ần phải có điều kiện :
(
)
2
2
2 2
2
2 2
0
' 0
0
( ). ( ) ( ) . ( ) 0
( ). ( ) ( ) . ( )
h
h
h
b b b
a a a
b b
a a
a t
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
= >
⇔ ∆
∆
⇔ − ≤
⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
b
a
Chứng minh rằng
:
2
3
sin
5
1. 1
2
3
2.
2
x
x dx
e dx
+ <
∏
>
∫
∫
1
0
1
0
( )
2
0
1
2
0
1
3. 1 1
2
3cos 4sin 5
4.
1 4
x
x t t x x
e e e dt e e
x x
dx
x
−
− < + < − −
− ∏
+
∫
∫
Bài giải
:
1. Ta có
(
)
2
2 2
: ( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
∫ ∫ ∫
( đã chứng minh bài trước )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 2 2
1 1
1 1
3
2
2
0 0
0 0
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1 1
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
x x x x x x x
x dx x x x dx x dx x x dx
⇒
+ = + − + = + − +
⇒ + = + − + < + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1
1
2
1
3
0
0
0
1
3
0
3 2
5
1
2 2
3 2
5
1
2
x
x x
x dx x
x
x dx
+ < + =
− +
⇒ + <
∫
∫
2 2 2
2
sin sin sin
0
2.
x x x
e dx e dx e dx
∏
2
∏
∏
= +
∫ ∫ ∫
0 0
Đặt
2
2
0
2
x
x
t t dx dt
t
∏
∏
= + ⇒ =
∏
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
16
(
)
2
2
2 2
2 2 2
2
sin
sin sin
2
0 0 0
2 2 2
sin cos sin
0 0 0
2
t
x x
x x x
e dx e dx e dt
e dx e dx e dx
∏
∏
∏
∏
+
∏ ∏ ∏
⇒ = +
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ta lại có
2 2
2
2
sin cos
2 2
2 2
0 0
.
x x
edx e e dx
∏ ∏
=
∫ ∫
2 2
2
2
2
2
2 2
sin cos
0 0
2 2
2 2 2 2
sin
sin
0 0 0 0
2
sin
0
0
sin
0
.
1 3
;
2 2
3
2
x x
x
x
x
x
e dx e dx
hay e dx e dx e dx e dx
e dx e e e
e dx
∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
∏
∏
∏
<
< ⇒ <
⇒ > = ∏ >
⇒ >
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Chú ý : bài này có thể giải theo phương phá
p đạo hàm .
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
( )
2
2
2
0 0
2
2 2
2
0 0 0
2
2 2
2
2
2
1
2
0
3.
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 1
1 1
2 2
1
1 (1)
2
x x
t
t t t t
x t t
t
t t t t t
b b b
a a a
x
t t x x x x
x
o
t t x x
e e dt e e e dt
e e e dt e dt e e dt
vi f x g x dx f x dx g x dx
e e dt e e e e
e
e e dt e e
− −
− −
−
−
+ = +
+ +
⇒ + − − − < − −
⇒ + − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
Mặt khác
2
: ; 0
t t t
e e e t x
−
+ > ∀ < <
2
0 0
1 (2)
x x
t t t x
e e dt e dt e
−
⇒ + > = −
∫ ∫
Từ (1) và (2) suy ra
( )
2
0
1
: 1 1
2
x
x t t x x
e e e dt e e
−
− < + < − −
∫
( )
2
2 2 2
2 2
2
1 1
1
2 2 2
0 0
0
3cos 4sin 1 5
4. 3 4 sin cos
1 1
1
3cos 4sin 3cos 4sin 1
5
1 1 1
x x
x x
x x x
x x x x
dx dx dx
x x x
−
+ − + =
+ + +
− −
⇒
+ + +
∫ ∫ ∫
Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
17
(
)
2
2 2
2
1
0 1 1
1 1 4
0
3cos 4sin 5
4.
1 4
tg t
x
dx dt dt
x tg t
t
x x
dx
x
+
∏
⇒ = = =
∏
+ +
− ∏
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1
0 0 0
1
0
4
Chứng minh bất đẳng thức tích phân bằng phươn
g pháp đạo hàm
.
