sáng kiến kinh nghiệm các dạng toán về xác suất

PHẦN 1: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lý luận:
Xác suất và biến cố là một phần kiến thức cơ bản, quan trọng trong chương trình
Toán lớp 11. Các bài toán liên quan đến xác suất có đặc thù riêng, mang tính thực tiễn và
có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Và các bài toán Xác suất và biến cố thường là các bài
toán khó và hay có trong chương trình toán THPT. Học sinh khi gặp các bài toán này
thường thì lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán.
2.Cơ sở thực tiễn:
Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có
được trong quá trình dạy học, tôi tổng kết được những dạng toán cơ bản của Xác suất và
biến cố.
3.Mục đích nghiên cứu đề tài:
Nghiên cứu đề tài Xác suất và biến cố nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của
mình về vấn đề này và hơn thế nữa để sử dụng nó trong quá trình dạy học sinh ôn thi tuyển
sinh đại học và ôn thi học sinh giỏi.
4.Phương pháp nghiên cứu đề tài:
-Phân dạng bài tập cơ bản.
-Trong mỗi dạng bài tập cơ bản đều có ví dụ minh hoạ.
-Sau các ví dụ minh hoạ là các chú ý, nhận xét, phương pháp giải của từng dạng.
-Cuối cùng là các ví dụ luyện tập, hướng dẫn và bài tập tự luyện.
4.Nội dung cơ bản của đề tài:
Dạng 1 : Biến cố và xác suất của biến cố
Dạng 2 : Các quy tắc tính xác suất
Dạnh 3 : Biến ngẫu rời rạc
Dạng 4 : Xác suất có điều kiện (mở rộng)

1
PHẦN 2 : NỘI DUNG
DẠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/. Phép thử ngẫu nhiên.

+/ Phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà
- Kết quả của nó không đoán trớc đợc.
- Có thể xác định đợc tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đợc gọi là không gian mẫu của
phép thử, kí hiệu là
Ω
2/. Biến cố.
+/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A
tuỳ thuộc vào kết quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra , đợc gọi là một kết quả thuận lợi cho
A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A đợc kí hiệu là
Ω
A
Khi đó ta nói biểu cố A đợc mô tả bởi tập hợp
Ω
A.
3/. Xác suất của biến cố.
+/ Định nghĩa cổ điển.
Giả sử phép thử T có không gian mẫu
Ω
là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của
T là đồng khả năng.
Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và
Ω
A.
là tập hợp các kết quả thuận lợi cho
A, thì xác suất của A là một số , ký hiệu là P(A), đợc tính bằng công thức;
P(A) =
A

Ω
Ω
+/ L u ý . / 0
≤
P(A)
≤
1
./ P(
Ω
) = 1 , P(
∅
) = 0
+/ Định nghĩa thống kê xác suất.
./ Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta thực hiện N lần phép
thử T.
Số lần xuất hiện biến cố A đợc gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Tý số giữa tần số của A với số N đợc gọi là tần suất của A trong N lần thực
hiệnphép thử T.
./ Khi N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định. Số đó gọi lần
xác suất của A theo nghĩa thống kê.
Trong khoa học thử nghiệm , ngời ta thờng lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất
còn đợc gọi là xác suất thực nghiệm.
II. MỘT SỐ VÍ DỤ.
Ví dụ 1;
Gieo một đồng tiền xu 3 lần
1/ Xây dựng không gian mẫu.
2
2/ Gọi các biến cố
A. “Lần đầu gieo xuất hiện mặt sấp”
B. “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”

C. “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
-Mô tả các tập
Ω
A.
,
Ω
B
,
Ω
C
.?
-Tính P(A), P(B), P(C)?
Giải
Ta ký hiệu S là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp và N là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt
ngửa.
1/ Không gian mẫu.
Ω
=
{ }
SSS,SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS, NNN
Và
Ω
= 8
2/
+/ Với biến cố A; “ lần đầu tiên gieo xuất hiện mặt sấp”
Ta có
Ω
A
=
{ }

SSS,SSN,SNS,SNN

A
Ω
= 4
⇒
P(A) =
4
8
= 0,5
+/ Với biến cố B ; “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
Ta có;
Ω
B
=
{ }
SSN,SNS, NSS
. Và
B
Ω
= 3
⇒
P(B) =
3
8
+/ Với biến cố C; “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
Ta có;
Ω
C
=

{ }
SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS,NNN
Ω
C
= 7
⇒
P(C) =
7
8
Ví dụ 2
Điểm bài kiểm tra học kỳ I của hai môn Toán, Văn của 10 học sinh nh sau;
Môn Toán ; 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10
Môn Văn ; 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10
Rút ngẫu nhiên từ tập bài đó mỗi môn một bài. Tìm xác suất để trong hai bài rút ra
1/ Có đúng một bài điểm 5
2/ Có đúng một bài điểm 10
3/ có ít nhất một bài đạt điểm 10
Giải
+/ Ta ký hiệu T là phép thử “ Rút ngẫu nhiên từ tập bài thi, mỗi bài có một bài”
Biến cố A; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 5”
Biến cố B; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 10”
Biến cố C; “ Trong hai bài rút ra, có ít nhất một bài đạt điểm 10”
3
+/ Do có 10 bài thi môn toán , 10 bài thi môn Văn nên không gian mẫu
Ω
của phép thử T
có;
Ω
= 10 . 10 = 100
1/ Ghép bài điểm 5 môn Toán với mỗi một bài thi môn Văn, ta có 10 cách ghép, tức là

