Sáng kiến kinh nghiệm “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ”

Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
I. Đặt vấn Đề
1. Môn Toán với t cách là một môn học tự nhiên nghiên cứu một số mặt
của thế giới hiện thực, nó chiếm một thời lợng khá lớn trong quá trình học tập
của học sinh. Khả năng giáo dục của môn Toán khá lớn, nó phát triển t duy lô
gíc, hình thành và phát triển các thao tác trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh,
chứng minh, trừu tợng hóa, khái quát hóa là môn học cần thiết để học tập
các môn học khác và đặc biệt nó đợc áp dụng trong đời sống hàng ngày của
con ngời.
2. Xuất phát từ tầm quan trọng của việc dạy học các dạng Toán điển
hình: dạng toán Chuyển động đều là một dạng toán khó ở trong chơng trình
môn Toán ở Tiểu học Chuyển động đều là dạng toán liên quan đến 3 đại lợng
vận tốc, thời gian và quảng đờng.
Để giải đợc dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến
thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu
tợng hóa và khái quát hóa.
3. Xuất phát từ thực trạng dạy và học toán Chuyển động đều mà trong
đó có dạng chuyển động cùng chiều của hai kim đồng hồ. Các bài toán
chuyển động của hai kim đồng hồ thờng gây khó khăn cho học sinh, các em
còn lúng túng khi gặp phải dạng bài này. Bên cạnh đó, một số giáo viên cha
biết cách hớng dẫn cho học sinh để các em có thể nhanh chóng tìm ra hớng
giải quyết.
Đối với dạng toán Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
liên quan đến 3 đại lợng là một dạng toán khó ở Tiểu học mà loại bài tập này ít
xuất hiện trong tài liệu kể cả tài liệu tham khảo nên khi gặp phải dạng bài tập
này đa số giáo viên cảm thấy khó. Trong chơng trình Violympic giải toán qua
mạng Internet do BGD&ĐT tổ chức đến vòng thi thứ 18 thì đa số giáo viên gặp
khó khăn trong việc hớng dẫn học sinh giải Các bài toán chuyển động của
hai kim đồng hồ .
Để góp phần nâng cao năng lực giải toán nói chung, năng lực giải Các
bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ nói riêng trong môn Toán ở Tiểu

học và góp phần trong việc đổi mới phơng pháp bồi dỡng học sinh năng khiếu
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 1 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
trên cơ sở kiến thức chuẩn theo chơng trình để hình thành và phát triển những
kiến thức nâng cao một cách phù hợp với nhận thức của học sinh. Chúng tôi,
những cán bộ quản lý và giáo viên trờng Tiểu học Quỳnh Thạch xin đợc trao
đổi những việc làm đó qua sáng kiến: Phơng pháp dạy học Các bài toán
chuyển động của hai kim đồng hồ lớp 5.
II. Thực Trạng
Qua tìm hiểu chơng trình và sách giáo khoa, qua thực tế giảng dạy và bồi
dỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán lớp 5 của trờng Tiểu học Quỳnh
Thạch chúng tôi thấy:
1. Về sách giáo khoa:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ là một dạng toán thuộc
các bài toán Hai động tử chuyển động cùng chiều nhng chuyển động của
kim giờ và kim phút trên mặt đồng hồ không đợc đa vào giảng dạy trong sách
giáo khoa Toán 5 .
2. Về giáo viên :
- Chất lợng của đội ngũ giáo viên ngày càng đợc nâng cao do đợc đào tạo cơ
bản và chất lợng đầu vào đợc chú ý hơn. Do tác động của xã hội nói chung
và yêu cầu của giáo dục ngày nay nói riêng nên đòi hỏi nhà giáo phải vơn lên
không ngừng, vì vậy chất lợng của đội ngũ ngày càng đợc cải thiện rõ nét. Nh-
ng bên cạnh đó vẫn có một số giáo viên năng lực chuyên môn còn hạn chế.
- Một số giáo viên còn xem nhẹ việc phát hiện và bồi dỡng học sinh giỏi.
Không ít giáo viên trong các nhà trờng nói chung và trong trờng Tiểu học nói
riêng còn có suy nghĩ rằng việc phát hiện và bồi dỡng học sinh giỏi là công
việc của cán bộ quản lý và một vài giáo viên mà quên đi đó là trách nhiệm của
tất cả mọi giáo viên, của tất cả mọi ngời chứ không phải của riêng
ai.