Chứng minh rằng
:
(
)
(
)
( )
11
7
1
2
0
1. 54 2 7 11 108
4
2. 0 1
27
x x dx
x x dx
−
+ + −
< − <
∫
∫
( )
2
4
0
sin
0
2
sin cos
4 4
3
4.
2
e
x
x x dx
e dx
∏
∏ ∏
+
∏
>
∫
∫
Bài giải
:
1. Xét
( )
(
)
(
)
[
]
7 11 ; 7,11
f x x x x
= + + − −
∈
( ) ( )
11 7
' ' 0 2
2 11 7
x x
f x f x x
x x
− − +
= ⇒ = ⇔ =
− +
x -7 2 11
f’
(x)
+ 0 -
f
(x)
6
3 2 3 2
ր ց
( ) ( )
( )
11 11 11
7 7 7
11
7
3 2 6 3 2 6
54 2 7 11 108
f x dx f x dx dx
x x dx
− − −
−
⇒ ⇒
⇒ + + −
∫ ∫ ∫
∫
2. Xét hàm số : f(x) = x(1-x
2
) ;
[
]
' 2
0,1 ( ) 3 - 4 1
x f x x x
∀ ∈ ⇒ = +
⇒
f’(x)=0
1
x x
1
⇔ = ∨ =
3
x
-
∞
0
1
3
1 +
∞
f’
(x)
+ 0 -
f
(x)
0 0
ր ց
4
27
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
18
4
0 ( )
27
f x
⇒
(
)
(
)
( )
(0) (1)
1 1 1
0 0 0
1 1 4
0, ; , 0
3 3 27
0
4 4
0 ( ) 0 ( )
27 27
x
x f
va
f f
f x dx dx f x dx
∃ ⇒ 0 < <
= =
⇒ < < ⇒ < <
∫ ∫ ∫
∈
3. Xét hàm số :
'
( ) sin cos 2 sin ; 0,
4 4
( ) 2 cos 0 , 0,
4 4
f x x x x x
f x x x
∏ ∏
= + = +
∏ ∏
= + ∀
∈
∈
⇒
f(x) là hàm số tăng
( ) ( )
( )
0
4
0,
4
x
x f f f
∏
∏
∀ ⇒
∈
( )
4
0
2
1 sin cos 2 sin cos
4 4
x x x x dx
∏
∏ ∏
⇒ + ⇒ +
∫
4. Nhận xét
0
x
∀ >
thì
1
x
e x> +
( đây là bài tập Sgk phần chứng minh bất đa
úng thức bằng pp đạo hàm)
Xét
( )
( )
'
1 ; 0 1 0 ; 0
t
t
t
t
f e t t f e t
= − − ⇒ = − > ∀ >
⇒
hàm số f(t) đồng biến
0
t
∀
Vì x > 0 nên f(x) > f(0) = 0
(
)
1 0 1 1
x x
e x e x
⇒ − − > ⇔ > +
Do vậy :
( ) ( )
2
sin 2
0, 1 sin (1)
x
x thi e x do∀ ∏ > +∈
( )
2
2
sin 2
0 0 0
sin
0
1 cos 2
1 sin
2
3
2
x
x
x
e dx x dx dx
e dx
∏ ∏ ∏
∏
−
⇒ > + = ∏ +
∏
⇒ >
∫ ∫ ∫
∫
Chứng minh rằng
:
3
4
2
2
1
2
0
2 1
1.
5 1 2
3 sin 1
2.
4 2
3 1 2 3
3.
3 3
cos cos 1
x
dx
x
x
dx
x
dx
x x
∏
∏
∏
+
∏ ∏
+ +
∫
∫
∫
( )
3
6
1
2
0
1
4
4 4
1
3 cot 1
4.
12 3
2 1 1
5.
3
2
2
6. 2 2 1 1 4
gx
dx
x
dx
x x
x x dx
∏
∏
−
< <
+ −
< + + − <
∫
∫
∫
Bài giải :
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
19
1. Xét :
( )
[ ]
2
; 1,2 .