A
Ω
= 10
⇒
P(A) =
1
10
= 0,1
2/ +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Toán với một trong số 8 bài không đạt điểm 10 môn Văn,
ta có 3 . 8 = 24 cách.
+/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Văn với một trong số 7 bài không đạt điểm 10 môn Toán,
ta có 2 . 7 = 14 cách.
⇒
B
Ω
= 24 + 14= 38
⇒
P(B) =
38
100
= 0,38
3/ +/ Có 3 bài đạt điểm 10 môn Toán, 2 bài đạt điểm 10 môn Văn
→
có 3 . 2 = 6 cách
ghép hai bài Toán ,Văn cùng điểm 10.
+/ Từ đây và từ câu (2), ta có;
C
Ω
= 24 + 14 + 6 = 44
⇒

P(B) =
44
100
= 0,44
Ví dụ 3
Trong một hộp có 10 con số; 0, 1, 2….9 . Lờy ngẫunhiên 4 con số trong hộp và xếp
lại thành dãy.
Tìm xác suất đê số xếp đợc là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hét cho 5.
Giải
+/ Gọi phép thử T “ Lấy ngẫu nhiên 4 con số trong hộp”
Gọi biến cố A; “ Xếp đợc số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5”
+/ Khi đó không gian mẫu
Ω
, có
Ω
= A
4
10
= 5040
+/ Ta đi tìm số các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5(Thực chất là tìm
A
Ω
) Số
này có dạng
abc0
hoặc
abc5
.
+/ Số có dạng
abc0

có 9 . 8 . 7 = 504 (số)
+/ Số có dạng
abc5
có 8 . 8 . 7 = 448 (số)
Vậy có 504 + 448 = 952 (số)
Hay
A
Ω
= 952
Từ đây, ta đợc P(A) =
952
5040
=
17
90
Ví dụ 4
Đội tuyển thi đấu thể thao của một trờng THPT gồm 20 em , trong đó có 11 em thi
đá cầu, 9 em thi điền kinh. Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội . Tìm xác suất để
1/ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.
2/ Hai em đều thi đấu điền kinh.
4
Giải
+/ Gọi phép thử T “Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội tuyển”
⇒
Ω
= C
2
20
= 190
1/

+/ Gọi biến cố A ; “ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.”
⇒
A
Ω
= C
1
11
. C
1
9
= 99
⇒
P(A) =
99
190
2/
+/ Gọi biến cố B; “ Hai em đều thi đấu điền kinh”
⇒
B
Ω
= C
2
9
= 36
⇒
P(B) =
36
190
=
18

95
III/ BÀI TẬP
Bài 1
Gieo 2 đồng tiền đồng chát, cân đối. Tìm xác suất để;
1/ Cả 2 dồng xu đều sấp
2/ Chỉ có một đồng xuất hiện mặt sấp.
3/ ít nhất 1 đồng xuất hiện mặt sấp.
Bài 2
Trong phép thử gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố
sau;
1/ A
K
= “ Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là k”
với k = 2, 3, 4, …,12.
2/ B
i
= “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là i”
Với i = 0, 1, 2,…,5.
3/ C
j
= “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là j”
Với j = 2, 4, 6, 8, 12.
Bài 3
Túi 1 đựng 10 bài thi Toán, túi 2 đựng 10 bài thi Văn. Điểm (thang điểm 20) của
các bài thi nh sau;
Môn Toán ; 8, 9, 12, 15, 15, 17, 18, 19, 19, 19.
Môn Văn ; 7, 10, 15, 16, 18, 18, 18, 19, 19, 20.
Rút ngẫu nhiên mỗi túi một bài thi. Tìm xác suất để.
1/ Cả hai bài đều đạt 19 điểm.
2/ It nhất một bài đạt 19 điểm.