- Vẫn còn không ít giáo viên thiếu sự nghiên cứu, sáng tạo trong hoạt
động dạy - học, còn hạn chế trong việc tổ chức các phơng pháp dạy học mới,
thiếu sự linh hoạt trong việc kế thừa kiến thức cũ để dạy kiến thức mới hay đ a
lạ về quen .
Qua thực tế bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu về môn
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 2 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Toán thì đa số giáo viên còn lúng túng khi hớng dẫn học sinh giải dạng này.
Các bớc giải trong tài liệu tham khảo còn cha cụ thể, quá dài nên khi giáo viên
tham khảo để hớng dẫn học sinh còn gây sự khó hiểu cho các em; một số giáo
viên còn không hiểu bản chất của bài toán.
3. Về thực tế cuộc sống:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ là những bài toán thực
tế mà chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày. Những bài toán đó hiện nay
vẫn còn xa lạ với nhiều ngời nh:
Hoa học bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi
trong thời gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
Những bài toán nh thế nếu biết đợc phơng pháp giải thì không khó
nhng quả thực hiện nay còn quá khó đối với học sinh.
4. Về học sinh :
- ở Tiểu học, một bộ phận các em còn thụ động, chủ yếu là nghe giảng, ghi
nhớ và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các em còn mang tính
hời hợt, nhớ không lâu, thiếu sự linh hoạt, sáng tạo và khả năng phân tích của
các em còn hạn chế. Từ những bài toán quen thuộc mà các em đã học ít khi đợc
các em vận dụng để giải quyết các bài toán lạ thuộc dạng đ a lạ về quen .
- Đối với các bài toán Chuyển động đều liên quan đến 3 đại lợng gây
không ít khó khăn cho một số đông học sinh vì đây là dạng toán khó trong ch-
ơng trình Tiểu học. Đặc biệt, đối với dạng toán chuyển động cùng chiều liên
quan đến hai kim trên mặt đồng hồ quả thực là khó đối với học sinh vì chuyển

động của chúng là chuyển động trên vòng tròn. Các em khó xác định
đợc vị trí và quy luật của hai kim đồng hồ là kim phút và kim giờ. Các em còn
khó xác định đâu là thời gian, đâu là thời điểm. Khả năng tởng tợng của các em
còn hạn chế nên việc tìm ra khoảng cách giữa hai kim trong một thời điểm còn
mơ hồ.
Mặc dù trong chơng trình và sách giáo khoa Toán 5 không có bài tập
nào liên quan đến chuyển động của hai kim đồng hồ nhng để phát triển và nâng
cao trí tuệ cho học sinh nhất là những học sinh có năng khiếu về môn Toán thì
nhiệm vụ của ngời giáo viên bồi dỡng là phải biết phát huy hết khả năng tiềm
ẩn của các em.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 3 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
III. phơng pháp giải Các bài toán chuyển động của
hai kim đồng hồ
Trên cơ sở kiến thức đã học trong sách giáo khoa Toán 5, chúng tôi đã
hình thành đa các bài toán lạ trở về các bài toán điển hình quen thuộc. Với
phơng pháp:
- Xây dựng trên nền kiến thức cũ.
- Biến đổi dạng lạ thành quen.
- Dựa vào kiến thức đơn giản để hình thành kiến thức nâng cao.
- Hình thành cho các em kỹ năng giải toán thông qua các bớc giải toán.
Dạng 1:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ Chập
nhau (trùng nhau)
Ví dụ 1:
Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ. Sau 3 giờ một xe
máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 36km/giờ. Hỏi kể từ lúc xe máy bắt đầu
đi, sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp ?
( SGK Toán 5 Trang 146 )

Đây là bài toán thuộc dạng toán Hai động tử chuyển động cùng
chiều với vận tốc V1, V2 (V2 > V1) trên một quảng đờng để đuổi kịp nhau
thì :
Thời gian đuổi kịp nhau ( t ) bằng khoảng cách ban đầu chia cho hiệu
vận tốc (V2 V1)
Trong ví dụ trên ta có thể giải nh sau :
Bài giải Quy ớc Nhận xét
- Quảng đờng xe đạp đi trớc
xe máy trong 3 giờ là :
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy
gần xe đạp là :
- Quảng đờng đi tr-
ớc .
- Hiệu vận tốc .
* Khoảng cách ban đầu.
* Hiệu vận tốc
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 4 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
36 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi
kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ )
= 1 giờ 30 phút
- Thời gian đuổi kịp
nhau .
*Dạng toánHai hiệu số
Vận dụng vào bài toán đơn giản đó, chúng tôi đã khai thác để dạy học sinh áp
dụng để giải Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khá xa lạ