1
x
x
f x
x
=
+
∈
có
( )
( )
[ ]
2
'
2
2
1
0 ; 1, 2
1
x
x
f x
x
−
= ∀
+
∈
⇒
hàm số nghòch biến
[
]
( ) ( ) ( )
2 1
1,2
x
x f f f
∀ ⇒
∈
2 2 2
2
2
1 1 1
2
2
1
1 1
1 2 1 2
2 1
5 1 2
x x
dx dx dx
x x
x
x
2 2
⇒ ⇒
5 + 5 +
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
2. Xét
( ) ( )
'
2
sin .cos sin
; ;
6 3
x
x
x x x x
f x f
x x
∏ ∏ −
= ∀ ⇒ =
∈
Đặt
.cos sin ' 0 ; ;
6 3
Z x x x Z x x x
∏ ∏
= − ⇒ = − < ∀
∈
⇒
Z đồng biến trên
;
6 3
x
∏ ∏
∀
∈
và :
( )
( )
3
'
3 3
0 ; ;
6 6 3
0 ; ;
6 3
x
Z Z x
f x
∏
∏ − ∏ ∏
= < ∀
∏ ∏
⇒ < ∀
∈
∈
x
-
∞
6
∏
3
∏
+
∞
f’
(x)
−
f
(x)
3
3 3
2
∏
∏
ց
( )
3 3 3
3
6 6 6 6
3 3 3
2
3 3 sin 3
2
3 3 sin 3 sin 1
2 4 2
X
f
x
hay
x
x x
dx dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏∏
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
∏ ∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏
∫ ∫ ∫ ∫
:
3. Đặt
[
]
[
]
cos ; 0, 1,1
t x x t
= ∏ ⇒ −
∈ ∈
và
( )
[
]
2
1; 1,1
t
f t t t
= + + −
∈
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
20
( ) ( )
' '
1
2 1; 0
2
t t
f t f t
= + = ⇔ = −
t
-
∞
-1
1
2
−
1 +
∞
f’
(t)
−
0 +
f
(t)
1 3
3
4
ց ր
( )
[ ]
3
3 ; 1,1
4
t
f t
⇒ ∀ −
∈
[ ]
2
2
2
2
0 0
0
2
0
3
cos cos 1 3 ; 0,
4
3 1 2
cos cos 1 3
2
3
cos cos 1
1 1 2
cos cos 1
3 3
3 1 2 3
3 3
cos cos 1
x x x
hay x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
∏ ∏
∏
∏
⇒ + + ∀ ∏
1
+ + ⇒
3
+ +
⇒
+ +
∏ ∏
⇒
+ +
∫ ∫ ∫
∫
∈
Chú ý : thực chất bất đẳng thức trên phải
là :
2
0
3 1 2 3
3 3
cos cos 1
dx
x x
∏
∏ ∏
< <
+ +
∫
(học sinh tự giải thích vì sao)
( )
cot
4. ;
x
gx
f
x
=
liên tục
;
4 3
x
∏ ∏
∀
∈
có
( )
(
)
'
2 2
2 sin 2
0 ; ;
2 sin 4 3
x
x x
f x
x x
− +
∏ ∏
= < ∀ ⇒
∈ f(x) :nghòch biến trên
;
4 3
∏ ∏
(
)
( )
(
)
3 4
x
f f f
∏ ∏
⇒
3 3 3
4 4 4
3
4
3 cot 4 cot 4
3 cot 1
12 3
gx gx
dx dx dx
x x
gx
dx
x
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏
∏
∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∫ ∫ ∫
∫
( )
[
]
2
5. 2 ; 0,1
x
f x x x
= + − ∀
∈
có f’(x)=1- 2x
( )
'
1
0
2
x
f x
⇒ = ⇔ =
x
-
∞
0
1
2
1 +
∞
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
21
f’
(x)
+
0
−
f
(x)
2 2
ր ց
9
4
( )
9
2
4
x
f
⇒
và
(
)
(
)
( ) ( )
( )
0 1
1 1
0, ; ,1
9
2 2
2
4
2
x
x
f
f f
∃
⇒ < <
= =
∈
2
2
1 1 1
2
0 0 0
1
2
0
9 2 1 1
2 2
4 3
2
2
2 1 1
3
2
2
2 1 1
3
2
2
x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
⇒ < + − < ⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
∫ ∫ ∫
∫
6. Xét :
( )
[
]
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4 4
'
3 3
4 4
3 3
'
4 4
1 1 ; 1,1
1 1 1
4
1 1
0 1 1 0
x
x
x
f x x x
f
x x