3/ Tổng số điểm thi của hai bài bằng 35.
Bài 4
Trong một trận thi đấu bóng đá , tuổi của 11 cầu thủ thi đấu trên sân nh sau.
Đội 1; 17, 17, 18, 19, 19, 19, 22, 23, 24, 24,26.
Đội 2; 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 22, 24, 25, 30.
5
Khai mạc trận đấu , các cầu thủ của hai đội lần lợt bắt tay nhau ( mỗi cầu thủ của đội này
lần lợt bắt tay với từng cầu thủ của đội kia).
Tìm xác suất để2 cầu thủ bắt tay cùng tuổi.
Bài 5
Cho một khối lập phơng mà các mặt của nó đều đợc sơn. Ca khối lập phơng đó
thành 1000 khối lập phơng nhỏ nh nhau.
1/ Lấy ngẫu nhiên 1 khối nhỏ. Tìm xác suất để khối đó có hai mặt đợc sơn.
2/ Lấy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ. Tìm xác suất để 2 khối đó có 1 mặt đợc sơn.
3/ Lấy ngẫu nhiên 3 khối nhỏ. Tìm xác suất để cả 3 khối đó không có mặt nào đợc sơn.
Bài 6
Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thớc 5 cm . 10 cm . 15 cm. Hai mặt đáy đợc
sơn màu xanh và các mặt xung quanh đợc sơn màu vàng . Ca khối đó thành 750 khối lập
phơng nhỏ nh nhau. Lờy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ.
Tìm xác suất để;
1/ Một khối không có mặt nào đợc sơn và một khối kia có 2 mặt đợc sơn.
2/ Cả hai khối đều chỉ có 1 mặt đợc sơn màu vàng còn 5 mặt kia không đợc sơn.
Bài 7
Trong một hộp khối kín có 9 bi màu xanh và 6 bi màu trắng kích thớc nh nhau. Lấy
ngẫu nhiên 2 bi từ hộp đó.
Tìm xác suất để;
1/ Hai viên khác màu.
2/ Hai viên đều màu trắng.
3/ ít nhất một viên màu xanh.
Bài 8

Đội văn nghệ của nhà trờng gồm 15 học sinh, trong đó 5 học hinh khối 10, 5 học hinh khối
11, và 5 học hinh khối 12. Gặp nhau ngẫu nhien 3 em trong đội. Tìm xác suất để;
1/ Ba em học sinh là 3 học sinh khối khác nhau.
2/ Trong đó có đúng 2 em học sinhh khối 11.
3/ ít nhất có 1 học sinh khối 10.
Bài 9
Trong hộp kín có 10 chữ số; 0, 1, 2, 3, ….9.
Lấy ngẫu nhiên 5 số từ hộp đó rồi xếp thành hàng. Tìm xác suất để số xếp đợc là;
1/ Số có 5 chữ số.
2/ Số có 5 chữ số chia hết cho 5.
3/ Số chẵn có 5 chữ số.
DẠNG 2: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1.Quy tắc cộng xác suất.
a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B . Biến cố “ A hoặc B xảy ra”,kí hiệu là A
∪
B,được gọi là hợp của 2 biến cố Avà B.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B là
BA
Ω∪Ω
.
6
b. Biến cố xung khắc: cho 2 biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với
nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xay ra.
Hai biến cố A và B xung khắc
φ
=Ω∩Ω⇔
BA
.
c. Quy tắc cộng xác xuất:

+/ Nếu 2 biến cố đối A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B
xảy ra là :

P(A B) P(A) P(B)∪ = ∪
+/ Mở rộng : Cho k biến cố
1 2, k
A ,A A
đôi 1 xung khắc
khi đó
1 2 k 1 2 k
P(A A A )P(A ) P(A ) P(A )∪ ∪ + + +
.
d. Biến cố đối :
+/ Cho A là một biến cố khi đó biến cố không xảy ra A kí hiệu là
A
,
được gọi là 1 biến cố của A.
Ta có tập các kết quả thuận lợi cho
A
là :

A
A
ΩΩ=Ω
−
\
.
+/ Định lí :
Cho biến cố A , xác suất của biến cố đối
A

là :

( )
P A 1 P(A)= −

2.Quy tắc nhân xác suất :
a. Biến cố giao:
+/ Cho 2 biến cố Avà B. “Biến cố cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là
AB,được gọi là giao của 2 biến cố A và B.
+/ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB:

BAAB
Ω∩Ω=Ω
.
b. Biến cố độc lập :
+/ Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất việc xảy ra biến cố kia.
+/ Nếu A và B là độc lập thì Avà
B
;
A
và B ;
A
và
B
cũng độc lập với nhau.
c. Quy tắc nhân xác suất
+/ Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB) P(A).P(B)
=

+/ Nếu P(AB)
≠
P(A).P(B) thì A và b không độc lập với nhau.
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
+/ Diễn đạt được nội dung các biến cố hợp,biến cố giao biến cố đối.
+/ Vận dụng các quy tắc cộng,nhân để giải toán.
III. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Hai khẩu cao xạ cùng bắn vào 1 chiếc máy bay 1 cách độc lập với
nhau xác suất trúng đích của khẩu thứ nhất là 0.75, khẩu thứ 2 là 0.65
Máy bay bắn rơi nếu đồng thời cả 2 khẩu bắn chúng. Tính xác suất
7
để máy bay bắn rơi.
Giải:
+/ Ta kí hiệu biến cố:

1
T
: “Khẩu thứ nhất bắn trúng máy bay "

2
T
: “Khẩu thứ hai bắn trúng máy bay” .

R
: “Máy bay rơi”.
+/ Ta có:
P(
1
T
) = 0.75

P(
2
T
) = 0.65
R=
1
T
∩
2
T
.
+/ Vì
1
T
,
2
T
là hai biến cố độc lập nên xác suất để máy bay bắn rơi
là:
P(R)=P(
1
T
∩
2
T
)= P(
1
T
).P(
2