đối với học sinh và một bộ phận giáo viên. Khi gặp Các bài toán chuyển
động của hai kim đồng hồ , các em không biết phân tích vì khó hình dung ra
vị trí của hai kim trên mặt đồng hồ và quá trình chuyển động của chúng. Để
khắc phục điều này, chúng tôi đã thực hiện qui trình dạy nh sau :
Sau khi học xong bài toán thông thờng nói trên, chúng tôi đã đa ra Các
bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ cụ thể là :
Bài toán 1:
Bây giờ là 3 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu, hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Trớc hết chúng tôi quy ớc cho học sinh:
- Ta chia mặt đồng hồ thành 12 phần bằng nhau (tơng ứng với thời gian
từ 1-> 12giờ.
- Trong 1giờ kim giờ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ còn kim phút đi đợc 1 vòng
đồng hồ. Hay vận tốc của kim giờ là
12
1
vòng/giờ còn vận tốc của kim phút là 1
vòng/giờ.
Các bớc tiến hành :
- Giải lại ví dụ trong sách giáo khoa.
- Tiến hành giải.
- So sánh sự giống nhau giữa hai bài toán để rút ra phơng pháp giải.
Phân tích
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 5 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 => kim phút cách kim giờ
12

3
vòng đồng hồ.
Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau.
Đến lúc đó, kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đờng đúng bằng
khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 3 giờ đúng, nghĩa là bằng
12
3
vòng đồng
hồ.
Mà cứ mỗi giờ kim phút đi đợc 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ 1 -
12
1
=
12
11

vòng đồng hồ.
Nh vậy đây là chính là dạng bài toán Hai động tử chuyển động cùng
chiều đuổi nhau có khoảng cách ban đầu là
12
3
vòng đồng hồ và hiệu hai vận
tốc là
12
11
vòng đồng hồ.
Bài toán đợc so sách với ví dụ và giải nh sau:

Ví dụ Bài toán 1 So sánh
- Quảng đờng xe đạp đi
trớc xe máy trong 3 giờ là:
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe
máy gần xe đạp là :
36 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy
đuổi kịp xe đạp là :
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12,
kim giờ chỉ số 3 => kim phút
cách kim giờ
12
3
vòng đồng hồ.
- Mỗi giờ kim phút đi đợc 1
vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi
đợc
12
1
vòng đồng hồ => hiệu
vận tốc của hai kim là:
1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 3 giờ, thời gian để

*Quảng đờng
(khoảng cách
ban đầu) đi tr-
ớc .
* Hiệu vận tốc
*Thời gian
đuổi kịp
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 6 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
36 : 24 = 1,5 ( giờ )
1,5 giờ = 1 giờ 30 phút
Đáp số: 1 giờ 30 phút
kim phút đuổi kịp kim giờ là:
12
3
:
12
11
=
11
3
(giờ)
Đáp số:
11
3
giờ
nhau .
Kết luận 1:
Qua việc đối chiếu cách giải hai bài toán trên, học sinh đã biết cách giải

bài toán khi bài toán cho trớc thời điểm và yêu cầu tìm thời gian chập
( trùng khít ) lên nhau bằng cách lấy: Khoảng cách giữa hai kim (tại thời
điểm đó) chia cho hiệu vận tốc của hai kim
Vậy tại những thời điểm hai kim đã trùng khít lên nhau thì thời gian để
hai kim chập nhau lần sau là bao lâu? Nh chúng ta biết kim phút chuyển động
nhanh hơn kim giờ (V2 > V1) nên trong vòng quay thứ nhất chúng không
thể gặp nhau trên vòng chuyển động. Để hớng dẫn dạng bài toán này chúng
tôi thực hiện nh sau :
Bài toán 2:
Bây giờ là 12 giờ, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Chúng tôi đã phân tích và hớng dẫn học sinh giải nh sau:
Các bớc Bài giải Nhân xét
Bớc 1
Bớc 2
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ cùng chỉ
vào số 12 . Vì kim phút đi nhanh hơn kim
giờ nên kim phút đi hết một vòng đồng hồ
tức là 1 giờ mà hai kim vẫn cha gặp nhau,
lúc này là 1 giờ đúng.
- Lúc1 giờ kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ
số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là
12
1
vòng đồng hồ.
- Mỗi giờ kim phút đi đợc 1 vòng đồng hồ
còn kim giờ chỉ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ
* Quảng đờng đi trớc.

