(Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề bất đẳng thức và min-max_Bài tập và hướng dẫn giải

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
BÀI TẬP VỀ NHÀ
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MIN, MAX.
Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
+ + ≤
+ + + + + +
x y z
x y z x y z x y z

Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥
Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3

3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
Tìm Min của:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Bài 6 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z

P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Bài 7 : Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +
Bài 8 : Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a
2
+b
2
=1; c – d =3. Chứng minh:

9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010

Bài 9 : Cho:
0;a c b c
≥ ≥ ≥
Chứng minh:

( ) ( )c a c c b c ab
− + − ≤
Bài 10 : Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của:

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
− − −
Bài 11: Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

4 2 2
2 2
2 1 1 1
1 1 2
x x x
y
x x
− + + − −
=
+ − − +

Bài 13. Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR:
2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d
− + − + + + + + − − + + − + + ≥
Bài 14: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3
-x
+ 3
-y
+ 3
-z
=1. CMR:

9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y
+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 15:
Tìm Min của:
2 2 2
x y z
H
y z z x x y
= + +
+ + +
Trong đó:
2 2 2 2 2 2

, , 0
2010
x y z
x y y z z x
>



+ + + + + =


Bài 16 : Tìm Min, Max của:

( )
(
)
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +
Bài 17 : Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2

=1.
Page 2 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
Tìm Min, Max của:
( ) ( )P x y z xy yz zx
= + + − + +
Bài 18 : Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của:

4 1
4
A
x y
= +
Bài 19 : CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >
Bài 20 : Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của:

1 1
x y
S

y x
= +
+ +
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 3 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
HDG ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 08
Kiến thức về Bất đẳng thức và tìm Min, Max đôi khi còn xa lạ với nhiều bạn. Khi đụng
đến phần này các bạn thường thấy rất ngại làm. Kể cả việc đọc một bài giải của ai đó các
bạn luôn đặt ra các câu hỏi: Vì sao lại tách như thế mà không tách kiểu khác? Sao mình
chứng minh BĐT nó lại có chiều quay lại…Đây là kiến thức đã làm quen từ cấp II, trong quá
trình học các bạn phải rèn luyện nhiều, tham khảo nhiều bài giải hay, nhiều thủ thuật biến
đổi thì mới tạm yên tâm được. Tôi có đôi điều như vậy. Mong các bạn ôn tập thật tốt!

Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
+ + ≤
+ + + + + +
x x x
x y z x y z x y z
Giải:
Ta có:

( ) ( )

1 1 1 1 1
2 4
1
2 4
1 1 3
2 4 4 4
1
2 4
x y z x y x z x y x z
x x x
x y z x y x z
y y y x y y z x z
VT
x y z x y y z x y y z x z
z z z
x y z x z y z
 
= ≤ +
 ÷
+ + + + + + +
 

 
≤ +

 ÷
+ + + +
 



   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

 ÷  ÷
+ + + + + + +
   


 

=≤ +
 ÷
+ + + +

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Giải:
Ta có:

Page 4 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010

2
2
3
2
1
1 4
9 3
1 3 ( ) 3( ) 3 3
( )
1 4 4 4 4 2
1
1 4
x y
x
y
xyz
y z x y z x y z
y VT x y z
z
z x
z
x

+
+ ≥


+


−
+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+
+ ≥

+


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥
Giải:
Đặt:

( )
1 1 1 1
3

6 6 6 6
(1)
1
18
4
, , 0
4 à : 2 2 2 3 3 (1)
1
4
ó : 2 1 1 3 2 3. 3.
3 3. 3 3
x
y
z
a
a b c
b V a b c
abc
c
Ta c a a a a a VT a b c
abc

=
>


= ⇒ + + + + + ≥
 
=



=

 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +
 ÷
 
≥ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
Giải:
Page 5 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010

( )
3 3 3 3 3 3

3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3
2 2 2
3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2
ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2
4( ) 4( ) 4( ) 2 6
1 1
à 2 6 6 12 12
a b c
A a b b c c a
b c a
V a b ab a b ab
a b b c c a ab bc ca abc
a b c
V A abc Min A
b c a
abc abc
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥

 
 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 ÷
 ÷
 
 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
Tìm Min của:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Giải:
Ta có:


( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2

2 2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 3 1
ì : 3 ( ) à 1 .
2 2 2
( )
3 1 9 9
3 ( ) . .
2 2 2
( )
x y z x y z x y z x y z
P x y z
xyz xyz xyz xyz xyz
V x y z xyz V
xyz xyz xyz
xyz
P xyz MinP
xyz
 
+ + + + + +
= + + + = + = + + +
 ÷

 
 
+ + ≥ + = + + ≥
 ÷
 
⇒ ≥ = ⇒ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 6 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +
Giải:
Page 6 of 15