T
)=0.75
×
0.65=0.4875.
Ví dụ 2: Một nhóm học sinh giỏi gồm 60 học sinh trong đó có 40 học sinh
giỏi toán,30 học sinh giỏi lý và 20 học sinh giỏi toán và lý.Chọn ngẫu nhiên 1 học
sinh. Tính xác suất để :
1/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi toán.
2/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi lí.
3/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi cả toán và lý.
Giải:
Gọi A,B,C,D là các biến cố ứng với 4 câu hỏi trong bài toán.
Ta có :
1/ P(A)=
40 2
60 3
=
.
2/ P(B)=
30 1
60 2
=
.
3/ P(C)=
20 1
P(A B)
60 3
∩ = =
.
4/ Từ

P(A B) P(A) P(B) P(A B)
2 1 1 5
.
3 2 3 6
∪ = + − ∩
= + − =
Ta có :

P(D) P(A B) P(A B)
5 1
1 P(A B) 1 .
6 6
= ∩ = ∪
= − ∪ = − =

Ví dụ 3 : Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10,đồng thời các quả từ 1 đến 6
được tô màu xanh.Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả .
Kí hiệu biến cố A : “Quả lấy ra màu xanh”
B : “Quả lấy ra ghi số chẵn” .
Hỏi 2 biến cố A,B độc lập hay không.
Giải:
8
+/ Ta có
10
=Ω


6=Ω
A

6 3
P(A)
10 5
⇒ = =
.
+/.Mặt khác
3
=Ω
AB

5 1
P(B)
10 2
⇒ = =
,
3
P(A B)
10
∩ =
.
+/ Nhận thấy
P(A B) P(A).P(B)∩ =
Vậy hai biến cố A,B độc lập .
Ví dụ 4: Trong kì thi kiểm tra chất lượng ở 2 lớp thuộc khối 11,môi lớp có 25% học sinh
trượt mônVăn ,15%học sinh trượt môn Sử và 10% học sinh trượt môn Địa. Từ mỗi lớp
trọn ngẫu nhiên một học sinh.Tính xác suất sao cho :
1. Hai học sinh trượt môn Văn .
2. Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó .
3. Hai hoc sinh đó không bị trượt môn nào.

4. Có ít nhất một học sinh bị trượt ít nhất một môn.
Giải:
Ta kí hiệu biến cố:

1
A
: “Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Văn” .

2
A
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Sử” .

3
A
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Địa” .

1
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Văn” .

2
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Sử” .

3
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Địa” .
Khi đó các biến
i j
A ,B ,(i,j 1,2,3) lµ ®éc lËp=

.
1/ Ta cần tính
1 1
P(A B )
,
1 1 1 1
1 1 1
P(A B ) P(A )P(B ) .
4 4 16
= = =
.
2/ Biến cố “Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó”, là

( ) ( )
1 2 3 1 2 3
A A A B B B∪ ∪ ∩ ∪ ∪
.
Đặt A=
( )
1 2 3
A A A∪ ∪
,B=
( )
1 2 3
B B B∪ ∪


1 1
P(A) , P(B)
2 2

⇒ = =
.

1
P(A B) P(A).P(B)
4
⇒ ∩ = =
3/ Biến cố “Hai học sinh đó không bị trượt môn nào”,là
A B∩
.
+/ Ta có
( )
2
1 1
P A B P(A).P(B)
2 4
 
∩ = = = ×
 ÷
 
4/ +/ Biến cố “Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một
môn”., là
A B∪
.
9

( ) ( ) ( ) ( )
/ T a cã P A B P A P B P AB
1 1 1 3
2 2 4 4

+ ∪ = + −
= + − = ×

IV. BÀI TẬP

Bài 1: Trong một hộp kín có 15 quả cầu kích thước như nhau.Trong đó có 5 viên màu
xanh ,10 viên màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 quả.
Tìm xác suất để
1. Ba quả cầu lấy ra không cùng màu.
2. Ba quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu xanh.

Bài 2: Trong một phân xưởng có 10 máy hoạt động.Xác suất để trong 1 ca có 1 máy phải
sửa là 0,2 ; xác suất để có 2 máy phải sửa là 0,3 ; vấc suất để có nhiều hơn hai máy
phải sửa là 0,07. Tìm xác suất để trong 1 ca phân xưởng đó không có máy phải sửa.

Bài 3: Trong 1 phân xưởng có 3 máy làm việc độc lập với nhau.Trong 1 ca sản xuất xác
suất để máy 1 phải sửa là 0,12 ; máy 2 phải sửa là 0,18 ; máy 3 phải sưa là 0,1. Giả
sử 3 máy không đồng thời phải sửa .
Tính xác suất để trong ca đó phải sửa máy.
Bài 4: Trong hộp kín có 7 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu đỏ.Lờy ngẫu nhiên từ
trong hộp mỗi lần 1 quả(không hoàn lại) cho đến khi được quả màu xanh thì dừng
lại .
Tính xác suất để người đó dừng lại ở lần thứ 4.