* Hiệu vận tốc.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 7 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Bớc 3
=> hiệu vận tốc của hai kim là:
1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút
đuổi kịp kim giờ là:
12
1
:
12
11
=
11
1
(giờ)
Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập
nhau là:
1 +
11
1
= 1

11
1
giờ
Đáp số : 1
11
1
giờ
* Thời gian đuổi kịp
nhau .
Nhận xét :
Qua bài toán trên ta thấy :
- Nếu tính tại một thời điểm nhất định khi hai kim đang trùng nhau thì thời
gian để hai kim trùng nhau (chập khít) lần thứ 2 sẽ mất một khoảng thời gian là
1
11
1
giờ.
Từ nhận xét đó chúng tôi hớng dẫn học sinh giải bài toán 3.
Bài toán 3: Trong một ngày, hai kim đồng hồ gặp nhau bao nhiêu lần và
vào những thời điểm nào trong ngày?
Phân tích và hớng dẫn giải nh sau:
Nếu tính từ 0 giờ tứclà lúc 12 giờ đúng trên mặt đồng hồ là thời điểm mà
hai kim hai kim chập nhau lần thứ nhất (hai kim cùng chỉ vào số 12) thì sau 1
11
1
giờ nữa hai kim mới chập nhau lần thứ hai ( xem bài giải trên )
Một ngày có 24 giờ nên số lần hai kim chập nhau là :
24 : 1
11
1

giờ = 22 (lần)
Các thời điểm đó là:
1
11
1
giờ ; 2
11
2
giờ, , 22
11
10
giờ; 24 giờ .
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 8 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Ví dụ 2 : Một xe máy đi từ A lúc 8 giờ 37 phút với vận tốc 36km/giờ.
Đến 11 giờ 7 phút một ô tô cũng từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 54 km/
giờ. Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ ?
( SGK Toán 5 Trang 146 )
Chúng tôi tiếp tục quy trình dạy học nh bài toán 1.
Bài giải Quy ớc Nhận xét
- Thời gian xe ô tô đi sau xe máy
là :
11giờ 7 phút 8 giờ 37 phút = 2
giờ 30 phút = 2,5 giờ
- Quảng đờng xe máy trớc khi xe
máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô gần xe
máy là :

54 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy đuổi kịp
xe đạp là :
90 : 18 = 5 ( giờ )
- Thời điểm ô tô đuổi kịp xe máy
là:
11 giờ 7 phút + 5 giờ = 16 giờ 7
phút
Đáp số : 16 giờ 7 phút
- Quảng đờng đi
trớc .
- Hiệu vận tốc .
-Thời gian đuổi
kịp nhau .
- Thời điểm đuổi
kịp nhau
* Khoảng cách ban
đầu.
* Hiệu vận tốc
* Dạng toán Hai
hiệu số
Bài toán 4:
Bây giờ là 3 giờ kém 17 phút. Hỏi:
a, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
b, Lúc nào hai kim đồng hồ sẽ chập nhau?
Phân tích:
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 9 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
ở 3 bài toán trên, thời điểm cho trớc là giờ đúng, còn ở bài toán này thời điểm

cho trớc là giờ kém. Vậy việc xác định khoảng cách ban đầu của hai kim nh thế
nào cho chính xác?
- Đối với học sinh Tiểu học khái niệm giờ kém khi đa vào thực hiện tính
toán vẫn còn khó, do vậy ta hớng dẫn học sinh đa về giờ hơn:
3 giờ kém 17phút tức là 2 giờ 43 phút.
Thời gian từ 2 giờ 43 phút đến 3 giờ đúng thì kim phút vẫn cha đuổi kịp
kim giờ nên ta sẽ tính thời gian và thời điểm hai kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ
lúc 3 giờ đúng.
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 => kim phút cách kim
giờ
12
3
vòng đồng hồ.
( cách phân tích còn lại giống nh bài toán 1)
Ví dụ Bài toán So sánh
- Thời gian xe ô tô đi sau xe
máy là :
11giờ 7 phút 8 giờ 37
phút = 2 giờ 30 phút = 2,5
giờ
- Quảng đờng xe máy trớc
khi xe máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô
gần xe máy là :
54 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy
đuổi kịp xe đạp là :
- 3giờ kém 17phút tức 2 giờ 43
phút.