f x x x
= + + − −
= −
+ −
= ⇔ − = + ⇔ =
∈
Mặt khác :
( )
( ) ( )
'
3 3
4 4
1 1
0 1 0
1 1
x
f
x
x x
> ⇔ > ⇔ − < <
+ −
x -
∞
-1 0 1 +
∞
f’
(x)
+
0
−
f
(x)
4 4
2 2
ր ց
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4
4
4
1 1
1 1 1 1
4
4
4 4
4 4
1 1
1 1
2 2
-1, 0 ; 0,1
2 2
2
2 1 1 2 2 2 1 1 4
x
x
f
x
va f
f f
dx x x dx dx x x dx
−
− −
− −
⇒ ≤ ≤
∃ ∈
⇒ < <
= =
⇒ < + + − < ⇒ < + + − <
∫ ∫ ∫ ∫
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
22
Chứng minh rằng
:
2
2
2
2
4
0
200
-
100
100
1
10
1. 2. 2
2. 0,005
9
3. 90 ln10 90 ln10
200
x x
x
x
e e dx e
e dx
e dx
− −
≤ ≤
<
− ≤ < + +
∫
∫
∫
2
3
2
4
4
0
1
1
1
0
2
0
3
4. 9 2 90
cos
5. 1
4
6. 1
x
x
tg x dx
e dx
tg
dx
x
∏
∏
+
− ≤
∏
≥ +
<
∫
∫
∫
Bài giải :
1. Đặt
( )
[
]
2
; 0, 2
x
f x x x
= −
∈
có
( )
'
1 2
x
f x
= −
có
( )
'
1
0
2
x
f x
= ⇔ =
x
-
∞
0
1
2
2 +
∞
f’
(x)
+
0
−
f
(x)
0 2
−
ր ց
1
4
( )
2
2
2
2
2 2 2
1
2
2
4
4
4
0 0 0
2
2
4
0
1
2
4
1
2
4
2. 2.
x
x x
x x
x x
f
hay x x
e e e e e dx e dx e dx
e e dx e
− − − −
− −
⇒ −
− −
⇒ = ⇒ ≤ ≤
∫ ∫ ∫
∫
Chú ý : thực chất bất đẳng thức trên là :
2
2
2
4
0
2. 2.
x x
e e dx e
− −
< <
∫
2. Trước hết ta chứng minh :
( )
2
2
1
; 1 0
x
e x
x
−
≤ ≠
Đặt
2
; 0 0
t x x t
= ≠ ⇒ >
Giả sử ta có (1) và (1)
1
; 0 ; 0
t t
e t e t t
t
−
⇔ > ⇔ >
(
)
0 2 ; 0
t
e t t
⇔ − >
Đặt
( ) ( )
'
1 0 , 0
t t
x t
f e t co f e t
= − = − > >
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
23
( )
t
f
⇒
luôn đồng biến
0
t
∀ >
và
( ) ( )
0
1 0
t
f f
= >
( )
2 2
2 2
1 1
0 , 0
x x
t
f t e e dx dx
x x
200 200
− −
100 100
⇒ > ⇒ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
2
200
-
100
0,005
x
e dx
⇒ <
∫
3. Trước hết ta chứng minh :
( )
1
2
1 1 1
1 1 ; 1 0
2
x
e x
x x x
−
− − + ∀ >
Đặt
1
; 0 0
t x t
x
= − > ⇒ <
( ) ( )
2
1
1 1 1 ; 2 0
2
t
t e t t t
⇔ + + + <
Xét hàm số
( ) ( )
2
1
1 ; 1 ; 0
2
t t
t t
f e t h e t t t
= − − = − − − <
( )
'
1
t
t
f e
= −
°
t -
∞
0
+∞
f’
(t)
−
f
(t)
0
+∞
ց
( )
0 ;
1 0 ; 0
t
t
f
hay e t t
⇒ > ∀τ < 0
− − > ∀ <
(
)
1 ; 0 3
t
t e t
⇒ + < ∀ <
( )
'
• 1
t
t
h e t
= − −
x -
∞
0 +
∞
'
h t
+
t
h
0
ր
( )
( )
0 ; 0
1
1 0 ; 0 4
2
t
t
h t
hay e t t
⇒ < ∀ <
< + + > ∀ <
Từ (3) và (4) suy ra :
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
24
2
1
2
100 100 100
1
2
10 10 10
1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1
2
t
x
x
t e t t t
hay e x
x x x
dx e dx dx
x x x
−
−
+ + + ∀ <
− − + >
⇒ − − +
∫ ∫ ∫
100 1
10
9
90 ln10 90 ln10
200
x
e dx
− ≤ < + +
∫
* Là bài toán khó , hi vọng các em tìm điều
thú vò trong bài toán trên – chúc thành công
.