Bài 5 :
Một xạ thủ bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu cho đến khi trúng đích thì ngừng. Tìm xác
suất để bắn đến viên thứ 3 thì ngừng.Biết xác suất bắn trúng đích cho mỗi lần bắn là
0,85.

Bài 6 : Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số. Tính xác suất để :

1. Số vé không có số 1 hoặc không có số 5 .
2. Số vé có chữ số 5và chữ số chẵn .

Bài 7: Trong một lớp học có 6 bóng đèn , mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học
đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng.
Tính xác suất để lớp học không đủ sáng.

Bài 8: Một bài thi trắc nhiệm gôm 12 câu hỏi mỗi câu hỏi cho 4 câu trẩ lời trong đó chỉ có
1 câu đúng .
Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm và mỗi câu trả ,lời sai không bi trừ điểm.
Một học sinh học kém làm bài bằng cách chọn tùy ý câu trả lời. Tính xác suất để
anh ta được 6 điểm.

10
Bài 9: Gieo đồng thời 3 con súc sắc.Người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất 2 mặt 6
chân.Tính xác suất để ttrong 5 ván chơi,thắng ít nhất là 3 ván.
Bài 10 : Một người bắn 3 viên đạn xác suất để 3 viên trúng vòng 10 là 0,008;
xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15;và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là
0,4.
Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất là 28 điểm.

Bài 11: Một máy bay có 5 động cơ, trong 2 động cơ ở cánh phải, hai động cơ ở nhánh trái
và 1 động cơ ở thân đuôi.Mỗi động cơ ở cánh phải và ở thân đuôi có xác suất bị hỏng là
0,1 ; còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,05. Các động cơ hoạt động độc
lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp.
1/ Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc.
2/ Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm việc.

Bài 12 : Một xí nghiệp xản suất bóng đèn có 4 phân xưởng. Khi xuất xưởng, tỉ lệ chính
phẩm của mỗi phân xưởng như sau:

Phân xưởng I đạt 99,7% ; phân xưởng II đạt 99,85% ; phân xưởng III đạt 99,65% và
phân xưởng IV đạt 99,9% .Lấy ngẫu nhiên mỗi phân xưởng 1 sản phẩm.Tìm xác suất để
trong số lấy ra
1/ Có 4 sản phẩm đều là phế phẩm.
2/ Có đúng 2 chính phẩm .
Bài 13: Tỷ lệ thí sinh trúng tuyển vào đại học là 20%. Rút ngẫu nhiên một hồ sơ trong số
hồ sơ của thí sinh dự thi cho đến khi được hồ sơ của thí sinh trúng tuyển thì dừng lại. Tìm
xác suất để phải rút đến lần thứ tư.
Bài 14: Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với nhau.
Xác suất trúng đích của xạ thủ thứ nhất là 0,85 ,xạthủ thứ 2 là 0,75
Tìm xác suất để :
1/ Người thứ nhất bắn 3 phát đầu, có 1 phát trúng đích .
2/ Người thứ 2 bắn 3 phát đầu, có hai phát trúng đích.
3/ Cả 2 người bắn trúng ngay từ phát đầu tiên .
4/ Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người bắn 1 phát.
Bài 15: Kết quả kiểm tra chất lượng học kì I của K11 như sau:
Lớp 11A tỉ lệ khá giỏi 92%.
Lớp 11B tỉ lệ khá giỏi 80%.
Lớp 11C tỉ lệ khá giỏi 85%.
Lớp 11D tỉ lệ khá giỏi 78%.
Lớp 11E tỉ lệ khá giỏi 65%.
Rút ngẫu nhiên mỗi lớp 1 bài kiểm tra.Tìm xác suất để trong 5 bài đó
1/ Đều đạt khá trở lên
2/ Có 3 bài đạt điểm khá trở lên.
3/ Không có bài nào đạt điểm khá giỏi.
DẠNG 3 : BIẾN NGẪU RỜI RẠC
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
11
1. Biến ngẫu rời rạc
Đại lương X được gọi là biến ngẫu rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập

hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán dược.
2/ Phân bố xác suất của biến ngẫu rời rạc.
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị;
{ }
1 2 n
x ,x x
. Để hiểu rõ
hơn về X , ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị x
k
, tức là các số
(X = x
k
) = P
k
với k = 1, 2, …n.
Các thông tin về X như vậy thường được trình bày dưới dang bảng sau.
X X
1
X
2
… x
n
P P
1
P
2
… p
n
Và gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên tời rạc X.
3/ Kỳ vọng.

+/ Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị;
{ }
1 2 n
x ,x x
.
Kỳ vọng của X , ký hiệu là E (X), là một số, được tính theo công thức;
E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+…. + x
n
p
n
=
n
i i
i 1
x p
=
∑
ở đây p
i
= P(X = x
i
) , i= 1, 2, …n.