- Ta thấy từ 2giờ 43 phút đến 3
giờ đúng thì kim phút vẫn cha
đuổi kịp kim giờ và thời gian đó
là:
3giờ 2giờ 43 phút = 17 phút
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12,
kim giờ chỉ số 3 => kim phút
cách kim giờ
12
3
vòng đồng hồ.
- Mỗi giờ kim phút đi đợc 1
vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi
đợc
12
1
vòng đồng hồ => hiệu
*Quảng đờng
(khoảng cách)
đi trớc .
* Hiệu vận tốc
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 10 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
90 : 18 = 5 ( giờ )
- Ô tô đuổi kịp xe máy lúc
11 giờ 7 phút + 5giờ = 16
giờ 7 phút
vận tốc của hai kim là:
1 -

12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 3 giờ, thời gian để
kim phút đuổi kịp kim giờ là:
12
3
:
12
11
=
11
3
(giờ)
hay 16
11
4
phút
- Kể từ lúc 3 giờ kém 17 phút,
thời gian để kim phút đuổi kịp
kim giờ là:
17 + 16
11
4
= 33
11
4

phút
- Thời điểm hai kim trùng nhau
là:
3giờ +
11
3
giờ = 3
11
3
giờ
Đáp số: a, 33
11
4
phút
b, 3
11
3
giờ
*Thời gian
đuổi kịp
nhau .
* Thời điểm
gặp nhau(đuổi
kịp nhau)
Kết luận 2:
Qua việc đối chiếu cách giải các bài toán trên, học sinh đã biết cách giải bài
toán khi bài toán cho trớc thời điểm và yêu cầu tìm thời điểm chập (trùng khít)
lên nhau bằng cách lấy:
Thời điểm chập nhau (trùng nhau) bằng thời điểm ban đầu cộng với thời
gian đuổi kịp nhau (chập nhau )

* Để xác định thời gian hai kim đuổi kịp nhau đối với bài toán khi thời điểm
cho trớc là giờ hơn hoặc giờ kém thì ta h ớng dẫn đổi thời điểm đó về
giờ hơn để tiện việc đ a về giờ đúng mà xác định khoảng cách giữa hai kim
một cách chính xác để tìm kết quả của bài toán.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 11 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
* Thời điểm cho trớc là a giờ b phút sẽ xảy ra 2 trờng hợp: kim phút ở vị trí
tr ớc hoặc sau kim giờ.
- Nếu thời điểm cho trớc mà vị trí của kim phút ở sau kim giờ (ví dụ
các thời điểm: 4 giờ 5 phút; 4 giờ 17 phút; ) thì ta đ a về giờ đúng là a giờ.
- Nếu thời điểm cho trớc mà vị trí của kim phút ở trớc kim giờ (ví dụ
các thời điểm: 4 giờ 25 phút; 4 giờ 40 phút; ) thì ta đ a về giờ đúng là (a
+1)giờ (giờ liền sau giờ đã cho).
* Các bớc giải.
Các bớc Nội dung Diễn giải Ghi chú
Bớc1 : Đa về giờ đúng (lúc
mà kim phút chỉ số
12)
Thời điểm cho trớc không phải
là giờ đúng (giờ hơn hoặc
kém ) thì ta đổi về giờ hơn
mà đa về thời điểm giờ đúng để
tìm khoảng cách của hai kim
một cách chính xác (Nếu thời
điểm cho trớc mà vị trí của kim
phút ở sau kim giờ thì ta đa về
giờ đúng là a giờ. Nếu thời điểm
cho trớc mà vị trí của kim phút
ở trớc kim giờ thì ta đa về giờ

đúng là (a +1)giờ (giờ liền sau
giờ đã cho).
Bớc 2 Tìm khoảng cách
giữa 2 kim đồng hồ
Khoảng cách giữa hai kim lúc
đó là khoảng cách mà kim phút
chỉ số 12 và kim giờ chỉ số a.
Bớc 3 Tìm thời gian để
hai kim đuổi kịp
nhau bắt đầu từ lúc
giờ đúng.
Khoảng cách giữa hai kim (thời
điểm giờ đúng) chia cho hiệu
vận tốc của hai kim.
Bớc 4 Tìm thời điểm để Thời điểm giờ đúng + Thời gian
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 12 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
hai kim đuổi kịp
nhau
đuổi kịp nhau (kể từ giờ đúng)
Dạng II:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ:tạo ra
các góc.
Khi hai kim chuyển động trên mặt đồng hồ, giữa hai kim sẽ tạo ra các
góc khác nhau. Khoảng cách đi tr ớc đợc tính nh thế nào khi giữa kim phút
và kim giờ tạo ra các góc đó? Thời gian ngắn nhất tại một thời điểm cho trớc để
đến lúc chúng tạo ra các góc là bao nhiêu? Chúng tôi đã hớng dẫn học sinh giải
các bài tập loại này thông qua các trờng hợp đặc biệt khi hai kim tạo ra góc
vuông, góc bẹt (thẳng hàng) mà các em đợc học ở chơng trình Tiểu học.