4. Xét
( )
4
4
3
2 ; 0,
cos 3
x
f tg x x
x
∏
= −
∈
Đặt
[ ]
2
2
1
1 ; 0, 1; 4
cos 3
t tg x x x t
x
∏
= = + ⇒
∈ ∈ ∈
( ) ( )
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2 ' 3
1 4
4 4 4
1 1 1
4
4
0
4 2 4 4 0 ; 1, 4
30
3 30
3
9 2 90
cos
t t
t t
t
f t t f t t
f f f f
dt f dt dt
tg x dx
∏
⇒ = + − ⇒ = + > ∀
⇒ ⇒ 3
⇒ ≤
⇒ −
∫ ∫ ∫
∫
∈
5. Xét hàm số
( )
1 ; 0
x
x
f e x x
= − − ∀
có
( ) ( )
'
1 0 , 0
x
x x
f e x f
= − > ∀ ⇒
đồng biến
)
0,x∀ + ∞
∈
( ) ( )
( )
2
2
0
1
1
2
1
1 1 1
1
2 2
0 0 0
0 1 0 1 ; 0
1
1 ; 0
1
1 1
1 1 *
1 1
x x
x
x
x
f f e x e x x
e x
x
e dx dx dx
x x
+
+
⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀
⇒ + ∀
+
⇒ + = +
+ +
∫ ∫ ∫
Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
( )
2
1 1
2 2
0 0
0
1
0
1
1
1 1 4
4
t
tg t dt
x
dx
x
x tg t
t
=
+
=
∏
⇒ ⇒ = =
∏
=
+ +
=
∫ ∫
Từ (*) suy ra :
2
1
1
1
4
x
e dx
+
∏
+
∫
6. Trước hết ta chứng minh :
2
; 0,
2
x
tg
x
x
2 ∏
<
∏
∈
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
25
Xét hàm số
( )
1
. ; 0,
2 2
x
x
f tg x
x
∏
=
∈
( )
'
2 2
sin
2 .cos
2
x
x x
f
x
x
−
=
Đặt
sin ' 1 cos 0 , 0,
2
Z x x Z x x
∏
= − ⇒ = − > ∀
∈
( ) ( )
'
0
0 0 , 0,
2
x
Z Z f x
∏
⇒ > = ⇒ > ∀
∈
x
-
∞
0
2
∏
+
∞
f’
(x)
+
f
(x)
2
∏
−∞
ր
( )
2 2 2
0 0 0
2 2
2
2
2 2
1
x
x
tg
f
x
x x
tg tg
dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏
∫ ∫ ∫
Chứng minh rằng
:
(
)
( )
4
2001 2001
1999 2
0
1
2
0
2
0
1
1. . .
2 2001 2002
1 2
2. ln 1 ln 1 2 1
2 2
1
3.
2 4
x
n
n
x e dx
x x x dx
xtg xdx
n
∏
∏
+
∏ ∏
> +
+ + + + −
∏
+
∫
∫
∫
Bài giải
:
1. Trước hết ta chứng minh :
(
)
2 2
2 ; 0
x
e x x x
> + ∀ >
Xét hàm số:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
' 2 2
2 ; 0
2. 4 2 ; 4. 4 0 ; 0
' '
x
x
x x
x
x
f e x x x
f e x f e x
= − + ∀ >
= − − = − > ∀ >
( )
'
x
f
⇒
là hàm tăng
( ) ( )
'
0
; 0 0
x
x f f
∀ > ⇒ > =
( )
x
f
⇒
là hàm tăng
( ) ( )
0
; 0
x
x f f
∀ > ⇒ >
Chuyên Đề Bất Đẳng
Thức Tích Phân
Suu tam: tranvanquy_bato