+/ ý nghĩa.
E(X) là một số , cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của X
+/ Lưu ý;
Kỳ vọng của X không nhất thiết thuộc tập hợp các giá tri của X.
4/ Phương sai
+/ Cho X là biểu ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là;
{ }
1 2 n
x ,x , ,x
Phương sai của X , ký hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức;
V(X) = (x
1
-
µ
)
2
p
1
+ (x
2
-
µ
) p
2
= …+ (x
n
-
µ
)
2

p
n
=
n
i 1−
∑
(x
i
-
µ
)
2
p
i
ở đây p
i
= P(X=x
i
), i = 1, 2, …, n. và
µ
= E(X)
+/ ý nghĩa;
Phương sai là một số không âm. Nó cho ta ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X
xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì mức độ phân tán này càng lớn.
5/ Độ lệch chuẩn.
+/ Căn bậc hai của phương sai , ký hiệu là
δ
(X), được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa
là;
δ

(X) =
V(X)
+/ Lưu ý;
Có thể chứng minh được rằng;
V(X) = =
n
i 1−
∑
x
2
i
p
i
-
µ
2
(1)
Trong thực hành , ta thường dùng công thức (1) để tính phương sai.
II. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Biết cách lập bảng phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc.
12
- Biết tính xác suất có liên quan tới biến ngẫu nhiên rời rạc X từ bảng phân bố của X.
- Biết tính kỳ vọng , phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc từ bảng phân
bố xác suất của nó.
III. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1;
Một nhóm học sinh có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh
tham gia văn nghệ. Gọi X là số nam học sinh được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X
. Tính phương sai , kỳ vọng độ chênh lệch chuẩn của X.
Giải.

+/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị ;
{ }
0;1;2;3
+/ Ta có
Ω
= C
3
11
= 165.
+/ Tính P(x=0)
./ P(x=0) là xác suất chọn được cả 3 nữ sinh
./ Số cách chọn là; C
3
6
= 20
⇒
P(x=0) =
20
165
=
4
33
.
+/ Tính P(x=1)
./ P(x=1) là xác suất chọn được đúng 1 nam và 2 nữ.
./ Số cách chọn là C
1
5
. C
2

6
=75.

⇒
P(x=1) =
75
165
=
5
11
.
1/ Tính P(x=2)
./ P(x=2) là xác suất chọn được đúng 2 nam và 1 nữ.
./ Số cách chọn là; C
2
5
. C
1
6
=60.
⇒
P(x=2) =
60
165
=
4
11
.
+/ Tính P(x = 3)
./ P(x = 3) là xác suất chộn dược cả 3 nam.

./ Số cách chọn là; C
2
5
= 10.
⇒
P(x = 3) =
10
165
=
2
33
.
Vậy bảng phân bố xác suất của X là;
X 0 1 2 3
P
4
33
5
11
4
11
2
33
+/ Tính E(x) =
3
i 0=
∑
x
i
p

i.
Ta cố;
E(x) =
5
11
+2 .
4
11
+3 .
2
33
=
15
11
.
13
Tính V(x) =
3
i 0=
∑
x
2
i
p
i
-
[ ]
2
E(x)
Ta có;

V(x) =
15
11
+
2
2
.
4
11
+
2
3
.
2
33
-
2
15
11
 
 ÷
 
.
=
72
121
.
+/ Tính
(x)δ
=

X(x)
.
Ta có;
(x)δ
=
72
11
.
Ví dụ 2.
Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Gọi X là tổng số chấm xuất hiện
trên hai mặt con súc sắc. Lập bảng phân bố xác suất của X. Tính kỳ vọng , phương sai của
X.
Giải
+/ Ta có
Ω
= 36.
+/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận có tập giá trị;
{ }
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Ta tính; P(x= 2).
./ P(x= 2) là xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt con xúc sắc bằng 2.
./ Chỉ có một khả năng xảy ra.
⇒
P(x= 2) =
1
36
.
+/ Hoàn toàn tương tự, ta tính được
P(x = 3) =
2

36
; P(x = 4) =
3
36
; P(x = 5) =
4
36
;
P(x-6) =
5
36
; P(x-7) =
6
36
; P(x-8) =
5
36
;
P(x = 9) =
4
36
; P(x = 10) =
3
36
; P(x = 11) =
2
36
;
P(x-12) =
1

36
.
+. Vậy X có bảng phân bố xác suất là;
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
+/ Tính E(x)
E(x) =
2

36
+
6
36
+
12
36
+
20
36
+
30
36
+
42
36
+
40
36
+
36
36
+
30
36
+
22
36
+
12

36
⇒
E(x) = 7
14
Tính V(x)
V(x) = 5,833.
Ví dụ 3
Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn, trong đó có 2 bóng tốt , 3 bóng hỏng. Chọn
ngẫu nhiên từng bóng đem thử ( thử xong không hoàn lại) cho đén khi thu được 2 bóng
tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết . Tìm bảng phân bố xác suất của X. Trung bìng cần thử
bao nhiêu lần.
Giải
+/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị;
{ }
2,3,4,5
Tính P(x= 2) .
./ P(x= 2) là xác suất để sau 2 lần thử ta chọn được 2 bóng tốt.