1. Hai kim vuông góc:
Bài toán 5:
Bây giờ là 12 giờ tra. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút nữa thì hai kim sẽ
vuông góc với nhau ?
Các bớc Phân tích và giải Ghi chú
Bớc 1
Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ chập khít lên
nhau và cùng chỉ số 12
- Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau thì
kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ
12
3
vòng đồng
hồ.
- Mỗi giờ kim phút đi đợc 1 vòng đồng hồ còn
kim giờ chỉ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ => hiệu vận
tốc của hai kim là:
1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để kim phút đuổi

kịp kim giờ là:
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 13 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
12
3
:
12
11
=
11
3
(giờ)
Đáp số :
11
3
giờ
Bài toán 6:
Trong một ngày thì có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ vuông góc với
nhau ?
Các bớc Phân tích và giải Ghi chú
Bớc 1
Bớc 2

Bớc 3
- Lúc 3 giờ thì hai kim vuông góc với nhau
(kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 3 ). Để dễ
tính , ta tính 1 ngày(24 giờ) từ 3 giờ sáng hôm
nay đến 3 giờ sáng hôm sau.
- Lúc 3 giờ sáng, kim phút ở sau kim giờ

12
3

vòng đồng hồ, sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ.
- Hai kim muốn vuông góc thì kim phút phải đi
nhiều hơn kim giờ
12
3
vòng đồng hồ nữa.
Nh vậy, lúc 3 giờ đến khi hai kim vuông góc lần
thứ nhất thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là :
12
3
+
12
3
=
12
6
(vòng đồng hồ)
- Mỗi giờ kim phút đi đợc 1 vòng đồng hồ còn
kim giờ chỉ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ.
- Thời gian lần thứ hai (kể từ lần đầu lúc 3 giờ)
hai kim vuông góc với nhau là:
12
6
: (1 -

12
1
) =
11
6
(giờ)
- Số lần để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau
trong một ngày là :
24 :
11
6
= 44 ( lần )
Đáp số: 44 lần
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 14 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
2. Hai kim thẳng hàng:
Bài toán 7: Bây giờ là 3 giờ. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ
thẳng hàng với nhau là bao nhiêu ?
Các bớc Phân tích và giải Ghi chú
- Bớc 1
- Bớc 2
- Bớc 3
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số
3. Kim phút cách kim giờ
12
3
vòng đồng hồ .
Sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng với
kim giờ ) .

- Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim thẳng
hàng với nhau thì kim phút phải đi vợt kim giờ
12
6
vòng đồng hồ nữa .
Nh vậy , kể từ lúc 3 giờ , tới lúc hai kim thẳng
hàng với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn
kim giờ:
12
3
+
12
6
=
12
9
(vòng đồng hồ)
Từ lúc 3 giờ , thời gian ngắn nhất để hai kim
thẳng hàng với nhau là :
12
9
: (1 -
12
1
) =
11
9
(giờ )
Đáp số :
11

9
(giờ )
Bài toán 8:
Trong một ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau ?
Các bớc Phân tích và giải Ghi chú
- Bớc 1
- Ta thấy, lúc 6 giờ sáng hai kim đồng hồ thẳng
hàng với nhau. Để dễ tính, ta tính một ngày (24
giờ) bằng cách tính 6 giờ sáng hôm nay đến 6
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 15 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
- Bớc 2
- Bớc 3
giờ sáng hôm sau.
- Lúc 6 giờ, kim phút cách kim giờ
12
6
vòng
đồng hồ. Khi đuổi kịp kim giờ thì kim phút đã
đi nhiều hơn kim giờ
12
6
vòng đồng hồ.
- Đến khi hai kim thẳng hàng với nhau thì kim
phút lại đi hơn kim giờ
12
6
vòng đồng hồ nữa.
Nh vậy từ lúc 6 giờ (hai kim thẳng hàng lần thứ

nhất) đến khi hai kim thẳng hàng lần thứ hai thì
kim phút đi nhiều hơn kim giờ :

12
6
+
12
6
= 1 (vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim thẳng hàng lần thứ nhất
đến thẳng hàng lần thứ hai là :
1: (1 -
12
1
) =
11
12
(giờ )
Số lần để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau
trong một ngày là :
24 :
11
12
= 22 ( lần )
Đáp số : 22 lần
Kết luận :
Đối với Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khi mà hai kim
tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng chúng tôi đã hớng dẫn học sinh giải theo
3 bớc cơ bản sau:
Bớc 1: Tìm thời gian hai kim gặp nhau ( chập nhau ) .