⇒
P(x= 2) =
2
5
.
1
4
=
2
20
.
+/ Tương tự ta có; P(x = 3) =

3
5
.
2
4
.
1
3
+
2
5
.
3
4
.
1
3
=
4
20
.
P(x = 4) =
3
5
.
2
4
.
2
3

.
1
2
+
3
5
.
2
4
.
2
3
.
1
2
+
2
5
.
3
4
.
1
3
=
4
20
P(x= 5) = 1 – (
2
20

+
4
20
+
6
20
) =
8
20
.
+/ Bảng phân phối xác suất của X là;
X 2 3 4 5
P
2
20
4
20
6
20
8
20
Ví dụ 4
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau;
X 1 3 5 7 9
0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
Lập bảng phân bố xác suất của Y = min
{ }
X,4
.
Giải

+/ Ta có Y là một biến ngẫu nhiên tời rác và có tập giá trị là ;
{ }
1,3,4
+/ P(Y = 1) = P(x = 1) = 0,1
+/ P(Y = 3) = P(x = 3) = 0,2
+/ P(Y = 4) = P(x = 5) + P(x=7) + P(x=9) = 0,7
+/ Bảmg phân phối xác suất của Y là;
Y 1 3 4
P 0,1 0,2 0,7
Ví dụ 5
Một người có chùm chìa khoá 7 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có 2 chìa mở được
cửa. Thử ngẫu nhiên từng chìa khoá ( thử xonh thì bỏ ra ngoài ) cho đến khi tìm được chìa
mở được cửa. Gọi X là số chìa khoá cần thiết.
1/ Lập bảng phân phối xác suất của X.
2/ Tính E(x).
15
Giải
+/ X là một biến ngẫu nhiên rời rạc , có tập giá trị là;
{ }
1,2,3,4,5,6,
.
+/ Ta có ; P(x=1) =
2
7
.
P(x=2) =
5
7
.
2

6
=
10
42
.
P(x=3) =
5
7
.
4
6
.
2
5
=
8
42
.
P(x=4) =
5
7
.
4
6
.
3
5
.
2
4

=
6
42
.
P(x=5) =
5
7
.
4
6
.
3
5
.
2
4
.
2
3
=
4
42
.
P(x=6) =
5
7
.
4
6
.

3
5
.
2
4
.
2
3
.
1
2
=
2
42
.
+/ Bảng phân phối xác suất của x là;
X 1 2 3 4 5 6
P
2
7
10
42
8
42
6
42
4
42
2
42

+/ Ta có;
E(x) =
2
7
+
20
42
+
24
42
+
24
42
+
20
42
+
12
42
=
56
21
.
IV/ BÀI TẬP
Bài 1
Một nhóm người có 10 người gồm có 6 nam, và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người.
Gọi X là số nữ trong nhóm. Lập bảng phân phối xác suất của X .
Tính E(x) , V(x),
σ
(X)

Bài 2
Một hộp chứa 10 tấm thẻ đỏ, 6 tấm thẻ xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ .
1/ Gọi X là số thẻ đỏ. Lập bảng phân phối xác suất của X.
2/ Giả sử rút mỗi tấm thẻ đỏ được 5 điểm và rút mỗi tấm thẻ xanh được 8 điểm. Gọi Y là
tổng số điểm trên 3 thẻ rút ra . Lập bảng phân phối xác suất của Y.
Bài 3
Hai xạ thủ T1 và T2 tập bắn. Mỗi người bắn 2 viên đạn. Xác suất bán trúng đích của
T1 trong mỗi lần bắn là 0,2, của T2 là 0,5.
1/ Gọi X là số viên bắn trúng của T1 trừ đi số viên bắn trúng của T2 . Lập bảng phân phối
xác suất của X. Tính E(x), V(x),
(x)σ
2/ Lập bảng phân phối xác suất của Y =
X
.
Bài 4
Gieo 2 con súc sắc; Một con màu xanh , một con màu đỏ,đều cân đối, đồng chất. Gọi X là
số chấm xuất hiện ở mặt trên con súc sắc màu xanh, Y là số chấm xuất hiện ở mặt trên con
súc sắc màu đỏ.
16
1/ Lập bảng phân phối xác suất của X và của Y.
2/ Tính
[ ]
X Y 3+ =
DẠNG 4 : XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Trong thực tế đôi khi chúng ta gặp các bài toán đòi hỏi thực hiện được điều 1 rồi mới
được làm điều 2 và gọi chung là các bài toán có điều kiện . Trong bài toán xác suất cũng
vậy , biến cố A xảy ra đòi hỏi biến cố B đã xảy ra và người ta gọi là xác suất có điều kiện.
Để rõ hơn chúng ta đi phân tích một ví dụ:
Ví dụ : Trong một hộp kín có 6 bi đỏ , 4 bi xanh , lấy ngẫu nhiên lần lượt hai bi (không
hoàn lại).Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được bi xanh nếu biết lần thứ nhất đã lấy được bi

đỏ?
Giải: Ký hiệu:
Biến cố A : “Lần thứ hai lấy được bi xanh”
Biến cố B : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”
Biến cố A xảy ra đòi hỏi biến cố B đã xảy ra
Biến cố A/B : “Lần thứ hai lấy được bi xanh nếu lần thứ nhất lấy được bi
đỏ”
Khi biến cố B xảy ra thì trong hộp chỉ còn 9 bi ( 5 bi đỏ , 4 bi xanh )

9
4
)/(
=⇒
BAP
Trên cơ sở đó ta có định nghĩa
A.Định nghĩa xác suất có điều kiện.

Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất
có điều kiện của A . Và ký hiệu P(A/B).
B.Công thức.

Giả sử phép thử có n kết quả cùng khả năng xảy ra , trong đó có n
A
kết quả thuận lợi
cho biến cố A , có n
B
kết quả thuận lợi cho biến cố B
A và B là hai biến cố bất kì do đó nói chung sẽ có k kết quả thuận lợi cho cả biến cố A
và biến cố B . Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có :

n
n
BP
n
k
ABP
B
==
)(;)(
Ta đi tính P(A/B) .
Với điều kiện B đã xảy ra nên số kết qủa thuận lợi cho biến cố A là k do đó :

)()/()()/( BPBAP
n
n
n
k
n
k
ABP
n
k
BAP
B
BB
×=×==⇒=
Vậy ta có công thức :
17

)(

)(
)/(
BP
ABP
BAP
=
C.Một số ví dụ.
Ví dụ 1.Trong một hộp kín có 20 nắp khoen bia Hà Nội , trong đó chỉ có 2 nắp khoen ghi
“ Chúc mừng bạn đã trúng thưởng” . Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen ,
nếu được cả hai nắp khoen đều ghi “ Chúc mừng bạn đã trúng thưởng” thì bạn được
thưởng xe BMW.Tìm xác suất bạn được xe BMW?
Giải.
Gọi B : “Nắp khoen đầu trúng thưởng”
A : “Nắp khoen thứ hai trúng thưởng”
C : “Cả hai nắp đều trúng thưởng”
Khi rút thăm lần đầu : có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng thưởng suy ra P(B)=2/20,
khi biến cố B xảy ra trong hộp chỉ còn 19 nắp nên P(A/B)=1/19
Bạn được thưởng xe BMW khi C xảy ra do đó
P(C)=P(B).P(A/B)=(1/19).(2/10)=1/190 .
Ví dụ 2. Áo May 10 trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua hai lần kiểm tra,nếu cả hai lần
kiểm tra đều đạt thì chiếc áo đó đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.Biết rằng bình quân có 98% sản
phẩm làm ra qua được lần 1 và 95% sản phẩm qua được lần hai.Tìm xác suất để 1 chiếc áo
đủ tiêu chuẩn xuất khẩu sang Mỹ?
Giải.
Gọi B : “Qua được kiểm tra lần 1”
A : “Qua được kiểm tra lần 2”
C : “Qua được cả hai lần kiểm tra ”
Từ đó ta có:
P(B)=0,98 , P(A/B)=0,95
⇒

P(C)=P(B).P(A/B)=0,98.0,95=0,931
Ví dụ 3.Gieo 3 con xúc sắc cân đối một cách độc lập.Tính xác suất để tổng số chấm xuất
hiện trên ba mặt con xúc sắc là 8, biết rằng có ít nhất một con xuất hiện mặt 1 chấm ?
Giải.
Gọi A : “Tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt xúc sắc là 8”
(1,1,6); (1,2,5) ; (1,3,4) ; (2,2,4) ; (2,3,3)
B : “Có ít nhất một con xuất hiện mặt 1 chấm”

B
:“Không có con nào xuất hiện mặt 1 chấm”
72
5
216
15
)(15
==⇒=Ω
ABP
AB
91
15
)(
)(
)/(
216
91
6
5
1)(1)(
3
==⇒=







−=−=
BP
ABP
BAPBPBP



18
PHẦN 3 : KẾT LUẬN
Qua thời gian luyện tập trên lớp đa số học sinh đã nắm được phương pháp để giải
một lớp các bài toán loại này và làm tương đối thành thạo,giúp các em tự tin hơn và có
cách nhìn tổng quát hơn khi làm bài tập.
Kết quả kiểm tra 97% đạt yêu cầu,(chỉ còn 2 em chưa rõ),trong đó có khoảng 70% khá
giỏi.
Đánh giá chung : Đề tài đã giúp học sinh hệ thống các phơng pháp giải bài tập liên
quan đến Xác suất và biến cố đồng thời góp phần nâng cao năng lực tư duy và tạo hứng
thú cho học sinh . Hiệu quả tốt.
Năm 2008
Ngời thực hiện
Phùng văn Phúc
19