Bớc 2: Tìm thời gian hai kim tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng
với nhau khi chúng cùng chung một điểm xuất phát.
Bớc 3: Tìm thời gian hoặc thời điểm của hai chuyển động trên.
* Chú ý: Trờng hợp khi thời điểm cho trớc không phải là giờ đúng thì ta đa về
thời điểm mà hai kim chỉ giờ đúng ( cách đa giờ đúng đã nói ở trên), để xác
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 16 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
định khoảng cách giữa hai kim một cách chính xác và sau đó tìm thời gian hai
kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ giờ đúng đó.
3. hai kim đổi chỗ cho nhau
Bài toán 9:
Buổi chiều, An ngồi làm một bài văn lúc hơn 3 giờ 20 phút một chút.
Khi An làm xong bài văn thì thấy cũng là lúc hai kim đồng hồ đổi chỗ cho
nhau . Hỏi An làm bài văn đó hết bao nhiêu phút ?
Phân tích và giải:
Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi đợc một quảng
từ vị trí trên số 4 một chút đến vị trí kim giờ lúc bắt đầu làm bài là trên số 3
một chút. Còn kim giờ di chuyển từ vị trí ban đầu (hơn 3 giờ 20 phút một chút)
đến vị trí kim phút. Nh vậy tổng quảng đờng đi của hai kim đồng hồ vừa tròn
một vòng đồng hồ (tức 1 giờ).
Trong một giờ, kim phút đi đợc một vòng đồng hồ , còn kim giờ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ. Nh vậy, tỷ số vận tốc giữa kim giờ và kim phút là :
12
1
: 1 =
12
1

Ta có sơ đồ:
Kim giờ 1 giờ
Kim phút
Thời gian An làm xong bài văn là:
1 : (1 + 12) x 12 =
13
12
(giờ)

13
12
giờ = 55
13
5
phút
Đáp số : 55
13
5
phút
Kết luận:
Trờng hợp bài toán mà hai kim đổi chỗ cho nhau chúng tôi đã hớng dẫn
học sinh đa về dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó
- Tổng quảng đờng đi đợc của hai kim là 1 vòng đồng hồ (tức 1 giờ) .
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 17 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
- Tỷ số là tỷ số vận tốc di chuyển trên mặt đồng hồ của hai kim bằng
12
1
- Hai số là thời gian chuyển động của hai kim đến khi đổi chỗ cho nhau.

* Một số bài toán luyện tập thêm:
Bài 1: Bây giờ là 11 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu nữa kim phút đuổi kịp
kim giờ?
Bài 2: Bây giờ là 6 giờ đúng. Hỏi đến thời điểm nào thì hai kim đồng hồ
sẽ chập nhau?
Bài 3: Bây giờ là 4 giờ 13 phút. ít nhất sau bao lâu nữa hai kim đồng hồ
sẽ chập nhau?
Bài 4: Bây giờ là 2 giờ đúng. Hỏi đến thời điểm nào thì hai kim đồng hồ
sẽ vuông góc với nhau?
Bài 5: An ăn cơm trong khoảng từ 5 -> 6 giờ chiều lúc mà hai kim đồng
hồ trùng khít lên nhau. Lúc An ăn cơm xong thì hai kim đồng hồ thẳng hàng
với nhau. Hỏi An ăn bữa cơm hết bao nhiêu phút?
Bài 6: Hoa học bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi
trong thời gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .
Với mục đích là nâng cao năng lực giải toán ở tiểu học nói chung và dạng
toán chuyển động cùng chiều thuộc Các bài toán chuyển động của hai kim
đồng hồ nói riêng cho giáo viên và học sinh trong nhà trờng. Thực hiện đổi
mới phơng pháp dạy học và bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu về
môn toán chúng tôi đã thực hiện trên hai đối tợng:
- Đối với giáo viên: Nhà trờng đã tổ chức chuyên đề bồi dỡng học sinh
giỏi cho tất cả giáo viên trực tiếp đứng lớp. Sau khi giáo viên đợc bồi dỡng về
kiến thức và phơng pháp , chúng tôi tổ chức các tiết dạy thể nghiệm trên đối t-
ợng là học sinh lớp 5 và tổ chức hội thảo rút kinh nghiệm. Qua hội thảo, năng
lực, khả năng của giáo viên đợc nâng lên. Đa số giáo viên đã biết và có thể phát
huy đợc khả năng của mình trong việc đổi mới phơng pháp bồi dỡng học sinh
năng khiếu về môn toán. Các tổ chuyên môn đã đề xuất cách dạy Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ đợc xây dựng trên nền của kiến thức
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 18 -

Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Tìm một phần mấy của một số đã học ở lớp 3 để dạy ở lớp 4 và lớp 5 .Khai
thác các bài toán về tỷ số phần trăm trong SGK toán 5 để dạy các bài toán tỷ số
phần trăm trong chơng trình kiến thức nâng cao vv Việc dạy học môn
Toán trong trờng ngày càng có chiều sâu và tính hiệu quả.
- Đối với học sinh:
Với phơng pháp dạy học xây dựng trên nền kiến thức cũ trong các buổi
học BDHSG, các em học sinh lớp 5 đợc học kiến nâng cao trở nên nhẹ
nhàng hơn, dễ tiếp thu hơn từ đó tạo đợc động lực học tập các môn học nói
chung và môn Toán nói riêng.
Giờ đây, Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ trở nên
quen thuộc. Nó không còn là một loại toán khó trong chơng trình toán lớp
5 bởi nó đợc vận dụng từ kiến thức chuẩn của môn Toán để giải.
V. Kết luận.
1. Phơng pháp dạy học Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
môn Toán lớp 5 đợc thiết kế trên cơ sở các bài toán trong sách giáo khoaTtoán
5 đã thật sự thành công không chỉ đối với học sinh mà nó còn có ý nghĩa thiết
thực đối với giáo viên, đối với hoạt động chuyên môn của nhà trờng.
- Giáo viên đã cảm thấy tự tin hơn khi xây dựng kiến thức mới trên nền
kiến thức cũ và vốn thực tế mà trớc đây còn có một số giáo viên còn dè dặt cha
mạnh dạn, vẫn tuân thủ sách thiết kế hoặc các tài liệu tham khảo.
- Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ giờ đây không phải
là những bài toán khó đối với giáo viên và cả học sinh. Đặc biệt, nó đã thúc đẩy
phong trào tự nghiên cứu đổi mới phơng pháp dạy học nói chung và phơng
pháp bồi dỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán trong toàn trờng.
Nh chúng tôi đã đề cập đến ở trên, không những Phơng pháp dạy học Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ mà ph ơng pháp giải các bài toán
phần trăm ở môn Toán lớp 5, ph ơng pháp dạy tỷ số ở môn Toán 3 đợc
thiết kế trên cơ sở các bài toán trong sách giáo khoa vv đã thúc đẩy phong
trào dạy học ở trờng chúng tôi. Tuy nhiên, hiện nay chất lợng của trờng còn

Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 19 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
cha đợc nh mong muốn nhng chúng tôi tin tởng rằng trong thời gian không xa,
chất lợng của trờng Tiểu học Quỳnh Thạch sẽ đợc ghi nhận.
1. Qua việc nghiên cứu , triển khai và áp dụng Phơng pháp dạy học Các
bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ môn Toán lớp 5 chúng tôi thấy:
Một là: Quản lý nhà trờng phải phối hợp chặt chẽ với tổ chuyên môn và
giáo viên bồi dỡng để lập kế hoạch chỉ đạo công tác bồi dỡng đồng thời phải
nắm vững nội dung chơng trình bồi dỡng để có thể xây dựng, kiểm tra đánh
giá, giúp đỡ và hớng dẫn giáo viên khi cần thiết.
Hai là: Phải biết tạo động lực thúc đẩy tinh thần tự học, tự nghiên cứu của
giáo viên. Tạo nên sự hứng thú để giáo viên xem đây là một niềm vui trong học
tập nghiên cứu. Tạo đợc lòng tin vào chính mình, khả năng của chính mỗi giáo
viên để có thể phát huy đợc khả năng tiềm ẩn trong họ, thổi lên ngọn lửa đam
mê nghiên cứu trong mỗi giáo viên.
Ba là: Kiến thức là không giới hạn, phơng pháp dạy học là nghệ thuật vì
vậy chúng ta cần biết lựa chọn và vận dụng kiến thức và phơng pháp phù hợp,
linh hoạt , sáng tạo để đạt đợc mục đích dạy học. Chúng tôi xin đợc nhắc lại
câu nói của ông cha Ng ời khôn ngoan là ngời biết chọn con đờng ngắn nhất
để đi tới đích
Quỳnh Thạch, ngày 28 tháng 4 năm 2010
Ngời viết
Hồ Trung Lợi
Đặng Thị Văn
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 20 -